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2017高考数学试题分类汇编——专题六 数列


专题六 数列
1.(15 北京理科)设 ?an ? 是等差数列. 下列结论中正确的是 A.若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 C.若 0 ? a1 ? a2 ,则 a2 ? a1a3 【答案】C B.若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1 ? a2 ? 0 D.若 a1 ? 0 ,则 ? a2 ? a1 ? ? a2 ? a3 ? ? 0

考点:1.等差数列通项公式;2.作差比较法
?2an ,an ≤ 18 , 2.(15 北京理科)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? N* , a1 ≤ 36 ,且 an ?1 ? ? ?2an ? 36 ,an ? 18 …? . ? n ? 1,2 ,

记集合 M ? an | n ? N* . (Ⅰ)若 a1 ? 6 ,写出集合 M 的所有元素; (Ⅱ)若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明: M 的所有元素都是 3 的倍数; (Ⅲ)求集合 M 的元素个数的最大值. 【答案】 (1) M ? {6,12,24}, (2)证明见解析, (3)8 【解析】 ① 试 题 分 析 :( Ⅰ ) 由

?

?

a1 ? 6 , 可 知 a2 ? 1 2 , a3 ? 2 4a, ? 4

则 12,

M ? {6,12,24}; (Ⅱ)因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak 是 3 的
倍数,用数学归纳法证明对任意 n ? k , an 是 3 的倍数,当 k ? 1 时,则 M 中的所 有元素都是 3 的倍数,如果 k ? 1 时,因为 ak ? 2ak ?1 或 2ak ?1 ? 36 ,所以 2ak ?1 是 3 的倍数,于是 ak ?1 是 3 的倍数,类似可得, ak ? 2 ,...... a1 都是 3 的倍数,从而对任 意 n ? 1 , an 是 3 的倍数,因此 M 的所有元素都是 3 的倍数.第二步集合 M 存在一个

?2an ,an ≤ 18 , 元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak 是 3 的倍数,由已知 an ?1 ? ? ,用数 ?2an ? 36 ,an ? 18

学归纳法证明对任意 n ? k , 第三步由于 M 中的元素都不超过 36,M an 是 3 的倍数; 中的元素个数最多除了前面两个数外, 都是 4 的倍数, 因为第二个数必定为偶数, 由 an 的定义可知,第三个数及后面的数必定是 4 的倍数,由定义可知, an ?1 和 2an 除以 9 的余数一样,分 an 中有 3 的倍数和 an 中没有 3 的倍数两种情况,研究集合 M 中的元素 个数,最后得出结论集合 M 的元素个数的最大值为 8. 试 题 解 析 : ( Ⅰ ) 由 已 知
,8 ?2an ,an ≤ 1 an ?1 ? ? 可 知 : ,a6 1 8 n ? ?2an ? 3

a1 ? 6,a2 ? 12,a3 ? 24,a4 ? 12,
? M ? {6,12,24}
(Ⅱ)因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak 是 3 的倍数,由已知
?2an ,an ≤ 18 , an ?1 ? ? ,可用用数学归纳法证明对任意 n ? k , an 是 3 的倍数,当 ?2an ? 36 ,an ? 18

k ? 1 时,则 M 中的所有元素都是 3 的倍数,如果 k ? 1 时,因为 ak ? 2ak ?1 或

2ak ?1 ? 36 ,所以 2ak ?1 是 3 的倍数,于是 ak ?1 是 3 的倍数,类似可得,ak ?2 ,...... a1
都是 3 的倍数,从而对任意 n ? 1 ,an 是 3 的倍数,因此 M 的所有元素都是 3 的倍数. (Ⅲ) 由于 M 中的元素都不超过 36, 由 a1 ? 36 , 易得 a2 ? 36 , 类似可得 an ? 36 , 其次 M 中的元素个数最多除了前面两个数外,都是 4 的倍数,因为第二个数必定为偶 数,由 an 的定义可知,第三个数及后面的数必定是 4 的倍数,另外,M 中的数除以 9 的余数,由定义可知, an ?1 和 2an 除以 9 的余数一样,

考点:1.分段函数形数列通项公式求值;2.归纳法证明;3.数列元素分析. 3.(15 北京文科)已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 , a4 ? a3 ? 2 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等? 【答案】 (1) an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2 ; (2) b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 【解析】 试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查学生的分析问题 解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用等差数列的通项公式,将 a1 , a2 , a3 , a4 转化成 a1 和 d,解方程得到 a1 和 d 的值,直接写出等差数列的通项公式即可;第二问,先 利用第一问的结论得到 b2 和 b3 的值, 再利用等比数列的通项公式, 将 b2 和 b3 转化为 b1 和 q, 解出 b1 和 q 的值,得到 b6 的值,再代入到上一问等差数列的通项公式中,解出 n 的值,即 项数. 试题解析: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d. 因为 a4 ? a3 ? 2 ,所以 d ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? 10 ,所以 2a1 ? d ? 10 ,故 a1 ? 4 . 所以 an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2 (n ? 1, 2, ?) . (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q . 因为 b2 ? a3 ? 8 , b3 ? a7 ? 16 ,

所以 q ? 2 , b1 ? 4 . 所以 b6 ? 4 ? 26?1 ? 128 . 由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 . 所以 b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 考点:等差数列、等比数列的通项公式. 4.(15 年广东理科)在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 25 ,则 a2 ? a8 = 【答案】 10 . 【 解 析 】 因 为

?an ?

是 等 差 数 列 , 所 以 a3 ? a7 ? a4 ? a6 ? a2 ? a8 ? 2a5 ,

a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 5a5 ? 25 即 a5 ? 5 , a2 ? a8 ? 2a5 ? 10 ,故应填入10 .
【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算,属于容易题. 5.(15 年广东理科)数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? ? ? ? ? na n ? 4 ? (1) 求 a3 的值; (2) 求数列 ?an ? 前 n 项和 Tn ; (3) 令 b1 ? a1 ,bn ? 满足 Sn ? 2 ? 2 ln n

n?2 ,n? N *. 2n ?1

Tn?1 ? 1 1 1? ? ?1 ? ? ? ??? ? ? an ? n ? 2 ? , 证明: 数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n n ? 2 3 n?

1 ?1? 【答案】 (1) ; (2) 2 ? ? ? 4 ? 2?

n ?1

; (3)见解析.

(3)依题由 bn ?

a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? 1 a ? 1? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? an 知 b1 ? a1 , b2 ? 1 ? ?1 ? ? a2 , n n? 2 ? 2? ? 2

【考点定位】 本题考查递推数列求项值、 通项公式、 等比数列前 n 项和、 不等式放缩等知识, 属于中高档题. 6.(15 年广东文科)若三个正数 , , 成等比数列,其中 则 . 【答案】 【解析】 试题分析:因为三个正数 , , 成等比数列,所以 因为 ,所以 考点:等比中项. ,所以答案应填: . , , ,

7.(15 年广东文科) 设数列 且当 求 时, 的值;

的前 项和为 .



. 已知







证明: 求数列 【答案】 (1)

为等比数列; 的通项公式. ; (2)证明见解析; (3) .

考点:1、等比数列的定义;2、等比数列的通项公式;3、等差数列的通项公式. 8.(15 年安徽理科)设 n ? N , xn 是曲线 y ? x
*

2 n ?3

2) 处的切线与 x 轴交点的横 ? 1 在点 (1,

坐标, (1)求数列 {xn } 的通项公式;
2 2 2 (2)记 Tn ? x1 x2 ? x2n?1 ,证明 Tn ?

1 . 4n

9.(15 年安徽文科)已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ? an ?1 ? 9 项和等于。 【答案】27

1 (n ? 2 ) ,则数列 {an } 的前 2

考点:1.等差数列的定义;2.等差数列的前 n 项和. 10.(15 年安徽文科)已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 Sn Sn ?1

【答案】 (1) an ? 2

n ?1

(2)

2n ?1 ? 2 2n ?1 ? 1

=1 ?

1 2n ?1 ? 1

?

2n ?1 ? 2 . 2n ?1 ? 1

[学优高考网]

考点:1.等比数列的性质;2.裂项相消法求和. 11.(15 年福建理科)若 a , b 是函数 f ? x ? ? x ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点,
2

且 a, b, ?2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的 值等于( A.6 B.7 【答案】D 【解析】 ) C.8

D.9

试题分析:由韦达定理得 a ? b ? p , a ? b ? q ,则 a ? 0, b ? 0 ,当 a, b, ?2 适当排序后成 等比数列时,?2 必为等比中项, 故 a ? b ? q ? 4 ,b ?

4 . 当适当排序后成等差数列时,?2 a

必不是等差中项,当 a 是等差中项时, 2a ?

4 4 ? 2 ,解得 a ? 1 , b ? 4 ;当 是等差中项 a a

时,

8 ? a ? 2 ,解得 a ? 4 , b ? 1 ,综上所述, a ? b ? p ? 5 ,所以 p ? q ? 9 ,选 D. a

考点:等差中项和等比中项. 12.(15 年福建文科)若 a , b 是函数 f ? x ? ? x ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点,
2

且 a, b, ?2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的 值等于________. 【答案】9

考点:等差中项和等比中项. 13.(15 年福建文科)等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an ?2

? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.

【答案】 (Ⅰ) an ? n ? 2 ; (Ⅱ) 2101 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用基本量法可求得 a1 , d ,进而求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列前 n 项 和, 首先考虑其通项公式, 根据通项公式的不同特点, 选择相应的求和方法, 本题 bn ? 2 ? n ,
n

故可采取分组求和法求其前 10 项和. 试题解析: (I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 由已知得 ?

? ?a1 ? d ? 4 , a ? 3 d ? a ? 6 d ? 15 ? ? ? ? ? 1 1 ?

解得 ?

?a1 ? 3 . ?d ? 1

所以 an ? a1 ? ? n ?1? d ? n ? 2 .

考点:1、等差数列通项公式;2、分组求和法. 14. (15 年新课标 2 理科) 等比数列 {an} 满足 a1=3, (A)21 【答案】B (B)42 (C)63 (D)84 =21, 则 ( )

15. (15 年新课标 2 理科) 设 ________. 【答案】

是数列

的前 n 项和, 且



, 则

【解析】由已知得

,两边同时除以

,得



故数列

是以

为首项,

为公差 的等差数列,则

,所以

. 16. (15 年新课标 2 文科) 设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? ( A. 5 B. 7 【答案】A 【解析】 C. 9 D.11



试题解析: a1 ? a3 ? a5 ? 3a3 ? 3 ? a3 ? 1 , S5 ? 考点:等差数列

5 ? a1 ? a5 ? ? 5a3 ? 5 .故选 A. 2

17.(15 年新课标 2 文科)已知等比数列 {an } 满足 a1 ?

1 , a a ? 4 ? a4 ?1? ,则 a2 ? ( 4 3 5



A.2 B.1 C.
【答案】C 【解析】

1 1 D. 2 8

试题分析:由题意可得

a3a5 ? a42 ? 4 ? a4 ?1? ? a4 ? 2

,所以

q3 ?

a4 ?8? q ? 2 ,故 a1

a2 ? a1q ?

1 2 ,选 C.

考点:等比数列. 18.(15 年陕西理科)中位数 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首 项为. 【答案】 5 【解析】 试题分析:设数列的首项为 a1 ,则 a1 ? 2015 ? 2 ?1010 ? 2020 ,所以 a1 ? 5 ,故该数列的 首项为 5 ,所以答案应填: 5 . 考点:等差中项. 19.(15 年陕西文科)中位数为 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的 首项为________ 【答案】5

考点:等差数列的性质. 20.(15 年陕西文科)设 f n ( x) ? x ? x ? ? ? x ? 1, n ? N , n ? 2.
2 n

(I)求 f n?(2) ;

1 1?2? ? 2? (II)证明: f n ( x) 在 ? 0, ? 内有且仅有一个零点(记为 an ) ,且 0 ? an ? ? ? ? . 2 3? 3? ? 3?

n

【答案】(I) f n?(2) ? (n ? 1)2 ? 1 ;(II)证明略,详见解析.
n

【解析】 试题分析:(I)由题设 f n?( x) ? 1 ? 2 x ? ? ? nx
n?1

,所以 f n?(2) ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? n2
n

n?1

,此式

等价于数列 {n ? 2n?1} 的前 n 项和,由错位相减法求得 f n?(2) ? (n ? 1)2 ? 1 ;

2 2 ?2? ? 2? (II)因为 f (0) ? ?1 ? 0 , f n ( ) ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 0 ,所以 f n ( x) 在 (0, ) 内至 3 3 ?3? ? 3?
少存在一个零点, 又 f n?( x) ? 1 ? 2 x ? ? ? nx
n?1

n

2

2 ? 0, 所以 fn ( x) 在 (0, ) 内单调递增, 因此, 3

2 1 ? xn ?1 , 所 以 fn ( x) 在 (0, ) 内 有 且 只 有 一 个 零 点 an , 由 于 f n ( x ) ? 3 1? x

1 1 n ?1 1 1 ? an n 0 ? f n (an ) ? ? 1 ,由此可得 an ? ? an ? 2 2 2 1 ? an


1 2 1 1 1 2? ? an ? ,继而得 0 ? an ? ? an n?1 ? ? ? ? ? 2 3 2 2 2 ? 3?
n?1

n ?1

1 ?2? ? ?? ? . 3 ? 3?

n

试题解析:(I)由题设 f n?( x) ? 1 ? 2 x ? ? ? nx 所以 f n?(2) ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? n2 由
n?1

, ① ②

2 f n?(2) ? 1 ? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? n2n
2 n?1

① ? ②得 ? f n?(2) ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

? n2n

?

1 ? 22 ? n ? 2n ? (1 ? n)2n ? 1 , 1? 2

所以

fn?(2) ? (n ? 1)2n ? 1

(II)因为 f (0) ? ?1 ? 0

2? ?2? ?1 ? ? ? 3? ? 3? 2 fn ( ) ? ? 2 3 1? 3
2 3

n

? ? n 2 ? ? ?1 ? 1? 2 ? ? 2 ? ? 1? 2 ? ? 2 ? ? 0 , ? ? ? ? ? 3? ? 3?

所以 f n ( x) 在 (0, ) 内至少存在一个零点,

又 f n?( x) ? 1 ? 2 x ? ? ? nx

n?1

?0

所以 fn ( x) 在 (0, ) 内单调递增,

2 3

因此, fn ( x) 在 (0, ) 内有且只有一个零点 an ,

2 3

1 ? xn ?1 , 由于 f n ( x ) ? 1? x
所以 0 ? f n (an ) ?

1 ? an n ?1 1 ? an

由此可得 an ?

1 1 n ?1 1 ? an ? 2 2 2



1 2 ? an ? 2 3

所以 0 ? an ?

1 1 n?1 1 ? 2 ? ? an ? ? ? ? 2 2 2 ? 3?

n ?1

1 ?2? ? ?? ? 3 ? 3?

n

考点:1.错位相减法;2.零点存在性定理;3.函数与数列. 21. ( 15 年 天 津 理 科
*











{an }





an?2 ? qan ( 为实数,且 q q ? 1 , ?)
a2 + a3 , a3 + a4 , a4 + a5 成等差数列.
(I)求 q 的值和 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

an ?1 a N ? ,且 2,

1

,

2

log 2 a2 n 的前 n 项和. , n ? N * ,求数列 {bn} a2 n?1

?1 ? n2 2 , n为奇数, n?2 ? 【答案】(I) an ? ? n ; (II) S n ? 4 ? n ?1 . 2 ? 2 2 , n为偶数. ?

【解析】 试题分析:(I)由 a3 + a4 - a2 + a3 = a4 + a5 - a3 + a4 得 a4 ? a2 ? a5 ? a3 先求出 q , 分 n 为奇数与偶数讨论即可;(II)求出数列 ?bn ? 的通项公式,用错位相减法求和即可.

(

) (

) (

) (

)

试题解析: (I) 由已知, 有 a3 + a4 - a2 + a3 = a4 + a5 - a3 + a4 , 即 a4 ? a2 ?a5 ?a3 所以 a2 (q ? 1) ? a3 (q ? 1) ,又因为 q ? 1 ,故 a3 ? a2 ? 2 ,由 a3 ? a1q ,得 q ? 2 , 当 n ? 2k ? 1(n ? N *) 时, an ? a2k ?1 ? 2k ?1 ? 2 当 n ? 2k (n ? N *) 时, an ? a2k ? 2 ? 2 ,
k
?1 ? n2 ? 2 , n为奇数, 所以 {an } 的通项公式为 an ? ? n ? 2 2 , n为偶数. ?

(

) (

) (

) (

)



n ?1 2



n 2

考点:1.等差中项定义;2.等比数列及前 n 项和公式.3.错位相减法. 22. ( 15 年天津文科)已知 {an } 是各项均为正数的等比数列 , {bn } 是等差数列 , 且

a1 = b1 = 1, b2 +b3 = 2a3 , a5 - 3b2 = 7 .
(I)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (II)设 cn = anbn , n ? N* ,求数列 {cn } 的前 n 项和. 【答案】 (I) an ? 2n?1 , n ? N? , bn ? 2n ?1, n ? N? ; (II) Sn ? ? 2n ? 3? 2 ? 3
n

【解析】 试题分析: (I)列出关于 q 与 d 的方程组,通过解方程组求出 q,d,即可确定通项; (II)用 错位相减法求和.

试题解析: ( I ) 设 {an } 的 公 比 为 q, {bn } 的 公 差 为 d, 由 题 意 q ? 0 , 由 已 知 , 有

?2q 2 ? 3d ? 2, 消去 d 得 q 4 ? 2q 2 ? 8 ? 0, 解得 q ? 2, d ? 2 , 所以 {an } 的通项公式为 ? 4 ? q ? 3d ? 10,
an ? 2n?1 , n ? N? , {bn } 的通项公式为 bn ? 2n ?1, n ? N? .
(II)由(I)有 cn ? ? 2n ?1? 2
n?1

,设 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,则

Sn ? 1? 20 ? 3? 21 ? 5 ? 22 ??? ? 2n ?1? ? 2n?1,
2Sn ? 1? 21 ? 3? 22 ? 5? 23 ??? ? 2n ?1? ? 2n ,
两式相减得 ?Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 2n ?1? ? 2 ? ? ? 2n ? 3? ? 2 ? 3,
2 3 n n n

所以 Sn ? ? 2n ? 3? 2 ? 3 .
n

考点:1.等差、等比数列的通项公式;2.错位相减法求和. 23.(15 年天津文科)已知函数 f ( x) = 4 x - x 4 , x ? R, (I)求 f ( x ) 的单调性; (II) 设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求证: 对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ;

(III)若方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实数根 x1,x2, 且 x1 < x2 ,求证: x2 -x1 < -

a 1 + 43 . 3

【答案】 (I) f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??,1? ,单调递减区间是 ?1, ?? ? ; (II)见试题解析; (III)见试题解析. 【解析】

试题解析: (I) 由 f( x) = 4x x -

4

,可得 f ? ( x) = 4 - 4x3 ,当 f ? ? x ? ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ? x ?

单调递增;当 f ? ? x ? ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ? x ? 单调递减.所以函数 f ? x ? 的单调递增区 间是 ? ??,1? ,单调递减区间是 ?1, ?? ? . ( II )设 P ? x0 ,0? , 则 x0 ? 4 3 , f ? ? x0 ? ? ?12, 曲线 y ? f ? x? 在点 P 处的切线方程为
1

y ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ?

, 即 g ? x ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? , 令 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ?



F ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ?? x ? x0 ? 则 F ? ? x ? ? f ? ? x ? ? f ? ? x0 ? .
由 于 f ( x) = 4- 4x 在 ? ??, ??? 单 调 递 减 , 故 F ? ? x ? 在 ? ??, ??? 单 调 递 减 , 又 因 为
3

F ? ? x0 ? ? 0 , 所 以 当 x ? ? ??, x0 ? 时 , F ? ? x ? ? 0 , 所 以 当 x ? ? x0 , ??? 时 , F ? ? x ? ? 0 , 所 以
F ? x?
在 ? ??, x0 ? 单 调 递 增 , 在

? x0 , ???

单 调 递 减 , 所 以 对 任 意 的 实 数 x,

F ? x ? ? F ? x0 ? ? 0 ,对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) .

考点:1.导数的几何意义;2.导数的应用. 24.(15 年浙江理科)

25.(15 年湖南理科)设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,且 3S1 , 2S2 , S3 成等差 数列,则 an ? . 【答案】 - 2 n ? 3 .

考点:等差数列的通项公式及其前 n 项和. 26.(15 年山东理科)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 2Sn ? 3 ? 3.
n

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 anbn ? log3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
n 解: (Ⅰ)由 2Sn ? 3 ? 3 可得 a1 ? S1 ?

1 (3 ? 3) ? 3 , 2

an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 n 1 (3 ? 3) ? (3n ?1 ? 3) ? 3n ?1 (n ? 2) 2 2

而 a1 ? 3 ? 31?1 ,则 an ? ?

? 3, n ? 1, n ?1 ?3 , n ? 1.

?1 , n ? 1, 3, n ? 1, ? log 3 an ? ?3 b ? ? (Ⅱ)由 anbn ? log3 an 及 an ? ? n ?1 可得 n ? an ?3 , n ? 1. ? n ? 1 , n ? 1. ? ? 3n ?1
1 1 2 3 n ?1 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 . 3 3 3 3 3 1 1 1 2 3 n ? 2 n ?1 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 n ?1 Tn ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 n ?1 ? ? 2 ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? n 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ? 2 3 3n n ? 1 2 1 3 n ?1 ? ? ? n ? ? ? ? n n 9 1? 1 3 9 2 2?3 3 3 13 2n ? 1 ? ? 18 2 ? 3n 13 2n ? 1 Tn ? ? 12 4 ? 3n ?1
27.(15 年江苏)数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? n ? 1 ( n ? N * ) ,则数列 { 10 项和为 【答案】

1 } 的前 an

20 11
分 析 : 由 题 得 1
1

【解析】 试 题

意 n(n ? an ? (a ? a ?1 n? a ? ) ? a ? n 1? ?(? a ? a 2n? a ? n ) ? n ?n ?? ( ? 1 2 ? ? 2 1 1 1 1 2n 20 ), Sn ? 2(1 ? )? , S10 ? 所以 ? 2( ? an n n ?1 n ?1 n ?1 11 考点:数列通项,裂项求和 28.(15 年江苏)设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d ( d ? 0) 的等差数列 (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次成等比数列; (2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a22 , a33 , a44 依次成等比数列,并说明理由;
a a a a

)

: )

1

[来源:学科网 ZXXK]

(3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 , a2 , a3 由. 【答案】 (1)详见解析(2)不存在(3)不存在

n

n? k

n? 2 k

n?3k 依次成等比数列,并说明理 , a4

d ? a (2) 令 a1 ?
d ? 0) .

a2 , a3 , a4 分别为 a ? d ,a ,a ? d ,a ? 2d( a ? d , a ? ?2d , , 则 a1 ,

假设存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列, 则 a ? ? a ? d ?? a ? d ? ,且 ? a ? d ? ? a
4 3 6 2

2

3

4

? a ? 2d ?

4



令t ?

d 1 3 6 4 ,则 1 ? ?1 ? t ??1 ? t ? ,且 ?1 ? t ? ? ?1 ? 2t ? ( ? ? t ? 1 , t ? 0 ) , a 2

化简得 t 3 ? 2t 2 ? 2 ? 0 ( ? ) ,且 t 2 ? t ? 1 .将 t 2 ? t ? 1 代入( ? )式,

1 t ?t ?1? ? 2 ?t ?1? ? 2 ? t 2 ? 3t ? t ?1? 3t ? 4t ?1 ? 0 ,则 t ? ? . 4 1 显然 t ? ? 不是上面方程得解,矛盾,所 以假设不成立, 4
因此不存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列.
2 3 4

(3)假设存在 a1 , d 及正整数 n , k ,使得 a1 , a2 则 a1 ? a1 ? 2d ?
n n?2k

n

n?k

, a3

n?2k

, a4

n ?3k

依次构成等比数列,
2? n ? 2 k ?

? ? a1 ? d ?

2? n ? k ?

,且 ? a1 ? d ? 及 a1 ?
n?k

n?k

? a1 ? 3d ?

n ?3k

? ? a1 ? 2d ?



分别在两个等式的两边同除以 a1 ? 则 ?1 ? 2t ?
n?2k

2 n? k ?

2 n?2k ?

,并令 t ?
n ?3k

d 1 (t ? ? ,t ? 0) , a1 3
2? n ? 2 k ?

? ?1 ? t ?

2? n ? k ?

,且 ?1 ? t ?

?1 ? 3t ?

? ?1 ? 2t ?



将上述两个等式两边取对数,得 ? n ? 2k ? ln ?1 ? 2t ? ? 2 ? n ? k ? ln ?1 ? t ? , 且 ? n ? k ? ln ?1 ? t ? ? ? n ? 3k ? ln ?1 ? 3t ? ? 2 ? n ? 2k ? ln ?1 ? 2t ? . 化简得 2k ? ?ln ?1 ? 2t ? ? ln ?1 ? t ? ? ? ? n? ? 2 ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 2t ? ? ?, 且 3k ? ?ln ?1 ? 3t ? ? ln ?1 ? t ? ? ? ? n? ?3ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 3t ? ? ?. 再将这两式相除,化简得 ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3ln ?1 ? 2t ? ln ?1 ? t ? ? 4ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? t ? ( ?? ) . 令 g ?t ? ? 4ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3ln ?1 ? 2t ? ln ?1 ? t ? ,
2 2 2 2 ??1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 3 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3 ?1 ? t ? ln ?1 ? t ?? ? ?. 则 g? ?t ? ? ?1 ? t ??1 ? 2t ??1 ? 3t ?

令 ? ? t ? ? ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 3 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3 ?1 ? t ? ln ?1 ? t ? ,
2 2 2

则 ?? ?t ? ? 6 ? ??1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 2 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? ?1 ? t ? ln ?1 ? t ? ? ?.

? ?t ? ? 6 ? 令 ?1 ?t ? ? ?? ?t ? ,则 ?1 ?3ln ?1 ? 3t ? ? 4 ln ?1 ? 2t ? ? ln ?1 ? t ? ? ?.

? ?t ? ? ? ?t ? ,则 ?2 令 ?2 ? t ? ? ?1

12 ?0. ?1 ? t ??1 ? 2t ??1 ? 3t ?

? ?t ? ? 0 , 由 g ? 0? ? ? ? 0? ? ?1 ? 0? ? ?2 ? 0? ? 0 , ?2
知 ?2 ?t ? , ?1 ? t ? , ? ? t ? , g ? t ? 在 ? ? , 0 ? 和 ? 0, ?? ? 上均单调. 故 g ? t ? 只有唯一零点 t ? 0 ,即方程( ?? )只有唯一解 t ? 0 ,故假设不成立. 所以不存在 a1 , d 及正整数 n , k ,使得 a1 , a2
n n?k

? 1 ? 3

? ?

, a3

n?2k

, a4

n ?3k

依次构成等比数列.

考点:等差、等比数列的定义及性质,函数与方程


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