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北京市师范大学附属实验中学2014-2015学年高二数学上学期期中试题 理


北师大附属实验中学 2014-2015 学年度第一学期高二年级数学期中 考试试卷(理科一卷)
班级 姓名 学号 分数

试卷说明: 1、本试卷考试时间为 120 分钟,总分为 150 分;试卷一 100 分,试卷二 50 分; 2、试卷共 4 页,一卷共三道大题,17 道小题;二卷共两道大题,8 道小题.

一、选择题(本大题共

8 小题,每小题 5 分,共 40 分,每题只有一个正确答案,请将正确答 案的序号涂在答题卡上) 1. 已知两条相交直线 a , b , a // 平面 ? ,则 b 与 ? 的位置关系是 A. b ? 平面 ? C. b // 平面 ? A. 0 A. x ? ?1 C. x ? ?1 或 5x ? 12 y ? 55 ? 0 B. ? 8 B. b ? 平面 ? D. b 与平面 ? 相交,或 b // 平面 ? C. 2 D. 10 B. 5x ? 12 y ? 55 ? 0 D. x ? ?1 或 12 x ? 5 y ? 55 ? 0

2.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为 3.过点 M (?1,5) 作圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的切线,则切线方程为

4.设 m, n 表示两条不同的直线, ?、 ? 表示两个不同的平面,则下列命题中不正确 的是 ... A. m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? C. m ? ? , n ? ? ,则 m / / n
2 2

B. m / / n , m ? ? ,则 n ? ? D. m / /? , ? ? ? ? n ,则 m / / n

5.点 P(4, ?2) 与圆 x ? y ? 4 上任一点所连线段的中点轨迹方程是 A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

C. ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 4
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 1
2 2

6.在△ABC 中, AB ? 4, BC ? 3, ?ABC ? 90? ,若使△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成 的几何体的体积是 A. 36? B. 28? C. 20? D. 16? 7.某正三棱柱的三视图如图所示, 其中正(主)视图是边长为 2 的正方形, 该正三棱柱的表面积是 A. 6 ? 3 B. 12 ? 3 C. 12 ? 2 3

-1-

D. 24 ? 2 3 8.已知点 A(0,2),B(2,0).若点 C 在函数错误!未找到引用源。的图象上,则使得错误! 未找到引用源。的面积为 2 的点 C 的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y ? x 对称,则圆 C 的标准方程为_______. 10.棱锥的高为 16cm,底面积为 512cm ,平行于底面的截面积为 50cm ,则截面与底面的距离 为 cm .
2 2

11.平面 ? 截球 O 的球面所得圆的半径为 1 ,球心 O 到平面 ? 的距离为 2 ,则此球的表面积 为 . 4 12.如图,若边长为 4 和 3 与边长为 4 和 2 的两个矩形所 在平面互相垂直,则 cos? : cos ? ? . 2 13. 已 知 直 线 ax ? y ? 2 ? 0 与 圆 心 为 C 的 圆 3

?
?

? x ? 2?

2

? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 A,B 两点,且 ?ABC 为等边三角形,则实数 a ? _________.
2

14.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在
2 2

一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是_

.

三、解答题(本大题共 3 小题,共 30 分,写出必要的解答过程) 15.在平面直角坐标系 xOy 内有三个定点 A(2, 为E . (Ⅰ)求圆 E 的方程; (Ⅱ)若过原点 O 的直线 l 与圆 E 相交所得弦的长为 2 ,求直线 l 的方程.

2), B(1, 3), C(1, 1) ,记 ?ABC 的外接圆

?ABC ? 90 °, PA ? PB ? AB ? 2 ,BC ? 3 , 16. 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, 平面 PAB ?
平面 ABC , D , E 分别为 AB , AC 中点. (Ⅰ)求证: DE ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求证: AB ? PE ; (Ⅲ)求三棱锥 P ? BEC 的体积. A D1D A1 17. 在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? 底面 B A A O B1 E C1 A C A P A

D A B

C

-2-

? ABCD ,底面 ABCD 为菱形, O 为 AC 1 1 与 B1D 1 交点,已知 AA 1 ? AB ? 1 , ?BAD ? 60 .

(Ⅰ)求证: A1C1 ? 平面 B1BDD1 ; (Ⅱ)求证: AO ∥平面 BC 1 D ; (Ⅲ)设点 M 在 ?BC1D 内(含边界),且 OM ? B1D1 ,说明满足条件的点 M 的轨迹,并 求 OM 的最小值. 2014-2015 学年度第一学期高二年级数学期中考试试卷(理科二卷) 四、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,将正确答案填在横线上) 18.已知 (ax ? 1)5 的展开式中 x 的系数是 10,则实数 a 的值是________.
3

19. 已知正三棱锥 P ? ABC 的每个侧面是顶角为 30 ,腰长为 4 的等腰三角形, E , F 分别是
?

PB, PC 上的点,则 ?AEF 的周长的最小值为
_________.



? 20. 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 若 A B ? B C? C D? D A

BD ? 1 , 则 AC 的 取 值 范 围 是

21.设点 M ( x0 ,1) ,若在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N ,使得 ?OMN ? 45? ,则 x0 的取值范 围是________. 22.设 m ? R ,过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点

P( x, y ) ,则 | PA | ? | PB | 的最大值是

.

五、解答题(本大题共 3 小题,共 30 分,写出必要的解答过程) 23.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC , AB ? AC, AC ? AA1 , E , F 分别 是棱 BC、CC1 的中点. (Ⅰ)求证: AB ⊥平面 AAC 1 1C ; (Ⅱ)若线段 AC 上的点 D 满足平面 DEF //平面 ABC1 ,试 定点 D 的位置,并说明理由; (Ⅲ)证明: EF ? AC 1 .
C E F D B C1 B1 A1



A

24.已知点 P(2, 0) 及圆 C : x ? y ? 6x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

(Ⅰ)设过 P 的直线 l1 与圆 C 交于 M 、 N 两点,当 MN ? 4 时,求以 MN 为直径的圆的方 程; (Ⅱ)设直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A , B 两点,是否存在实数 a ,使得过点 P(2, 0) 的 直线 l2 垂直平分弦 AB ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.
2 2 2 25.设圆 C1 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 3m) ? 4m ,直线 l 的方程为 y ? x ? m ? 1 .

(Ⅰ)求 C1 关于 l 对称的圆 C 2 的方程;

-3-

(Ⅱ)当 m 变化且 m ? 0 时,求证: C 2 的圆心在一条定直线上,并求 C 2 所表示的一系列圆的 公切线方程.

北师大实验中学 2014-2015 学年度第一学期高二理科数学期中试卷答题纸

班级 一卷

姓名

学号

分数_________

一.选择题:请将正确答案的序号涂在机读卡上 二.填空题(每小题 5 分,共 30 分)

9.



10.



11.



12. 三.解答题



13.



14.



15. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 内有三个定点 A(2, 为E . (Ⅰ)求圆 E 的方程; (Ⅱ)若过原点 O 的直线 l 与圆 E 相交所得弦的长为 2 ,求直线 l 的方程.

2), B(1, 3), C(1, 1) , 记 ?ABC 的外接圆

-4-

16. (本小题满分 10 分)

BC ? 3 , ?ABC ? 90 °, PA ? PB ? AB ? 2 , 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, 平面 PAB ?
平面 ABC , D , E 分别为 AB , AC 中点. (Ⅰ)求证: DE ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求证: AB ? PE ; (Ⅲ)求三棱锥 P ? BEC 的体积. A D A E A C A P A

B A

17. (本小题满分 10 分) 在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,AA1 ? 底面 ABCD , 底面 ABCD 为菱形,O 为 AC 1 1与

B1D1 交点,已知 AA1 ? AB ? 1 , ?BAD ? 60? .
(Ⅰ)求证: A1C1 ? 平面 B1BDD1 ; (Ⅱ)求证: AO ∥平面 BC 1 D ;
-5-

(Ⅲ)设点 M 在 ?BC1D 内(含边界),且 OM ? B1D1 ,说明满足条件的点 M 的轨迹,并 求 OM 的最小值. D1 A1 O B1 C1

D A B

C

二卷 四.填空题(每小题 4 分,共 20 分)

18.



19.



20.



21. 五.解答题



22.

.

23. (本小题满分 10 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC , AB ? AC, AC ? AA1 , E , F 分别 是棱 BC, CC1 的中点.

-6-

(Ⅰ)求证: AB ⊥平面 AAC 1 1C ; (Ⅱ) 若线段 AC 上的点 D 满足平面 DEF //平面 ABC1 , 点 D 的位置,并说明理由; (Ⅲ)证明: EF ? AC 1 . 试确定

C1 B1 F D E B

A1

C

A

北师大实验中学 2014-2015 学年度第一学期高二理科数学期中试卷答题纸

班级 24. (本小题满分 10 分)

姓名
2 2

学号

分数_________

已知点 P(2, 0) 及圆 C : x ? y ? 6x ? 4 y ? 4 ? 0 (Ⅰ)设过 P 的直线 l1 与圆 C 交于 M 、 N 两点,当 MN ? 4 时,求以 MN 为直径的圆的方 程; (Ⅱ)设直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A, B 两点,是否存在实数 a ,使得过点 P(2, 0) 的直 线 l2 垂直平分弦 AB ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

-7-

25. (本小题满分 10 分)
2 2 2 设圆 C1 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 3m) ? 4m ,直线 l 的方程为 y ? x ? m ? 1 .

(Ⅰ)求 C1 关于 l 对称的圆 C 2 的方程; (Ⅱ)当 m 变化且 m ? 0 时,求证: C 2 的圆心在一条定直线上,并求 C 2 所表示的一系列圆的 公切线方程.

北师大附属实验中学 2014-2015 学年度第一学期高二年级数学期中试卷参考答案 一卷 一.选择题 1-8: D B C D 二.填空题
2 2

A D C A

)=1 ; 9. x + ( y -1

10. 11 ;

11. 12? ;

-8-

12.

5 ; 2

13. ? 3 ;

14.

4 3

三.解答题 15. 解 : ( Ⅰ ) 设 ?ABC 的 外 接 圆 E 的 圆 心 D(a, b) , 半 径 为 r(r>0). 则 E 为 :

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 .
?(2 ? a)2 ? (2 ? b) 2 ? r 2 由题意,得 ?(1 ? a)2 ? (3 ? b)2 ? r 2 , ? ?(1 ? a)2 ? (1 ? b)2 ? r 2 ?

…………………3 分

?a ? 1 解得 ? ?b ? 2 , ?r ? 1 ?

所以 E: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 …………………5 分

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx 或 x ? 0 (舍). 如图,设 l 与圆 E 相交于点 M,N,过圆心 D 作直线 l 的垂线,垂足为 P, 所以 | MN |? 2 | PN |? 2 ,即 | PN |? 2 , 2 在 Rt ?DPN 中, | DN |? 1 , | PN |? 所以 | DP |? | DN |2 ? | PN |2 ? 又 因 为 圆

2 , 2

y D P M O N

l

2 , …………6 分 2

E

的 圆 心 到 直 线

l

的 距 离

| DP |?

|k? 2 | .…………………7 分 k 2 ?1
| k ?2| k ?1
2

x

所以 | DP |?

?

2, 2
…………………9 分 …………………10 分

解得 k ? 1 或 k ? 7 , 故直线 l 的方程为 y ? x 或 y ? 7 x .

16. 解: (Ⅰ)因为 D , E 分别为 AB , AC 中点, 所以 DE ∥ BC , 又 DE ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC , 所以 DE ∥平面 PBC . (Ⅱ)连结 PD , 因为 DE ∥ BC ,又 ?ABC ? 90 °, 所以 DE ? AB . 又 PA ? PB , D 为 AB 中点, P A …………………3 分

-9-

A

所以 PD ? AB . 所以 AB ? 平面 PDE , 所以 AB ? PE . …………………6 分

(Ⅲ)因为平面 PAB ? 平面 ABC , 有 PD ? AB , 所以 PD ? 平面 ABC , …………………8 分 所以 VP ? BEC ?

1 1 1 1 3 . VP ? ABC ? ? ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 2 2 3 2 2

…………10 分

17. 解:(Ⅰ)依题意, 因为四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? 底面 ABCD , 所以 BB1 ? 底面 A1B1C1D1 . 又 A1C1 ? 底面 A1B1C1D1 , 所以 BB1 ? AC 1 1. 因为 A1B1C1D1 为菱形, 所以 AC 1 1 ?B 1D 1 .而 BB 1?B 1D 1 ?B 1, 所以 A1C1 ? 平面 B1BDD1 . …………3 分 (Ⅱ)连接 AC ,交 BD 于点 E ,连接 C1E . 依题意, AA1 ∥ CC1 , 且 AA1 ? CC1 , AA1 ? AC , 所以 A 1 ACC1 为矩形. 所以 OC1 ∥ AE . A D E B A1 D1 O B1 M C C1

1 1 A1C1 , AE ? AC , AC 1 1 ? AC , 2 2 所以 OC1 = AE ,所以 AOC1E 为平行四边形, 则 AO ∥ C1E .
又 OC1 ? 又 AO ? 平面 BC1D , C1E ? 平面 BC1D , 所以 AO ∥平面 BC 1 D . …………………6 分 (Ⅲ)在 ?BC1D 内,满足 OM ? B1D1 的点 M 的轨迹是线段 C1E ,包括端点. 分析如下:连接 OE ,则 BD ? OE . 由于 BD ∥ B1D1 ,故欲使 OM ? B1D1 ,只需 OM ? BD ,从而需 ME ? BD . 又在 ?BC1D 中, C1D ? C1B ,又 E 为 BD 中点,所以 BD ? C1E . 故 M 点一定在线段 C1E 上. 当 OM ? C1E 时, OM 取最小值. 在直角三角形 OC1E 中, OE ? 1 , OC1 ? 所以 OM min ? …………………………8 分

3 7 , C1 E ? , 2 2
…………………………10 分

OC1 ? OE 21 . ? C1E 7

二卷
- 10 -

四.填空题 18. 1 ; 五.解答题 23. 解: (I)? A1 A ? 底面 ABC ,
? A1 A ? AB , ? AB ? AC , A1 A ? AC ? A ,

19. 4 2 ;

20. 0, 3

?

?

21. [?1,1]

22. 5

…………3 分 ?AB ? 面 A1 ACC1 . (II)? 面 DEF //面 ABC1 ,面 ABC ? 面 DEF ? DE ,面 ABC ? 面 ABC1 ? AB , ? AB // DE , ?在 ?ABC 中 E 是棱 BC 的中点, …………6 分 ? D 是线段 AC 的中点. (III)? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 A1 A ? AC

?侧面 A1 ACC1 是菱形,
由(1)可得 AB ? A1C , ? AB ? AC1 ? A , ? A1C ? 面 ABC1 , ? A1C ? BC1 . 又? E , F 分别为棱 BC , CC1 的中点, ?EF // BC1 ,
C1 B1 F D E B A1

C

A

? EF ? AC1 .

…………10 分

24. (Ⅰ)? 弦长 | MN |? 4, 半径r ? 3 ,而弦心距 d ? r 2 ? ( 又? | CP |? 5 ,? P 为 MN 中点 则以 MN 为直径的圆的方程为: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4

MN 2 ) ? 5 2

…………4 分

(Ⅱ)把直线 ax ? y ? 1 ? 0 即 y ? ax ? 1 .代入圆 C 的方程, 消去 y ,整理得 (a ? 1) x ? 6(a ?1) x ? 9 ? 0 .
2 2

由于直线 ax ? y ? 1 ? 0 交圆 C 于 A, B 两点,故 ? ? 36(a ?1) ? 36(a ? 1) ? 0 ,
2 2

即 ?2a ? 0 ,解得 a ? 0 .

则实数 a 的取值范围是 ( ??, 0) .…………6 分

设符合条件的实数 a 存在,由于 l2 垂直平分弦 AB ,故圆心 C (3, ? 2) 必在 l2 上.

- 11 -

所以 l2 的斜率 kPC ? ?2 ,而 k AB ? a ? ?

1 1 ,所以 a ? .…………8 分 2 kPC

由于

1 ? ( ? ?, 0 , ) 故 不 存 在 实 数 a , 使 得 过 点 P(2, 0) 的 直 线 l2 垂 直 平 分 弦 2
…………10 分

AB .

25.解: (Ⅰ)圆 C1 的圆心为 C1 (2,3m) ,设 C1 关于直线 l 对称点为 C2(a,b)

( x ? 2)2 ? ( y ? 3m)2 ? 4m2

y ? x ? m ?1

? b ? 3m ? ?1      ? ? a?2 则? ? 3m ? b ? a ? 2 ? m ? 1 ? ? 2 2
解得: ?
?a ? 2 m ? 1 ? b ? m ?1

…………2 分

∴圆 C2 的方程为 ( x ? 2m ? 1) 2 ? ( y ? m ? 1) 2 ? 4m2 (Ⅱ)由 ?
?a ? 2 m ? 1 消去 m 得 a-2b+1=0 ? b ? m ?1

…………………………4 分

即圆 C2 的圆心在定直线 x-2y+1=0 上。 设直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切,则
k (2m ? 1) ? (m ? 1) ? b 1? k 2 ? 2m

…………6 分

…………7 分

即 (?4k ? 3)m 2 ? 2(2k ? 1)(k ? b ? 1)m ? (k ? b ? 1) 2 ? 0 ∵直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切,所以上述方程对所有的 m 值都成立,所以有:
? ? 4k ? 3 ? 0       ? ? 2(2k ? 1)(k ? b ? 1) ? 0 ?(k ? b ? 1) 2 ? 0      ?

3 ? ?k ? ? 4 解之得: ? 7 ?b? 4 ?
3 4 7 或 x ? 1 …………10 分 4

所以 C 2 所表示的一系列圆的公切线方程为: y ? ? x ?

- 12 -


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