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赛题分析与启示


数学建模赛题分析与启示

李 培 峦 河南科技大学数学与统计学院 2016.7

一、赛题回顾

全国大学生数学建模竞赛(CUMCM)始于1992
年,每年举办一次,至今已经24年。赛题由全国组 委会征集、命题。1992年—1998年题目主要针对普 通高校本科生参加(允许专科生参加),每年竞赛提 供A,B两套

题供选其一。1999年起组委会决定,竞赛

分为本科组(甲组)、专科组(乙组),即自1999
年以来,每年竞赛提供本科组A,B两套题,专科组 C,D两套题同时进行。

?

全国分赛区2000年26个(香港2000年参加),2012年已

有30个。增加了海南(2002年)、宁夏(2002年)、港
澳(澳门2009年)赛区;青海(1995年)、内蒙(1994 年)、西藏(2009年)台湾尚未成立赛区。 澳大利亚、新加坡于2009年首次组队参赛。美国

?

2011年组队参赛。这为此赛事走向国际竞赛奠定了
基础。

? 二十四年来全国竞赛组委会使用赛题82套。 ? 本科组赛题48套;
?

专科组赛题34套,其中有1999、2001、2005年赛题的
B,D是一套题,2002、2003年赛题的A,C是一套题,仅 是对本专科要求有所区分。这样,专科组赛题也可以 说29套。

二、赛题分析
?

全国竞赛题目命题主要体现在:

实用性、 开放性、
?

基础性、

区分性.

全国组委会面向全国各地各行各业征集年度赛题。
发挥广大科技人员和对建模活动支持者的积极作用。

?

全国组委会专家组自2010年来每年至少召开一次命 题研讨会,与赛题素材提供者一起研讨、加工赛题。

拓宽了命题思路,提高了命题效率。

1.题目的来源背景、意义分析
?

24年来,全国竞赛以本科组题目为例,其题目大致可 分为八类: 国际大事 社会热点

国际关注
国家项目

社会服务
工业问题

国内大事

行业问题

以1998年---2015年的统计数据
?

国际大事:2个.

2000年A题
2003年A题
?

DNA序列分类
SARS的传播

国际关注:2个.

2006年B题:艾滋病疗法的评价及疗效的预测
2010年B题:2010年上海世博会影响力的定量评估

?

国家项目:1个.
2000年B题 钢管订购与运输

?

国内大事:4个. 1998年B题:灾情巡视路线 2004年A题:奥运会临时超市网点设计 2007年B题:乘公交,看奥运 2014年A题:嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

?

社会热点:6个.
1998年A题:投资的收益与风险

2002年B题:彩票中的数学
2005年A题:长江水质的评价和预测 2007年A题:中国人口增长预测 2008年B题:高等教育学费标准探讨 2011年A题:城市表层土壤重金属污染分析

?

社会服务:4个.

2001年B题:公交车调度社会服务
2009年B题:眼科病床的合理安排

2011年B题:交巡警服务平台的设臵与调度
2013年A题:道被占用对城市道路通行能力的影响
?

工业问题:10个.
1999年A题:自动化车床管理 1999年B题:钻井布局 2002年A题:车灯线光源的优化设计

?

工业问题:10个. 2003年B题:露天矿生产的车辆安排 2004年B题:电力市场的输电阻塞管理 2009年A题:制动器试验台的控制方法分析 2010年A题:储油罐的变位识别与罐容表标定 2012年B题:太阳能小屋的设计

2014年B题:创意平板折叠桌
2015年A题: 太阳影子定位

?

行业问题:7个.
2001年A题:血管的三维重组

2005年B题:DVD在线租赁
2006年A题:出版社的资源配臵

2008年A题:数码相机定位
2012年A题:葡萄酒的评价

2013年B题:碎纸片的拼接复原
2015年B题:“互联网+”时代的出租车资源配臵

2.解决问题涉及到的学科分析 这些年的赛题解决方法,可谓多种多样,涉及学科门 类多,大致归为:
?

理学 数学、物理、力学、化学、系统科学、统计学等
工学 机械、材料、电学、计算机、控制、建筑、环保 信息、光学等

?

? ?

经济学 金融、投资等 医学 防疫、护理等

?

管理科学 人文

服务管理、资源配臵等
?

?

人口等

……

由于题目的实用性、开放性、创新性,往往解决一个赛
题所涉及的远不止单学科,而是多学科的交叉或融合。 如:2000年A题 DNA序列分类

看似是一个医学问题,但解决该问题可以用数学中的马
尔科夫模型,傅立叶分析,动态规划,同源比较算法; 及用到工学的人工神经网络、模式识别等。

3.解决问题涉及到的方法分析 从问题的解决方法上分析,涉及到的数学建模方法有 几何理论、组合概率、统计分析、优化方法、图论、 网络优化、层次分析、时间序列、插值与拟合、差分 方法、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多

目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、综
合评价方法、机理分析等方法。

3.解决问题涉及到的方法分析(数据以本科组赛题为据)

⑴ 使用最多的方法是优化方法和概率统计的方法.
用到优化方法的共有28个题,占总数的58%,其中整 数规划5个,线性规划4个,非线性规划14个,多目标规划 7个。 概率统计方法的有25个题,占52%,几乎是每年至少

有一个题目用到概率统计的方法。如2012年的A,C题.
⑵ 可以用图论与网络优化方法的问题有5个; ⑶ 可以用层次分析方法的问题有4个; 还有:

⑷ 插值拟合的问题有6个; ⑸ 神经网络的5个;

⑹ 灰色系统理论的2个;
⑺ 时间序列分析的至少3个; ⑻ 综合评价方法的至少3个; ⑼ 机理分析方法和随机模拟都多次用到; ⑽ 微(差)分方程、模糊数学、随机模拟、排队论等

其它的方法都至少用到一次。
大部分题目都可以用两种以上的方法来解决,即综合 性较强的题目有35个,占73%。

4.解决问题涉及到的计算软件分析

赛题常用的计算软件: Matlab, Mathematica, Lingo, Lingdo, SPSS, R, SAS, Maple …… 重要的是参赛选手具备编程计算、计算机仿 真、模拟能力。

5. 赛题实例分析 例1. 2012年A题 葡萄酒的评价
本题由西北农林科技大学王经民教授命题,题目贴 近生产和生活实际,参赛师生反应良好。从数学内容 上来看,主要是应用统计建模方法,是同学相对比较 熟悉的建模方法,但其在实际问题中的灵活应用仍然 为同学提供了较大的创新空间。

本题目文字不多,简明扼要,要求解决的4个问题 清晰明了。从分析题意、把握和理解问题的实质方面 讲并非无从下手。因此,河南赛区选作此题的参赛对 数865个,站本科组70%. 然而,面对庞大的附件数据,错综复杂的指标关系 ,对问题处理的科学性、合理性、完整性和创新性又 显得束手无策,遇到了很多问题和障碍。

按照推荐全国评奖新办法,推荐参加全国一等奖29

个队,二等奖34个队。而获奖结果是一等奖8个队,
二等奖52个队,有3个队未获奖。 评卷是要对865个队评出参赛成绩,从中排出从高到

低分数序,选出送国家和赛区获奖的队数,不浪费所分
给的指标。但从阅卷老师的普遍感受看,参赛队员的基 础知识、专业水平、建模和分析、计算的能力、撰写论 文的素质等方面还存在不少差距。

一篇论文是参赛队员所有工作的完全体现,将 解决问题的思想、方法、结论等工作和创造性成果

或新的研究结果都充分地反映出来。
要求内容充实、论据充分、论证有力、主题明确、 层次分明,通过大小标题分为若于个逻辑段落,让 评委各取所需,一目了然。不要给评委留下更多的 疑问和猜测。实事求是,不要过分夸张。

摘要是整篇论文的重中之重,是整篇文章的高 度压缩和集中体现。主要是说明用什么方法;解决 了什么问题;主要结果是什么;有什么特色和创新 点,以及其它工作。注意摘要中不要出现公式和表

格,按问题有条理、简明扼要的叙述,文字精练,
表达准确。

问题一:附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差
异,哪一组结果更可信? 该问题首先遇到的是要对缺失数据和异常数据

的处理。可采用的方法较多,如果没做就要扣除12分。

接下来,有显著性差异和可信度分析两个问题:

显著性差异是个地道的检验问题。可以根据处理后的 数据,按照不同的统计量构造用不同的检验方法。

可以用参数检验,也可以用非参数检验(多配对样本
的),可以用单正态总体,也可以用多正态总体。 检验的方法:t-检验法,方差分析的F-检验,配对样 本的t-检验法,多配对样本的Kendall 协同系数检验,

曼-惠特尼U检验;

存在问题:有些队计算两组评酒员对酒样评分的平均

值画个柱状图或走势图比较分析,缺少必要的统计模
型检验步骤。 很多队没有阐明提供样本数据是否符合正态总体及

相应的处理办法。拿来就用显著性检验。 不少队显著性差异检验不够完整。只给出了红、
白葡萄酒总体差异显著性分析 ,缺少评酒员之间的 差异显著性分析。

对于两组评酒员评价结果的可信度分析,应该评

酒员之间的差距、酒样之间的区分度,针对红、白葡
萄酒分别考虑两组评酒员的可信度。

参赛队能考虑到用“方差分析”,多数用评价结
果的平均“方差”指标来评判。但对两组评酒员对同 一种葡萄酒样品的评价结果的稳定性(方差)及所有 酒样的方差分析比较的不够。

问题二:根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这
些酿酒葡萄进行分级。

首先要根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量指
标确定分级的原则,然后依据原则采用相应的方法建 立分级模型,最后通过模型求解给出3-5等级别的划分 或分类。注意涉及葡萄酒的质量指标可参考问题一可 信度高的一组评价结果。

依据分级原则所采用相应的方法建立分级模型,大 致可以归纳为以下方法:

主成分分析;因子分析;聚类分析(K-means聚类
分析;模糊聚类分析 );回归分析;综合评价(模糊 数学评价) ;… … 在主成分分析中数据的归一化处理,特征向量矩阵 的获取;因子分析中的相关系数矩阵、因子载荷矩阵 等方法中深层次问题、计算方法就更多了,不一一列 举。不少好的论文所采用方法也不止一个。

问题三:分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的关系 为解决问题方便不失一般性,可以参照问题二分析
结果酿酒葡萄的分级,简化葡萄酒的理化指标。

建立模型及模型求解所使用方法:
主成分分析;因子分析;相关分析(偏相关分析) ;回归分析;多元回归分析… …

如果在分析中考虑到芳香物质的作用是要适当加分,
将酿酒葡萄的全部理化指标进行全回归分析是要扣分。

不少参赛队受时间限制,没能完整、系统地做好此 问题。没有将前面已经解决好的结果利用起来,从而降 低难度、顺势而作。

如果解决问题二没有用到多元统计分析的方法,作
第三个问题,那就显得费时费力了。

问题四:分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质
量的影响,并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评 价葡萄酒的质量?

较为简捷的作法是延用问题三的主成分分析,将葡
萄的理化指标归纳到若干个主因子之中,并作为自变量 ,葡萄酒的理化指标也为自变量。问题二模型中的葡萄 质量为因变量,建立多元线性回归模型。

模型中应该体现主要理化指标和芳香物质的影响。

注意:⑴ 红葡萄酒和红葡萄的理化指标与白葡萄酒和

白葡萄的理化指标对葡萄酒质量的影响是不同的,因此
需进行分别分析。 ⑵ 红葡萄酒和红葡萄的理化指标对葡萄酒质量的影响 中花色苷、总酚和单宁是红葡萄酒的重要指标。 论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒

的质量,若采用的相关性分析,问题迎刃而解。若采
用回归分析,还要借助通径分析等方法解决。

例2. 2014年A题:嫦娥三号软着陆轨道设计与 控制策略
该题来源于国家航天发展中的实际问题,需要用 到的方法和工具有微分方程理论、微分方程数值解、 (无穷维的)优化问题、控制理论、灵敏度分析、

误差控制等。

对本问题应该给出合理的建模假设,譬如:惯性 坐标、二体问题等,并加以分析说明。 问题1:在已知的条件下,确定嫦娥三号在环月轨道 上近月点与远月点的相对位臵和速度 (1)建立合理适用的坐标系。 (2)对嫦娥三号进行受力分析,建立其运动学和准 备轨道的数学模型(譬如:微分方程等模型)。 (3)通过求解数学模型得出数值结果。

问题2:确定软着陆轨道与6阶段的控制策略 由问题对着陆轨道6个阶段的要求,每个阶段都应给出 起止状态(速度和位臵)和最优控制策略(推力大小和 方向),以满足各阶段起止状态的需求。 (1)建立各阶段的最优控制模型,明确给出控制变量、 状态变量、状态方程、约束条件和目标函数。 (2)在粗避障和精细避障阶段选择落点时,需要综合 考虑月面的平整度、光照条件、着陆控制误差等因素, 确定最理想的着陆地点。

(3)各阶段的控制问题是一个无穷维的优化问题, 可以通过合理的简化(譬如离散化为有限维的优化问 题)求解得出合理的数值结果,即最优的控制策略。 (4)若未按题目要求按6阶段设计最优控制策略,而 照抄某些文献的两阶段或三阶段的处理方法,不能视 为较好的论文。 问题3:着陆轨道设计和控制策略的误差分析与敏感 度分析

对问题的稳定性有影响的误差包括: (1)着陆准备轨道参数(近月点位臵和速度)的误 差; (2)分阶段分析发动机推力(大小和方向)的控制 误差; (3)模型的简化假设、模型的近似与求解过程等综 合分析误差; 如果能针对以上几个因素对问题结果的影响及程度 做相应的敏感度分析,应给予肯定。

例3. 2014年B题: 创意平板折叠桌

该题来自荷兰设计师Robert van Embricqs的创意,
需要用到的方法和工具有空间解析几何理论、力学 分析、最优化问题、计算机编程计算、动态做图等。

本题主要考查学生对直纹面的描述、建模和计算能力。 问题1. 对于给定的材料和设计目标建模。要求模型能 表达从平板到最终桌子成形的变化过程。可以用每根 木条的动态变化过程的函数形式表达,也可以用直纹 面的参数形式表达。同时要求明确给出桌腿木条开槽 的长度等设计加工参数。桌子成形后的桌腿边缘线可 以用离散的点表达(如每根木条下端中点的空间坐 标),也可用连续的曲线方程表达(如木条下端中点

所在的空间曲线方程)。寻求连续的曲面和曲线方程 的方案应给予鼓励。钢筋应理解为没有弹性、不可弯 曲的直线。 问题2. 本小题限定为长方形平板材料和圆形桌面。要 求先就任意给定的桌子高度和桌面直径建立模型,然 后再对桌高70 cm,桌面直径80 cm的特例给出计算结 果。合理的稳固性指标建立是问题的关键之一,需要 对桌脚进行受力分析。应给出最优的平板长度、钢筋 位臵和开槽长度,以保证可行性、稳固性,并降低成 本。

问题3. 本小题没有限定平板材料和桌面的形状,但基 于美观性的考虑,折叠后桌腿的外形应呈直纹曲面, 而不应是平面。同时,钢筋是必须的,且为直线,否 则很难实现折叠桌的使用方便和产品稳固性。通过问 题1和问题2的解决,可以初步掌握折叠桌高度、桌面 边缘线和桌脚边缘线与平板材料及设计参数之间关系 的规律。由于客户画的桌面和桌脚边缘线形状有随意 性,为了加工的可行性,两条边缘线须有一定的关联 (但不应限定材料为长方形)。所建模型应能对客户

画的两条边缘线做适当修正,并在此基础上给出加 工参数。结果要求参赛队给出有创意的产品设计和 设计理念,并作出至少8张动态变化过程的示意图。 注:本课题来自荷兰设计师Robert van Embricqs的 创意。如果参赛队给出的产品是网上已有的,不应 认为是好的结果.

例4. 2015年A题:太阳影子定位

该题来源于日常生活中的实际问题,需要用到的
知识有空间几何理论、非线性优化问题、数据统计 处理、高精度编程计算等。

本题要求根据视频中物体的太阳影子,建立数学模型 确定视频拍摄地点和日期。主要考察学生关于空间几 何问题的建模能力以及非线性优化问题的求解能力, 对求解精度具有一定的要求。 评阅时应注意:“北京时间”与“北京当地时间”的 不同,经度与时间的关系,日期关于春分、秋分、冬 至、夏至的近似对称性等。大气折射会导致太阳高度 角产生一定偏转,所以考虑大气折射情形的模型更佳。

对能够自行构造数据进行模型检验的论文,应给予较 好的评价。 问题1 在已知视频拍摄时间及地点的条件下求影子的数学模 型,并分析长度关于日期、时间、经纬度等参数的变 化规律。有较多的参考文献给出这一问题的模型,若 直接采用文献中的模型,需指明出处。

问题2 在已知物体影子顶点真实坐标及拍摄日期与北京时 间的条件下,根据问题1得到的影子长度变化模型, 反解出纬度及当地时间,根据当地时间和北京时间 之间的关系确定经度。附件1的位臵是(109.5°E, 18.3°N)。

评阅时应以模型和方法为主,结果仅作为参考。要 尽可能使用所给数据的全部信息。

问题3 与问题2相比,问题3中拍摄日期未知,反演难度有所 增加,同时使用长度和角度信息反演效果更好。附件 2的位臵是(79.75°E, 39.52°N),日期是7月20日;附 件3的位臵是(110.25°E, 29.39°N),日期是1月20日。 由于日期相近的影子长度和角度变化较小,导致参数 反演问题的近似解较多。可以将日期、经纬度一定范 围内的结果都认为是近似正确的。

评阅时应以模型和方法为主,结果仅作为参考。 问题4 建立影子顶点大地坐标与视频坐标之间的关系,然后 反演模型中的参数。由于反演参数的增加,以及视频 数据提取时产生的误差,导致模型求解精度下降、确 定拍摄地点的难度增加。评阅时,主要关注模型是否 合理、正确。

例5.2015年B题:互联网+”时代的出租车资源配置

该题来源于社会服务中的实际问题,需要用到的 知识有最优化问题、时空数据收集、数据统计与分 析、统计挖掘、统计检验、模糊综合评判、层次分

析法、相关分析法等。

该问题是一个即时性、开放性、实用性很强的热点问 题,可以针对某一个地区或一个城市的实际情况进行 研究。解决问题需要一定的数据支持,必须收集到某 地区或城市出租车的相关数据,要充分体现“互联网 +”的特点与作用。通过对数据的分析,统计挖掘出 相关规律,来支持所建立的数学模型和模型的结论。

问题(1):分析不同时空出租车资源的供求匹配程 度 (1)通过分析,定义能够反映不同时空变化规律的 合理性供求关系指标。 (2)利用实际数据(真实、可靠),统计计算不同 时空下的供求关系指标,对供求关系的时间、空间的 分布规律和匹配程度进行具体的分析讨论。 (3)供求关系指标的定义方法是不唯一的,主要看 是否能够反映出租车的供求关系,并充分说明其合理 性。仅用宏观统计数据分析问题不是一种好做法。

问题(2):分析各公司推出的补贴方案是否能缓解 “打车难” 各公司推出的补贴方案基本上都是采用等额的补贴方 式,依据实际问题,可以从不同的角度做定性分析, 最好是用定量分析,或用机理分析方法建模研究是否 能缓解“打车难”的问题。

(1)允许用不同的方法,给出不同的观点和结论,但 要有充分合理的分析论证和说明。
(2)可以分析比较不同公司推出的补贴方案的不同作 用,包括对出租车司机和乘客正反两个方面的影响作用。 (3)要利用实际数据来检验其模型,验证说明相应结 论的正确性。

问题(3):设计更合理的补贴方案 所设计的补贴方案要有针对性地缓解“打车难”的相关 问题。 (1)合理的补贴方案一般应该是非等额补贴,或通过 “奖励”与“惩罚”机制,能够促使出租车司机不挑单, 或有单即接的效果。 (2)对于方案的合理性或可行性应该给出检验或仿真 说明。

三、思考启示 1.思考 开赛以来,赛题难度有越来越大的趋势,多种解题方法 的复杂性、创造性、灵活性等,对参赛者的能力、协作

?

精神等要求也越来越高,参赛结束并不等于问题完美解
决,仍给参赛者留有很大的发挥创造的空间。
?

赛题的综合性、实用性、创新性、即时性在增强; 有

逐步走向国际化的发展趋势。随着计算机技术和工具
软件功能的增强,数据信息量也在逐步地增大,这也是 结合现代应用近几年题目的特点之一。

?

开赛以来,尽管赛题年年变化都是新题,但从问题所 涉及的学科领域、解决问题所用的主要方法、所建立

模型的类型及相互之间的关系等方面是否有一些规律
性?还是值得总结、思考。
?

在校学生的日常教学与数学建模竞赛学习、培训,二 者之间的关系,作为教师、学生、管理人员如何理顺、 加强,值得深思。

?

数学建模竞赛工作与科研工作的关系如何认识、处理
好?怎样提高指导教师的水平、能力?

?

指导教师如何调动学生参加数学建模活动(竞赛)
的积极性,发现、挖掘参赛队员的潜能?

2. 启示
?

参赛队接到题后要做到:认真仔细地识题,准确地把
握问题实质,快速的寻求模型定位,及时的给出模型 求解与分析,文笔流畅的书写论文。每个环节都离不 开平时的基本功,团队的分工合作,顽强的意志和坚 忍不拔的毅力。

?

作为指导教师赛前的猜题、押题是下策,只有赛前将数
学建模所涉及到的知识,所用到的方法,应该掌握的技 能等下功夫指导学生,提高学生数学建模的能力、心理 素质和团队精神为上策。

?

在校生普遍开设高等数学、线性代数、概率论与数

理统计三门课。这是进一步学习的基础,作为参赛
队员要有扎实的基础。我们看到解决赛题的方法中 不乏用到微积分计算、矩阵变换、概率计算及统计 检验、回归分析等基础知识。
?

打好基础的同时,拓展知识面,

训练、打造学生获取新知识、新
方法及其能力。

请各位老师批评指正, 谢 谢!


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