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二次函数——选择填空题


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2013 中考全国 100 份试卷分类汇编

二次函数——选择填空题
1、(2013 陕西)已知两点 A(?5, y1 ), B (3, y 2 ) 均在抛物线 y ? ax ? bc ? c(a ? 0) 上,
2

点 C ( x0 , y 0 ) 是该抛物线的顶点,若 y1 ? y 2 ? y 0 ,则 x0 的取值范围是(
A. x 0 ? ?5 B. x 0 ? ?1 C. ? 5 ? x 0 ? ?1 D. ? 2 ? x 0 ? 3



考点:二次函数图象性质的应用及对称性的考查。 解析:由点 C ( x 0 , y 0 ) 是该抛物线的顶点,且 y1 ? y 2 ? y 0 ,所以 y 0 为函数的最小值,即得 出抛物线的开口向上,因为 y1 ? y 2 ? y 0 ,所以得出点 A、B 可能在对称轴的两侧或者是在 对称轴的左侧,当在对称轴的左侧时,y 随 x 的增大而减小,因此 x 0 >3,当在对称轴的两 侧时, B 距离对称轴的距离小于点 A 到对称轴的距离, 点 即得 x 0 - -5) x 0 ,解得 x 0 ? ?1 , ( >3综上所得: x 0 ? ?1 ,故选 B 2、 (2013 济宁) 二次函数 y=ax +bx+c (a≠0) 的图象如图所示, 则下列结论中正确的是 (
2



A.a>0 B.当﹣1<x<3 时,y>0 C.c<0 D.当 x≥1 时,y 随 x 的增大而增大 考点:二次函数图象与系数的关系. 分析:由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系, 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解答:解:A.抛物线的开口方向向下,则 a<0.故本选项错误; B.根据图示知,抛物线的对称轴为 x=1,抛物线与 x 轴的一交点的横坐标是﹣1,则抛物线 与 x 轴的另一交点的横坐标是 3, 所以当﹣1<x<3 时,y>0.故本选项正确; C.根据图示知,该抛物线与 y 轴交与正半轴,则 c>0.故本选项错误; D.根据图示知,当 x≥1 时,y 随 x 的增大而减小,故本选项错误. 故选 B.

点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数 y=ax +bx+c 系数符号由抛物线开 口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定.
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2

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2

3、 (2013 杭州)给出下列命题及函数 y=x,y=x 和 y= ① 如果 ② 如果 ③ 如果 ④ 如果 则( ) ,那么 0<a<1; ,那么 a>1; ,那么﹣1<a<0; 时,那么 a<﹣1.

A.正确的命题是① B.错误的命题是②④ C.正确的命题是① D.错误的命题只 ④ ③ ② 有③ 考点:二次函数与不等式(组) ;命题与定理. 分析:先确定出三函数图象的交点坐标为(1,1),再根据二次函数与不等式组的关系求解 即可. 解答:解:易求 x=1 时,三个函数的函数值都是 1, 所以,交点坐标为(1,1) , 根据对称性,y=x 和 y=在第三象限的交点坐标为(﹣1,﹣1) , ① 如果 ② 如果 ③ 如果 ④ 如果 ,那么 0<a<1 正确; ,那么 a>1 或﹣1<a<0,故本小题错误; ,那么 a 值不存在,故本小题错误; 时,那么 a<﹣1 正确.

综上所述,正确的命题是①. ④ 故选 A. 点评:本题考查了二次函数与不等式组的关系,命题与定理,求出两交点的坐标,并准确识 图是解题的关键. 4、(2013 年江西省)若二次涵数 y=ax+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴有两个交点,坐标分别为(x1, 0),(x2,0),且 x1<x2,图象上有一点 M (x0,y0)在 x 轴下方,则下列判断正确的是( ). 2 A.a>0 B.b -4ac≥0 C.x1<x0<x2 D.a(x0-x1)( x0-x2)<0 【答案】 D. 【考点解剖】 本题考查的是二次函数的性质,要求对二次函数的性质有比较深刻地理解, 并能熟练地画函数草图作出分析.

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【解题思路】 抛物线与 x 轴有不同的两个交点,则 b 2 ? 4ac ? 0 ,与 B 矛盾,可排除 B 选项;剩下 A、C、D 不能直接作出正误判断,我们分 a>0,a<0 两种情况画出两个草图来分 析(见下图).

由图可知 a 的符号不能确定(可正 可负,即抛物线的开口可向上,也右向下),所以 x0 , x1 , x2 的大小就无法确定;在图 1 中, a>0 且有 x1 ? x0 ? x2 , a ( x0 ? x1 )( x0 ? x 2 ) 的值为负; 则 在图 2 中, 且有 x1 ? x0 ? x2 , a<0 则 a ( x0 ? x1 )( x0 ? x2 ) 的值也为负.所以正确选项为 D. 【解答过程】 略. 【方法规律】 先排除错误的,剩下的再画图分析(数形结合) 【关键词】 二次函数 结论正误判断 5、 (2013 四川宜宾)对于实数 a、b,定义一种运算“?”为:a?b=a2+ab﹣2,有下列命题: ① 1?3=2; ② 方程 x?1=0 的根为:x1=﹣2,x2=1; ③ 不等式组 的解集为:﹣1<x<4;

④ 点(, )在函数 y=x?(﹣1)的图象上. 其中正确的是( ) A.①②④ B.①③ ③ C.①② ③ D.③④ 考点:二次函数图象上点的坐标特征;有理数的混合运算;解一元二次方程-因式分解法; 解一元一次不等式组;命题与定理. 专题:新定义. 分析:根据新定义得到 1?3=12+1× 3﹣2=2,则可对① 进行判断;根据新定义由 x?1=0 得到 x2+x﹣2=0,然后解方程可对② 进行判断;根据新定义得 对③ 进行判断; ,解得﹣1<x<4,可

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根据新定义得 y=x?(﹣1)=x2﹣x﹣2,然后把 x=代入计算得到对应的函数值,则可对④ 进 行判断. 解答:解:1?3=12+1× 3﹣2=2,所以① 正确; ∵ x?1=0, ∴2+x﹣2=0, x ∴1=﹣2,x2=1,所以② x 正确; ∵ (﹣2)?x﹣4=4﹣2x﹣2﹣4=﹣2x﹣2,1?x﹣3=1+x﹣2﹣3=x﹣4, ∴ ,解得﹣1<x<4,所以③ 正确;

∵ y=x?(﹣1)=x2﹣x﹣2, ∴ x=时,y=﹣﹣2=﹣,所以④ 当 错误. 故选 C. 点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征: 二次函数图象上点的坐标满足二次函数的 解析式.也考查了阅读理解能力、解一元二次方程以及解一元一次不等式组. 6、(2013 浙江丽水)若二次函数 y ? ax2 的图象经过点 P(-2,4),则该图象必经过点 A. (2,4) B. (-2,-4) C. (-4,2) D. (4,-2)

7、 (2013 成都市)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=kx(k 为常数)与抛物线 y ?

1 2 x ?2 3

交于 A,B 两点,且 A 点在 y 轴左侧,P 点坐标为(0,-4),连接 PA,PB.有以下说法: ① PO ? PA ? PB ;
2

② 当 k>0 时,(PA+AO)(PB-BO)的值随 k 的增大而增大; ③ 当k ? ?

3 2 时, BP ? BO ? BA ; 3

④ ? PAB 面积的最小值为 4 6 . 其中正确的是___________.(写出所有正确说法的序号) 答案:③④ 解析:如图,无法证明△PAO∽△POB,故①不一定成立;对于②,取特殊值估算,知(PA

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3 时,联立方 3

+AO)(PB-BO)的值不是随 k 的增大而增大,也错。对于③,当 k ? ?

? 3 x ?y ? ? ? 3 程组: ? ,得 A(-2 3 ,2),B( 3 ,-1),BP2=12,BO?BA=2×6=12, ? y ? 1 x2 ? 2 ? 3 ?
故③正确;对于④,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则三角形 PAB 的面积为:S=

1 ? 4(? x1 ? x2 ) = 2

2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

? y ? ?kx ? 2 又? ,得 x ? 3kx ? 6 ? 0 ,所以, x1 ? x2 ? 3k , x1 x2 ? ?6 ,因此, 1 2 ?y ? 3 x ? 2 ?
S= 2 9k 2 ? 24 ,当 k=0 时,S 最小为 4 6 ,故 4 6 正确。

8、 (2013 达州)二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,反比例函数 y ?
2

y ? cx ? a 在同一平面直角坐标系中的大致图象是(

b 与一次函数 x



答案:B 解析:由二次函数图象,知 a<0,c>0, ?

b >0,所以,b>0, 2a

所以,反比例函数图象在一、三象限,排除 C、D,直线 y=cx+a 中,因为 a<0,所以, 选 B。 9、 (2013?宁波)如图,二次函数 y=ax =bx+c 的图象开口向上,对称轴为直线 x=1,图象经 过(3,0) ,下列结论中,正确的一项是( )
2

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A.abc<0 B.2a+b<0

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C.a﹣b+c<0 D.4ac﹣b2<0

考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系, 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解答: 解:A、根据图示知,抛物线开口方向向上,则 a>0. 抛物线的对称轴 x=﹣ =1>0,则 b<0.

抛物线与 y 轴交与负半轴,则 c<0, 所以 abc>0. 故本选项错误; B、∵ x=﹣ =1,

∴ b=﹣2a, ∴ 2a+b=0. 故本选项错误; C、∵ 对称轴为直线 x=1,图象经过(3,0) , ∴ 该抛物线与 x 轴的另一交点的坐标是(﹣1,0) , ∴ x=﹣1 时,y=0,即 a﹣b+c=0. 当 故本选项错误; D、根据图示知,该抛物线与 x 轴有两个不同的交点,则△ ﹣4ac>0,则 4ac﹣b =b <0. 故本选项正确; 故选 D. 2 点评: 本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数 y=ax +bx+c 系数符号由抛物线开 口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定. 10、 (2013 河南省)在二次函数 y ? ? x ? 2 x ? 1 的图像中,若 y 随 x 的增大而增大,则 x 的
2

2

2

取值范围是【】 (A) x ? 1 (B) x ? 1
2

(C) x ? ?1

(D) x ? ?1

【解析】二次函数 y ? ? x ? 2 x ? 1 的开口向下,所以在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而增大, 二次函数 y ? ? x ? 2 x ? 1 的对称轴是 x ? ?
2

b 2 ?? ? 1 ,所以, x ? 1 2a 2 ? (?1)

【答案】A 11、 (2013?内江)同时抛掷 A、B 两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字 1,2,3, 4,5,6) ,设两立方体朝上的数字分别为 x、y,并以此确定点 P(x,y) ,那么点 P 落在抛 2 物线 y=﹣x +3x 上的概率为( ) A. B. C. D.

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考点: 列表法与树状图法;二次函数图象上点的坐标特征. 专题: 阅读型. 分析: 画出树状图,再求出在抛物线上的点的坐标的个数,然后根据概率公式列式计算即可 得解. 解答: 解:根据题意,画出树状图如下:

一共有 36 种情况, 当 x=1 时,y=﹣x +3x=﹣1 +3×1=2, 2 2 当 x=2 时,y=﹣x +3x=﹣2 +3×2=2, 2 2 当 x=3 时,y=﹣x +3x=﹣3 +3×3=0, 2 2 当 x=4 时,y=﹣x +3x=﹣4 +3×4=﹣4, 2 2 当 x=5 时,y=﹣x +3x=﹣5 +3×5=﹣10, 2 2 当 x=6 时,y=﹣x +3x=﹣6 +3×6=﹣18, 所以,点在抛物线上的情况有 2 种, P(点在抛物线上)= = .
2 2

故选 A. 点评: 本题考查了列表法与树状图法,二次函数图象上点的坐标特征,用到的知识点为:概 率=所求情况数与总情况数之比. 12、 (2013?内江)若抛物线 y=x ﹣2x+c 与 y 轴的交点为(0,﹣3) ,则下列说法不正确的是 ( ) A.抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是 x=1 C. 当 x=1 时,y 的最大值为﹣4 D.抛物线与 x 轴的交点为(﹣1,0)(3,0) , 考点: 二次函数的性质. 分析: 根据二次函数二次项的系数的正负确定抛物线的开口方向. A B 利用 x=﹣ 可以求出抛物线的对称轴.
2

C 利用顶点坐标和抛物线的开口方向确定抛物线的最大值或最小值. D 当 y=0 时求出抛物线与 x 轴的交点坐标. 解答: 解:∵ 抛物线过点(0,﹣3) , 2 ∴ 抛物线的解析式为:y=x ﹣2x﹣3. A、抛物线的二次项系数为 1>0,抛物线的开口向上,正确. B、根据抛物线的对称轴 x=﹣ =﹣ =1,正确.

C、由 A 知抛物线的开口向上,二次函数有最小值,当 x=1 时,y 的最小值为﹣4,而 不是最大值.故本选项错误. 2 D、当 y=0 时,有 x ﹣2x﹣3=0,解得:x1=﹣1,x2=3,抛物线与 x 轴的交点坐标为
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(﹣1,0)(3,0) , .正确. 故选 C. 点评: 本题考查的是二次函数的性质,根据 a 的正负确定抛物线的开口方向,利用顶点坐标 公式求出抛物线的对称轴和顶点坐标,确定抛物线的最大值或最小值,当 y=0 时求出 抛物线与 x 轴的交点坐标. 13、 (2013?资阳)如图,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2) ,且顶点 在第三象限,设 P=a﹣b+c,则 P 的取值范围是( )
2

A.﹣4<P<0

B.﹣4<P<﹣2

C.﹣2<P<0

D.﹣1<P<0

考点: 二次函数图象与系数的关系 分析: 求出 a>0,b>0,把 x=1 代入求出 a=2﹣b,b=2﹣a,把 x=﹣1 代入得出 y=a﹣b+c=2a ﹣4,求出 2a﹣4 的范围即可. 解答: 解:∵ 二次函数的图象开口向上, ∴ a>0, ∵ 对称轴在 y 轴的左边, ∴ ﹣ <0,

∴ b>0, ∵ 图象与 y 轴的交点坐标是(0,﹣2) ,过(1,0)点, 代入得:a+b﹣2=0, ∴ a=2﹣b,b=2﹣a, 2 ∴ y=ax +(2﹣a)x﹣2, 把 x=﹣1 代入得:y=a﹣(2﹣a)﹣2=2a﹣4, ∵ b>0, ∴ b=2﹣a>0, ∴ a<2, ∵ a>0, ∴ 0<a<2, ∴ 0<2a<4, ∴ ﹣4<2a﹣4<0, 即﹣4<P<0, 故选 A. 2 点评: 本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象为抛 物线,当 a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线 x=﹣ ;抛物线与 y 轴的交点坐标

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为(0,c) .

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14、 (2013?攀枝花)二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数 y= 与 y=bx+c 在同一直角坐标系内的大致图象是( )

2

A.

B.

C.

D.

考点: 二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的 图象. 分析: 根据二次函数的图象得出 a,b,c 的符号,进而利用一次函数与反比例函数得出图象 经过的象限. 2 解答: 解:∵ 二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象开口向下, ∴ a<0, ∵ 对称轴经过 x 的负半轴, ∴ a,b 同号, 图象经过 y 轴的正半轴,则 c>0, ∵ 函数 y= ,a<0, ∴ 图象经过二、四象限, ∵ y=bx+c,b<0,c>0, ∴ 图象经过一、二、四象限, 故选;B. 点评: 此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数和反比例函数的性质, 根据已知得出 a, b,c 的值是解题关键. 15、 (2013?广安)已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,对称轴是直线 x=1.下列结 论: ① abc>O,② 2a+b=O,③ ﹣4ac<O,④ b 4a+2b+c>O 其中正确的是( )
2 2

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③ A.① B.只有②

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④ C.② ④ D.③

考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 由抛物线开口向下,得到 a 小于 0,再由对称轴在 y 轴右侧,得到 a 与 b 异号,可得 出 b 大于 0,又抛物线与 y 轴交于正半轴,得到 c 大于 0,可得出 abc 小于 0,选项①
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错误;由抛物线与 x 轴有 2 个交点,得到根的判别式 b ﹣4ac 大于 0,选项② 错误;由 x=﹣2 时对应的函数值小于 0,将 x=﹣2 代入抛物线解析式可得出 4a﹣2b+c 小于 0, 最后由对称轴为直线 x=1,利用对称轴公式得到 b=﹣2a,得到选项④ 正确,即可得到 正确结论的序号. 解答: 解:∵ 抛物线的开口向上,∴ a>0, ∵ ﹣ >0,∴ b<0,

2

∵ 抛物线与 y 轴交于正半轴,∴ c>0, ∴ abc<0,① 错误; ∵ 对称轴为直线 x=1,∴ ﹣ =1,即 2a+b=0,② 正确,
2

∵ 抛物线与 x 轴有 2 个交点,∴ ﹣4ac>0,③ b 错误; ∵ 对称轴为直线 x=1, ∴ 与 x=0 时的函数值相等,而 x=0 时对应的函数值为正数, x=2 ∴ 4a+2b+c>0,④ 正确; 则其中正确的有②. ④ 故选 C. 2 点评: 此题考查了二次函数图象与系数的关系,二次函数 y=ax +bx+c(a≠0) 的符号由抛 ,a 物线开口方向决定;b 的符号由对称轴的位置及 a 的符号决定;c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置决定;抛物线与 x 轴的交点个数,决定了 b ﹣4ac 的符号,此外还要注 意 x=1,﹣1,2 及﹣2 对应函数值的正负来判断其式子的正确与否. 16、 (2013?衢州)抛物线 y=x +bx+c 的图象先向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,所 2 得图象的函数解析式为 y=(x﹣1) ﹣4,则 b、c 的值为( ) A.b=2,c=﹣6 B.b=2,c=0 C.b=﹣6,c=8 D.b=﹣6,c=2 考点: 二次函数图象与几何变换. 分析: 先确定出平移后的抛物线的顶点坐标,然后根据向右平移横坐标加,向下平移纵坐标 减求出平移前的抛物线的顶点坐标,然后写出平移前的抛物线的顶点式形式,然后整 理成一般形式,即可得到 b、c 的值. 2 解答: 解:函数 y=(x﹣1) ﹣4 的顶点坐标为(1,﹣4) , ∵ 是向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位得到, ∴ 1﹣2=﹣1,﹣4+3=﹣1, ∴ 平移前的抛物线的顶点坐标为(﹣1,﹣1) , 2 ∴ 平移前的抛物线为 y=(x+1) ﹣1, 2 即 y=x +2x, ∴ b=2,c=0. 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减,
2 2

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利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便. 17、 (2013?嘉兴)若一次函数 y=ax+b(a≠0)的图象与 x 轴的交点坐标为(﹣2,0) ,则抛 2 物线 y=ax +bx 的对称轴为( ) A.直线 x=1 B.直线 x=﹣2 C.直线 x=﹣1 D.直线 x=﹣4 考点: 二次函数的性质;一次函数图象上点的坐标特征. 分析: 先将(﹣2,0)代入一次函数解析式 y=ax+b,得到﹣2a+b=0,即 b=2a,再根据抛物 线 y=ax +bx 的对称轴为直线 x=﹣
2

即可求解.

解答: 解:∵ 一次函数 y=ax+b(a≠0)的图象与 x 轴的交点坐标为(﹣2,0) , ∴ ﹣2a+b=0,即 b=2a, ∴ 抛物线 y=ax +bx 的对称轴为直线 x=﹣
2

=﹣1.

故选 C. 点评: 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质,难度适中.用到的知识 点: 点在函数的图象上,则点的坐标满足函数的解析式; 二次函数 y=ax +bx+c 的对称轴为直线 x=﹣
2 2



18、 (2013?雅安)二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象. 分析: 根据二次函数图象开口向上得到 a>0,再根据对称轴确定出 b,根据与 y 轴的交点确 定出 c>0,然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况,即可得解. 解答: 解:∵ 二次函数图象开口方向向上, ∴ a>0, ∵ 对称轴为直线 x=﹣ >0,

∴ b<0, ∵ y 轴的正半轴相交, 与

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∴ c>0, ∴ y=ax+b 的图象经过第一三象限,且与 y 轴的负半轴相交, 反比例函数 y=图象在第一三象限, 只有 B 选项图象符合. 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数的图形,一次函数的图象,反比例函数的图象,熟练掌握二次函 数的有关性质:开口方向、对称轴、与 y 轴的交点坐标等确定出 a、b、c 的情况是解 题的关键. 19、 (2013?雅安)将抛物线 y=(x﹣1) +3 向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位后所得 抛物线的解析式为( ) 2 A.y=(x﹣2) B.y=(x﹣2)2+6 C.y=x2+6 D.y=x2 考点: 二次函数图象与几何变换. 分析: 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可. 2 2 解答: 解: 将抛物线 y= (x﹣1) +3 向左平移 1 个单位所得直线解析式为: (x﹣1+1) +3, y= 2 即 y=x +3; 2 2 再向下平移 3 个单位为:y=x +3﹣3,即 y=x . 故选 D. 点评: 本题考查的是二次函数的图象与几何变换, 熟知函数图象平移的法则是解答此题的关 键. 20、 (2013?巴中)已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的 是( )
2 2

A.ac>0 B. 当 x>1 时,y 随 x 的增大而减小 C. b﹣2a=0 D.x=3 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根 考点: 二次函数图象与系数的关系;二次函数的性质. 分析: 由函数图象可得抛物线开口向上,得到 a 大于 0,又抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半 轴,得到 c 小于 0,进而得到 a 与 c 异号,根据两数相乘积为负得到 ac 小于 0,选项 A 错误; 由抛物线开口向上,对称轴为直线 x=1,得到对称轴右边 y 随 x 的增大而增大,选项 B 错误;

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由抛物线的对称轴为 x=1,利用对称轴公式得到 2a+b=0,选项 C 错误; 由抛物线与 x 轴的交点为(﹣1,0)及对称轴为 x=1,利用对称性得到抛物线与 x 轴 2 另一个交点为(3,0) ,进而得到方程 ax +bx+c=0 的有一个根为 3,选项 D 正确. 2 解答: 解:由二次函数 y=ax +bx+c 的图象可得:抛物线开口向上,即 a>0, 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半轴,即 c<0, ∴ ac<0,选项 A 错误; 由函数图象可得:当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小; 当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,选项 B 错误; ∵ 对称轴为直线 x=1,∴ ﹣ =1,即 2a+b=0,选项 C 错误;

由图象可得抛物线与 x 轴的一个交点为(﹣1,0) ,又对称轴为直线 x=1, ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0) , 则 x=3 是方程 ax +bx+c=0 的一个根,选项 D 正确. 故选 D. 点评: 此题考查了二次函数图象与系数的关系,以及抛物线与 x 轴的交点,难度适中.二次 函数 y=ax +bx+c=0(a≠0) 的符合由抛物线的开口方向决定,c 的符合由抛物线与 ,a y 轴交点的位置确定,b 的符号由 a 及对称轴的位置决定,抛物线的增减性由对称轴 决定,当抛物线开口向上时,对称轴左边 y 随 x 的增大而减小,对称轴右边 y 随 x 的 增大而增大;当抛物线开口向下时,对称轴左边 y 随 x 的增大而增大,对称轴右边 y 随 x 的增大而减小.此外抛物线解析式中 y=0 得到一元二次方程的解即为抛物线与 x 轴交点的横坐标. 21、 (2013?烟台)如图是二次函数 y=ax +bx+c 图象的一部分,其对称轴为 x=﹣1,且过点 (﹣3,0) .下列说法:① abc<0;② 2a﹣b=0;③ 4a+2b+c<0;④ 若(﹣5,y1)(,y2)是抛 , 物线上两点,则 y1>y2.其中说法正确的是( )
2 2 2

② A.①

③ B.②

② C.①④

③ D.②④

考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 根据图象得出 a>0,b=2a>0,c<0,即可判断①;把 x=2 代入抛物线的解析式即可 ② 判断③ ,求出点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1) ,根据当 x>﹣1 时,y 随 x 的增大而增大即可判断④ . 解答: 解:∵ 二次函数的图象的开口向上, ∴ a>0, ∵ 二次函数的图象 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上, ∴ c<0,

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∵ 二次函数图象的对称轴是直线 x=﹣1, ∴ ﹣ =﹣1,

∴ b=2a>0, ∴ abc<0,∴正确; ① 2a﹣b=2a﹣2a=0,∴正确; ② ∵ 二次函数 y=ax +bx+c 图象的一部分,其对称轴为 x=﹣1,且过点(﹣3,0) . ∴ x 轴的另一个交点的坐标是(1,0) 与 , 2 ∴ x=2 代入 y=ax +bx+c 得:y=4a+2b+c>0,∴错误; 把 ③ 2 ∵ 二次函数 y=ax +bx+c 图象的对称轴为 x=﹣1, ∴ 点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1) , 根据当 x>﹣1 时,y 随 x 的增大而增大, ∵ <3, ∴2<y1,∴正确; y ④ 故选 C. 点评: 本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生的理 解能力和辨析能力. 22、 (2013 泰安)在同一坐标系内,一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax +8x+b 的图象可能是 ( )
2 2

考点:二次函数的图象;一次函数的图象. 分析:令 x=0,求出两个函数图象在 y 轴上相交于同一点,再根据抛物线开口方向向上确定 出 a>0,然后确定出一次函数图象经过第一三象限,从而得解. 解答:解:x=0 时,两个函数的函数值 y=b,X|k | B| 1 . c|O |m 所以,两个函数图象与 y 轴相交于同一点,故 B、D 选项错误; 由 A、C 选项可知,抛物线开口方向向上, 所以,a>0, 所以,一次函数 y=ax+b 经过第一三象限, 所以,A 选项错误,C 选项正确. 故选 C. 点评:本题考查了二次函数图象,一次函数的图象,应该熟记一次函数 y=kx+b 在不同情况 下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等. 2 23、 (2013 泰安)对于抛物线 y=﹣(x+1) +3,下列结论:① 抛物线的开口向下;② 对称轴 为直线 x=1;③ 顶点坐标为(﹣1,3) x>1 时,y 随 x 的增大而减小, ;④ 其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点:二次函数的性质.
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分析:根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解. 解答:解:①a=﹣<0, ∵ ∴ 抛物线的开口向下,正确; ② 对称轴为直线 x=﹣1,故本小题错误; ③ 顶点坐标为(﹣1,3) ,正确; ④x>﹣1 时,y 随 x 的增大而减小, ∵ ∴ x>1 时,y 随 x 的增大而减小一定正确; 综上所述,结论正确的个数是①④ 3 个. ③共 故选 C. 点评:本题考查了二次函数的性质,主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标,以 及二次函数的增减性. 24、 (2013 聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y= y= 经过平移得到抛物线 )

,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为(

A.2 B.4 C.8 D.16 考点:二次函数图象与几何变换. 分析:根据抛物线解析式计算出 y= 的顶点坐标,过点 C 作 CA⊥ 轴于点 A,根据 y

抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形 ACBO 的面积,然后求解即可. 解答:解:过点 C 作 CA⊥ y, ∵ 抛物线 y= =(x ﹣4x)=(x ﹣4x+4)﹣2=(x﹣2) ﹣2,
2 2 2

∴ 顶点坐标为 C(2,﹣2) , 对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为:2×2=4, 故选:B.

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点评: 本题考查了二次函数的问题, 根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解 析式,并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键. 2 25、 (2013 聊城)二次函数 y=ax +bx 的图象如图所示,那么一次函数 y=ax+b 的图象大致是 ( )

A.

B.

C.

D.

考点:二次函数的图象;一次函数的图象. 专题:数形结合. 分析:根据二次函数图象的开口方向向下确定出 a<0,再根据对称轴确定出 b>0,然后根 据一次函数图象解答即可. 解答:解:∵ 二次函数图象开口方向向下, ∴ a<0, ∵ 对称轴为直线 x=﹣ >0,

∴ b>0, ∴ 一次函数 y=ax+b 的图象经过第二四象限,且与 y 轴的正半轴相交, C 选项图象符合. 故选 C. 点评:本题考查了二次函数的图象,一次函数的图象,根据图形确定出 a、b 的正负情况是 解题的关键. 2 2 26、 (2013 菏泽) 已知 b<0 时, 二次函数 y=ax +bx+a ﹣1 的图象如下列四个图之一所示. 根 据图象分析,a 的值等于( )

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A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 考点:二次函数图象与系数的关系. 专题:数形结合. 分析:根据抛物线开口向上 a>0,抛物线开口向下 a<0,然后利用抛物线的对称轴或与 y 轴的交点进行判断,从而得解. 解答:解:由图可知,第 1、2 两个图形的对称轴为 y 轴,所以 x=﹣ 解得 b=0, 与 b<0 相矛盾; 第 3 个图,抛物线开口向上,a>0, 2 经过坐标原点,a ﹣1=0, 解得 a1=1,a2=﹣1(舍去) , 对称轴 x=﹣ =﹣ >0, =0,

所以 b<0,符合题意, 故 a=1, 第 4 个图,抛物线开口向下,a<0, 经过坐标原点,a ﹣1=0, 解得 a1=1(舍去) 2=﹣1, ,a 对称轴 x=﹣ =﹣ >0,
2

所以 b>0,不符合题意, 综上所述,a 的值等于 1. 故选 C. 2 点评:本题考查了二次函数 y=ax +bx+c 图象与系数的关系,a 的符号由抛物线开口方向确 定,难点在于利用图象的对称轴、与 y 轴的交点坐标判断出 b 的正负情况,然后与题目已知 条件 b<0 比较. 2 27、 (2013? 德州)函数 y=x +bx+c 与 y=x 的图象如图所示,有以下结论: 2 2 ①b ﹣4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当 1<x<3 时,x +(b﹣1)x+c<0. 其中正确的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

考点: 二次函数图象与系数的关系. 2 2 分析: 由函数 y=x +bx+c 与 x 轴无交点,可得 b ﹣4c<0;当 x=1 时,y=1+b+c=1;当 x=3 2 时,y=9+3b+c=3;当 1<x<3 时,二次函数值小于一次函数值,可得 x +bx+c<x, 继而可求得答案.

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2 解答: 解:∵函数 y=x +bx+c 与 x 轴无交点, 2 ∴b ﹣4c<0; 故①错误; 当 x=1 时,y=1+b+c=1, 故②错误; ∵当 x=3 时,y=9+3b+c=3, ∴3b+c+6=0; ③正确; ∵当 1<x<3 时,二次函数值小于一次函数值,

∴x +bx+c<x, 2 ∴x +(b﹣1)x+c<0. 故④正确. 故选 B. 点评: 主要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的 应用. 28、 (2013?滨州)如图,二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且对称轴为 x=1,点 B 坐标为(﹣1,0) .则下面的四个结论: ① 2a+b=0;② 4a﹣2b+c<0;③ ac>0;④ y<0 时,x<﹣1 或 x>2. 当 其中正确的个数是( )
2

2

A.1

B.2

C.3

D.4

考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 根据对称轴为 x=1 可判断出 2a+b=0 正确, x=﹣2 时, 当 4a﹣2b+c<0, 根据开口方向, 以及与 y 轴交点可得 ac<0,再求出 A 点坐标,可得当 y<0 时,x<﹣1 或 x>3. 解答: 解:∵ 对称轴为 x=1, ∴ x=﹣ =1,

∴ ﹣b=2a, ∴2a+b=0,故此选项正确; ① ∵ B 坐标为(﹣1,0) 点 , ∴ x=﹣2 时,4a﹣2b+c<0,故此选项正确; 当 ∵ 图象开口向下,∴ a<0, ∵ 图象与 y 轴交于正半轴上, ∴ c>0,

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∴ ac<0,故 ac>0 错误; ∵ 对称轴为 x=1,点 B 坐标为(﹣1,0) , ∴ 点坐标为: A (3,0) , ∴ y<0 时,x<﹣1 或 x>3. 当 , 故④ 错误; 故选:B. 2 点评: 此题主要考查了二次函数与图象的关系,关键掌握二次函数 y=ax +bx+c(a≠0) ① 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小. 当 a>0 时, 抛物线向上开口; a<0 时, 当 抛物线向下开口; 还可以决定开口大小, IaI IaI 越大开口就越小. ② 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置. 当 a 与 b 同号时(即 ab>0) ,对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0) ,对称 轴在 y 轴右. (简称:左同右异) ③ .常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点. 抛物线与 y 轴交于(0,c) . ④ 抛物线与 x 轴交点个数. △ ﹣4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;△ ﹣4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个 =b =b 2 交点;△ ﹣4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点. =b 29、 (2013?呼和浩特)在同一直角坐标系中,函数 y=mx+m 和 y=﹣mx +2x+2(m 是常数, 且 m≠0)的图象可能是( ) A. B. C. D.
[来源:z&zs tep*~@.^com]

2

2

2

考点: 二次函数的图象;一次函数的图象. 分析: 本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题, 关键是 m 的正负的确 2 定,对于二次函数 y=ax +bx+c,当 a>0 时,开口向上;当 a<0 时,开口向下.对称
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轴为 x=

,与 y 轴的交点坐标为(0,c) .

解答: 解:当二次函数开口向上时,﹣m>0,m<0, 对称轴 x= <0,

这时二次函数图象的对称轴在 y 轴左侧, 一次函数图象过二、三、四象限.故选 D. 点评: 主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力, 要掌握它们的 性质才能灵活解题. 30、 (2013?包头)已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:① b<0; 2 2 ② 4a+2b+c<0;③ a﹣b+c>0;④ (a+c) <b .其中正确的结论是( )
2

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② A.①

③ B.①

③ C.①④

②④ D.①③

考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系, 由对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理, 利用图象将 x=1,﹣1,2 代入函数解析式判断 y 的值,进而对所得结论进行判断. 解答: 解:① 图象开口向上,对称轴在 y 轴右侧,能得到:a>0,﹣ >0,则 b<0,正确;
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②对称轴为直线 x=1,∴ 与 x=0 时的函数值相等,∴ x=2 时,y=4a+2b+c>0,错 ∵ x=2 当 误; ③ x=﹣1 时,y=a﹣b+c>0,正确; 当 ④a﹣b+c>0,∴ ∵ a+c>b;∵ x=1 时,y=a+b+c<0,∴ 当 a+c<﹣b;∴ b<a+c<﹣b,∴ |a+c| 2 2 <|b|,∴ (a+c) <b ,正确. 所以正确的结论是①④ ③. 故选 C. 点评: 本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系,会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关 系,以及二次函数与方程之间的转换,将 x=1,﹣1,2 代入函数解析式判断 y 的值是 解题关键,得出 b<a+c<﹣b 是本题的难点. 31、 (2013 鞍山) 如图所示的抛物线是二次函数 y=ax +bx+c (a≠0) 的图象, 则下列结论: abc ① >0;② b+2a=0;③ 抛物线与 x 轴的另一个交点为(4,0) a+c>b;⑤ ;④ 3a+c<0. 其中正确的结论有( )
2

A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 考点:二次函数图象与系数的关系. 分析:由开口方向、与 y 轴交于负半轴以及对称轴的位置,即可确定 a,b,c 的正负;由对 称轴 x=﹣ =1,可得 b+2a=0;由抛物线与 x 轴的一个交点为(﹣2,0) ,对称轴为:x=1,

可得抛物线与 x 轴的另一个交点为 (4, ; x=﹣1 时, 0) 当 y=a﹣b+c<0; a﹣b+c<0, b+2a=0, 即可得 3a+c<0.

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解答:解:∵ 开口向上, ∴ a>0, ∵ y 轴交于负半轴, 与 ∴ c<0, ∵ 对称轴 x=﹣ ∴ b<0, ∴ abc>0; 故① 正确; ∵ 对称轴 x=﹣ =1, >0,

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∴ b+2a=0; 故② 正确; ∵ 抛物线与 x 轴的一个交点为(﹣2,0) ,对称轴为:x=1, ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为(4,0) ; 故③ 正确; ∵ x=﹣1 时,y=a﹣b+c<0, 当 ∴ a+c<b, 故④ 错误; ∵ a﹣b+c<0,b+2a=0, ∴ 3a+c<0; 故⑤ 正确. 故选 B. 点评:主要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的 应用. 2 32、 (2013?徐州)二次函数 y=ax +bx+c 图象上部分点的坐标满足下表: … … x 0 1 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … … y ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 则该函数图象的顶点坐标为( ) A.(﹣3,﹣3) B.(﹣2,﹣2) C.(﹣1,﹣3) D.(0,﹣6) 考点: 二次函数的性质. 分析: 根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴,然后解答即可. 解答: 解:∵ x=﹣3 和﹣1 时的函数值都是﹣3 相等, ∴ 二次函数的对称轴为直线 x=﹣2, ∴ 顶点坐标为(﹣2,﹣2) . 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的对称性,仔细观察表格数据确定 出对称轴是解题的关键. 33、 (2013?苏州)已知二次函数 y=x ﹣3x+m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为(1, 2 0) ,则关于 x 的一元二次方程 x ﹣3x+m=0 的两实数根是( ) A.x1=1,x2=﹣1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3 考点: 抛物线与 x 轴的交点.
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2 2 分析: 关于 x 的一元二次方程 x ﹣3x+m=0 的两实数根就是二次函数 y=x ﹣3x+m(m 为常 数)的图象与 x 轴的两个交点的横坐标. 2 解答: 解:∵ 二次函数的解析式是 y=x ﹣3x+m(m 为常数) ,

∴ 该抛物线的对称轴是:x= . 又∵ 二次函数 y=x ﹣3x+m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为(1,0) , ∴ 根据抛物线的对称性质知,该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是(2,0) , 2 ∴ 关于 x 的一元二次方程 x ﹣3x+m=0 的两实数根分别是:x1=1,x2=2. 故选 B. 点评: 本题考查了抛物线与 x 轴的交点.解答该题时,也可以利用代入法求得 m 的值,然后 2 来求关于 x 的一元二次方程 x ﹣3x+m=0 的两实数根. 34、 (2013?株洲)二次函数 y=2x +mx+8 的图象如图所示,则 m 的值是(
2 2



A.﹣8

B.8

C.±8

D.6

考点: 抛物线与 x 轴的交点. 分析: 根据抛物线与 x 轴只有一个交点,△ =0,列式求出 m 的值,再根据对称轴在 y 轴的左 边求出 m 的取值范围,从而得解. 解答: 解:由图可知,抛物线与 x 轴只有一个交点, 2 所以,△ ﹣4×2×8=0, =m 解得 m=±8,
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∵ 对称轴为直线 x=﹣

<0,

∴ m>0, ∴ 的值为 8. m 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数图象与 x 轴的交点问题, 本题易错点在于要根据对称轴确定出 m 是正数. 35、 (2013?张家界)若正比例函数 y=mx(m≠0) 随 x 的增大而减小,则它和二次函数 ,y 2 y=mx +m 的图象大致是( )

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A. B.

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C. D.

考点: 二次函数的图象;正比例函数的图象. 2 分析: 根据正比例函数图象的性质确定 m<0,则二次函数 y=mx +m 的图象开口方向向下, 且与 y 轴交于负半轴. 解答: 解:∵ 正比例函数 y=mx(m≠0) 随 x 的增大而减小, ,y ∴ 该正比例函数图象经过第一、三象限,且 m<0.
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∴ 二次函数 y=mx +m 的图象开口方向向下,且与 y 轴交于负半轴. 综上所述,符合题意的只有 A 选项. 故选 A. 点评: 本题考查了二次函数图象、正比例函数图象.利用正比例函数的性质,推知 m<0 是 解题的突破口. 36、 (2013?常州)二次函数 y=ax +bx+c(a、b、c 为常数且 a≠0)中的 x 与 y 的部分对应值 如下表: x 0 1 2 3 4 5 ﹣3 ﹣2 ﹣1 y 12 5 0 0 5 12 ﹣3 ﹣4 ﹣3 给出了结论: 2 (1)二次函数 y=ax +bx+c 有最小值,最小值为﹣3; (2)当 时,y<0;
2 2

2

(3)二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧. 则其中正确结论的个数是( ) 3 2 A. B. C.1 D.0 考点: 二次函数的最值;抛物线与 x 轴的交点. 分析: 根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 x=1,然后根据二次函数的性质对各小题 分析判断即可得解. 解答: 解;由表格数据可知,二次函数的对称轴为直线 x=1, 2 所以,当 x=1 时,二次函数 y=ax +bx+c 有最小值,最小值为﹣4;故(1)小题错误; 根据表格数据,当﹣1<x<3 时,y<0,
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所以,﹣ <x<2 时,y<0 正确,故(2)小题正确; 二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点,分别为(﹣1,0) (3,0) ,它们分 别在 y 轴两侧,故(3)小题正确; 综上所述,结论正确的是(2) (3)共 2 个. 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数的最值,抛物线与 x 轴的交点,仔细分析表格数据,熟练掌握二 次函数的性质是解题的关键.
2

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) D.(﹣3,﹣1)

37、 (2013?益阳)抛物线 y=2(x﹣3) +1 的顶点坐标是( A.(3,1) B.(3,﹣1) C.(﹣3,1)

考点: 二次函数的性质.新-课 -标- 第-一- 网 分析: 根据顶点式解析式写出顶点坐标即可. 2 解答: 解:抛物线 y=2(x﹣3) +1 的顶点坐标是(3,1) . 故选 A. 点评: 本题考查了二次函数的性质,熟练掌握顶点式解析式是解题的关键. 38、 (2013?十堰)如图,二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0, 2 1)和(﹣1,0) .下列结论:① ab<0,② >4a,③ b 0<a+b+c<2,④ 0<b<1,⑤ x>﹣1 时, 当 y>0,其中正确结论的个数是( )
2

A.5 个

B.4 个

C.3 个

D.2 个

考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 由抛物线的对称轴在 y 轴右侧,可以判定 a、b 异号,由此确定① 正确; 2 由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b ﹣4ac>0,又抛物线过点(0,1) ,得出 c=1,由此 判定② 正确; 由抛物线过点(﹣1,0) ,得出 a﹣b+c=0,即 a=b﹣1,由 a<0 得出 b<1;由 a<0, 及 ab<0,得出 b>0,由此判定④ 正确; 由 a﹣b+c=0,及 b>0 得出 a+b+c=2b>0;由 b<1,c=1,a<0,得出 a+b+c<a+1+1 <2,由此判定③ 正确; 2 由图象可知,当自变量 x 的取值范围在一元二次方程 ax +bx+c=0 的两个根之间时, 函数值 y>0,由此判定⑤ 错误. 2 解答: 解:∵ 二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)过点(0,1)和(﹣1,0) , ∴ c=1,a﹣b+c=0.
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①抛物线的对称轴在 y 轴右侧,∴ ∵ x=﹣ ∴ 与 b 异号,∴ a ab<0,正确;

>0,

②抛物线与 x 轴有两个不同的交点,∴ ﹣4ac>0, ∵ b 2 2 ∵ c=1,∴ ﹣4a>0,b >4a,正确; b ④抛物线开口向下,∴ ∵ a<0, ∵ ab<0,∴ b>0. ∵ a﹣b+c=0,c=1,∴ a=b﹣1, ∵ a<0,∴ b﹣1<0,b<1, ∴ 0<b<1,正确; ③a﹣b+c=0,∴ ∵ a+c=b, ∴ a+b+c=2b>0.

2

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∵ b<1,c=1,a<0, ∴ a+b+c=a+b+1<a+1+1=a+2<0+2=2, ∴ 0<a+b+c<2,正确; 2 ⑤ 抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴的一个交点为(﹣1,0) ,设另一个交点为(x,0) ,则 x0 >0, 由图可知,当 x0>x>﹣1 时,y>0,错误; 综上所述,正确的结论有①③. ②④ 故选 B. 点评: 本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系,不等式的性质,难度适中.二次函数 y=ax +bx+c(a≠0) 的符号由抛物线开口方向决定;b 的符号由对称轴的位置及 a ,a 的符号决定;c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置决定;抛物线与 x 轴的交点个数, 2 决定了 b ﹣4ac 的符号,此外还要注意二次函数与方程之间的转换. 39、 (2013?白银)已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,在下列五个结论中: ① 2a﹣b<0;② abc<0;③ a+b+c<0;④ a﹣b+c>0;⑤ 4a+2b+c>0, 错误的个数有( )
2 2

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系, 利用图象将 x=1,﹣1,2 代入函数解析式判断 y 的值,进而对所得结论进行判断. 解答: 解:①由函数图象开口向下可知,a<0,由函数的对称轴 x=﹣ <0,故 b>0,所 ∵ 以 2a﹣b<0,① 正确; ②a<0,对称轴在 y 轴左侧,a,b 同号,图象与 y 轴交于负半轴,则 c<0,故 abc< ∵ 0;② 正确; ③ x=1 时,y=a+b+c<0,③ 当 正确; ④ x=﹣1 时,y=a﹣b+c<0,④ 当 错误; ⑤ x=2 时,y=4a+2b+c<0,⑤ 当 错误; 故错误的有 2 个. 故选:B.

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点评: 此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系,将 x=1,﹣1,2 代入函数解析式判 断 y 的值是解题关键. 40、 (2013?恩施州)把抛物线 到的抛物线的解析式为( A. B. ) C. D. 先向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,得

考点: 二次函数图象与几何变换 分析: 确定出平移前的抛物线的顶点坐标,然后根据向右平移横坐标加,向下平移纵坐标减 求出平移后的抛物线的顶点坐标,然后利用顶点式形式写出抛物线解析式即可. 解答: 2 解:抛物线 y= x ﹣1 的顶点坐标为(0,﹣1) , ∵ 向右平移一个单位,再向下平移 2 个单位, ∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为(1,﹣3) , ∴ 得到的抛物线的解析式为 y= (x﹣1) ﹣3. 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减, 利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便. 41、 (2013?鄂州)小轩从如图所示的二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象中,观察得出了下 面五条信息: ① ab>0;② a+b+c<0;③ b+2c>0;④ a﹣2b+4c>0;⑤ 你认为其中正确信息的个数有( ) .
2 2

A.2 个

B.3 个

C.4 个

D.5 个

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考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系, 然后根据对称轴及抛物线 与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解答: 解:① 如图,∵ 抛物线开口方向向下,∴ a<0. ∵ 对称轴 x=﹣ =﹣ ,∴ a<0, b=

∴ ab>0.故① 正确; ② 如图,当 x=1 时,y<0,即 a+b+c<0. 故② 正确; ③ 如图,当 x=﹣1 时,y=a﹣b+c>0, ∴ 2a﹣2b+2c>0,即 3b﹣2b+2c>0, ∴ b+2c>0. 故③ 正确; ④ 如图,当 x=﹣1 时,y>0,即 a﹣b+c>0. 抛物线与 y 轴交于正半轴,则 c>0. ∵ b<0, ∴ c﹣b>0, ∴ (a﹣b+c)+(c﹣b)+2c>0,即 a﹣2b+4c>0. 故④ 正确;

⑤ 如图,对称轴 x=﹣

=﹣ ,则

.故⑤ 正确.

综上所述,正确的结论是①③⑤ ②④,共 5 个. 故选 D. 2 点评: 本题考查了二次函数图象与系数的关系 .二次函数 y=ax +bx+c 系数符号由抛物线开 口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定. 42、(2013 哈尔滨)把抛物线 y=(x+1) 向下平移 2 个单位,再向右平移 1 个单位,所得到 的抛物线是( ). 2 2 2 2 (A)y=(x+2) +2 (B)y=(x+2) -2 (C)y=x +2 (D)y=x -2 考点:抛物线的平移 分析:根据平移概念,图形平移变换,图形上每一点移动规律都是一样的,也可用抛物线顶 点移动.即(-1,0)—→(0,-2). 解答:根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律:“左加右减,上加下减.”故选 D. 2 (2013?遵义) 二次函数 y=ax +bx+c a≠0) ( 的图象如图如图所示, M=a+b﹣c, 若 N=4a﹣2b+c, P=2a﹣b.则 M,N,P 中,值小于 0 的数有( )
2

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A.3 个 B.2 个

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C.1 个 D.0 个

考点: 二次函数图象与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: 根据图象得到 x=﹣2 时对应的函数值小于 0,得到 N=4a﹣2b+c 的值小于 0,根据对 称轴在直线 x=﹣1 右边,利用对称轴公式列出不等式,根据开口向下得到 a 小于 0, 变形即可对于 P 作出判断,根据 a,b,c 的符号判断得出 a+b﹣c 的符号. 解答: 解:∵ 图象开口向下,∴ a<0, ∵ 对称轴在 y 轴左侧, ∴ a,b 同号, ∴ a<0,b<0, ∵ 图象经过 y 轴正半轴, ∴ c>0, ∴ M=a+b﹣c<0, 当 x=﹣2 时,y=4a﹣2b+c<0, ∴ N=4a﹣2b+c<0,
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∵ ﹣

>﹣1,

∴ <1, ∴ b>2a, ∴ 2a﹣b<0, ∴ P=2a﹣b<0, 则 M,N,P 中,值小于 0 的数有 M,N,P. 故选:A. 点评: 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,根据图象判断出对称轴以及 a,b,c 的 符号是解题关键. 43、 (2013?黔西南州)如图所示,二次函数 y=ax +bx+c 的图象中,王刚同学观察得出了下 2﹣ 面四条信息: (1) 4ac>0; b (2) c>1; (3) 2a﹣b<0; (4) a+b+c<0, 其中错误的有 ( )
2

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系, 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解答: (1)图象与 x 轴有 2 个交点,依据根的判别式可知 b2﹣4ac>0,正确; 解:

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(2)图象与 y 轴的交点在 1 的下方,所以 c<1,错误; (3)∵ 对称轴在﹣1 的右边,∴ ﹣ >﹣1,又 a<0,∴ 2a﹣b<0,正确;

(4)当 x=1 时,y=a+b+c<0,正确; 故错误的有 1 个. 故选:A. 点评: 本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系,会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关 系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用. 44、 (2013?黔东南州)二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,则下列结论正确的是(
2



A.a<0,b<0,c>0,b2﹣4ac>0 C. a<0,b>0,c<0,b2﹣4ac>0

B. a>0,b<0,c>0,b2﹣4ac<0 D.a<0,b>0,c>0,b2﹣4ac>0

考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,再结合抛物线的对称轴与 y 轴的关系判断 b 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,根据抛物线与 x 轴交点的个 2 数判断 b ﹣4ac 与 0 的关系. 解答: 解:∵抛物线的开口向下, ∴a<0, ∵对称轴在 y 轴右边, ∴a,b 异号即 b>0, ∵抛物线与 y 轴的交点在正半轴, ∴c>0, ∵抛物线与 x 轴有 2 个交点, 2 ∴b ﹣4ac>0. 故选 D. 2 点评: 二次函数 y=ax +bx+c 系数符号的确定: (1)a 由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则 a>0;否则 a<0. (2)b 由对称轴和 a 的符号确定:由对称轴公式 x= 判断符号.

(3)c 由抛物线与 y 轴的交点确定:交点在 y 轴正半轴,则 c>0;否则 c<0. 2 2 (4)b ﹣4ac 由抛物线与 x 轴交点的个数确定:2 个交点,b ﹣4ac>0;1 个交点, 2 2 b ﹣4ac=0;没有交点,b ﹣4ac<0. 45、 (2013?毕节地区)将二次函数 y=x 的图象向右平移一个单位长度,再向上平移 3 个单 位长度所得的图象解析式为( ) 2 A.y=(x﹣1) +3 B.y=(x+1)2+3 C.y=(x﹣1)2﹣3 D.y=(x+1)2﹣3 考点: 二次函数图象与几何变换.
2

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分析: 由二次函数 y=x2 的图象向右平移一个单位长度,再向上平移 3 个单位长度,根据平 移的性质, 即可求得所得图象的函数解析式. 注意二次函数平移的规律为: 左加右减, 上加下减. 2 解答: 解:∵ 二次函数 y=x 的图象向右平移一个单位长度,再向上平移 3 个单位长度, ∴ 所得图象的函数解析式是:y=(x﹣1) +3. 故选 A. 点评: 本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答 此题的关键. 46、 2013?南宁) ( 已知二次函数 y=ax +bx+c a≠0) ( 的图象如图所示, 下列说法错误的是 (
2 2



A.图象关于直线 x=1 对称 B. 函数 ax +bx+c(a≠0)的最小值是﹣4 2 C. ﹣1 和 3 是方程 ax +bx+c(a≠0)的两个根D.当 x<1 时,y 随 x 的增大而增大 考点: 二次函数的性质. 分析: 根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况,结合二次函数的性质,即可对所得结论进行判 断. 解答: 解:A、观察图象,可知抛物线的对称轴为直线 x=1,则图象关于直线 x=1 对称,正 确,故本选项不符合题意; B、观察图象,可知抛物线的顶点坐标为(1,﹣4) ,又抛物线开口向上,所以函数
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2

ax +bx+c(a≠0)的最小值是﹣4,正确,故本选项不符合题意; C、由图象可知抛物线与 x 轴的一个交点为(﹣1,0) ,而对称轴为直线 x=1,所以抛 2 物线与 x 轴的另外一个交点为(3,0) ,则﹣1 和 3 是方程 ax +bx+c(a≠0)的两个根, 正确,故本选项不符合题意; D、由抛物线的对称轴为 x=1,所以当 xx<1 时,y 随 x 的增大而减小,错误,故本 选项符合题意. 故选 D. 点评: 此题考查了二次函数的性质和图象,解题的关键是利用数形结合思想解题. 47、(2013 年深圳市)已知二次函数 y ? a ( x ? 1) ? c 的图像如图 2 所示,则一次函数 y ? ax ? c 的大致图像可能是( )
2

2

答案:A 解析:由图象可知 a>0,-c<0,因此 a>0,c>0,选 A。

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2

(2013 甘肃兰州 4 分、13)二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法不正 确的是( )

A.b ﹣4ac>0

2

B.a>0 C.c>0 D.

考点:二次函数图象与系数的关系. 分析:由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系, 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解答:解:A.正确,∵ 抛物线与 x 轴有两个交点,∴=b ﹣4ac>0; △ B.正确,∵ 抛物线开口向上,∴ a>0; C.正确,∵ 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴,∴ c>0; D.错误,∵ 抛物线的对称轴在 x 的正半轴上,∴ ﹣ >0.
2

故选 D. 点评:主要考查二次函数图象与系数之间的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判 别式的熟练运用. 48、 (2013 甘肃兰州 4 分、3)二次函数 y=2(x﹣1) +3 的图象的顶点坐标是( A. (1,3) B. (﹣1,3) C. (1,﹣3) D. (﹣1,﹣3) 考点:二次函数的性质. 分析:直接根据抛物线的顶点式的特点即可确定顶点坐标. 2 解答:解:∵ y=2(x﹣1) +3, ∴ 其顶点坐标是(1,3) . 故选 A. 点评:主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法. 49、 (2013 台湾、 坐标平面上有一函数 y=﹣3x +12x﹣7 的图形, 8) 其顶点坐标为何? ( A. (2,5) B. (2,﹣19) C. (﹣2,5) D. (﹣2,﹣43) 考点:二次函数的性质. 分析:把函数解析式整理成顶点式形式,然后写出顶点坐标即可得解. 2 2 解答:解:∵ y=﹣3x +12x﹣7=﹣3(x ﹣4x+4)+12﹣7, 2 =﹣3(x﹣2) +5, ∴ 函数的顶点坐标为(2,5) . 故选 A. 点评: 本题考查了二次函数的性质, 把函数解析式转化为顶点式形式再确定顶点坐标更加简 便. 50、 (2013?湖州)如图,在 10×10 的网格中,每个小方格都是边长为 1 的小正方形,每个小 正方形的顶点称为格点. 若抛物线经过图中的三个格点, 则以这三个格点为顶点的三角形称 为抛物线的“内接格点三角形”.以 O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,若抛物
2 2





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线与网格对角线 OB 的两个交点之间的距离为 , 且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线 的内接格点三角形的三个顶点, 则满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是 ( )

A.16

B.15

C.14

D.13

考点: 二次函数综合题. 分析: 根据在 OB 上的两个交点之间的距离为 3 可知两交点的横坐标的差为 3,然后作出 最左边开口向下的抛物线,再向右平移 1 个单位,向上平移 1 个单位得到开口向下的 抛物线的条数,同理可得开口向上的抛物线的条数,然后相加即可得解. 解答: 解:如图,开口向下,经过点(0,0)(1,3)(3,3)的抛物线的解析式为 y=﹣ , , x +4x, 然后向右平移 1 个单位,向上平移 1 个单位一次得到一条抛物线, 可平移 6 次, 所以,一共有 7 条抛物线, 同理可得开口向上的抛物线也有 7 条, 所以,满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是:7+7=14. 故选 C.
2

点评: 本题是二次函数综合题型,主要考查了网格结构的知识与二次函数的性质,二次函数 图象与几何变换,作出图形更形象直观. 51、(德阳市 2013 年)已知二次函数 y=ax2+bx+c ( a ? 0)的图象如图所示,有下列 5 个结 论: ①abc<0; ②b<a+c; ③4a+2b+c>0 ④2c<3b;⑤a+b<m (am+b)(m≠1 的实数) 其中正确结论的序号有______ 答案:①③④ y b 解析:由图象可知,a<0,c>0, ? >0,所以,b>0,

2a

因此,abc<0,①正确;当 x=-1 时,y<0,所以,a-
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-1 O

x 1 18 题图

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b =1,所以,b=-2a,4a+2b+c 2a

b+c<0,即 b>a+c,所以,②错误;对于③,对称轴 ?

=4a-4a+c,③正确;对于④ ④∵由①②知 b=-2a 且 b>a+c,所以,2b>2a+2c,∴2c<3b,④正确; ⑤∵x=1 时,y=a+b+c(最大值),x=m 时,y=am2+bm+c, ∵m≠1 的实数,∴a+b+c>am2+bm+c, ∴a+b>m(am+b)成立.∴⑤错误 选①③④ 52、 (绵阳市 2013 年) 已知整数 k<5, 若△ABC 的边长均满足关于 x 的方程 x 2 ? 3 k x ? 8 ? 0 , 则△ABC 的周长是 10 。 5 [解析]△=(-3 k )2-32≥0, 3 ≤k<5,k 为整数,k=4,x2-6x+8=0,x=2 或 4, 9 △ABC 的边长为 2、4,则只能是等腰三角形,2+2≦4,以 2、2、4 为边长不能构成三角形; 4-4<2,4+4>2,以 4、4、2 为边长能构成等腰三角形,所以△ABC 的周长=4+4+2=10。 53、(绵阳市 2013 年)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,给出下列结论:①2a+b>0; ②b>a>c;③若-1<m<n<1,则 m+n< ? ④ (写出你认为正确的所有结论序号). [解析]抛物线开口向下,a <0, 2a<0,对称轴 x= -b<2a ,b>-2a>0>a ,令抛物线的解析式为 y=交点的横坐标分别为 1 和 2, 2 -b >1,-b<2a ,2a+b>0 ,①正确; 2a
b ;④3|a|+|c|<2|b|。其中正确的结论是 ① a



1 2 1 x +bx- ,此时,a=c,欲使抛物线与 x 轴 2 2

1 1 5 1 5 1 则( +2)/2=-b/(- ),b= , 抛物线 y=- x2 + x符合“开口向下,与 x 轴的一 2 2 4 2 4 2 个交点的横坐标在 0 与 1 之间, 对称轴在直线 x=1 右侧” 的特点, 而此时 a=c 其实 a>c,a<c,a=c ( -b -b -b 都有可能) ②错误; , -1<m<n<1, -2<m+n<2,抛物线的对称轴为 x= >1, >2, m+n< , 2a a a ③正确; 当 x=1 时,a+b+c>0,2a+b>0,3a+2b+c>0, 3a+c>-2b, -3a-c<2b , a<0 , c<0 , b>0 , 3|a|+|c|=-3a-c<2b=2|b|,④正确。 54、(2013 年黄石)若关于 x 的函数 y ? kx ? 2 x ? 1 与 x 轴仅有一个公共点,则实数 k 的值
2

为 . 答案: k ? 0 或 k ? ?1 解析:函数与 x 轴只有一个交点,有两个可能: (1)当 k=0 时,是一次函数,符合; (2) 当 k≠0 时,△=4+4k=0,解得 k=-1,所以,k=0 或 k=-1。 55、(2013 河南省)如图,抛物线的顶点为 P (?2, 2), 与 y 轴

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'

交于点 A(0,3) ,若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P (2, ?2) ,点 A 的对应点为

A' ,则抛物线上 PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为
【解析】阴影部分 PAA ' P ' 可认为是一个平行四边形,

PP ' ? [2 ? (?2)]2 ? (?2 ? 2) 2 ? 4 2

过 A 作 AB ? PP ' ,则 AB ? OA? 45? ? 3 ? sin

2 3 2 ? 2 2

∴阴影部分 PAA ' P ' 的面积为 S ? PP '? AB ? 4 2 ?

3 2 ? 12 2

【答案】12

56、 (2013?淮安)二次函数 y=x +1 的图象的顶点坐标是 (0,1) . 考点: 二次函数的性质. 分析: 根据顶点式解析式写出顶点坐标即可. 2 解答: 解:二次函数 y=x +1 的图象的顶点坐标是(0,1) . 故答案为: (0,1) . 点评: 本题考查了二次函数的性质,熟练掌握顶点式解析式是解题的关键.
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2

57、 (2013?荆门)若抛物线 y=x +bx+c 与 x 轴只有一个交点,且过点 A(m,n) ,B(m+6, n) ,则 n= 9 . 考点: 抛物线与 x 轴的交点. 分析: 2 2 首先,由“抛物线 y=x +bx+c 与 x 轴只有一个交点”推知 x=﹣ 时,y=0.且 b ﹣4c=0,
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2

即 b =4c; 其次,根据抛物线对称轴的定义知点 A、B 关于对称轴对称,则 A(﹣ ﹣3,n) ,B (﹣ +3,n) ; 最后, 根据二次函数图象上点的坐标特征知 n= ﹣ ﹣3)+b ﹣ ﹣3) ( ( +c= 所以把 b =4c 代入即可求得 n 的值. 2 解答: 解:∵ 抛物线 y=x +bx+cx 轴只有一个交点,
2 2

2

b +c+9,

2

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2

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2

∴ x=﹣ 时,y=0.且 b ﹣4c=0,即 b =4c. 当 又∵ A(m,n) 点 ,B(m+6,n) , ∴ A、B 关于直线 x=﹣ 对称, 点 ∴ A(﹣ ﹣3,n) ,B(﹣ +3,n) 将 A 点坐标代入抛物线解析式,得:n=(﹣ ﹣3) +b(﹣ ﹣3)+c= ∵ =4c, b ∴ n= ×4c+c+9=9.
2 2

b +c+9

2

故答案是:9. 2 点评: 本题考查了抛物线与 x 轴的交点.二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的 交点与一元二次方程 ax +bx+c=0 根之间的关系. 2 △ ﹣4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数. =b 2 △ ﹣4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点; =b 2 △ ﹣4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点; =b 2 △ ﹣4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点. =b
2

58、(2013 年河北)如图 12,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为 C1,它与 x 轴交于点 O,A1; 将 C1 绕点 A1 旋转 180° C2,交 x 轴于点 A2; 得 将 C2 绕点 A2 旋转 180° C3,交 x 轴于点 A3; 得 ?? 如此进行下去,直至得 C13.若 P(37,m) 在第 13 段抛物线 C13 上,则 m =_________. 答案:2 解析:C1:y=-x(x-3)(0≤x≤3) C2:y=(x-3)(x-6)(3≤x≤6) C3:y=-(x-6)(x-9)(6≤x≤9) C4:y=(x-9)(x-12)(9≤x≤12) ┉ C13:y=-(x-36)(x-39)(36≤x≤39),当 x=37 时,y=2,所以,m=2。 59、(2013 年广东湛江)抛物线 y ? x ? 1 的最小值是
2 2 2



解析:主要考查学生对一些常见的数学结论的掌握,? x ? 0,? x ? 1 ? 1, 即 y ? 1 ,? y 的 最小值为 1

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60、 (2013 甘肃兰州 4 分、20)如图,以扇形 OAB 的顶点 O 为原点,半径 OB 所在的直线 为 x 轴,建立平面直角坐标系,点 B 的坐标为(2,0) ,若抛物线 y= x +k 与扇形 OAB 的 边界总有两个公共点,则实数 k 的取值范围是 .
2

考点:二次函数的性质. 分析:根据∠ AOB=45°求出直线 OA 的解析式,然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点 时的 k 值,即为一个交点时的最大值,再求出抛物线经过点 B 时的 k 的值,即为一个交点 时的最小值,然后写出 k 的取值范围即可. 解答:解:由图可知,∠ AOB=45°, ∴ 直线 OA 的解析式为 y=x,

联立

消掉 y 得,

x ﹣2x+2k=0, 2 △ =(﹣2) ﹣4×1×2k=0, 即 k= 时,抛物线与 OA 有一个交点, 此交点的横坐标为 1, ∵ B 的坐标为(2,0) 点 , ∴ OA=2, ∴ A 的坐标为( , ) 点 , ∴ 交点在线段 AO 上; 当抛物线经过点 B(2,0)时, ×4+k=0, 解得 k=﹣2, ∴ 要使抛物线 y= x +k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点, 实数 k 的取值范围是﹣2<k< . 故答案为:﹣2<k< . 点评:本题考查了二次函数的性质,主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法,根 据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键. 61、(13 年北京 4 分 10)请写出一个开口向上,并且与 y 轴交于点(0,1)的抛物线的解 析式__________ 答案:y=x2+1
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解析:此题答案不唯一,只要二次项系数大于 0,经过点(0,1)即可。

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