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2004年安徽省高中数学竞赛(初赛)


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中 等 数 学 

2 0 0 4 年安徽省高中数学竞赛( 初 赛 )  
选择题( 每小题 6 分, 共3 6 分)   1 . 设口 <b < 0 . 则下列不等关系中, 不成  立的是(   ) .  




( A

) a s i n口+c o s 口>1   ( B ) a s i n口+ C O S t  ̄ <1   ( C ) 口 s i n口+C O S 口=1  

( A )  > 百 1   ( C ) I 口I >I   b   I  

( B )  

>  

( D ) 大小与 a的取值有关  5 . 如图 1 , 正方 
A B C D —A — B   C — D。  

( D ) 口 2 >b 2  

的侧面A A   B   B内有  点   到 两直 线  间是(   ) .   A B 、 B   C   的距离相  ( A ) ( 0 , 2 )   ( B ) [ I , +∞)   等. 那么,   的轨迹  ( C ) [ 1 , 2 )   ( D ) ( O , 1 ]     ) .   3 . 已知集合 s  { 1 , 2 , …, 2 6 } , 且满足 . s   是( 图1   ( A ) 抛 物线 的   中任何 2 个元素的和都不能被 5 整除. 则集  部分  合. s 中元素的个数最多是(   ) 个.   ( B ) 双曲线的一部分  ( A ) 1 0   ( B ) 1 1   ( C ) 1 2   ( D ) 1 3   ( C ) 椭圆的一部分  4 . 已 知 口 ∈ ( o , 吾 ) . 则 a s i n 口 + c o s 口 与   ( D ) 线段  6 . 已知 A ( 口 , b ) ,  ( c , d ) , 且  1 的大小关系是(   ) .  
一 一

2 . 函 数Y = l 0  ( 2 x —   ) 的单调递减区  

B C 删 +Z i g B: Za
:  



+ 
二 

.  

I  : : : = 星 : : ! 一   : : : = 星 : : : +   : 二 星 :  


二 

哥 o r 一  =   o r 一 口   + 并 吐 一   ,  
。  

所 以,  I B O=  B / D = * / D=B D.  

即  a I + 2  a I + I +a I .  

作  关于D , 的 对称点A 。 , 则A 。 在00上, 有 
gI I =/ B,   O gI i =   O / B =3 0  ̄ .  

( 2 ) 对数列{ 口 I I , 由  
a I=  

所 以,  B i g I =  O / B+  O gI i = 6 0  ̄ .  

等( n = l ' 2 ’ … ) ,  

因此, △A 。 肼 是等边三角形, 有A 。 B = A 。 I .  
又  =B D, 则A 。 D是线段 肼 的垂直平分线 ,   也是  / 1 4 。 I 的平分线 .  
'  

得8 。 = 肆= l ,   = 等= a +  .  
再由 对任意正整数 n , 都有 a I + 2 = a I + 。 + a I , 所   以, 数列{ a I I 中的项都是正整数.   下面 证明, 任意相邻两项都互质.   如若不然, 设( a I +   , a I + 。 ) =d > 1 . 由对任意正  整数 n , 都有 a I + 2 = a I + I + a I , 则  
d =( a I + 2 , n I + I ) =( 口 I + I , 口 I ) =( 口 I , 口 I — I ) =…  


故  B A D :   珊I D = {  珊I I = j ‘ , o .  
因此 ,   珊C= 2 ZR 4 O= 6 0  ̄ .  

五、 ( 1 ) 因为 a 、 J 9 是方程 X 2 一   一1 =0的两个 

根, 根据韦达定理, 有  
口+ J 9 =1 , a I 9 =一1 .   故口 ‘  一 口 1  ̄ 2  


( 8 . , a o ) :( a o , a 2 ) =( 1 , 1 ) =1 ,  

与d >1 矛盾 .  

( a   4 - J 9 ) ( a ‘   。 一   。 ) 一a I 9 ( a ‘ 一  )  
( a ‘ ’ 。 一   。 ) +( a ‘ 一   ) .  

因此, 数列{ a I } 中任意相邻两项都互质.  
’  



( 周春荔 整理)  

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2 O 0 5 年第 5 期 

3 7  

( 口 一 c )   + ( b — d )   ≠ 0 ,  

1 3 . 已知 f (  ) 在( 一1 , 1 ) 上有葸 义,  

点   ( 凡 ∈N + ) 满 足A P 。 =   1 仙 ,   2 =  

告  。 ,   + 2 = 百 1   P  + 。 . 则l i m   是  
(   ) .  

) = 一 1 , 且 满 足   、 y E ( 一 1 , 1 ) t e f , 有   ) +   , , ) =   ) .  
( 1 ) 数列{  } 满足 
1  
一  

( A ) (  ,   )( B ) (  ,  )   ( c ) (   ,   ) 一   ( D ) (   ,   )   ’  
二、 填空题( 每小题 9 分, 共5 4 分)   7 . 如果 口 、 b 、 c 是三角形的三边长, 且满  足口   +b   + c   = a b + 6 c +∞, 则这个三角形  的形状是— — .   8 . 一个数列的各项均为 3 或5 , 首项为  3 , 且在第 k 个3 和第 k +1 个3 之间有 2   个5 , 即3 , 5 , 3 , 5 , 5 , 3 , 5 , 5 , 5 , 5 , 3 , …. 则此数  列的前 2   0 0 4 项的和 s : 删=  

2 x  
‘  

设  =  

) , 求{  } 的通项公式;  

( 2 ) 设b   =   + 3 n +1 , 求 
+  

) +  )   (  ) + , (  )  
C  

的值 .  

1 4 . 如图 2 , 点  、   Ⅳ是四边形 A B C D的   边A B、 C D 的 中点,   B N与 M C相交 于点  P , A N与 M D相交 于   点Q . 求证: S 四 边 形 朋  
=S   +S ,  ̄o o.  

D 

图2  

1 5 . 甲、 乙两人轮流掷一枚均匀的硬币,   谁先掷出正面, 谁获胜 . 他们连玩 了数局 , 并  物线 Y   = 2 x 相交于A 、 B两点, 0为坐标原  规定前一局的输家下一局先掷. 若甲第 1 局  点. 则当△ A O B的面积最大时, 直线 Z 的方  先掷, 则第 6 局甲获胜的概率是多少?  

9 . 设 直 线z : Y =  + b   l   0 < b < 寺J 与 抛  

程为— — .  

1 O . 一个正三棱锥的三条侧棱长均为 1 ,   且两两垂直. 将这个三棱锥绕着它的高旋转  6 0  ̄ , 则旋转后的三棱锥与原三棱锥公共部分  的体积为— — .   1 1 . 某校盖教学楼 , 需甲种尺寸的玻璃  4 0 0 块, 乙种尺寸的玻璃 5 0 0 块. 商店中有 A 、  

参考答案  




1 . B.  

因Ⅱ <b < 0 , 则 Ⅱ<Ⅱ 一b < 0 . 故— —   <   .  
Ⅱ 一 O  Ⅱ 

2 . D.  

根据复合函数的单调性得出结论 .  
3 . C.  

日两种规格的玻璃 . 已知 A种规格的玻璃每   满足条件的元素个数最多的 S ={ 1 , 2 , 5 , 6 , 7 ,   块4 8 元, 可裁成甲、 乙两种尺寸的玻璃分别  l 1 , 1 2 , 1 6 , 1 7 , 2 1 , 2 2 , 2 6 } 等.   为4 块和 6 块; B种规格的玻璃每块 5 8 元,   4 . A.   可裁成甲、 乙两种尺寸的玻璃各为 5 块. 则该  因为 0 < s i n口 <口 < - 丁 5 【 - , Nt 2, :   校购买 A 、 B两种规格的玻璃所付出的最少  口s i n 口 + ∞ s 口 > s i r   口 + ∞ s 口 : 1 + ∞ s   a ( 1 一 ∞ s 口 ) > 1 .   费用是— — 元 .  


r,  1、  

5 . A.  

因为  上面 A A   B ' B , 故M B ' 上  . 从而,   1 2 . 已 知  ) 。  : { 【 【 专 J + 口 ,   ≤ 0 , 且   到点B   和到直线A B的距离相等. 所以,   的轨迹是 

/ J ( - 、  一   1 ), ,   ,  。   > 0 ,  

方程. 厂 (  ) :  恰有两解. 则实数 口的取值范 
围是— — .   三、 解答题( 每小题 2 0 分, 共6 0 分)  

抛物线的 一部分.  
6 . C.  

易得  的极限位置在分线段 A 8为 2 : 1 处.   二、 7 . 等边三角形.  

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故 ? + , ( 击 ) + , ( 击 )   ? +   ) +   )  
= ? + 【   ÷ ) 一 , ( { ) 】 + 【   ÷ ) 一 , ( ÷ ) 】 +   【   丽 1 ) 一   ) 】 + , (  )   = ? +  ) = 0 .  
… +

9 . y =o r   4 - 了 1
. 

1 4 . 由s   =   s   一s   ,  
,  

1 A Bl - 2  ?  r =  , O到 A B的距 离 d :   b 故s 伽 =b   .  

S z  ̄ t r=   s  

一s  

,  

知S  叩+S △ 聍 
=   s ~ +   s ~ 一s   一s 一 .  

当6 =   时, 取最大值  .  

又S 日 遗 形 - 叼 ^   :S △ 棚 一S   一S △ 脚, 故只须证 

1 0 . 古.  

s   :   ( s   +s   ) .  

这三个三角形共底 A B , 设它们的高分别为 h 、   h 。 、 J l 2 . 由 Ⅳ是C O的中 点知  
h =   ( h 。 +  ) .  

两边同乘以  加 , 得 
1加
?

I I =   1 \   1   A B ? h

。 +   A B ?   ) .  
.  

【 6   + 5 , , > 5 0 0 .  
- -

所以, s   =   ( s   +s   ) .   因此 , S 喇嘞  =&删 +  

1 5 . 任一局比 赛, 先掷的人胜的概率为  





1 3 . ( 1 ) 令 , , =   , 得  ) =  2 x , ) .  
) .  
I +  .  

因 为‰ + l :  兰 ≥, 所以, , (  + 。 ) =  

(  (  一 而  号 ?  
后 掷 的 人 胜 的 概 率 为 l 一 号 = { .  
{ 第k 局甲 胜} -{ 第k 一1 局甲胜且第 k 局甲   胜} U{ 第k 一 1 局乙胜且第 k 局甲胜} .   令  为甲 胜第 k 局的 概率, 则有  

又 n l =  ) : 一 l , 则 { d | l } 是 首 项 为 一 l 、 公  
( 2 ) 令 = Y = 0 , 得f ( o ) + , ( 0 ) =  0 ) .  
令Y =一  , 得  ) +  一  ) =  O ) = 0 .  



j  

而   击 ) = , (   ) = , (  


)  

号 ,   吉   一 。 + 2 ( 1 一   一 。 ) = 号 一 号   一 。   1 (   一 。 一  )  
— 







 

j   =

, [  ] - 1   1   ]  
, (  ) +   ) = , (  ) 一   ) ,  

专 + 与  ( P 。 一 专 ) = { +   g   .  

所以, P 6 =   .  

故第6 局甲 获胜的概率为   .  




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