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chap4-例题


例 2-4 如图 2-9(a)所示,两个物体 A、B 的质量分别为 m1、m2(设 m1>m2) ,系于 跨过定滑轮的轻绳两端,滑轮支承在转轴 O 上,若滑轮和绳子的质量以及它们之间的摩擦 力均可忽略不计,且滑轮与绳子之间没有相对滑动。试求物体的加速度和绳子的张力?
FTA
O

FTB

O

>x
m1

a
m2

a
A m1 B m2
(a) 图 2-9 例 2-4 用图

x

GA
(b)

GB
O



以两个物体 A、B 为研究对象,将它们分别隔离出来,分析各自的受力情况。物体 A

受重力 GA= m1g 和绳子拉力 FTA 作用,设其加速度为 a1 ;物体 B 受重力 GB= m2g 和绳子拉 力 FTB 作用,设其加速度为 a 2 ,各力的方向如图所示。由于滑轮与绳子没有相对滑动,且 绳子无伸缩,故物体 A、B 的加速度大小相等,记作 a ,其方向如图所示。又因为是轻绳, 所以有 FTA ? FTB ,记作 FT 。对运动物体 A、B 分别取坐标轴方向如图所示,根据牛顿第 二定律,列出如下运动方程式

?m1 g ? FT ? m1a ? ? FT ? m2 g ? m2 a
联立求解,得

a?

m1 ? m2 g m1 ? m2



T?

2m1m2 g m1 ? m2

例 3-5

图 3-9(a)所示的装置叫做阿特伍德机,用一细绳跨过定滑轮,而在绳的两端

分别悬挂质量为 m1 和 m 2 的物体,其中 m1 ? m2 ,求它们的加速度及绳两端的张力 FT1 和

FT 2 。设绳不可伸长、且质量可忽略,它与滑轮之间无相对滑动,滑轮可视为半径为 R 、质
量为 M 的均质圆盘。 (滑轮与轴之间的摩擦力忽略不计) 解 根据滑轮与绳之间无相对滑动这一条件,表明滑轮

与绳之间存在摩擦力,依靠这一摩擦力带动滑轮转动。 分别选质量为 m1 和 m 2 的两物体以及滑轮作为研究对象, 它们的受力情况如图 3-9(b)所示。设重物的加速度为 a ,

m2

m1

方向如图示。滑轮的角加速度 ? 选取顺时针转向方向为正。 动学方程,有

图 3-9(a) 例 3-5 用图

于是, 根据刚体的转动定律和牛顿第二定律, 分别写出滑轮及各物体的运动方程和相关的运

FT1 R ? FT 2 R ? J 0?
FT 2 ? m2 g ? m2 a m1 g ? FT1 ? m1a
R? ? a
其中 J 0 ?
R

FN

?

1 MR 2 为滑轮的转动惯量,联立以上各式,求解可得 2

a

FT?2 G ? Mg FT ?1 FT 2 F
T1

??

1 R

m1 ? m2 g 1 m1 ? m2 ? M 2

G2 ? m 2 g

a
G1 ? m1 g

m1 ? m2 a? g 1 m1 ? m2 ? M 2

图 3-9(b) 例 3-5 用图

1 Mm1 2 FT1 ? g 1 m1 ? m2 ? M 2 1 2m1 m2 ? Mm2 2 FT 2 ? g 1 m1 ? m2 ? M 2 2m1 m2 ?
从上述解答可知,在忽略了滑轮质量时 ( M ? 0) , 滑轮两边绳中的张力相等 ( FT1 ? FT 2 ) ,这时

a?

m1 ? m2 g m1 ? m2

这就是第二章例 2-4 的结果。

例 3-8

如图 3-14 所示,一半径为 R 、质量为 M 的圆盘可绕铅直的中心轴 Oz 旋转,圆

盘上距转轴为 R / 2 处站有一质量为 m 的人。设开始时圆盘与人相对于地面以角速度 ? 0 匀 速转动,求此人走到圆盘边缘时,人和圆盘一起转动的角速度 ? 。

m
R

O
M

v

图 3-14 例 3-8 用图

解 取人与圆盘为一系统,由于圆盘和人的重力以及转轴对圆盘的支承力皆平行于转 轴,这些力对转轴的力矩为零,因此系统对该转轴的角动量守恒。初始时刻,系统的角动量 为

L0 ?

1 R MR 2? 0 ? m( ) 2 ? 0 2 2

在末状态时,系统的角动量为

L?

1 MR 2? ? mR 2? 2

因为 L ? L0 ,所以有

??

2M ? m ?0 2 M ? 4m

例 3-9 如图 3-15 所示,有一质量为 m1 的均匀细棒,原先静止地平放在水平桌面上, 它可以绕通过其端点 O 、且与桌面垂直的固定轴转动,另有一质量为 m2 、水平运动的小滑 块,从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端 A 相碰撞,并被棒反向弹回,设碰撞时间 极短, 。 已知小滑块与细棒碰撞前、 后的速率分别为 v 和 u , 桌面与细棒的滑动摩擦系数为 ? 。 求从碰撞后到细棒停止运动所需的时间。

?
O

x
m2 v
x
dx

m1
A
图 3-15 例 3-9 用图

u


取细棒与小滑块为一系统,在短促的碰撞过程中,摩擦力矩的作用可忽略不计,系

统对 O 轴的角动量守恒。设细棒长为 l ,碰撞后细棒的角速度为 ? 0 ,则有

m2 vl ? J?0 ? m0 ul
式中 J 为细棒对 O 轴的转动惯量。



碰撞后,细棒以初速度 ? 0 开始绕 O 轴转动,在转动过程中,细棒受摩擦力矩作用。今 取如图所示的坐标系 Ox,则距 O 轴为 x 处长,度为 d x 的细棒微段所受的摩擦力为 m d Ff ? ?g d m ? ?g 1 d x l 它对 O 轴的摩擦力矩为

d M ? ? x d Ff ? ? ?g
则细棒所受的摩擦力矩为

m1 xd x l

M ? ? d M ? ? ? ?g
0 0

l

l

m1 1 x d x ? ? ?gm1l l 2

细棒绕 O 轴转动,由角动量定理可得

? M dt ? L
0
t

t

2

? L1
0

? ? 2 ?gm l d t ? 0 ? J?
0 1

1

1 ?gm1lt ? I? 0 2
由①,② 两式解得细棒运动的时间为



t?

2m2 ( v ? u ) ?m1 g

例 3-10 一长为 l、质量为 m 的均质细杆 OA,可绕垂直于杆一端的固定水平轴 O 在铅 直平面内无摩擦地转动,如图 3-17 所示。现将杆从水平位置自静止释放,试求杆转到铅直 位置的过程中,杆的重力 G 所作的功和杆在铅直位置时的角速度。
O

?

A

l

C
A
图 3-17 例 3-10 用图

G ? mg



均质细杆所受的重力可视为作用在其中点的重心 C 上,细杆由水平位置静止释放

后,在绕轴 O 转动过程中,所受重力矩为变量。当细杆转动到 ? 角时,杆受重力矩为

1 M= mgl cos ? ,经角位移 d? (图中未画出),重力矩作的元功为 2 1 dW=Md?= mgl cos ? d? 2
因此,细杆由水平位置转到铅直位置的过程中,重力矩所作的总功为

W ? ?2
0

π

1 l m glcos? d?=m g 2 2

在细杆的转动过程中,轴的支承力通过转轴,不产生力矩,所以不作功。按刚体绕 定轴转动的动能定理,有

1 1 2 W= J? 2- J? 0 2 2


mg

l 1 1 2 2 ? ( ml )? ? 0 2 2 3

所以,当细杆转到铅直位置时的角速度为

?=

3g l


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