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1.2.3 空间几何体的直观图课


图片都是空间图形在平面上的反映,通过对图片的研究可 图片都是空间图形在平面上的反映, 以了解空间图形的一些性质和特征. 以了解空间图形的一些性质和特征. 三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法, 三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法,但三 视图的直观性较差,因此有必要绘制空间图形的直观图. 视图的直观性较差,因此有必要绘制空间图形的直观图.一般 采用中心投影或平行

投影. 采用中心投影或平行投影.

在中心投影中,水平线 或垂直线 仍保持水平(或垂直 或垂直线)仍保持水平 或垂直), 在中心投影中,水平线(或垂直线 仍保持水平 或垂直 ,但 斜的平行线则会相交,交点称为消点. 斜的平行线则会相交,交点称为消点.

中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象, 中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象,但作图较复 又不易度量. 杂,又不易度量. 立体几何中常用平行投影(斜投影 来画空间图形的直观图 立体几何中常用平行投影 斜投影)来画空间图形的直观图, 斜投影 来画空间图形的直观图, 这种画法叫斜二测画法 斜二测画法. 这种画法叫斜二测画法. 投影规律 1.平行性不变,但形状、长度、 1.平行性不变,但形状、长度、 平行性不变 夹角会改变; 夹角会改变; 2.平行直线段或同一直线上的 2.平行直线段或同一直线上的 两条线段的比不变; 两条线段的比不变; 3.在太阳光下,平行于地面的 3.在太阳光下, 在太阳光下 直线在地面上的投影长不变. 直线在地面上的投影长不变.

例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图 (1)在六边形 在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为 轴,对称轴 所在的直线为X轴 对称轴MN 在六边形 中 所在的直线为 所在直线为Y轴 两轴交于点O. 所在直线为 轴,两轴交于点 .画对应的 X' ,Y ' 轴,两轴相交 于点 O' ,使 ∠X 'OY ' = 45o
y
F A M E D x

y'

O

O

x'

B

N C

注意: 建系时要尽量考虑图形的对称性 注意:(1)建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置. 画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置 画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置.

1 (2)以O为中心,在 x 上取 A D = AD ,在 y 轴上取 M N = 2 MN 以 为中心, ' '为中心,画 B'C' 为中心, x' 轴,并等于 BC ,再以 M为中心,画 以点 N 为中心,
' '
' '
' '

E'F'

x' 轴,并等于 EF y
F A M E
D x

y′
A′
B′

O

F ′ M ′ E′
N′

O′

D′

C′

x′

B

N C

注意:平行x 的线段长不变,平行y 注意:平行x轴的线段长不变,平行y轴放置的线段长变为 原来的一半. 原来的一半.

(3)连接 A'B' , C' D' , E'F' , F' A' , 并擦去辅助线 ’轴和 ’轴,便获得 连接 并擦去辅助线x 轴和y 正六边形ABCDEF水平放置的直观图 A' B'C' D' E'F' 正六边形 水平放置的直观图
y
F A M E D x

y′
A′
B′

O

F ′ M ′ E′
N′

O′

D′

C′

x′

B

N C

~请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤 请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~ 请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤

小结:“横同,竖半 ,平行性不变”

斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的 轴和 轴,两轴相交于 点. 在已知图形中取互相垂直的x轴和 在已知图形中取互相垂直的 轴和y轴 两轴相交于O点 画直观图时,把它画成对应的x 两轴交于O 画直观图时,把它画成对应的 ’轴、y’轴,两轴交于 ’,使 它们确定的平面表示水平平面. ∠x'Oy' = 45o (或135o ) ,它们确定的平面表示水平平面. (2)已知图形中平行于x轴或 轴的线段, (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画 已知图形中平行于 轴或y轴的线段 成平行于x’轴或 轴的线段. 轴或y’轴的线段 成平行于 轴或 轴的线段. (3)已知图形中平行于 轴的线段,在直观图中保持原长度不 已知图形中平行于x轴的线段, 已知图形中平行于 轴的线段 平行于y轴的线段 长度为原来的一半. 轴的线段, 变;平行于 轴的线段,长度为原来的一半.

关于水平放置的 的直观图的画法 的画法, 关于水平放置的圆的直观图的画法,常用正等测画 在实际画水平放置的圆的直观图时,通常使用椭圆模版. 法.在实际画水平放置的圆的直观图时,通常使用椭圆模版.

问题引入
怎样确切的表示室内灯泡的位置? 3.怎样确切的表示室内灯泡的位置?

问题引入
空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢 用代数的方法又怎样表示呢? 4.空间中的点 用代数的方法又怎样表示呢? 当建立空间直角坐标系后,空间中的点 , 当建立空间直角坐标系后,空间中的点M,可以 用有序实数( , , )表示. 用有序实数(x,y,z)表示. z
z M x,y,z) ( , ,)

O
x

y

y

x

空间直角坐标系
OABC ? D A B C 是单位正方体.以O为原点,分 如图, 是单位正方体. 为原点, 如图, 为原点 别以射线OA,OC, OD ' 的方向为正方向,以线段 的方向为正方向,以线段OA,OC,OD ' 别以射线
' ' ' '

的长为单位长,建立三条数轴: 轴 的长为单位长,建立三条数轴:x轴、y 轴、z 轴.这时我们 说建立了一个空间直角坐标系 其中点O 说建立了一个空间直角坐标系O ? xyz ,其中点 叫做坐标 原点, 轴 轴叫做坐标轴. 原点, x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平 面叫做坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz平面、zOx平面. 平面、 平面、 平面. 面叫做坐标平面,分别称为 平面 平面

z
D'

C'

A'

B'

O
A B

C

y

x

空间直角坐标系
右手直角坐标系:在空间直角坐标系中, 右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手 轴的正方向, 轴的正方向, 拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如 果中指指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直 轴的正方向, 角坐标系. 角坐标系.

空间直角坐标系
设点M是空间的一个定点,过点 分别作垂直 设点 是空间的一个定点,过点M分别作垂直 是空间的一个定点 轴和z 轴的平面,依次交x 轴和z 于x 轴、y 轴和 轴的平面,依次交 轴、y 轴和 轴 于点P、 和 . 于点 、Q和R. 设点P、 和 在 轴和z 设点 、Q和R在x 轴、y 轴和 轴上的坐标分别 是x,y和z,那么点 就对应唯一确定的有序实数组 , 和 ,那么点M就对应唯一确定的有序实数组 (x,y,z). , , ). z
R M

P

O
M’

Q

y

x

空间直角坐标系
反过来,给定有序实数组( , , ) 反过来,给定有序实数组(x,y,z),我们可以 轴和z 轴上依次取坐标为x, 和 的点 的点P、 在x 轴、y 轴和 轴上依次取坐标为 ,y和z的点 、Q 各作一个平面, 和R,分别过 、Q和R各作一个平面,分别垂直于 轴、 ,分别过P、 和 各作一个平面 分别垂直于x y 轴和 轴,这三个平面的唯一交点就是有序实数组 轴和z (x,y,z)确定的点 . , , )确定的点M. z
R M

P

O
M’

Q

y

x

空间直角坐标系
这样空间一点M的坐标可以用有序实数组( , , 这样空间一点 的坐标可以用有序实数组(x,y, 的坐标可以用有序实数组 实数组( , , )叫做点M z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点 在此空 )来表示,有序实数组 间直角坐标系中的坐标,记作M( , , ).其中x ).其中 间直角坐标系中的坐标,记作 (x,y,z).其中 叫做点M的 坐标, 叫做点 叫做点M的 叫做点M的 坐标, 叫做点 叫做点 的横坐标,y叫做点 的纵坐标,z叫做点 的 竖坐标. 竖坐标. z
R M

P

O
M’

Q

y

x

知识小结

空间直角坐标系

点在空间直角坐标系中的坐标

例2.用斜二测画法画长 宽,高分别是 . 斜二测画法画长,宽 高分别是4cm,3cm,2cm的长方 的长方 画长 高分别是 体的直观图

联想水平放置的平 面图形的画法, 面图形的画法,并注意 到高的处理

( 1) 画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使∠xOy=45o , ∠xOz = 90o.
(2)画 底 面 . 以 O 为 中 心 , 在 x 轴 上 取 线 段 M N , 使 M N = 4 c m ; 在 轴 上 取 线 段 P Q , 使 P Q =1.5 c m ; 分 别 过 点 M 和 N 作 y 轴 的 平 行 线 ,过 点 P和 Q 作 x轴 的 平 行 线 ,设 它 们 的 交 点 分 别 为 A,B, C,D,四 边 形 ABCD就 是 长 方 形 的 底 面 ABCD

Z

Z

y
D
O

y
Q
O

x

M

C

N

A

x

P

B

(3) 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
cm长 上分别截取2cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.

(4) 成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡住的部分
, 改为虚线) 就可得到长方体的直观图.

D′

Z
B′
O

C′
Q

A′

y
A′

D′

C′
B′
C

D
P

C

M

N

x
A

D

A

B

B

例3.已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图 已知几何体的三视图,

Z ·
O′

y′

·′ O · O
正视图

·′ O · O
侧视图

y

x′

O

x
·
俯视图

直观强、 中心投影 投影线交于一点 直观强、接近实物 投影 平行投影 投影线平行 斜投影 不改变原 正投影 物形状

正视图 侧视图 俯视图

}

三视图

视图 可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象

直观图 长对正、高平齐、 长对正、高平齐、宽相等 根据三视图, 根据三视图,我们可以得 到一个精确的空间几何体

斜二测画法


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