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高一数学必修四 2.3.4平面向量共线的坐标表示


2.3.4 平面向量共线的坐标表示

复习回顾:
1.向量共线充要条件:

b // a(a ? 0) ? 存在唯一实数 ?, 使b ? ? a.
2.平面向量的坐标运算:

? ? 1.已知 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ),

? ? ? ? a

? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ? a ? (? x1, ? y1 )

2.若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
注:向量坐标等于终点坐标减去起点坐标

向量平行充要条件:

1.

? ? 向量 a 与非零向量 b 平行(共线) 的充要条件是有且 ? ? 只有一个实数 ? , 使得a ? ?b
设 即

2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件? 会得到什么样的重要结论?

? ? ? ? a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , b ? 0 ?

? x2 , y2 中,至少有一个不为0 ,则由 a ? ?b 得 x1 y2 ? x2 y1 ? 0

这就是说:

x1 y2 ? x2 y1 ? 0

? ? ? ? a // b (b ? 0) 的充要条件是

3. 向量平行(共线)充要条件的两种形式:

? ? ? ? ? ? (1)a // b (b ? 0) ? a ? ?b ; ? ? ? ? ? ? (2)a // b (a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

例1.已知a ? ?4, 2 ?, b ? ?6, y ?,且 a // b,求y.

解: ?a // b

?4 y ? 2 ? 6 ? 0    ? y ? 3.

已 知 A ( ? 1, ? 1), B (1, 3 ), C ( 2, 5 ), 例1. 试 判 断 A、 B 、 C 三 点 之 间 的 位 置 关 系 .
解: 如图, 猜想A、B、C三点共线. 证明如下:

? ? ?? ? A B ? ( 1 ? ( ? 1 ) ,3 ? ( ? 1 ) ) ? ( 2 ,4 ) ? ? ?? A C ? ( 2 ? ( ? 1 ) ,5 ? ( ? 1 ) ) ? ( 3 ,6 )

y

.B

.C
x

又 2?6? 3?4 ? 0 ? ? ?? ? ? ?? ? A B // A C
? A、 B、 C 三 点 共 线 .

A

. O1

? 直 线 AB和 直 线 AC有 公 共 点 A

例1. 已 知 A ( ? 1, ? 1), B (1, 3 ), C ( 2 , 5 ),
试 判 断 A、 B 、 C 三 点 之 间 的 位 置 关 系 . 如图, 猜想A、B、C三点共线. 证明方法2如下: 解:

? ? ?? ? A B ? ( 1 ? ( ? 1 ) ,3 ? ( ? 1 ) ) ? ( 2 ,4 ) ? 2 ( 1 ,2 ) , ? ? ?? A C ? ( 2 ? ( ? 1 ) ,5 ? ( ? 1 ) ) ? ( 3 ,6 ) ? 3 ( 1 ,2 ) , ???? 2 ???? ? AB ? AC 3 y ? 直 线 AB和 直 线 AC有 公 共 点 A C
? A、 B、 C 三 点 共 线 .
A

.B

.

. O1

x



例2. 向量 OA ? (k , 12) , OB ? (4 , 5) , OC ? (10 , k ) 当k为何值时,A、B、C 三点共线 .

解: ? AB ? OB ? OA ? (4 , 5) ? (k , 12) ? (4 ? k , ? 7) ,

BC ? OC ? OB ? (10 , k ) ? (4 , 5) ? (6 , k ? 5) ,
若 A、B、C 三点共线 ,则
AB // BC ? (4 ? k )(k ? 5) ? 6 ? ( ? 7) ? 0

解得 k ? 11 或 ? 2 . ∴ k=11或-2时,A、B、C 三点共线 .

例3:设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是

( x1, y1 ),( x2 , y2 ) 。
(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标; (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标。

??? ? 1 ???? ???? ? 解: (1) OP ? (OP 1 ? OP 2) 2 x1 ? x2 y1 ? y2 ?( , ) 2 2
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 所以,点P的坐标为 ( 2 2

O

x

例3:设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是

( x1, y1 ),( x2 , y2 ) 。
(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标; (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标。

y P P1

P2 P1

y P

P2

O

x

O

x

y P
P1

P2
P1 x

y P

P2

O

O

x

(2)如图2.3 ? 15,当点P是线段P 1P 2的一个三等分点时, P 1 P 1P 1P 有两种情况,即, ? 或 ? 2. PP 2 PP 2 2

P 1 1P 如果 ? ,那么 PP2 2 1 OP ? OP P 1?P 1 P ? OP 1? 1P 2 3 1 2 1 ? OP ? ( OP ? OP ) ? OP ? OP2 1 2 1 1 3 3 3 ? 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2 ? ?? , ? 3 3 ? ?
P
P1

y

P2

O

x

2 x1 ? x2 2 y1 ? y2 即点 P的坐标是( , ) 3 3

???? ???? 点P的坐标是什么? 若 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 且 P1 P ? ? PP2 ,

分析: 设P的坐标是(x, y), 则 ???? ? P1 P ? ( x ? x1 , y ? y1 ) , ???? PP2 ? ( x2 ? x , y2 ? y) ,

? ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x , y2 ? y) x1 ? ? x2 ? x? ? x ? x1 ? ? ( x2 ? x ) ? ? 1? ? ?? ?? ? y ? y1 ? ? y2 ? y ? y1 ? ? ( y2 ? y ) ? 1? ? ? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? P( , ). 1? ? 1? ?
这个公式叫有向线段

P1P 定比分点坐标公式 .

线段的定比分点的向量公式:
如图, 在平面内任取一点 O, 设 OP1 ? a , OP2 ? b, P2 ???? ???? ??? ? . 如何求 呢? 且 P OP 1 P ? ? PP 2,
分析: ? P1 P ? ? PP2

? ??? ? ???? ???? ??? ? P1. b ? OP ? OP1 ? ? (OP2 ? OP ) ??? ? ? ? ??? ? ? 即 OP ? a ? ? (b ? OP ) a . O ??? ? ? ? 1 ? ? OP ? a? b . 当 ? ? 1 时,即点P为 1? ? 1? ?
线段 P1 P2 的中点时 ,

P .


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