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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修4双基限时练16


双基限时练(十六)
1.给出下列四个结论 → → → ①AB-AC=BC; ②0(a)=0; ③0(0)=0; ④若两个非零向量 a,b 满足 a=kb(k≠0),则 a,b 方向相同. 其中正确结论的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

→ → → 解析 ①AB-AC=CB,∴①错.②0(a)=0,∴②错. ③0(0)=0 正确.④a 与

b 共线,方向可能相同,也可能相反,∴ ④错.因此正确的只有③,应选 B. 答案 B )

2.下列叙述不正确的是(

A.若 a,b 共线,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb. B. b=3a(a 为非零向量),则 a,b 共线 3 C.若 m=3a+4b,n=2a+2b,则 m∥n D.若 a+b+c=0,则 a+b=-c 解析 判断 a 与 b 共线的方法是:存在实数 λ,使 a=λb.在 A 中, 若 b=0 时不成立.B 正确.在 C 中,m=2n,∴m∥n,∴C 正确.D 也正确,所以应选 A. 答案 A

→ → → 3.已知向量 a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,

则一定共线的三点是( A.A,B,D C.B,C,D

) B.A,B,C D.A,C,D

→ → → → 解析 ∵BD=BC+CD=2a+4b=2AB,且有一个公共点 B,∴A, B,D 三点共线. 答案 A

→ 4.若 AD 与 BE 分别为△ABC 的边 BC,AC 上的中线,且AD=a, → → BE=b,则BC为( 4 2 A.3a+3b 2 2 C.3a-3b ) 2 4 B.3a+3b 2 2 D.-3a+3b

→ 2→ → 1 解析 如右图所示,设 AD 与 BE 相交于 O,则AO=3AD,OD=3 → → 2→ → 1→ AD,BO=3BE,OE=3BE. → → → → ∴BC=2BD=2(BO+OD)
? → ? 2 1 → ?=4b+2a,应选 B. =2? ?3BE+3AD? 3 3 ? ?

答案

B

5.已知 O 是直线 AB 外一点,C,D 是线段 AB 的三等分点,且 → → → AC=CD=DB.如果OA=3e1,OB=3e2,那么OD等于( A.e1+2e2 2 1 C.3e1+3e2 B. 2e1+e2 1 2 D.3e1+3e2 )

→ → → → 2→ 解析 如图所示,OD=OA+AD=OA+3AB → 2 → → 1→ 2→ =OA+3(OB-OA)=3OA+3OB=e1+2e2,应选 A.

答案

A

→ → → 6.已知 P 是△ABC 所在平面内的一点,若CB=λPA+PB,λ∈R, 则点 P 一定在( )

A.△ABC 的内部 B.AC 边所在的直线上 C.AB 边所在的直线上 D.BC 边所在的直线上 → → → → → 解析 易得CB-PB=λPA,即CP=λPA, → → 从而CP∥PA. → → 又CP,PA有一个公共点 P,

所以 C,P,A 三点共线.又 λ∈R, 所以点 P 在直线 AC 上. 答案 B

7.已知|a|=4,b 与 a 的方向相反,且|b|=2,a=mb,则实数 m =________. 答案 -2

2 8. 若 a, b 为已知向量, 且3(4a-3c)+3(5c-4b)=0, 则 c=________. 2 解析 3(4a-3c)+3(5c-4b)=0, 8 3a-2c+15c-12b=0, 8 ∴13c=12b-3a, 12 8 ∴c=13b-39a. 12 8 答案 13b-39a 9.有下面四个命题: ①对于实数 m 和向量 a,b,恒有 m(a-b)=ma-mb; ②对于实数 m,n 和向量 a,恒有(m-n)a=ma-na; ③对于实数 m 和向量 a,b,若 ma=mb,则 a=b; ④对于实数 m,n 和非零向量 a,若 ma=na,则 m=n. 其中真命题有________. 解析 由实数与向量积的运算知,①、②、④正确. 答案 ①②④

→ → → 1→ 10. 在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若AD=2DB, CD=3CA

→ +λCB,则 λ 等于__________. 解析 → → 由AD=2DB,

→ → → → 得CD-CA=2(CB-CD) → 1→ 2→ ?CD=3CA+3CB, 2 所以 λ=3. 2 答案 3 11.计算: (1)8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c);
? 1?1 (2)3?2?2a+8b?-?4a-2b??; ? ?

(3)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b). 解 (1)原式=16a-8b+8c-6a+12b-6c-4a-2c

=(16-6-4)a+(-8+12)b+(8-6-2)c =6a+4b. 1 (2)原式=3[(a+4b)-(4a-2b)] 1 =3(-3a+6b) =2b-a. (3)原式=(m+n)a-(m+n)b-(m+n)a-(m+n)b =-2(m+n)b. 12.如图所示,已知在梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=3CD,

→ → → 若AB=a,AD=b,试用 a,b 表示向量AC.

解 因为 AB∥CD,且 AB=3CD, → → → 1→ 1 所以AB=3DC,DC=3AB=3a, → → → 1 所以AC=AD+DC=b+3a. → → → → 13.已知:AD=3AB,AE=3AC,且 B,C,D,E 不共线. 求证:BC∥DE. → → → → 证明 ∵AD=3AB,AE=3AC, → → → → → ∴DE=AE-AD=3AC-3AB → → → =3(AC-AB)=3BC. → → ∴BC与DE共线. 又∵B,C,D,E 不共线. ∴BC∥DE.


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