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2014届高三理科数学小综合专题练习(不等式)


2014 届高三理科数学小综合专题练习——不等式
一、选择题 1.如果-1<a<b<0,则有 1 1 A. < <b2<a2 b a 1 1 C. < <b2<a2 a b 1 1 B. < <a2<b2 b a 1 1 D. < <a2<b2 a b

1 2

.若 p=a+ (a>2),q=2-a2+4a-2,则 a-2 A.p>q C.p≥q B.p<q D.p≤q

3.在 R 上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2)<0 的实数 x 的取值范围为 A.(0,2) C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
2

B.(-2,1) D.(-1,2)

4.已知二次函数 f(x)=ax -(a+2)x+1(a∈Z), 且函数 f(x)在(-2, -1)上恰有一个零点, 则不等式 f(x)>1 的解集为 A.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-1,0) B.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(0,1)

?x-3y+4≥0 ? 5.已知约束条件?x+2y-1≥0 ?3x+y-8≤0 ?
大值,则 a 的取值范围为 1 A.0<a< 3 1 C.a> 3 二、填空题

,若目标函数 z=x+ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最

1 B.a≥ 3 1 D.0<a< 2

1 1 6.下列四个不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a,其中能使 < 成立的充分 a b 条件有______. 7.点 P(a,4)在不等式 3x+y-3>0 表示的平面区域内且到直线 x-2y+2=0 的距离等于 5, 则点 P 的坐标为________. 3 8.已知 0<x< ,则函数 y=5x(3-4x)的最大值为________. 4 9.给出下列四个命题: ① x2+2
2

4 的最小值为 2; ②2-3x- 的最大值为 2-4 3; ③logx10 x x +1

+lg x 的最小值为 2;④sin2x+

4 的最小值为 4,其中正确命题的序号是________. sin2x 2 ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为 x-a

10.已知关于 x 的不等式 2x+ ________. 三、解答题

11.已知函数 f(x)=ax2+x-a,a∈R. . 17 (1)若函数 f(x)有最大值 ,求实数 a 的值; 8 (2)解不等式 f(x)>1(a≥0).

12.设函数 f(x)=mx2-mx-6+m. (1)若对于 m∈[-2,2],f(x)<0 恒成立,求实数 x 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

13.(1)求函数 y=x(a-2x)(x>0,a 为大于 2x 的常数)的最大值; ?x+5??x+2? (2)设 x>-1,求函数 y= 的最值. x+1

?x-y+2≥0, ? 14、已知?x+y-4≥0, ?2x-y-5≤0, ?
求(1)z=x+2y-4 的最大值; (2)z=x2+y2-10y+25 的最小值; (3)z= y+1 的范围. x+1

15.西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费,对生产的羊皮手套进行促销.在 1 1 年内,据测算年销售量 S(万双)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 S=3- (x>0).已知羊皮 x 手套的固定投入为 3 万元,每生产 1 万双羊皮手套仍需再投入 16 万元.(年销售收入=年生 产成本的 150%+年广告费的 50%) (1)试将羊皮手套的年利润 L(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数; (2)当年广告费投入为多少万元时,此公司的年利润最大,最大利润为多少?(年利润= 年销售收入-年广告费)

16.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐, 已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化 合物, 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C; 6 一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外, 该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单 位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的 费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别 预订多少个单位的午餐和晚餐?

2014 届高三理科数学小综合专题练习——不等式 参考答案
一、选择题 1-5 AA B C C

二、填空题 6. ①②④ 7.(1,4)或(11,4) 8. 三、解答题 11、解析:(1)a≥0 时不合题意, 1+4a 1 f(x)=a(x+ )2- , 2a 4a 1+4a2 17 当 a<0 时,f(x)有最大值,且- = , 4a 8 1 解得 a=-2 或 a=- . 8 (2)f(x)>1,即 ax2+x-a>1, (x-1)(ax+a+1)>0, ①当 a=0 时,解集为{x|x>1}; 1 1 ②当 a>0 时,(x-1)(x+1+ )>0,解集为{x|x>1 或 x<-1- }. a a
2

45 16

9. (1) 10.

3 2

12.解析:(1)f(x)=m(x2-x+1)-6, 1 3 令 g(m)=m(x2-x+1)-6, 则由 x2-x+1=(x- )2+ >0 知函数 g(m)在 m∈[-2,2]上为增函 2 4 数, 又因为 f(x)<0 恒成立,则 g(2)<0, 即 2(x2-x+1)-6<0, 解得-1<x<2. 所以实数 x 的取值范围为(-1,2). (2)当 m=0 时,f(x)=-6<0,对 x∈[1,3]恒成立, ∴m=0 适合题意. 当 m>0 时,函数 f(x)的图象开口向上,且对称轴为 1 x= ,则由 f(x)<0 可知, 2

只需 f(3)<0,即 9m-3m-6+m <0, 6 解得 0<m< . 7 当 m<0 时,对于 x∈[1,3],f(x)<0 恒成立. 6 综上可知,所求实数 m 的取值范围为(-∞, ). 7

13.解析:(1)∵x>0,a>2x, 1 1 2x+?a-2x? 2 a2 ∴y=x(a-2x)= × 2x(a-2x)≤ × [ ]= . 2 2 2 8 a a2 当且仅当 x= 时取等号,故函数的最大值为 . 4 8 (2)∵x>-1,∴x+1>0. 设 x+1=z>0,则 x=z-1. ∴y= ?z+4??z+1? z2+5z+4 = z z

4 =z+ +5 z ≥2 4 z·+5=9 z

当且仅当 z=2 即 x=1 时上式取等号. ∴x=1 时,函数 y 有最小值 9,无最大值.

14.解析:作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标 A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).

(1)易知可行域内各点均在直线 x+2y-4=0 的上方,故 x+2y-4>0, 将 C(7,9)代入得 z 最大值为 21.

(2)z=x2+(y-5)2 表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方,过 M 作直线 AC |0-5+2| 2 9 的垂线,易知垂足 N 在线段 AC 上,故 z 的最小值是|MN|2=( )= . 2 2 y+1 (3)z= 表示可行域内任一点(x,y)与定点 Q(-1,-1)连线的斜率的变化范围.因为 kQA x+1 1 1 =2,kQB= ,故 z 的范围是[ ,2]. 2 2

15.解析:(1)由题意知,羊皮手套的年成本为(16S+3)万元,年销售收入为(16S+3)× 150%+ 1 x· 50%,年利润 L=(16S+3)× 150%+x· 50%-(16S+3)-x,即 L= (16S+3-x),得 L= 2 -x2+51x-16 (x>0). 2x (2)由 L= -x2+51x-16 51 x 8 51 = -( + )≤ -2 2x 2 2 x 2 x8 x 8 ·=21.5.当且仅当 = ,即 x=4 时,L 有 2x 2 x

最大值 21.5,因此,当年广告费投入为 4 万元时,此公司的年利润最大,最大利润为 21.5 万元.

16.解析:解法一 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的 费用为 z 元,则依题意得:z=2.5x+4y,且 x,y 满足

?x≥0,y≥0, ?12x+8y≥64, ?6x+6y≥42, ?6x+10y≥54 ?

?x≥0,y≥0, ?3x+2y≥16, 即? x+y≥7, ?3x+5y≥27. ?

z 在可行域的四个顶点 A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分别是 zA=2.5× 9+4× 0=22.5, zB=2.5× 4+4× 3=22, zC=2.5× 2+4× 5=25, zD=2.5× 0+4× 8=32. 比较之,zB 最小,因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足

要求. 解法二 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,则依题意得:z=2.5x+4y,且 x,y 满足

?x≥0,y≥0, ?12x+8y≥64, ?6x+6y≥42, ?6x+10y≥54 ?
得最小值.

?x≥0,y≥0, ?3x+2y≥16, 即? x+y≥7, ?3x+5y≥27. ?

让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移,由此可知 z=2.5x+4y 在 B(4,3)处取

因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求.


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