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高中数学教学中应重视学生对一般性结论的记


高中数学教学中需要有意识引导学生归纳记忆一些结论
——以 2010 年高考全国课标卷两道选择题为例

现高中数学解题提倡通解通法,淡化技巧法。但是,有些题的通解通法 烦琐,解答不但费时,而且容易出错。如果教师在平时的教学中既注重通解 通法的讲解,又有意识的引导学生从通解通法中归纳一般性的结论,并加以 记忆。这样在平时的解题和高考中,学生便会有意识地直接用这些结论去解 答选择题和填空题,起到事半功倍的效果。下面以《2010 年普通高等学校招 生全国统一考试》 (课标全国卷)选择题的第(2) 、 (12)为例谈谈自己的观 点。 选择题第(2)题:已知复数 z ? A
1 4

3 ?i (1 ? 3i) 2

, z是z的共轭复数,则 zz ? (



B

1 2

C

1

D

2

该题是一道容易题,它主要考查共轭复数的概念以及复数的代数运算。 其通解通法为:
1 3 ?i 1 ( 3 ? i)(1 ? 3i) ? 3 ? i ?? ? ?? ? ? 2 1 ? 3i 2 4 4 (1 ? 3i) ? 2 ? 2 3i 1 3 1 ? zz ? ? ? 16 16 4 z?
2

3 ?i

?

3 ?i

大部分学生在解答时都采用的是以上方法,可不少学生由于考场紧张, 再加上运算能力较差,从而导致痛失宝贵的 5 分。这其中有学生的原因,但 我们也不能否认,部分教师在平时教学中不重视引导学生归纳记忆一些重要 结论记忆的原因。由于近几年中, 《复数》这一章节在高考课标试卷中所占分 值一般为 5 分,并且都是容易题。主要考查复数的概念、代数运算及简单的 几何意义,而运算主要考查复数乘、除法。所以在高三总复习时,教师大多 仅用一到两课时完成这一章节的复习,并只侧重概念及运算法则的训练,不 重视有关性质的讲解和训练。如果我们在高二学习及高三总复习中,教师有

意识引导学生归纳出以下结论:
(1)若z ? a ? bi, 则z z ?| z | 2 ?| z | 2 ? a 2 ? b 2 (2)若z ? z1 z 2 , 则 | z |?| z1 || z 2 | (3)若z ? z1 |z | ( z 2 ? 0),则 | z |? 1 z2 | z2 |

并有意识的引导学生去记忆这些结论,则解该题的思路就清晰多了,并且运 算量不大,从而降低了计算出错率。具体解法如下:
| z |? | 3 ?i| | (1 ? 3i) |
2

?

1 1 ? ? z1 z 2 ?| z | 2 ? 4 | ?2 ? 2 3i | 2

2

选择题第(12)题:已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为 ( A )
x2 y2 ? ?1 3 6

B

x2 y2 ? ?1 4 5

C

x2 y2 ? ?1 6 3

D

x2 y2 ? ?1 5 4

在高考试卷中,第 12 题往往是选择题中的压轴题,难度相对比较大。大 部分考生往往会因心理定势,而放弃解答该题。实际上该题是圆锥曲线中典 型的“中点弦”问题,其通解通法一般有两种:
x2 y2 解(一):设双曲线方 程为 2 ? ? 1(a ? 0), (1) a 9 ? a2 又直线AB的方程为y ? x - 3, (2) 联立方程( 1 ) (2)得(9 - 2a 2 ) x 2 ? 6a 2 x ? 18a 2 ? a 4 ? 0 ? ? ? 36a 4 ? 4(9 ? 2a 2 )(a 4 ? 18a 2 ) ? 0 ? 令A( x1 , y1 )、B ( x 2 , y 2 ),则x1 ? x 2 ? 又AB中点为N (?12,?15),则 6a 2 2a 2 ? 9

6a 2 ? ?24, 解得a 2 ? 4 2a 2 ? 9

x2 y2 ? 双曲线的方程为 ? ?1 4 5

解(二):设双曲线方 程为 令A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )则

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) a2 9 ? a2

x12 y12 ? ? 1, (1) a2 9 ? a2 2 2 x2 y2 ? ? 1, (2) a2 9 ? a2 1 1 (1) ? (2)得: 2 ( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 a 9 ? a2 9 ? a 2 ( y1 ? y 2 )( y1 ? y ) ? ? ( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) a2 又由已知得x1 ? x 2 ? ?24, y1 ? y 2 ? ?30, ? y1 ? y 2 ?1 x1 ? x 2

9 ? a2 5 x2 y2 2 ? , ? a ? 4 , 则双曲线的方程是 ? ?1 4 4 5 a2

在解析几何中,圆锥曲线的“中点弦”问题作为一个重点内容,课本中 的例题及作业题多次以大题的形式出现,主要求圆锥曲线的中点弦所在直线 的方程。老师在课堂上引导学生用不同的方法去解答,并作出一些变式训练。 不过遗憾的是部分教师只是就题论题,并没有把它上升到一般性的结论。如 果在平时教学和高三总复习中,我们注重归纳圆锥曲线的“中点弦”问题的 重要结论:
x2 y2 (1)、已椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), 直线l与椭圆相交于 A、B两点, 若线段AB中点 a b b2 为M , 则k OM ? k AB ? ? 2 a x2 y2 (2)、已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), 直线l与双曲线相交于 A、B两点, 若线段AB中点为 a b b2 M , 则k OM ? k AB ? 2 a

以上两重要的结论具有一定的对称美,记忆起来比较容易,如果教师在教学 中有意识引导学生去获取这一结论并记下来,作为一道选择题,第(12)题 的解答就会快速而简洁,具体解法如下:

x2 y2 解:设双曲线的方程为 2 ? ? 1(a ? 0) a 9 ? a2 5 又k AB ? k NF ? 1, k ON ? 4 2 b 9 ? a2 5 ?由k AB ? k ON ? 2 , 得 ? ,? a 2 ? 4 2 4 a a 2 2 x y 则双曲线的方程为 ? ?1 4 5

由此可见,这一重要结论的归纳记忆不但使该题解题思路简单,而且更重要 的是避免了圆锥曲线解题中运算烦、难的弊端。 《普通高中数学课程标准(实验) 》指出: “学生的学习活动不应该只限于 对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探究、动手实践、 合作交流、阅读自学等都是学习数学的主要方式。 ” 所以,笔者强调记忆

结论,并不是提倡学生死记硬背,而是鼓励学生积极参与每一重要结论的获 得过程,包括思维的参与和行为的参与。在过程中让学生去理解一些结论, 在理解的基础上去记忆一些结论,在记忆的基础上轻松应用一些结论,何乐 而不为呢?


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