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【与名师对话】2015新课标A版数学理一轮复习课时作业:10-3 Word版含解析


课时作业(六十二)
一、选择题
? x 3? 1.(2013· 烟台市适应性练习(一))在? 3 - ?6 的二项展开式中, x? ?

x2 的系数为( 4 A.-27

) 2 B.-27 2 C.27 4 D.27
? ?

?1?6-r 解析:由二项展开式的通项式 Tr+1=Cr ·

(-3)r· x3-r,令 3-r 6?3?

2 1 ?1?5 1 ? ?· =2,得 r=1.则 x2 项的系数为 C6 · ( - 3) =- 3 27.
? ?

答案:B 2.(2013· 青岛市高三自评试题)若(1-x)n=1+a1x+a2x2+a3x3 +?+anxn(n∈N*),且 a1∶a3=1∶7,则 n=( A.8 B.9 C.7 D.10 解析:由二项式定理知 C3 n 1 3 a1=Cn,a3=Cn,故C1=7?(n-1)(n-2) n )

=42,得(n-8)(n+5)=0?n=8 或 n=-5(舍),故选 A. 答案:A 3. (2013· 郑州第三次质量预测)设 a=?πsin xdx 则二项式?ax-
?0 ?
8

?

1? ? x?

的展开式中 x2 项的系数是( A.-1 120

)

B.1 120 C.-1 792 D.1 792
π

? 1? ? 解析:由题意 a=?πsin xdx=-cos x? =2,则二项式?2x- ?8 x? ? ?0 ?
0

1? 8-r ? r 8-r 8- 2 r ?- ?r=Cr 展开式的通项式为 Tr+1=Cr · · x ,令 8 8(2x) 8(-1) 2 x? ? 3 4 4 -2r=2,得 r=4,所以 x2 项的系数为 C8 2 =1 120,故选 B. 答案:B 1? ? 4.(2013· 济宁市模拟)设 a=?2(3x2-2x)dx,则二项式?ax2-x?6
?1 ? ?

3

展开式中的第 4 项为(

)

A.-1 280x3 B.-1 280 C.240 D.-240
? 1? ? 解析:a=? (3x -2x)dx=(x -x )? =4,所以?4x2-x?6 展开式 ? ? ?1 ?1
2 2 3 2 2

1?3 2 3? 3 第四项为 C3 6(4x ) ?-x? =-1 280 x ,选 A.
? ?

答案:A 1 ? ?x ? - n 5.(2013· 山东滨州联考)在?2 3 ? ? 的展开式中,只有第 5 项的 x? ? 二项式系数最大,则展开式中常数项是( A.-7 B.-28 C.7 D.28 1 ? ?x n ?2- ?8 解析:依题意,2+1=5,∴n=8.二项式为? 3 ?, x
? ?

)

易得常数项为 答案:C

6?x?2?- ? ?? 3 C8 2

? ?

1 ?

? ?

?6 ? =7. x?

6. 若(x+y)9 按 x 的降幂排列的展开式中, 第二项不大于第三项, 且 x+y=1,xy<0,则 x 的取值范围是( 1? ? A.?-∞,5?
? ? ?

)
?

?4 ? B.?5,+∞?

4? ? C.?-∞,-5?
? ?

D.(1,+∞)

解析:二项式(x+y)9 的展开式的通项是 Tr+1=Cr x9-r· yr. 9· C· x · y≤C9· x ? ? 9 依题意有?x+y=1 ? ?xy<0
1 9-1 2 9 -2

· y2 ,由此得

?x8· ?1-x?-4x7· ?1-x?2≤0 ? ? ,由此解得 x>1,即 x 的取值范围是(1, ? ?x?1-x?<0

+∞). 答案:D 7.(2013· 3 月襄阳市普通高中调研)若(1-2x)2 013=a0+a1x+?+ a1 a2 a2 013 a2 013x2 013(x∈R),则 2 +22+?+22 013的值为( A.2 B.0 C.-1 D.-2 解析:观察所求数列和的特点, 1 a1 a2 a2 013 a1 a2 a2 013 令 x=2可得 a0+ 2 +22+?+22 013=0, 所以 2 +22+?+22 013= -a0, a1 a2 a2 013 再令 x=0 可得 a0=1,因此 2 +22+?+22 013=-1. 答案:C 8.(2013· 湖北武汉调研测试)? x+
? ?

)

1 ?8 ? 的展开式中常数项为 2 x?

(

) 35 35 35 A.16 B. 8 C. 4 D.105 1 ?8 ?2x+1?8 ?1+2x?8 ? ?= 解析:? x+ = 28x4 ,展开式中常数项即为(1 2 x? ? ?2 x ?8

+2x) 中含 x 的项为 答案:B

8

4

4 4 C8 2 35 4 4 C8(2x) ,故常数项为 8 =C4 2-4= . 8·

2

8

9.(2013· 安徽省“江南十校”高三联考)若(x+2+m)9=a0+a1(x +1)+a2(x+1)2+?+a9(x+1)9,且(a1+a3+?+a9)2-(a0+a2+?+ a8)2=-39,则实数 m 的值为( A.1 或-3 B.-1 或 3 ) C.1 D.-3

解析:(a1+a3+?+a9)2-(a0+a2+?+a8)2 =(a0+a1+?+a9)(a1-a0+a3-a2+?+a9-a8)=-39 令 x=0 得 a0+a1+?+a9=(2+m)9 令 x=-2,得 a0-a1+a2-a3+?+a8-a9=m9 所以(a0+a1+?+a9)(a0-a1+a2-a3+?+a8-a9)=(m2+2m)9 =39 所以 m2+2m=3,解得 m=-3 或 m=1,选 A. 答案:A 二、填空题 10.(2012· 陕西卷)(a+x)5 展开式中 x2 的系数为 10,则实数 a 的 值为________.
0 5 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 解析:因为(a+x)5=C5 a +C1 5a x+C5a x +C5a x +C5ax +C5x , 3 3 3 所以 C2 5a =10a =10.所以 a =1,a=1.

答案:1 11.(2013· 山西大学附属中学高三月考)设 a=?π(sin x+cos x)dx,
?0

则二项式(a x-

1 6 ) 展开式中含 x2 项的系数是________. x
π π

? 解析:a=? (sin x+cos x)dx=(-cos x+sin x)? = 2sin(x- ?0 ?0

π? ? 4)?0 =2, 二项式?2 x-
? ?

π

1 ?6 1? ? 1 ? 展开式中含 x2 项为:C6 ?- ?=- (2 x)5· x? x? ?

192x2, 所以 x2 的系数为:-192. 答案:-192 12.(2013· 贵州省六校第一次联考)(x+1)(1-2x)5 展开式中,x3 的系数为________(用数字作答). 解析: 本题是二项式定理计算系数的题, 可以从以下角度来思考: x3 的来源有两种,一种是从第一个括号里面取出一个 x,从第二个括
2 号里面取出 x2,此时 x3 的系数为 C2 5(-2) =40;另外一种是第一个括 3 号取出常数,第二个括号取出 x3,此时 x3 的系数为 C3 5(-2) =-80,

故总的系数为-40. 答案:-40 π? 1? ?? 13. (2013· 黄冈质检)已知 a=?1-1(1+ 1-x2)dx, 则??a-2?x-x?
? ?? ? ?
6

展开式中的常数项为________. 解析:

令 y=1+ 1-x2, 则 x2+(y-1)2=1(y≥1), 如图可看出 a=?1-
?

π? 1? ?? π π 1(1+ 1-x2)dx 表示的面积是 a=2×1+2=2+2,∴??a-2?x-x?6=
?? ? ?

1? ? ?2x- ?6, 由二项式定理, Tr+1=(-1)r· Cr 26-r· x6-r· x-r=(-1)r· Cr 26-r· x6 6· 6· x ? ?
-2r

,要求展开式的常数项,
3 6 -3 则 6-2r=0,即 r=3,∴(-1)3· C6 · 2 =-20×8=-160.

答案:-160 1? ? 14.(1+x+x2)?x-x?6 的展开式中的常数项为________.
? ?

1? ? r 6-2r 解析:?x-x?6 的通项为 Tr+1=Cr ,当 r=3 时,T4=- 6(-1) x
? ?
4 C3 6=-20,当 r=4 时,T5=C6=15,因此常数项为-20+15=-5.

答案:-5 1? ? 15.(2013· 安徽省江南十校高三开学第一考)二项式? 2 x-x?4 的 ? ? 展开式中所有有理项的系数和等于________.(用数字作答)
6-r 6-3r 解析:Tr+1=Cr (2 x)6-r· (-1)r· x-r=(-1)rCr x 2 ,r= 6· 62 6-r 6-3r 0,1,2,3,4,5,6,当 r=0,2,4,6 时,Tr+1=(-1)rCr x 2 为有理项,则 62

所有有理项的系数
6 2 4 4 2 6 0 和为 C0 62 +C62 +C62 +C62 =365.

答案:365 1? ? 16.(2013· 山东烟台高三测试)若?x2-x?n 的展开式中含 x 的项为
? ?

第 6 项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+?+anxn,则 a1+a2+?+an 的 值为________.
2 n-5 5 2n-15 解析:T6=C5 (-x-1)5=-Cn x ,其中 2n-15=1,∴n n(x )

=8,令 x=1 得(1-3)8=256=a0+a1+?+a8,令 x=0 得(1-0)8=1 =a0,∴a1+a2+?+a8=256-1=255. 答案:255 [热点预测] 17.(1)(2013· 马鞍山高中毕业班第一次教学质量检测)已知 1? ? 2 3 ?x - ?n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 , 14 则展开式中常 x? ? 数项是________. (2)(2013· 郑州市高中毕业年级第二次质量预测)在二项式 1 ? ? ? x+ ?n ? 4 ? 的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所 2 x? ? 有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为( 1 1 1 5 A.6 B.4 C.3 D.12
2 2 解析:(1)第三项的系数 a2=Cn (-1)2=Cn ,第五项的系数 a4=C4 n

)

(-1)
- 1 2

4

C2 12 3 n 4 =Cn,C4= =14,∴n=10,Tr+1=Cr10x2(10-r)(- ?n-2??n-3? n 5 ,由 20-2r=0 得 r=8,所以常数项为 C8

x

)r=Cr10(-1)r

10(-1)8=45. n 1?1? (2)展开式中前三项的系数分别为 a1=C0 n=1,a2=Cn?2?= ,a3 2
? ?

n?n-1? n?n-1? n 2?1?2 ? ?= =Cn , a , a , a 成等差数列, 所以有 2 × = 1 + 1 2 3 2 8 2 8 ,
? ?

解得 n=8 或 n=1(舍),则 Tr+1=Cr 8

?1 - 1 ? r ?1?r ? x 4 ? =Cr 8?2? ?2 ? ? ?

,其

中 r=0,1,2,?,8,当 r=0,4,8 时为有理项,其展开式共有 9 项,重

3 A6 5 6A7 新排成一排,有理项互不相邻的概率为 A9 =12,故选 D. 9

答案:(1)45 (2)D


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