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数学-江苏省扬大附中2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题


扬大附中 2012--2013 学年度第一学期期中考试

高二期中数学试题
置上) 1.在空间直角坐标系中,点(4,-1,2)关于原点的对称点的坐标是 的概率为 为 . .

2012.11

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 .

>2. 取一根长度为 3m 的绳子, 如果拉直后在任意位置剪断, 那么, 剪得两断的长都不小于1m 3 . 直 线 l 经 过 点 P(?1, 2) , 且 与 直 线 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 平 行 , 则 直 线 l 的 方 程 4.某校高二(1)班共有 48 人,学号依次为 01,02,03,?,48,现用系统抽样的办法抽 一个容量为 4 的样本,已知学号为 06,30, 42 的同学在样本中,那么还有一个同学的 学号应为 . 开始 输入 x 5.某市教育局在中学开展 “创新素质实践行”小论文的评比.各校 交论文的时间为 10 月 1 日至 30 日, 评委会把各校交的论文的 件数按 5 天一组分组统计, 绘制了频率分布直方图 (如图) 已 . 知从左至右各长方形的高的比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,第二组 的频数为 18. 那么本次活动收到论文的篇数是 Read x While x<10 x ? x+3 M ? 2x+3 End while Print M .

y?

1 x ?1 2


x?y

| y ? x |? 1
否 输出 y

第 5 题图

第 9 题图

结束 第 11 题图

6.若数据 x1 , x2 , x3 , ?, x2011 , x2012 的方差为 3,则数据
3( x1 ? 2), 3( x2 ? 2), ?, 3( x2011 ? 2), 3( x2012 ? 2) 的标准差为

. .

7.以线段 AB: x ? y ? 2 ? 0(0 ? x ? 2) 为直径的圆的方程为

8.掷两枚硬币,若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为 P , P2 , P , 、 、 1 3 则下列判断中,正确的有 ① P ? P2 ? P 1 3 ② P ? P2 ? P 1 3 . (填序号) ③ P ? P2 ? P ? 1 1 3
1

④ P ? 2 P ? 2 P2 , 3 1

9.有一组统计数据共 10 个,它们是: 2, 4, x, 5, 5, 6, 7,8, 9,10 ,已知这组数据的 平均数为 6,根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 M 为 .

10.已知直线 l1 的方程是 ax ? y ? b ? 0 ,l2 的方程是 bx ? y ? a ? 0(ab ? 0, a ? b) , 则下列各示意图形中,正确的是 . (填序号)







④ .

11.执行如图所示流程图,若输入 x ? 4 ,则输出 y 的值为
2

12.若关于 x 的方程 4 ? x ? kx ? 3 ? 2k ? 0 有且只有两个不同的实数根,则实数 k 的取值范 围是 . 13. 某人去银行取钱,他忘记了信用卡密码的最后一位,但他确定是他出生年月(1969.12) 中出现的 4 个数字 1,2,6,9 中的某一个,便在这 4 个数中一一去试.已知当连续三 次输错时,机器会吃卡,则他被吃卡的概率是_____________. 14.已知 P( x0 , y0 ) 是圆 C : x ? ( y ? 4) ? 1 外一点,过点 P 作圆 C 的切线,切点为 A 、
2 2

B .记四边形 PACB 的面积为 f ( P) ,当 P( x0 , y0 ) 在
圆 D : ( x ? 4) ? ( y ? 1) ? 4 上运动时, f ( P) 的取值范围
2 2

为 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卷指 定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 为了让学生更多的了解“数学史”知识,某中学高二 年级举办了一次“追寻先哲的足迹,倾听数学的声音”的 数学史知识竞赛活动, 共有 800 名学生参加了这次竞赛. 为 分析本次竞赛的成绩情况, 从中抽取了部分学生的成绩 (得 分均为整数,满分为 100 分)进行统计.请你根据频率分 布表,解答下列问题:

2

(1)填充频率分布表中 的空格 (在解答中直接写出对 应空格序号的答案) ; (2)为鼓励更多的学生了解 “数学史”知识,成绩不低于 90 分的同学能获奖, 请估计在 参加的 800 名学生中大概有 多少同学获奖? (3) 在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图, 求输出 S 的值. (注: Gi , Fi 分别是第 i 组分数的组中值和频率). 16. (本小题满分 14 分) 已知直线 l 过点 M ( ?3,3) ,圆 N : x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 .
2 2

(1)若直线 l 的倾斜角为 135 ,求直线 l 的方程; (2)若直线 l 被圆 N 所截得的弦长为 8 ,求直线 l 的方程.

o

17. (本小题满分 15 分) 设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为 ( x ? 2,x ? y) . (1)在一个盒子中,放有标号为 1,2,3 的三张卡片,现随机从此盒中先后连续抽出 两张卡片,记两次抽取卡片的标号分别为 x、y,求点 P 在第一象限的概率; (2)若利用计算机随机在区间[0,3]上先后取两个数分别记为 x、y,求点 P 在第一象 限的概率.

3

18. (本小题满分 15 分) 已知点 P 在曲线 y ?

2 上, 以点 P 为圆心的圆 P 与 x 轴交于点 O, 与 y 轴交于点 O, A, x

B,其中 O 为坐标原点. (1)求证: ?AOB 的面积为定值; (2)设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 P 交于点 M,N.若 OM ? ON ,求圆 P 的方程.

19. (本小题满分 16 分)已知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 9 ,斜率等于 1 的直线 l 与圆 C 交于
2 2

A, B 两点.
(1)求弦 AB 为圆 C 直径时直线 l 的方程; (2)试问原点 O 能否成为弦 AB 的中点?说明理由; (3)若坐标原点 O 在以 AB 为直径的圆内,求直线 l 在 y 轴上的截距范围 .

20. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知直线 l : x ? 6 y ? 1 ? 0 , 圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 8 x ? 2 y ? 13 ? 0 , 8 圆 C2 : x ? y ? 8tx ? 8 y ? 16t ? 12 ? 0 .
2 2

(1)当 t ? ?1 时,试判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系,并说明理由; (2)若圆 C1 与圆 C2 关于直线 l 对称,求 t 的值; (3)在(2)的条件下,若 P(a, b) 为平面上的点,是否存在过点 P 的无穷多对互相垂 直的直线 l1 和 l 2 ,它们分别与圆 C1 和 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直 线 l 2 被圆 C2 截得的弦长相等,若存在,求点 P 的坐标,若不存在,请说明理由.

4

扬大附中 2012--2013 学年度第一学期期中考试

高二数学期中试卷参考答案
1. (-4, 1,-2) 5.120 2.

1 3

3. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 7. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2

4.18 8.②③④

6. 3 3

9.23 10.④ 11. ?

5 4

? 5 3? 12. ? , ? ? 12 4 ?

13.

1 4

14. [2 2, 4 3]

15.解: (1)① 6 , ②0.40, ③ 12 ,④ 0.24 . (2) 800 ? 0.24 ? 192 即在参加的 800 名学生中大概有 192 名同学获奖. (3)由流程图 S ? G 1 F1 ? G 2 F2 ? G 3 F3 ? G 4 F4

? 65 ? 0.12 ? 75 ? 0.4 ? 85 ? 0.24 ? 95 ? 0.24 ? 81 即输出 S 的值为 81.
16. (1)直线 l 的倾斜角为 135 ,则斜率为-1 由点斜式得直线 l 的方程 y ? 3 ? ?1( x ? 3) ,即 x ? y ? 0 . (2)设直线 l 与圆 N 交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点(如右图) 作 ND ? AB 交直线 l 于点D,显然D为 AB 的中点.且有
15 10 6

o

y

l M A
5

4

2

D
5

x

10

15

BD ?

AB 2

?4

N
x ? ?3

2

B

4

6

(1)若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 将 x ? ?3 代入 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 ,得
2 2

8

y 2 ? 4 y ? 12 ? 0
解得 y ? ?6或2 , 因此 AB ? 2 ? ? ?6 ? =8 符合题意

(2)若直线 l 的斜率存在,不妨设直线 l 的方程为
5

y ? 3 ? k ( x ? 3)

即: kx ? y ? 3k+3 ? 0 由 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 ,得
2 2

N (0, ?2) , r ? 5

因此 ND ?

r 2 ? BD ? 25 ? 16 ? 3
2

又因为点N到直线 l 的距离 ND ?

?(?2) ? 3k ? 3 1? k 2



?(?2) ? 3k ? 3 1? k 2

=3

,得 k ? ?

8 15

此时直线 l 的方程为 8 x ? 15 y ? 21 ? 0

综上可知,直线 l 的方程为

8x ? 15 y ? 21 ? 0 或 x ? ?3

17.解: (1)记抽到的卡片标号为(x,y) ,所有的情况分别为:
(x,y) (1,2) (1,3) (-1,-2) (2,1) (0,1) (2,3) (0,-1) (3,1) (1,2) (3,2) (1,1) P(x-2,x-y) (-1,-1)

共 6 种 .记事件 A 为“点 P 在第一象限” ,则由表格可知 满足事件 A 的(x,y)有(3,1)(3,2)两种情况, ,

? P( A) ?

2 1 ? 6 3
?0 ? x ? 3 , 则其所表示的区域面积为 3 ? 3 ? 9 ?0 ? y ? 3

(2)记事件 B 为“点 P 在第一象限”若 ?

?0 ? x ? 3 ?0 ? y ? 3 ? 由题意可得事件 B 满足 ? , ?x ? 2 ? 0 ?x ? y ? 0 ?
即如图所示的阴影部分, 其区域面积为 1? 3 ?

1 5 ? 1? 1 ? 2 2

5 5 ? P( B) ? 2 ? 9 18
18.解: (1)设圆心 P(t , ), (t ? R, t ? 0) ,由题意圆 P 过原点 O , OP ? t ?
2 2

2 t

4 t2

可设圆 P : ( x ? t ) ? ( y ? ) ? t ?
2 2 2

2 t

4 t2

令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y2 ?

4 ; 令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2t t
6

S?AOB ?

1 1 4 ? OA ? OB ? ? | 2t | ? | |? 4 , ?AOB 的面积为定值. 2 2 t

(本题也可几何法解决) (2)方法一:由题意 PM ? PN ,又 OM ? ON ,所以 OP 垂直平分线段 MN .

? kMN ? ?2,? kOP

2 1 1 ? ,即 t ? ,解得 t ? 2 或 t ? ?2 . 2 t 2
5 ,圆心 P 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ?

当 t ? 2 时, P(2,1), OP ? 合题意.

1 5

? 5 ,符

当 t ? ?2 时, P(?2, ?1), OP ? 直线与圆相离,不合题意,舍去.

圆心 P 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 5,

9 5

? 5,

故圆 P 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 .
2 2

2 2 2 4 ? 2 ?( x ? t ) ? ( y ? ) ? t ? 2 (2)方法二:由 ? t t 消去 y 得 ? y ? ?2 x ? 4 ?

8 16 5 x 2 ? (16 ? 2t ? ) x ? 16 ? ? 0 t t



设 M , N 的坐标分别为 ( x1 , y1 )( x2 , y2 ) ,则

5 x ? x2 y ? y2 设线段 MN 的中点为 Q( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 1 , y0 ? 1 2 2 1 又 ?OM ? ON ?O Q? M N kMN ? ?2 ? kOQ ? 2 1 1 即 y0 ? x0 ? y1 ? y 2 ? ( x 1 x )2 ② ? 2 2 16 ? y1 ? ?2 x1 ? 4 y2 ? ?2 x2 ? 4 代入②得 x1 ? x2 ? 5 8 16 ? 2t ? t ? 16 解得 t ? 2 , t ? ?2 ? 2 1 5 5 当 t ? 2 时,方程①有两个不相等的实数根,符合题意 当 t ? ?2 时,方程①没有实数根,?t ? ?2 不符合题意舍去

x1 , x2 是方程①的两个根,有 x1 ? x2 ?

16 ? 2t ?

8 t

?所求圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5

7

19. (1)由题可知: l 过点 C (1, ?2)

直线 l 的方程为 y ? 2 ? 1? x ? 1) ,即 x ? y ? 3 ? 0 . (

(2)原点 O 不可能成为弦 AB 的中点: 若原点 O 是弦 AB 的中点,则 OC 垂直平分弦

AB , kOC ? ?1 与 kOC ? ?2 矛盾.
( 3 ) 方 法 一 : 可 设 直 线 l : y ? x ? b , 过 点 C (1, 2 ) 与 l 垂 直 的 直 线 的 方 程 为 ?

y ? 2 ? ?1? x ? 1) ,即 x ? y ? 1 ? 0 . (

b ?1 ? ?x ? ? 2 ?y ? x ? b b ?1 b ?1 ? 由? 得? 即以 AB 为直径的圆的圆心坐标为 D (? , ) 2 2 ?x ? y ? 1 ? 0 ? y ? b ?1 ? ? 2
圆心 C 到直线 l 距离 d ?

|1? 2 ? b | 2

?

| b ?3| 2

, DA ? CA ? d ? 9 ?
2 2 2

(b ? 3) 2 2

以 AB 为直径的圆 D : ( x ?

b ?1 2 b ?1 2 (b ? 3) 2 , ) ? (y ? ) ?9? 2 2 2 b ?1 2 b ?1 2 (b ? 3) 2 ,解得 ?4 ? b ? 1 ) ?( ) ?9? 2 2 2

原点 O 在以 AB 为直径的圆 D 内,即 (

即所求直线 l 在 y 轴上的截距范围为 (?4,1) . (3)方法二:设直线 l 在 y 轴上截距为 b ,则 l : y ? x ? b 可设以 AB 为直径的圆的方程为

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? ? ( x ? y ? b) ? 0
即 x ? y ? (? ? 2) x ? (4 ? ? ) y ? ?b ? 4 ? 0
2 2

2 2 2 ?? ? b ? 3 ?以 AB 为直径的圆的方程为

圆心 (1 ?

? ?
,

? 2) 在 l 上由

?

? 2 ? 1?

?
2

?b

x 2 ? y 2 ? (b ? 1) x ? (1 ? b) y ? b2 ? 3b ? 4 ? 0
又原点 O 在圆内,则 b ? 3b ? 4 ? 0
2

??4 ? b ? 1

?直线 l 在 y 轴上的截距范围为 (?4,1)

8

20.解: (1) t ? ?1 时 圆 C1 的圆心 C1 (?4,1) 圆 C2 的圆心 C2 (4, 4) 圆心距 | C1C2 |? 半径 r1 ? 2 半径 r2 ? 6

(4 ? 1) 2 ? (4 ? 4) 2 ? 73 ? r1 ? r2 ? 8

?两圆相离
(2)圆 C2 圆心 C2 (?4t , 4)
2 半径 r2 ? 16t ? 16t ? 4

?? C1 与 ? C2 关于直线 l 对称,又直线 l 的斜率 kl ? ?

4 3

3 ? 4 ?1 ? ?4t ? 4 ? 4 ? 4 ?1 ? ?4t ? 4 ? 6? ?1 ? 0 由 ?8 ? 2 2 ? ?16t 2 ? 16t ? 4 ? 4 ? ?

得 t ? 0 , 即 t 的值为 0

(3)假设存在 P(a, b) 满足条件: 不妨设 l1 的方程为 y ? b ? k ( x ? a)(k ? 0) 则 l 2 的方程为 y ? b ? ?
2

1 ( x ? a) k
2

因为圆 C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 1) ? 4 和圆 C2 : x ? ( y ? 4) ? 4 的半径相等,又直线 l1 被圆 C1
2 2

截得的弦长与直线 l 2 被圆 C2 截得的弦长相等, 所以圆 C1 的圆心到直线 l1 距离, 和圆 C2 的圆

心到直线 l 2 的距离相等:即

| ?4k ? 1 ? b ? ka | k 2 ?1

?

| 4?b?

a | k 1 1? 2 k

整理得 | (a ? 4)k ? b ? 1|?| (b ? 4)k ? a | 即 (a ? 4)k ? b ? 1 ? (b ? 4)k ? a 或 (a ? 4)k ? b ? 1 ? (4 ? b)k ? a 即 (a ? b ? 8)k ? a ? b ? 1 ? 0 或 (a ? b)k ? a ? b ? 1 ? 0 因为 k 取值无穷多个

7 ? 1 ? ?a ? ? 2 ?a ? ? 2 ?a ? b ? 8 ? 0 ?a ? b ? 0 ? ? 所以 ? 或? 解得 ? 或? ? ? a ? b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0 ?b ? 9 ?b ? 1 ? ? ? 2 ? 2
9

7 9 1 1 ?这样的点 P 可能是 P (? , ) , P2 (? , ) 1 2 2 2 2
经检验 P , P2 符合题意 1

7 9 1 1 ?所求点 P 的坐标为 (? , ) 和 (? , ) 2 2 2 2

10


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