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2013届高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第十一章算法框图及推理与证明


2013 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第十一章算法框图及推理与证明
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1、用秦九韶算法求 n 次多项式 f ( x ) ? a n x ? a n ?1 x
n n ?1

? ? ? a 1 x ? a 0 ,当 x ? x 0 时,求

f (

x 0 ) 需要算乘方、乘法、加法的次数分别为





, n, n B. n,2n,n C. 0,2n,n D. 0,n,n 2 2. (2012 天津理)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值为 ? 25 时,输出 x 的值 为( ) ( ) 开 始 A. ? 1 B. 1

A.

n ( n ? 1)

C. 3 D. 9 3.下列推理正确的是( ) A.把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则有 loga(x+y)=logax+logay B.把 a(b+c)与 sin(x+y)类比,则有 sin(x+y)=sinx+siny C.把(ab)n 与(x+y)n 类比,则有(x+y)n=xn+yn D.把(a+b)+c 与(xy)z 类比,则有(xy)z=x(yz) 4、设 S 是至少含有两个元素的集合,在 S 上定义了一个二元运算“*” (即对任意的 a, b ? S ,对于有序元素对( a, b ) ,在 S 中有唯一确 定的元素 a * b 与之对应) .若对任意的 a, b ? S ,有 a * ( b * a ) ? b , 则对任意的 a, b ? S ,下列等式中不恒成立的是( A. ( a * b ) * a ? a C. b * ( b * b ) ? b )

输入 x


|x|>1


x?

| x| ?1

B. [ a * (b * a )] * ( a * b ) ? a D. ( a * b ) * [b * ( a * b )] ? b

x = 2x+1 输出 x 结 束

5、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似的,称图 2 中的 1,4,9,16,…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方 形数的是( ) A.289 B.1024 C.1225 D.1378 6 . (2012 安徽理)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 ( ) A. 3 B. 4 C. ? D. ?

7、 (惠州 2011 高三第三次调研考试) 已知整数以按如下规律排成一列:?1 , 1? 、?1 , 2 ? 、? 2 , 1? 、

?1 , 3 ? 、 ? 2 , 2 ? , ? 3 , 1 ? , ?1 , 4 ? , ? 2 A. ?10 , 1? B. ? 2 , 10 ?
C. ? 5 , 7 ? D. ? 7 , 5 ?

, 3 ? , ? 3 , 2 ? , ? 4 , 1? ,??,则第 60 个数对是(



8、 (2012 课标理)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N ( N ≥2)和实数 a1 , a 2 ,, a N ,输出 A , B ,则 ( A. A + B 为 a1 , a 2 ,, a N 的和 B.
A? B 2



为 a1 , a 2 ,, a N 的算术平均数

C. A 和 B 分别为 a1 , a 2 ,, a N 中的最大数和最小数 D. A 和 B 分别为 a1 , a 2 ,, a N 中的最小数和最大数 9、下列几种推理过程是演绎推理的是( ) A、由圆的性质类比出球的有关性质 B、由平行四边形、矩形、菱形、正方形的内角和是 360°,归纳出所有四边形的内角和都是 360° C、因为当 a >1 时,对数函数 y ? log a x 在 (0, ∞ ) 上是增函数,所以, y ? log 2 x 在 (0, ∞ ) 上 ? ? 是增函数 D、 “若 a 、 b ? R ,则 a ? b ? 0 ? a ? b ”可以推出“ a 、 c ? C , 则 a ? b ? 0 ? a ? b ” 10、 (2012 北京理)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.2 B.4 C.8 开始 k=0,S=1 k=k+1 S=S× 2 k k<3 否 输出 S 结束 (第 10 题图) 是 ( D.16 )

1 2 5 6 3 7 4 8 9 16 5 2

1 4 7 9

10 11 12 13 14 15 17 18 19 … … … …

10 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 34 36 … … … … … … … 图乙 …

20 21 22 23 24 25 … … … … … … 图甲

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

A、514

B、1028

C、2056
1 b ,b ?

D、4112 ( c a B.都不小于 ? 2
1 ,c ? 1

12.设 a , b , c ? ( ?? , 0), 则 a ? A.都不大于 ? 2 C.至少有一个不大于 ? 2



D.至少有一个不小于 ? 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13. (2012 广东理)执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 s 的值为______ 开始 输入n
i ? 2, k ? 1, s ? 1

i ? n

s ?
1 k



输出 s
? s?i ?

结束

i?i?2
k ? k ?1

第 13 题图

14. 【山东省日照市 2012 届高三上学期期末理】我们知道,在平面中,如果一个凸多边形有 1 内切圆,那么凸多边形的面积 S、周长 c 与内切圆半径 r 之间的关系为 S ? cr 。类比这个结 2 论,在空间中,果已知一个凸多面体有内切球,且内切球半径为 R,那么凸多面体的体积 V、 表面积 S'与内切球半径 R 之间的关系是 。 15. 【2012 韶关第一次调研】在平面中 ? ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分 ? ABC 面积所成的 比
S ? AEC S ? BEC ? AC BC

, 将这个结论类比到空间:在三棱锥 A ? BCD 中,平面 DEC 平分二面角

A ? CD ? B 且与 AB 交于 E , 则类比的结论为______________.

16、 【2012 厦门期末质检理】二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S =πr2, 观察发现 S′=l; 三维空间中球的二维测度 (表面积) S=4πr2, 三维测度 (体积) V= 观察发现 V′=S。 则四维空间中 “超球” 的三维测度 V=8πr , 猜想其四维测度 W= 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 3 2 ? 2 ? 2 ? 17.(本小题满分 10 分) 已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ? ; 2 3 2 ? 2 ? 2 ? sin 5 ? sin 65 ? sin 125 ? 2 通过观察上述两等式的规律,请你写出对任意角度 ? 都成立的一般性的命题,并给予证明.
3

4 3

πr3, 。

18. (2012 福建)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。 (1) sin 13 ? cos 17 ? sin 13 cos 17 ;
2 0 2 0 0 0

(2) sin 15 ? cos 15 ? sin 15 cos 15 ;
2 0 2 0 0 0

(3) sin 18 ? cos 12 ? sin 18 cos 12 ;
2 0 2 0 0 0

(4) sin ( ? 13 ) ? cos 48 ? sin( ? 18 ) cos 48 ;
2 0 2 0 0 0

(5) sin ( ? 25 ) ? cos 55 ? sin( ? 25 ) cos 55 。
2 0 2 0 0 0

(I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (II)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。 19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 【 山 东 省 淄 博 一 中 2012 届 高 三 上 学 期 期 末 检 测 理 】 已 知 1 1 1 1 3 1 * f ( n ) ? 1? 3 ? 3 ? 3? ? 3, g ( n ) ? ? ,n? N . 2 2 2n 2 3 4 n (1)当 n ? 1 , 2 , 3 时,试比较 f ( n ) 与 g ( n ) 的大小关系;

(2)猜想 f ( n ) 与 g ( n ) 的大小关系,并给出证明.

20.(本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } 满足如图所示的程序框图. (Ⅰ)写出数列 { a n } 的一个递推关系式; (Ⅱ)证明: {a n ?1 ? 3 a n } 是等比数列, 并求 { a n } 的通项公式; (Ⅲ)求数列 { n ( a n ? 3
n ?1

开始

输入 n

)} 的前 n 项和 T n .

a1 ? 1 ,a2 ? 1 , ? 1 i

ai ? 2 ? 5ai ?1 ? 6ai

i ? i ?1

i?n




输出 ai ? 2

21.(本小题满分 12 分) 【山东省枣庄市 2012 届高三上学 期期末理】 观察下表: 1, 2,3, 4,5,6,7, 8,9,10,11,12,13,14,15, ?? 问: (1)此表第 n 行的第一个数与最后一个数分别是多少? (2)此表第 n 行的各个数之和是多少? (3)2012 是第几行的第几个数?

结束

22. 【2012 黄冈市高三上学期期末考试】对于三次函数 f ( x ) ? ax ? bx ? cx ? d ( a ? 0) ,给
3 2

出定义:设 f '( x ) 是函数 y ? f ( x ) 的导数, f '' 是 f '( x ) 的导数,若方程 f ''( x ) ? 0 有实数解

x 0 ,则称点 ( x0 , f ( x 0 )) 为函数 y ? f ( x ) 的“拐点” 。某同学经过探究发现:任何一个三次函

数都有“拐点” 任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。若 ;
f ( x) ? 1 3 x ?
3

1 2

x ? 3x ?
2

5 12
3

,请你根据这一发现,求:
1 2 x ? 3x ?
2

(1)函数 f ( x ) ? (2)计算 f (
1

1 3

x ?

5 12 3

对称中心为
)? f( 4 2011


) ?? ? f ( 2010 2011 )=

2011

)? f (

2 2011

)? f(



2011

祥细答案
1、[答案] D 2、 【答案】C 【解析】根据图给的算法程序可知:第一次 x = 4 ,第二次 x =1 ,则输出 x = 2 ? 1+1=3 . 3、[答案] D 解析:由对数运算、三角函数运算知 A、B 错误,多项式的乘法知 C 错。 4、[答案]A 解析: 由题设 a * ( b * a ) ? b , ( a * b ) * a ? a , a ? [( a ?b ) ?a ] ? a ?a ? a ?b 若 则
S 中唯一确定的元素相矛盾,故选 A 5、[答案]C

, a*b 是 与

解析:由图形可得三角形数构成的数列通项 a ?
n

n 2

( n ? 1) ,同理可得正方形数构成的数列

2 2 通项 bn ? n ,则由 bn ? n ( n ? N ? ) 可排除 A、D,又由 a ?

n

n 2

( n ? 1) 知 a n 必为奇数,故选

C. 6、[答案]B 【解析】选 B
x
y
1 2 4
3

8

1

2

4

7、 【答案】C

【解析】根据题中规律,有 ?1 , 1? 为第 1 项,?1 , 2 ? 为第 2 项,?1 , 3 ? 为第 4 项, ?,? 5, 11 ? 为第 56 项, 因此第 60 项为 ? 5 , 7 ? . 8、 【答案】C 【解析】由框图知其表示的算法是找 N 个数中的最大值 和最小值, A 和 B 分别为 a1 , a 2 ,, a N 中的最大数和最小 数,故选 C. 9、 【答案】C 解: (A)的推理是特殊到特殊的推理,即类比推理; (B)的推理是特殊到一般的归纳推理; (C)中先给出大前提,再给出小前提,根据大前提的原理得到结论是演绎推理; (D)是特殊 到特殊的类比推理。 10、 【答案】C 【解析】 k ? 0, s ? 1 ? k ? 1, s ? 1 ? k ? 2, s ? 2 ? k ? 3, s ? 8 ,循环结束,输出的 S 为 8,故选 C 11、答案 B 【解析】 a n ? 2011 是第 45 行的第 38 个数,1+2+3+。。+44+38=1028 。 12. 【答案】D 【解析】 a ? 二、填空题 13、 【答案】8 解 析 :. 第 一 次 循 环 , s ? ? ?1 ? 2 ? ? 2 , i ? 4 , k ? 2 ; 第 二 次 循
1 1

1 b

?b?

1 c

?c?

1 a

? ? 6 ,三者不能都小于 ? 2

环, s ?

1 2

? ? 2 ? 4 ? ? 4 , i ? 6 , k ? 3 ;第三次循环, s ?

1 3

? ? 4 ? 6 ? ? 8 , i ? 8 , k ? 4 .此时退出

循环,输出 s 的值为 8. 1 14、 【答案】 V ? S ?R 3 解析:类比平面中凸多边形的面积的求法,将空间凸多面体的内切球与各个顶点连接起来, 将凸多面体分割成若干个小棱锥,每个棱锥都以多面体的面为底面,以内切球的半径为高, 1 1 1 1 1 从而 V ? S 1 R ? S 2 R ? ? ? S n R ? ( S 1 ? S 2 ? ? ? S n ) R ? S ?R ( S 1 , S 2 ,?, S n 为 3 3 3 3 3 凸多面体的各个面的面积) 。 15、 【答案】
V A?CDE VB ?CDE ? S ? AC D S ? BD C



【解析】此类问题由平面类比空间,应该面积类比体积,长度类比面积,由

S ? AEC S ? BEC

?

AC BC

类 ,

比得

V A?CDE VB ?CDE

?

S ? AC D S ? BD C

16、 【答案】 2? r 4 【解析】因为 (2? r ) ? 8? r ,所以 W= 2? r 4
4 ' 3

三、解答题 17、解析 一般形式: sin ? ? sin (? ? 60 ) ? sin (? ? 120 ) ?
2 2 ? 2 ?

3 2

18、解: (I)选择(2) sin 15 ? cos 15 ? sin 15 cos15 ? 1 ? :
2 0 2 0 0 0

10 2

sin 30 ?

3 4

(II)三角恒等式为: sin ? ? cos (30 ? ? ) ? sin ? cos(30 ? ? ) ?
2 2 0 0

3 4

sin ? ? cos (30 ? ? ) ? sin ? cos(30 ? ? )
2 2 0 0

? sin ? ? (
2

3 2 3 4

cos ? ? cos ? ?
2

1

?

3 4

sin ? ?
2

2 3 4

sin ? ) ? sin ? (
2

3 2

cos ? ?

1 2

sin ? )

19、解: (1) 当 n ? 1 时, f (1) ? 1 , g (1) ? 1 ,所以 f (1) ? g (1) ; 当 n ? 2 时, f (2) ?
9 8

, g (2) ?

11 8

,所以 f (2) ? g (2) ;

当 n ? 3 时, f (3) ?

251 216

, g (3) ?

312 216

,所以 f (3) ? g (3) .

(2) 由(1) ,猜想 f ( n ) ? g ( n ) ,下面用数学归纳法给出证明: ①当 n ? 1, 2, 3 时,不等式显然成立.

20、解: (Ⅰ)由程序框图可知, a1 ? a 2 ? 1 , a n ? 2 ? 5 a n ?1 ? 6 a n (Ⅱ)由 a n ? 2 ? 3 a n ?1 ? 2 ( a n ?1 ? 3 a n ) , 且 a 2 ? 3 a1 ? ? 2 可知,数列 {a n ?1 ? 3 a n } 是以 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列,可得
a n ?1 ? 3 a n ? ? 2 ,即
n

a n ?1 2
n ?1

?

3a n 2?2
n

?

1 2

,?

a n ?1 2
n ?1

?1 ?

a 3 an 1 ( n ? 1) ,又 1 ? 1 ? ? , 2 2 2 2

? 数列 {

an 2
n

? 1} 是以 ?

1 2

为首项,

3 2

为公比的等比数列,

?

an 2
n

?1 ? ?

1 3 n ?1 n n ?1 ( ) , an ? 2 ? 3 2 2

(Ⅲ)? n ( a n ? 3 n ?1 ) ? n ? 2 n ,
? T n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? n ? 2 ①,
2 n

2T n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? n ? 2
2 3

n ?1

②,

两式相减得 Tn ? ( ? 2 ? 2 2 ? ... ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1

??

2 ?1 ? 2 1? 2

n

?

? n?2

n ?1

? 2?2

n ?1

? n?2

n ?1

? ( n ? 1) 2
n ?1

n ?1

?2

21、此表 n 行的第 1 个数为 2

n ?1

, 第 n 行共有 2

个数,依次构成公差为 1 的等差数列.
n ?1

(1)由等差数列的通项公式,此表第 n 行的最后一个数是 2

? 2
n ?1

?

2 ?1

? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ;8 分
n

?

(2)由等差数列的求和公式,此表第 n 行的各个数之和为
n ?1

?2

? 2 ?1 ? 2
n

?

??

n ?1

2
2 n ?3

?2

2n?2

?2

2 n ?3

?2

n?2

,或 2

n ?1

?2

n ?1

?

2

? 2 2

?

n ?1

?1

??1 ? 2

2n?2

?2

?2

n?2

.

(3)设 2012 在此数表的第 n 行. 则2
n ?1

? 2012 ? 2 ? 1, 可得 n ? 11 .
n

故 2012 在此数表的第 11 行. 设 2012 是此数表的第 11 行的第 m 个数,而第 11 行的第 1 个数为 210, 因此,2012 是第 11 行的第 989 个数. 1 22、 【答案】 ,1) 2010 ( ; 2 【解析】本题主要考查阅读理解能力和类比推理能力. 属于基础知识、基本运算、基本能力 的考查.
f ?( x ) ? x ? x ? 3 ? 0 , f ??( x ) ? 2 x ? 1 ? 0 ? x ?
2

1 2

, f (1) ? 1

函数 f ( x ) ?

1 3

x ?
3

1 2

x ? 3x ?
2

1 对称中心为( ,1) 2 12

5

1 1 由(1)知,计算 f ( ? x ) ? f ( ? x ) ? 2 ? f ( x ) ? f (1 ? x ) ? 2 2 2

? f(

1 2011
1

)? f (

2010 2011
2

) ? 2, f (
3

2 2011

)? f (
4

2009 2011

) ? 2 ??
2010 2011

∴f(

2011

)? f (

2011

)? f(

2011

)? f(

2011

) ?? ? f (

) =2010


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