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2012届高考文科数学一轮复习课件:2-9函数模型及其应用(北师大版)


考纲定位 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的 增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增 长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、 幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的 函数模型)的广泛应用.

教材回归 1.三种函数模型的性质
函数 性质 在(0,+ ∞)上的增 减性 增长速度 图象的变 化 值的比较 y=a

x(a>1) 单调递增 越来越快 y=logax(a>1) 单调递增 越来越慢 y= xn(n>0) 单调递 增

相对平 移 随x增大逐渐表 随x增大逐渐表 随n值变 现为与y轴平行 现为与x轴平行 化而不 一样 一样 同 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax

思考探究:以上三种函数都是单调增函数, 它们的增长速度相同吗?在(0,+∞)上随着x的 增大,三种函数的函数值间有什么关系? 提示:三种增长型的函数尽管均为增函数, 但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上, 因此在(0,+∞)上,总会存在一个x0 ,使x>x0 时有ax>xn>logax.

2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理 顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将 文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建 立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意 义.

以上过程用框图表示如下:

三基强化 1.下列函数中,随 x 的增大而增大速度最快的是( 1 x A.y= e 100 C.y=x 100 B.y=100lnx D.y=100·x 2 )

解析:因指数函数型增长快,又e>2.则应 选A. 答案:A

2.某企业去年销售收入1000万元,年成本 为生产成本500万元与年广告成本200万元两部 分.若年利润必须按p%纳税,且年广告费超出 年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳 税.已知该企业去年共纳税120万元.则税率 p%为( ) A.10% B.12% C.25% D.40%

解析:利润 300 万元,纳税 300· p%万元, 年广告费超出年销售收入 2%的部分为 200-1000×2%=180(万元), 纳税 180· p%万元, 共纳税 300· p%+180· p%=120(万元), 1 p%= =25%. 4

答案:C

3.2004年6月30日到银行存入a元,若年 利率为x,且按复利计算,到2012年6月30日可 取回( ) A.a(1+x)8元 B.a(1+x)9元 C.a(1+x8)元 D . a + (1 + x)8 元 解析:由已知一年后可取回a(1+x)元 二年后可取回a(1+x)2元, ∴2012年6月30日可取回a(1+x)8元. 答案:A

4.高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面 如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞 中流出,若鱼缸水深为h时水的体积为v,则函 数v=f(h)的大致图象是( )

解析:当h=H时,体积为V,故排除A、C, 又当开始阶段,由H→0过程中,减少相同高度 的水,水的体积减少的越来越多,故D不满足 要求. 答案:B

考点一 一次函数与二次函数模型的应用 (1)在实际问题中,有很多问题的两变量之 间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线 上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量 的系数小于0),构建一次函数模型,利用一次 函数的图象与单调性求解. (2)有些问题的两变量之间是二次函数关系, 如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二 次函数模型,利用二次函数图象与单调性解 决.

例 1 西部山区的某种特产由于运输原因,长期只能在当地销售, 当地政府对该项特产的销售投资收益为:每投入 x 万元,可获得 1 2 (x-40) +100 万元.当地政府拟在新的十年发展 160 规划中加快发展此特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该 项目每年都投入 60 万元的销售投资,在未来 10 年的前 5 年中, 每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路,5 年修成, 通车前该特产只能在当地销售; 利润 P=-

公路通车后的 5 年中,该特产既在本地销售,也在外地销售, 159 在外地销售的投资收益为: 每投入 x 万元, 可获利润 Q=- (60 160 119 -x) + (60-x)万元.问从 10 年的总利润看,该规划方案是否 2
2

具有实施价值?

【分析】 先由二次函数性质求出实施规 划前每年获得的最大利润,从而得10年的总利 润W1,再由已知求实施规划后的前5年、后5年 的最大利润,得10年的总利润W2,最后比较 W1、W2的大小得结论.

1 【解】 在实施规划前, 由题设 P=- (x-40)2+100(万元) 160 知,每年只需投入 40 万,即可获得最大利润 100 万元.则 10 年 的总利润为 W1=100×10=1000(万元).实施规划后的前 5 年中, 1 修建公路的费用为 30×5=150 万元,又由题设 P=- (x-40)2 160 795 +100 知,每年投入 30 万元时,利润 P= (万元).前 5 年的利 8 795 2775 润和为 ×5-150= (万元). 8 8

设在公路通车的后 5 年中,每年用 x 万元投资于本地的销售, 而用剩下的(60-x)万元投资于外地的销售,则其总利润为 1 159 2 119 2 W2= [- (x-40) + 100]×5+(- x+ x)×5=-5(x 160 160 2 -30)2+4950. 2775 当 x=30 时, 2)max=4950(万元). (W 从而 10 年的总利润为 8 2775 +4950(万元).∵ +4950>1000,故该规划方案有极大实施价 8 值.

变 式 迁 移 1 某 租 赁 公 司 拥 有 汽 车 100 辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租 出;当每辆车的月租金增加50元时,未租出的 车将会增加一辆.租出的车辆每月需要维护费 200元. (1)当每辆车月租金为3600元时,能租出多 少辆车? (2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公 司的月收益最大?最大月收益是多少元?

解: (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时, 未租出的车辆数为 3600-3000 =12,所以这时租出了 88 辆车. 50

(2)设每辆车的月租金定为 x(x≥3000)元,则租赁公司的月收 益为 x-3000 f(x)=(100- )(x-200),整理得 50 1 1 f(x)= (8000-x)(x-200)=- x2+164x-32000 50 50 1 =- (x-4100)2+304200. 50 所以,当 x=4100 时, f(x)最大.

最大值为 f(4100)=304200,即当每辆车的月租金定为 4100 元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为 304200 元.

a 考点二 y=x+ 模型 x a 函数 y=x+ (a>0)也称为“对勾”函数.解决“对勾”函数 x 的最值问题通常利用基本不等式,但特别要注意基本不等式中等 量成立的条件,如若等号不能成立时,可通过判断函数的单调性 解决函数的最值问题.

例2 某村计划建造一个室内面积为800m2 的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧与 后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留 3m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时, 蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?

800 【解】 设温室的左侧边长为 xm,则后侧边长为 m. x 800 ∴ 蔬 菜 种 植 面 积 y = (x - 4)( - 2) = 808 - 2(x + x 1600 )(4<x<400), x 1600 ∵x+ ≥2 x 1600 x· =80,∴y≤808-2×80=648(m2). x

1600 800 当且仅当 x= ,即 x=40,此时 =20(m),y 最大=648m2. x x ∴当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜 的种植面积最大,为 648m2.

变式迁移 2

某工厂有一段旧墙长 14m,现准备利用这段旧

墙为一面建造平面图形为矩形,面积为 126m2 的厂房,工程条件 a 是:①建 1m 新墙的费用为 a 元;②修 1m 旧墙费用是 元;③拆 4 a 去 1m 旧墙,用所得的材料建 1m 新墙的费用为 元,经讨论有两 2 种方案:(1)利用旧墙的一段 xm(x<14)为矩形厂房一面的边长;
(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长 x≥14,问如何利用旧墙, 即 x 为多少米时,建墙费用最省?(1)、(2)两种方案哪个更好?

解:(1)利用旧墙的一段 xm(x<14)为矩形一面边长,则修旧墙 a a 的费用 x·元,将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x)· 4 2 2×126 x 元, 其余建新墙的费用为(2x+ -14)a 元. 故总费用为 y= · a 4 x 14-x 252 7 252 x 36 + · + (2x + a - 14)· = a( x + a - 7) = 7a( + - 2 4 4 x x x 1)(0<x<14). ∴y≥7a(2 ymin=35a. x 36 x 36 · -1)=35a,当且仅当 = ,即 x=12m 时, 4 x 4 x

a (2)若利用旧墙的一面矩形边长 x≥14, 则修旧墙的费用为 · 14 4 7 252 7 = a 元,建新墙的费用为(2x+ -14)a 元,故总费用为:y= a 2 2 x 252 7 126 +(2x+ -14)· a= a+2a(x+ -7)(x≥14). 14≤x1<x2 则(x1 设 2 x x ?x1x2-126? 126 126 + )-(x2+ )=(x1-x2) . x1 x2 x1x2

∵14≤x 1<x 2,∴x1-x2<0,x1x2>126.从而

x1x2-126 >0, x1x2

126 ∴函数 y=x+ 在[14,+∞)上为增函数.故当 x=14 时, x 7 126 ymin= a+2a(14+ -7)=35.5a. 2 14 综上讨论知,采用第(1)方案,利用旧墙 12m 为矩形的一面边 长时,建墙总费用最省,为 35a 元.

考点三 指数函数模型与幂函数模型 指数函数模型的应用是高考的一个主要内 容,常与增长率相结合进行考查,在实际问题 中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问 题可以用指数函数模型来表示.通常可表示为y =a·(1+p)x(其中a为原来的基础数,p为增长 率,x为时间)的形式.

例3 某城市现有人口总数为100万人,如果年自 然增长率为1.2%,试解答以下问题: (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数 关系式; (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人); (3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到120 万人(精确到1年); (4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人, 年自然增长率应该控制在多少? ( 参 考 数 据 : 1.0129≈1.113,1.01210≈1.127 , lg1.2≈0.079 , lg2≈0.3010 , lg1.012≈0.005 , lg1.009≈0.0039)

【解】 (1)1年后该城市人口总数为 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%) 2年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%= 100×(1+1.2%)2. 3年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2% =100×(1+1.2%)3. x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.

(2)10 年后,人口总数为 100×(1+1.2%) 10≈112.7(万人). (3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人, 即 100×(1+1.2%)x=120, x=log1.012 120 =log1.0121.20≈16(年). 100

(4)由 100×(1+x%)20≤120,得(1+x%)20≤1.2, 两边取对数得 20lg(1+x%)≤lg1.2=0.079, 所以 lg(1+x%)≤ 0.079 =0.00395, 20

所以 1+x%≤1.009,得 x≤0.9, 即年自然增长率应该控制在 0.9%.

变式迁移3 1999年10月12日“世界60亿人口日”,提 出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题,控制人口 急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前. (1)世界人口在过去40年内翻了一番,问每年人口平均增 长率是多少? (2)我国人口在1998年底达到12.48亿,若将人口平均增长 率控制在1%以内,我国人口在2008年底至多有多少亿? 以下数据供计算时使用:
数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000

对数lgN 0.0043 0.0065 0.0073 0.1173 0.3010 数N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78 对数lgN 0.4771 0.6990 1.0962 1.1176 1.1392

解:(1)设每年人口平均增长率为 x,n 年前的人口数为 y,则 y· (1+x)n=60,则当 n=40 时,y=30, 即 30(1+x)40=60,∴(1+x)40=2, 两边取对数,则 40lg(1+x)=lg2, lg2 则 lg(1+x)= =0.007525, 40 ∴1+x≈1.017,得 x=1.7%.

(2)依题意,y≤12.48(1+1%)10, 得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.1392, ∴y≤13.78,故人口至多有13.78亿. 答:每年人口平均增长率为1.7%,2008年人 口至多有13.78亿.

考情分析 高考数学应用题的命题背景常常关注一些 与现实生活中密切相关的人文性问题,人口现 状、失学儿童的求助、世界环保、人文与社会, 这些源于生活而应用于生活的命题形式,是高 考命题的首选. 函数在实际问题中的应用,是 高考的一个新的考查方向.

考场样题

[2011· 北京卷] 某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 x 800 元,若每批生产 x 件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓 8 储费用为 1 元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最 小,每批应生产产品( ) A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 【解析】记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 f(x), x 800+ ×x×1 8 800 x 800 x 则 f(x)= = x +8≥2 x x ×8=20, 800 x 当且仅当 = ,即 x=80 件(x>0)时,取最小值,故选 B. x 8 答案:B
(2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.

解:(1)设隔热层厚度为 x cm,由题设,每年能源消耗费用为 k C(x)= ,1 分 3x+5 40 再由 C(0)=8, k=40, 得 因此 C(x)= .而建造费用为 C1(x) 3x+5 =6x.3 分 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 40 800 =20C(x)+C1(x)=20× +6x= +6x(0≤x≤10).5 分 3x+5 3x+5 f(x)

易错盘点

1.审题失误 求解函数应用题时,关键环节是审题,审 题时一要弄清问题的实际背景,注意隐含条件; 二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语言, 用数学表达式加以表示;三是弄清给出什么条 件,解决什么问题,通过何种数学模型加以解 决;四是严格按各种数学模型的要求进行推理 运算,并对运算结果作出实际解释.

纠错训练1 某不法商人将彩电先按原价提 高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优 惠”,结果是彩电平均每台比原价高了270元, 那么每台彩电原价是________元. 【答案】 2250

2.忽视实际问题对变量的限制 纠错训练2 如图所示,在矩形ABCD中, 已知AB=a,BC=b(a>b).在AB、AD、CD、 CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x,当 x为何值时,四边形EFGH的面积最大?求出这 个最大面积.

【解】

设四边形 EFGH 面积为 S

S=ab-x2=(a-x)(b-x) a+b 2 ?a+b?2 S=-2(x- )+ , 4 8 由题意可得函数的定义域为{x|0<x≤b}, 因为 a>b>0, a+b 所以 0<b< . 2

a+b 若 ≤b, 4 即 a≤3b 时, a+b ?a+b?2 当 x= 时面积 S 取得最大值 ; 4 8 a+b 若 >b,即 a>3b 时, 4 a+b 2 ?a+b?2 函数 S=-2(x- )+ 在(0,b]上是增函数, 4 8 因此,当 x=b 时,面积 S 取得最大值 ab-b2.

综上可知,若 a≤3b, a+b ?a+b?2 当 x= 时,四边形 EFGH 的面积取得最大值 ; 4 8 若 a>3b,当 x=b 时, 四边形 EFGH 的面积取得最大值 ab-b2.


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