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第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第1套


2013 年物理竞赛复赛模拟试题-第一套
一、(20 分)某人在设计房子的时候尽量节省空间,弄了一个立起来是储物架,放下来时床的 家具。他设计得很精巧,使得在放下的过程中,架子是保持水平的,而且人不怎么费劲。下 面我们给出一种设计。

A M D P1

AB、 CD、 AD 是三根相互铰接的轻杆,AB = CD = 2m ,AD ? 0.5m 。 这样就能保证架子上的东西不会掉下来。但是考虑到负重分别加在

O

B

D 点和 CD 中点 O 点 P 1 ? 10kg , P 2 ? 20kg ,直接把床推上放下会 比较费力,而且容易砸到人,即使没有砸到人,砸到花花草草也不 好。为了解决这个问题,我们在 AB 杆上距离 A 点 0.5m 处的 M 点 连一根原长可以忽略的弹簧到 D 点。这样就可以自由的上下推动床

?
P2 C

而几乎不费力了。 g ? 10N/kg (1) 为了尽量省力,弹簧的经度系数 k 应当为多少? (2) 当床与墙面夹角 ? ? 30? 时,请计算 AD 杆上的受力。

第一题解答:

二、(22 分)天宫一号圆满完成了国内第一次太空授课。在课堂演示中我们看到了如下情景, 一个水球悬浮在空中, 我们可以通过水球构成的透镜看到宇航员倒立的像。 假设水球半径为 r ,折射率为 n 。在计算中我们取傍轴近似(只计算小角度范围的光线成的像)


r

O

l
D



假设物体、水球、实像之间的相对位置如图所示,由于相机没有变焦,因而只能对物体前方 距离为 D 处的物体能够清晰成像。

l2 。 (1) 随着球心到物体之间距离 l 的变化, 将发现两次能清晰成像的位置 l1 、 求 | l1 ? l2 | ,
以及两个实像大小的比值 (2) D 应当满足什么条件才能观察到上述现象。 第二题解答

三、(23 分)如图所示,一个半径为 r 的匀质薄壁圆筒,质量为 m ,被轴承限制只能绕着其中 心轴旋转。一根长为 l ? 2r 的不可伸长的细绳一端系在圆筒上,另一端连接一个质量 m 的 质点,开始如图静止。沿垂直于绳子的方向给质点大小为 J ? mv0 的冲量。 试计算说明,求当绳子与接触点法线夹角是否能到达 30? ,如果可以求出圆筒相对地面的角 速度,如果不可以说明理由。 y

m
O

m
r
l
x

J

第三题解答:

四、 (25 分)我们想做一个演示电磁感应定律的实验: 造一个大电磁铁, 正上面放一个细铁环,
7 ?1 ?1 半径为 R ? 10cm ,横截面为一个半径为 r ? 1mm 的圆,电导率为 ? ? 3.7 ?10 ? m ,

密度为 ? ? 2.7 ?10 kg ? m ,真空介电常数已知。在铁环的位置磁场大小为 B ? kI ,
3 ?3

k ? 0.2 ?10?2 N ? A?2 ? m?1 ,方向与竖直夹角 ? ? 30? ,假磁铁在圆环内磁场的竖直分量不
变。在磁铁中通入如下的正弦交流电,频率均为 f ? 10kHz (很高) ,振幅大小均为 I 0

B

?

?

B
I (t )

I (t )

t

在这种情景下是否可以造成“悬浮”的现象,如果可以,估算出 I 0 的大小,如果不可以说 明理由。 (圆环的自感约为 6 ?10 H ,需要计算说明是否可以忽略) 第四题解答:
?7

五、(22 分)理想的非门可以视为一个受控电压源:当输入端电压大于 U c ? 6V 时,输出端 相当于和地线之间短路;当输入端电压小于 U c 时,输出端相当于和地线之间有一个理想电 压源, 电源电压 U 0 ? 12V 。 等效电路图如图所示。 不同非门中接地点可以视为是同一个点。 我们利用非门、电容和电阻能够做成一个输出方波信号的多谐振荡器。画出下图电路中 VO 2 随着时间的变换关系。

Vi ? 6V VO ? 0V Vi
VO ? 0V

Vi ? 6V VO ? 0V Vi
VO ? 12V

Vi

G1

VO1
R

G2

VO 2

C
提示:已知如左下图的 RC 电路,从刚接通电路开始电容上电压随时间变化规律为:

U C (t ) ? U 0 (1 ? e

?

t RC

)

UC
C

U C (t ) ? U 0 (1 ? e
R

?

t RC

)

U0

t

第五题解答

六、 (22 分)在真空中有一个体积为 V0 的绝热硬箱子, 内部有压强为 P0 温度为 T0 的理想气体。 摩尔质量为 ? ,定容摩尔比热为 CV ?

3 R 。现在通过一个多孔塞让气体缓缓漏出。 2

(1)当气体漏出一半时候,箱子内温度为多少? (2)假设漏出气体的过程中,压强差做的功全部转换为气体的动能,问气体全部漏出的过 程中箱子一共可以获得多少动量? 提示:理想气体绝热方程为 pV 第六题解答:
CV ? R CV

? 常数 , ? x n dx ?
a

b

1 (b n ?1 ? a n ?1 ) n ?1

七、(26 分)在诱导原子核衰变的时候,有会用到 ? (读作 muon,中文缪子)代替原子中的
?

一个电子。 原子核核电荷数为 Z ? 65 。 ? 除了质量比电子重 207 倍之外几乎没有别的区别。
?

电子质量 me ? 0.91?10

?30

kg ,电子电量 e ? ?1.6 ?10?19 C ,普朗克常数 h ? 6.64 ?10?34 Js
?

(1)我们利用玻尔模型和牛顿力学做一个简单估计, ? 的基态和第一激发态之间的能级 差为多少?用电子伏特做单位表示。 (2)计算上一问中,基态 ? 的速度为多少?如果考虑相对论效应,会使得基态轨道半径
?

相对于牛顿力学情景相对变化多少? (3)原子核的质量为 mn ? 2.34 ?10
?25

kg ,如果考虑到原子核质量并非远大于 ? ? 质量,

则玻尔量子化改为体系总角动量(不计自旋)量子化。考虑这个效应,基态能量变化百分比 为多少? 第七题解答:


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