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射洪中学高2014级高一数学奥赛平面向量专题


射洪中学高 2014 级高一数学奥赛平面向量专题

空间向量(二维或三维)作为线性代数的重要组成部分,在高等代数研究中 多被用做印证定理的实际例子,有着广泛的应用.2001 年高中课改后,这个更 接近现代数学的数学工具, 被引入到高中的数学学习中来.由于向量同时具有数 与形两方面的特征, 能把形的问题转化为代数问题,又能将代数式转变为具体的 图形,近几年来,在

数学竞赛中的运用越来越灵活.这里,就全国高中数学联赛 试题中涉及的一些向量问题作一些探究. 一、有关知识: (1) 共线向量定理: a ?? b(b ? 0 ) ? 存在唯一的实数 ? 使得 a = ? b . (2) 平面向量基本定理:设向量 e1 , e2 为平面内两个不共线的向量,则对于平 面内任意一个向量 a ,有且仅有唯一的有序实数对 ?1 , ?2 使得 a ? ?1e1 ? ?2e2 . (3) 若 OP ? ?OA ? ?OB(?, ? ? R) , 则 P, A, B 三 点 共 线 的 充 要 条 件 是

? ? ? ? 1 .定比分点公式:若点 P 在直线 AB 上,且 AP ? ? PB , O 为任意
OA ? ? OB . 1? ? (4) 对于向量 a = ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , a ? b ? a b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 .

一点,则 OP ?

(5) 设 a , b 为两个向量,则 a ? b ? a ? b ? a ? b , a b ? a b . (6) 两向量的夹角公式: cos ? a, b ??

ab ;向量模长公式: a ? a a ; a b

(7) 三角形中“四心”的向量形式: 重心:若 G 为 ABC 的重心,则 GA ? GB ? GC ? 0 ; 垂心:若 H 为 ABC 的垂心,则(1) HA HB ? HB HC ? HC HA ; (2) HA ? BC ? HB ? CA ? HC ? AB ; 2 2 1 1 外心:若 O 为 ABC 的外心,则 AO AB ? AB , AO AC ? AC ; 2 2 结合垂心有: OH ? OA ? OB ? OC ; 内心:若 I 为 ABC 的内心,则 BC IA ? CA IB ? AB IC ? 0 . 二、赛题分析: §1几何中的运用 例 1、在 ? ABC 所在平面有一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? BC ,则 ? ABC 与 ? PBC 的 面积之比为 变 1.(2004 年全国高中联赛)设 O 点在 ABC 的内部, 且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 , 则 ABC 的面积与 AOC 的面积之比为( ) 3 5 A. 2 B. C. 3 D. 2 3 【拓展】 命题:设 P 点在 ABC 的内部,则 ?1 PA ? ?2 PB ? ?3 PC ? 0(?i ? 0, i ? 1,2,3) 成立的 充要条件是 ?1 : ?2 : ?3 ? S BPC : S CPA: S APB . 推论:设 P 点在 ABC 的内部,若 ?1 PA ? ?2 PB ? ?3 PC ? 0(?i ? 0, i ? 1,2,3) ,若 (1) ?1 : ?2 : ?3 ? 1:1:1,则 P 为 ABC 的重心,反之也成立;
1
2 2 2 2 2 2

(2) ?1 : ?2 : ?3 ? sin ?BPC : sin ?CPA : sin ?APB , 则 P 为 ABC 的外心, 反之也成立; (3) ?1 : ?2 : ?3 ? BC : CA : AB ,则 P 为 ABC 的内心,反之也成立; (4) ?1 : ?2 : ?3 ? tan A : tan B : tan C ,则 P 为 ABC 的垂心,反之也成立. 注 : 由 平 面 向 量 基 本 定 理 知 , 对 于 给 定 的 ABC 内 部 的 任 意 一 点 P , ?1 PA ? ?2 PB ? ?3 PC ? 0(?i ? 0, i ? 1,2,3) 中的 ?1 : ?2 : ?3 的比值是唯一的,而推论2 即是给出了三角形内的特殊点相应的唯一比值.
设点 O 在 ?ABC 内部,且 4OA ? OB ? OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积与 ?OBC 的面积之比是: D A.2:1 B.3:1 C.4:3 D.3:2

已知 ?ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 (1)求数量积 OA ?OB, OC ?OB, OA ?OC (2)求 ?ABC 的面积 例 2.四心 1、若 O 为 ?ABC 内一点, OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O 是 ?ABC 的( A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 )

归纳:G 是△ABC 所在平面内一点, GA ? GB ? GC =0 ? 点 G 是△ABC 的重心. 1 P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的 重心 ? PG ? ( PA ? PB ? PC) . 3
, F分 别 为 △ ABC 的 边 B C , A , C 变 式 : 已 知 D, E A B中 点 . 则 的

AD ? BE ? CF ? 0 .

变式引申:如图 4,平行四边形 ABCD 的中心为 O , P 为该平面上任意一点, 则 PO ? ( PA ? PB ? PC ? PD)
1 4

2、若 O 为 ?ABC 内一点, OA ? OB ? OC ,则 O 是 ?ABC 的( A.内心 B.外心
AB AB AC AC



C.垂心

D.重心

例 1: (2003 年全国高考题) O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? (

?

) , ? ? ?0,??? ,则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
2

(A)外心

(B)内心

(C)重心

(D)垂心

4.已知 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足: OP ? OA ? ? ( AB ? AC) ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的(C ) A.外心 B. 内心 C. 重心 D.垂心 ( 2005 年 北 京 市 东 城 区 高 三 模 拟 题 ) O 为 △ ABC 所 在 平 面 内 一 点 , 如 果

OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则 O 必为△ABC 的(



(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 例 3:已知 O 为三角形 ABC 所在平面内一点,且满足

OA ? BC ? OB ? CA ? OC ? AB ,则点 O 是三角形 ABC 的(
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心

2

2

2

2

2

2



事实上由条件可推出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA 例 4:设 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三点, 动点 P 满足 OP ? OA ? ? (

故选答案 D

AB AB cos B

?

AC AC cos C

) , ? ? ?0,??? ,则动点 P 的轨迹一定通

过△ABC 的( ) (A)外心 (B)内心 事实上 ? (

(C)重心

(D)垂心 故选答案 D

AB AB cos B

?

AC AC cosC

) ? BC ? ? ? (? BC ? BC) ? 0

若点 O 为△ABC 所在的平面内一点,满足 ,则点 O 为△ABC 的外心。 O 是三角形 ABC 中的外心,平面上一点 P 满足 OA ? OB ? OC ? OP 则 P 为三角形 的( ) A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 O 为 △ABC 所 在 平 面 内 一 点 , A , B , C 为 △ABC 的 角 , 若 sinA· OA +sinB· OB +sinC· OC ? O ,则点 O 为△ABC 的___________心.
a ? PA ? b ? PB ? c ? PC ? 0 , 6. 已知△ABC, P 为三角形所在平面上的一点, 且点 P 满足: 则 P 点为三角形的(B ) A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

7.在三角形 ABC 中,动点 P 满足: CA ? CB ? 2 AB ? CP ,则 P 点一定通过△ABC 的(B ) A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
3

2

2

9.△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH ? m(OA ? OB ? OC ) , 则实数 m= 1 11.如图 1, 已知点 G 是△ABC 的重心, 过 G 作直线与 AB, AC 两边分别交于 M,N 两点,且 AM ? x AB , AN ? y AC , 则 ? ?3。 证 点 G 是△ABC 的重心,知 GA ? GB ? GC ? 0 ,得
1 ? AG ? ( AB ? AG) ? ( AC ? AG) ? 0 ,有 AG ? ( AB ? AC ) 。 3
B A M G 图1

1 x

1 y

N C

又 M,N,G 三点共线(A 不在直线 MN 上), 于是存在λ ,μ ,使得 AG ? ? AM ? ? AN (且? ? ? ? 1) , 有 AG ? ? xAB ? ? y AC = ( AB ? AC ) ,得 ? ?
1 3
? ?? ? ? ? 1 ?? x ? ? y ?
1 1 1 ,于是得 ? ? 3 。 x y 3

例 3、 2.在△ABC 中, AB ? a, BC ? b ,且 a·b<0,则△ABC 的形状是__________. 4.若 O 为△ABC 的内心,且 (OB ? OC) ? (OB ? OC ? 2OA) ? O ,则△ABC 的 形状为__________. 若 O 为△ABC 所在平面上的一点且满足| 0 B ? OC |=| OB ? OC ? 2OA |,则△ABC 的形状为 8.非零向量 AB 与 AC 满足(
AB | AB |

+

AC | AC |

)·BC =0 且

AB | AB |

·

AC

| AC |

= ,则△ABC 为(D)

1 2

A. 三边均不相等的三角形 D.等边三角形
解析:非零向量与满足( ∴AB=AC,又 cos A ?
AB ? AB AC ?

B. 直角三角形
AC

C. 等腰非等边三角形

| AB | | AC |

)· BC =0,即角 A 的平分线垂直于 BC,
? ,所以△ABC 为等边三角形. 3

| AB | | AC |

= ,∠A=

1 2

12. 在四边形 ABCD 中,AB ? a, BC ? b, CD ? c, DA ? d , 如果 a· b=b· c=c· d=d· a, 试判断四边形 ABCD 的形状。
已知向量 OP 1 , OP2 , OP 3 满足条件 OP 1 + OP2 + OP 3 =0,| OP 1 |=| OP2 |=| OP 3 |=1, 求证: △P1P2P3 是正三角形.( 《数学》第一册(下) ,复习参考题五 B 组第 6 题) 证明: 由已知 OP 1 + OP2 =- OP 3 ,两边平方得 OP 1 · OP2 = ? 同理 OP2 · OP3 = OP3 · OP 1 =? 三角形. 反 之 , 若 点 O 是 正 三 角 形 △ P1P2P3 的 中 心 , 则 显 然 有 OP 1 + OP2 + OP 3 =0 且 | OP 1 |=| OP2 |=| OP 3 |,即 O 是△ABC 所在平面内一点,
4

1 , 2

1 , ∴| P1 P2 |=| P2 P3 |=| P3 P1 |= 3 ,从而△P1P2P3 是正 2

OP 1 + OP2 + OP 3 =0 且| OP 1 |=| OP2 |=| OP 3 | ? 点 O 是正△P1P2P3 的中心.

例 3.(2006 年全国高中联赛)已知 ABC ,若对任意 t ? R , BA ? t BC ? AC , 则 ABC 的形状是( ) A.必为锐角三角形 B.必为钝角三角形 C.必为直角三角形 D.不确定 【分析及解答】 思路1:这里是和向量相关的几何不等式问题,由于 t 的任意性,故可考虑取适 当的 t 将原式化为与向量相关的不等式. 令 ?ABC ? ? ,点 A 作 AD ? BC 于 D ,由 BA ? t BC ? AC

? BA ? 2t BA BC ? t 2 BC ? AC
令t ?
2

2

2

2

BA BC BC
2

代入上式得:
2 2 2

BA ? 2cos2 ? BA ? cos2 ? BA ? AC
2 2 2

? sin 2 ? BA ? AC ? sin 2 ? BA ? AC

2

从而有 AD ? AC ,由此得 AC ? BC .故选 C. 【说明】此处令 t ?

BA BC BC
2

的目的是化 BC 为 BA ,将两个向量的模长统一,由

AD ? AC 结合距离的定义即得 AC ? BC .
A

思路2:思路1中利用了距离最小性证明了垂直,从此可以 直接考虑条件的几何意义来证明. BA ? tBC ( t ? R )的几何意义:表示以 A 为终点,起点 在直线 BC 上的所有向量(如图 3) .
BA ? t BC ? AC 则说明 AC 为这些向量的最小值,
B

故由距离最小性得 AC ? BC ,故选 C. 思路3:由于向量模和数量积都是具体的代数值,故可以考虑将原问题转化为代 数问题求解. 由 BA ? t BC ? AC 得
BA ? BC ? (t ? 1) BC ? AC ,即 CA ? (t ? 1) BC ? AC .

图 3

C

于是 CA ? (t ? 1) BC ? AC ,

2

2

? CA ? 2(t ? 1)CA BC ? (t ? 1)2 BC ? AC ? BC (t ? 1)2 ? (2CA BC ) (t ? 1) ? 0
t ? R, ?t ? 1? R . 所以关于 t ? 1 的二次不等式应满足
5
2

2

2

2

? ? 4(BC AC)2 ? 0 ,
.故选 C. 2 【说明】向量由于其结合了数和形的特征,在给出了形对应的特殊位置关系的同 时, 实质上也建立了代数上的关系(第二部分的内容会进一步说明向量在联系数 形上的作用) .向量的模长公式 a ? a a 便是联系数形关系最常用的工具之一.
B 是 EF 的中点, AB ? EF ? 1 , BC ? 6 , 例 4. (2007 年全国高中联赛) 在 AEF 中, ? AC ? A2 F , 则 EF 与 BC 的 夹 角 的 余 弦 值 等 CA ? 33 , 若 A B A E 于 . 【分析及解答】 ab 已知 EF 与 BC 的模长, 求夹角, 故可联系向量的夹角公式 cos ? a, b ?? 来处 a b

? BC AC ? 0 ? ?C ?

?

理.
AB AE ? AC AF ? 2 ? AB ( AB ? BE ) ? AC ( AB ? BF ) ? 2 ? AB ? AB BE ? AC AB ? AC BF ? 2 2 33 ? 1 ? 36 AB ? 1, AC AB ? 33 ?1? ? ?1, BE ? ? BF , 2 ? 33 ?1 ?1 ? BF ( AC ? AB) ?1 ? 2 .
2

故 BF BC ? 2 . 设 EF 与 BC 的夹角为 ? ,即是 BF 与 BC 的夹角,则有 BF BC cos ? ? 2 ,
2 . 3 【说明】题中除了注意各边的长度外,转化条件 AB AE ? AC AF ? 2 应是此题的 关键,用向量拆分为与所求向量 EF 与 BC 相关的向量,再处理便显得得心应手 了.

得 cos ? ?

4.巧用基底法和坐标法解决平面向量数量积问题
11 . 已知︱ OA ︱ =1 ,︱ OB ︱ = 3 , OA ? OB =0, 点 C 在∠ AOB 内,且∠ AOC=30°,设

OC =m OA +n OB (m、n∈R),则

m 等于_______. n

例 7 已知四边形 ABCD 是正方形,BE//AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线 于点 F,求证:AF=AE 9.在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC) 的 最小值为__________. 已知△ABC 三边长 AC=3,BC=4,AB=5,P 是 AB 边上任意一点, 则 CP ? (BA ? BC) 的最大值为 在等腰△ABC 中,BD,CE 分别是腰 AC,AB 上的中线,且 BD ? CE,求顶角 A 的 正弦值
6

11. 在 Rt△BAC 中, 已知 BC=a, 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, 试问 PQ 与 BC 的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值。

【例1】

已知 A(0,a),B(0,b),(0<a<b),在 x 轴的正半轴上

求点 C,使∠ACB 最大,并求出最大值、
如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上, 若 AB AF ? 2 ,则 AE BF 的值是 ▲ . D F C

E

§2代数中的运用 B 【例2】 例 5. (2005 年全国高中联赛) 使关于 x 的 A 不 等 式 x ?3 ? 6? x ? k 有 解 的 实 数 k 的 最 大 值 是 . ) , 且 xy ? ?1 , 则 函 数 【例3】 4 . 已 知 x, y 都 在 区 间 (? 2 , 2 内 4 9 u? ? 的最小值为 . 2 4 ? x 9 ? y2 (2003 年全国联赛试题) 2 3 (提示:构造向量 a ?( , ), b ? (3 4 ? x2 , 2 9 ? y 2 ) 其 中 2 2 4? x 9? y
a ? u , b ? 72 ? (9 x 2 ? 4 y 2 )
2 2







a

? b
y

得 a

b

u?

12 144 144 ? ? ) 2 2 5 72 ? (9 x ? 4 y ) 72 ? 12 xy
A?
E

A

O
B

F

x

B?

l
图 6

7


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