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2011-2012第一学期高一数学期末考试


2011-2012 第一学期期末考试 高一数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页.第Ⅱ卷 3 至 4 页.必做题 150 分,附加题 10 分,共 160 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题
注意事项:

共 60 分)

每小题选出答案后,用铅笔

把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {2, 3, 4} , B ? {2, 4, 6} ,若 x ? A 且 x ? B ,则 x ? (A)

2

(B)

3

(C)

4

(D)

6

2.函数 y ?

( x ? 2) 0 x ?1

的定义域为

(A) (C)

?x x ? 1且x ? 2? ?x x ? ?1且x ? 2?
(B) -2

(B) (D)

?x x ? ?1且x ? 2?
?x x ? ?1?
(D) -1 或 2

3.直线 x ? ay ? 7 ? 0 与直线 (a ? 1) x ? 2 y ? 14 ? 0 互相平行,则 a 的值是 (A) 1 (C) 1 或-2

4.已知函数 f ( x) ? ?

?3 x , x ? 0 1 ,则 f ( f ( )) 的值是 2 ?log 2 x , x ? 0
(B) 3 (C)

(A)

?3

1 3

(D)

?

1 3

5.下列函数 f ( x), g ( x) 表示的是相同函数的是 (A)

f ( x) ? 2 x , g ( x) ? log2 x
f ( x) ? x, g ( x) ? x2 x

(B)

f ( x) ? x , g ( x) ? x 2

(C)

(D)

f ( x) ? 2 lg x, g ( x) ? lg(2 x)

6.下列函数是偶函数且在 (0, ? ?) 上是增函数的是

1

(A)

y?x

2 3

(B) y ? ( )

1 2

x

(C)

y ? ln x

(D)

y ? ? x2 ? 1

7.正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比为 2 : 3 ,则此三棱锥的高与斜高之比为 (A)

3 2

(B)

2 2

(C)

1 2

(D)

3 3

8.下列命题正确的是 ①平行于同一平面的两直线平行 ②垂直于同一平面的两直线平行 ③平行于同一直线的两平面平行 ④垂直于同一直线的两平面平行 (A) ①② (B) ③④ (C) ①③ (D) ②④

9.一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示, 则其体积等于( (A) 6 (B) 2 ) (C) 1

3

(D)

2 3

1 正视图 (D)

1

10.函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 的零点所在的区间为 (A)

(?1, 0 )

(B)

(1, 2 )

(C)

(0, 1 )

(2, 3 )

11.对于每个实数 x , f (x) 取 y ? 4 x ? 1, y ? x ? 2, y ? ?2 x ? 4 三个函数中的最小值, 则 设

f (x) 的最大值为
(A)

4 3

(B)

5 3

(C)

7 3

(D)

8 3

2 12.已知函数 f ( x) ? x ? 4, g ( x) 是定义在 ? ??,0? ? (0, ??) 上的奇函数,当 x ? 0 时,

g ( x) ? log x ,则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的大致图象为 2

高一数学
第Ⅱ卷(非选择题
注意事项: 1. 请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置.书写的 答案如需改动,要先划掉原来的答案,然后再写上新答案.
2

共 100 分)

2. 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效. 3. 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? m 在区间 ?2, ? ?? 上的最小值为 ? 3 ,则实数 m 的值为______. 14.过点 (1, 3) 且在 x 轴的截距为 2 的直线方程是____________________. 15.已知 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,则 log2 12 ? (用 a, b 表示).

16.某市为提升城市形象,2009 年做出决定:从 2010 年到 2012 年底更新市内的全部出租车 若每年更新的出租车数比上年递增 20%,则 2010 年底更新了年初的___________.(结果 保留 3 位有效数字) 三.解答题:本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 计算(Ⅰ) log 2 32 ? log 2 18.(本小题满分 12 分) 函数 y ? log3 (8 ? 2 x ? x 2 ) 的定义域为 A,值域为 B,求 A ? B . 19.(本小题满分 12 分) 定义在 ??1,1? 上的偶函数 f ( x ) ,已知当 x?? ?1,0? 时的解析式 f ( x ) ? (Ⅰ)写出 f ? x ? 在 ?0,1? 上的解析式; (Ⅱ)求 f ? x ? 在 ?0,1? 上的最大值. 20.(本小题满分 12 分) 在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2, ? CC1 ? 1 , E 为棱 C1 D1 的中点. BC (Ⅰ)求证面 ADE ? 面 BCE ; (Ⅱ)求三棱锥 A1 ? ADE 的体积. A1 D B1 C D1 E C1

3 7 1 ? log 2 6 (Ⅱ) 0.2 ?2 ? 0.0643 ? (2 ) 2 ? (? ) ?4 4 9 2

1

1

1 1 ? x x 4 2

A

B

21.(本小题满分 12 分)
3

直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 x 轴, y 轴分别相交于 A、B 两点,以 AB 为边做等边 ?ABC , 若平面内有一点 P(m, 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log 2

3 使得 ?ABP 与 ?ABC 的面积相等,求 m 的值. ) 4

x ?5 x?5

(Ⅰ)求函数 f (x) 的定义域; (Ⅱ)若 f (a ) ? 4 ,求 a 的值; (Ⅲ)判断并证明该函数的单调性. 23.附加题(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2kx ? k ? 1 . (Ⅰ)若函数在区间 ?1, 2? 上有最小值 ?5 ,求 k 的值. (Ⅱ)若同时满足下列条件①函数 f ( x ) 在区间 D 上单调;②存在区间 ? a, b? ? D 使得

f ( x) 在 ? a, b? 上 的 值 域 也 为 ? a, b? ; 则 称 f ( x) 为 区 间 D 上 的 闭 函 数 , 试 判 断 函 数
不是 f ( x) ? x2 ? 2kx ? k ? 1 是否为区间 ?k, ??? 上的闭函数?若是求出实数 k 的取值范围, 说明理由.

4

高一数学参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. )

BCBCB

AADCB

DD

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 13. ? 3 三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 解: (1) 8 (2) ?
……………………………………………………

14. 3x ? y ? 6 ? 0

15.

2?

b a

16.

27.5%

6分

13 3

……………………………………………………

12 分

18. (本小题满分 12 分) 解:? 8 ? 2 x ? x 2 ? 0, ( x ? 4)(x ? 2) ? 0

? ?4 ? x ? 2,? A ? (?4,2)

……………………………………………………

4分

令 t ? 8 ? 2x ? x2 ? ?( x ? 1)2 ? 9, 则 y ? log3 t , (0 ? t ? 9) , 由对数函数的图像可知, B ? ? -?, 2?
……………………………………………………

8分

? A ? B ? (?4,2)
19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设 x ? [0,1] ,则 ? x ? [?1,0] ,

……………………………………………………

12 分

f (? x) ?

1 4
(? x)

?

1 2
(? x)

? 4x ? 2x ,

…………………………………………………

3分

? f ( x)为偶函数, f (? x) ? f ( x),? f ( x) ? 4 x ? 2 x , x ?[0,1] ?
(Ⅱ)令 t ? 2 x , x ? [0,1] , 则 y ? t ? t ? (t ? ) ?
2 2

…………………

6分

1 2

1 , t ? [1,2] . 4

…………………………………………

9分

由图像可知,当 t ? 2 时 y max ? 2 . 所以 f (x) 在 [0,1] 上的最大值为 2. 20. (本小题满分 12 分) 解: 1) E为棱C1 D1的中点, D1 D ? D1 E ? 1 ( ? ? ,又? ?DD1 E ? 90 , ?D1 ED ? 45 , ?
? ?
………………………………………………………………

12 分

5

同理?C1EC ? 45?, DEC ? 90?.即DE ? EC ??
? BC ? 面DC1,又? DE ? 面DC1, BC ? DE. ? ? BC ? CE ? C,? DE ? 面BCE. ? DE ? 面ADE,? 面ADE ? 面BCE
……………………………………………………

2分 4分

……………………………………………………

……………………………………………………

6分

(2)三棱锥 A1 ? ADE 可以看做以面 AA D 为底 D1 E 为高的三棱锥, 1

?V ?

1 1 1 ? ?1?1?1 ? 3 2 6

……………………………………………………

12 分

21. (本小题满分 12 分) 解: 令 x ? 0 ,则 y ? 3,? B ? (0, 3), 令 y ? 0 ,则 3x ? 3 ? 0,? x ? ?1,? A ? (?1,0).
……………………………………

2分

AB ? (?1 ? 0) 2 ? (0 ? 3 ) 2 ? 2

S ?ABC ?

3 ? 22 ? 3 4

………………………………………………………………

4分

3m ?
点 P 到线 AB 的距离 d ?

3 ? 3 4

3m ? ? 2

3 3 4

( 3 ) 2 ? (?1) 2

3m ? 1 1 ? S ?ABP ? S ?ABC ,? d AB ? ? 2 2
解得 m ?

3 3 4

2

?2 ? 3

…………………………………………

8分

5 11 或4 4

…………………………………………………………

12 分

22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由

x?5 ? 0 解得 x ? ?5或x ? 5 . x?5
-----------------3 分 ------------------------6 分 -------------------------7 分

所以 f (x) 的定义域为 (??, ?5) ? (5, ??) (Ⅱ) f (a) ? log 2

a ?5 17 ? 4, 解得 a ? ? a?5 3

(Ⅲ) f (x) 在 (5, ??) 和 (??, ?5) 上是单调递增的.

证明:任取 x ? (??, ?5) ? (5, ??) ,则 ? x ? (??, ?5) ? (5, ??) ,

6

f (? x) ? log 2

? x?5 x?5 x ? 5 ?1 x?5 ? log 2 ? log 2 ( ) ? ? log 2 ? ? f ( x) ? x?5 x?5 x?5 x?5
-----------------------------------------------------------------

? f (x) 为奇函数.

10 分

任取 x1 , x2 ? (5, ??) ,且 x1 ? x 2 ,则 ?x ? x2 ? x1 ? 0 ,

?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? log 2 x2 ? 5 x ?5 x ? 5 x1 ? 5 x x ? 25 ? 5?x ? log 2 1 ? log 2 2 ? ? log 2 1 2 x2 ? 5 x1 ? 5 x2 ? 5 x1 ? 5 x1 x2 ? 25 ? 5?x

? ?x ? x2 ? x1 ? 0 ,? x1 x2 ? 25 ? 5?x ? x1 x2 ? 25 ? 5?x
? x1 x2 ? 25 ? 5( x2 ? x1 ) x x ? 25 ? 5( x2 ? x1 ) ? 1 ,? log2 1 2 ?0 x1 x2 ? 25 ? 5( x1 ? x2 ) x1 x2 ? 25 ? 5( x1 ? x2 )

? ?y ? 0
由此证得 f (x) 在 (5, ??) 上是单调递增的. --------------------------------12 分

? f (x) 是奇函数? f (x) 在 (??, ?5) 上也是单调递增的. ? f (x) 在 (5, ??) 和 (??, ?5) 上是单调递增的.
23.附加题(本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? x2 ? 2kx ? k ? 1 ? ( x ? k )2 ? k 2 ? k ? 1 ,对称轴 x ? k ①当 k ? 1 时, f min ( x) ? f (1) ? 1 ? 2k ? k ? 1 ? ?5 ,解得 k ? 7 , (舍去) ②当 1 ? k ? 2 时, fmin ( x) ? f (k ) ? ?k 2 ? k ?1 ? ?5 ,解得 k ? ?2或3 , (舍去) ③当 k ? 2 时, f min ( x) ? f (2) ? 4 ? 4k ? k ? 1 ? ?5 ,解得 k ?
-------------------------------------------------------------------

14 分

10 . 3

由①②③可得 k ?

10 3

-----------------------------------4 分

(Ⅱ)当 k ? (?1, ?

3 3 ) ? ( ,1) 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2kx ? k ? 1 在 ?k, ??? 上是闭函数. 2 2
------------------------------------6 分

∵函数开口向上且对称轴为 x ? k ,

7

∴ f ( x) ? x2 ? 2kx ? k ? 1 在 ?k , ??? 上单调递增. 设存在区间 ? a, b? ? ? k , ??? 使得 f ( x ) 在 ? a, b? 上的值域也为 ? a, b?

?a 2 ? 2ka ? k ? 1 ? a ? 2 则有 ? 2 ,即方程 x ? 2kx ? k ? 1 ? x 在 ?k , ??? 有两不同实数根 b ? 2kb ? k ? 1 ? b ? ?
-------------------------------------8 分

?(2k ? 1) 2 ? 4(k ? 1) ? 0 ? 3 3 ? 2k ? 1 ?k ∴? ,解得 ?1 ? k ? ? 或 ? k ?1 2 2 2 ? ?k 2 ? k (2k ? 1) ? k ? 1 ? 0 ?

∴ k 的取值范围为 (?1, ?

3 3 ) ? ( ,1) 2 2

------------------------------------------10 分

8


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