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高考数学热点:函数、导数、不等式热点预测


高考数学热点:函数、导数、不等式热点预测
一:考纲: 1.函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数) (1)函数 ① 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的 概念 w.w.w.k.s.5.u.c.o. ② 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、 解析法)表示函数. ③ 了解简单的分段函数,并能简单应用. ④ 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解 函数奇偶性的含义. ⑤ 会运用函数图像理解和研究函数的性质. (2)指数函数 ① 了解指数函数模型的实际背景. ② 理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. ③ 理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过 的特殊点. ④ 知道指数函数是一类重要的函数模型. (3)对数函数 ① 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自 然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. ② 理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性,掌握函数图像通过的特 殊点. ③ 知道对数函数是一类重要的函数模型; ④ 了解指数函数 (4)幂函数 ① 了解幂函数的概念. ② 结合函数 况. (5)函数与方程 ① 结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次 方程根的存在性及根的个数. ② 根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解. (6)函数模型及其应用 ① 了解指数函数、 对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增 长、对数增长等不同函数类型增长的含义. ② 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生 活中普遍使用的函数模型)的广泛应用 2.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 的图像,了解它们的变化情 与对数函数 互为反函数( ).

① 了解导数概念的实际背景. ② 理解导数的几何意义. (2)导数的运算 ① 能根据导数定义,求函数 (c 为常

数)的导数. ② 能利用表 1 给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简 单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数)的导 数. 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式: (C 为常数); , n∈N+; ;

;

;

(a>0, 且 a≠1);

;

(a>0,且 a≠1). 法则 1 法则 2 . .

法则 3

.

(3)导数在研究函数中的应用 ① 了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函 数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). ② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极 大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次) ;会求闭区间上函数的最大值、 最小值(其中多项式函数一般不超过三次). (4)生活中的优化问题. 会利用导数解决某些实际问题.. (5)定积分与微积分基本定理 ① 了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. ② 了解微积分基本定理的含义. 3.不等式 (1)不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式 ① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的 联系.

③ 会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框 图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ② 了解二元一次不等式的几何意义, 能用平面区域表示二元一次不等式组. ③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. (4)基本不等式: ① 了解基本不等式的证明过程. ② 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二:考情预测 1 对于函数及其性质, 一直是高考的热点和重点之一, 大题、 小题都会考查。 尤其是新课标对这部分课时和要求上都加强了。 依据近几年高考试题的立意变化 和新课标要求,应重视以下复习思路:①深刻理解函数的概念、图像与性质,并 能灵活运用这些知识去分析、解决有关问题。②及时归纳总结常用的数学思想、 方法、 解题规律, 培养运用数学思想方法解决问题的能力③针对函数实际应用题、 探索性问题、代数推理问题以及与其他知识交汇的综合题,应加大训练力度,通 过实战训练,达到培养数学能力的目的。 2 导数是高中数学课程中的重要内容,是解决实际问题的强有力的数学工具, 运用导数的 有关知识研究函数的性质(单调性、最值、极值) 。定积分的应用也 是高考的热点问题。 3 不等式的高考命题趋势: ① 从题型上看选择题、填空题、解答题都有可能出现,题量可能为一道客观 题、一道与不等式有关的大题。 ② 从内容上看 选择题、填空题 仍以考查不等式的性质、解法、均值不等式 为主可能会有结合三角函数、平面向量、数列、解析几何等知识的小综合 题,但起点不会太高,入手并不难;解答题可能是含参数的,考查学生的 分类讨论的能力,也可能是用不等式与函数、数列、解析几何、导数等知 识相结合命题, 以考查学生的逻辑推理能力和综合分析、解决问题的能力。 ③ 以当前经济、生活、社会为背景,与不等式综合的应用问题也可能出现, 主要考查学生运用不等量关系分析、解决问题的能力。 三:典型例题 典例一:函数的图像与性质问题 函数的图像作为高中数学的一个“重头戏” ,其重要作用在于直观、能够轻松 地“形而知之”函数中的性质,都可以从图像上去观察。因此是每年的一个必考 热点。 函数的性质是每年高考的必考内容,其中涉及函数的综合题为重中之重,常考 常新,主要从以下三方面考查; 1 单调性的确定与应用,热点有单调区间的确定或应用单调性求最值(值域) 、 比较大小、求参数的取值范围等 2 奇偶性、周期性与函数的其他性质(如图像的对称性)的综合问题。 3 求函数的最值或应用函数的最值问题。考题常与函数的单调性、图像、及导

数、基本不等式综合。考题既有选择题、填空题,又有解答题,难度一般为中等 偏上题。 π π 【例 1】 (2008 山东)函数 y=lncosx(- <x< =的图象是( A ) 2 2

点评:本题可以先判断函数奇偶性,由奇偶性图像性质,初步作出判断,再利用 对数函数的性质最终作出判断。

? 1 ,x ? 1 ? 【例 2】 (2008 广东)设 k ? R ,函数 f ( x) ? ?1 ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx , ?? x ? 1,x ≥1 ?
x ? R ,试讨论函数 F ( x) 的单调性.

思路点拨:本题可分 k=0,k>0,k<0 三种情况讨论,对于 k=0 及 k>0 中 x≥1, k<0 中 x<1,可用基本初等函数单调性直接判断,而对于 k>0 中 x<1, k<0 中 x≥1,需用导数法判断。 解:
? 1 ? kx, ? F ( x) ? f ( x) ? kx ? ?1 ? x ?? x ? 1 ? kx, ? x ? 1,
? 1 ? (1 ? x) 2 ? k , , ? F '( x) ? ? x ? 1, ?? 1 ? k , ? 2 x ?1 ? x ? 1, x ? 1,

对于 F ( x) ? 1 ? kx( x ? 1) ,
1? x

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 (??,1) 上是增函数; 当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 (??,1 ? 对于 F ( x) ? ?
1 ? k ( x ? 1) , 2 x ?1

1 1 ) 上是减函数,在 (1 ? ,1) 上是增函数; k k

当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1, ?? ? 上是减函数;
? 当 k ? 0 时,函数 F ( x) 在 ?1,1 ? 1 2 ? 上是减函数,在 ?1 ? 1 2 , ?? ? 上是增函数。 ? ? 4k ? 4k ? ?

?

?

典例二:函数的实际应用 函数的实际应用几乎每年的高考题都有涉及,主要体现在结合实际问题得到 相关的函数模型,然后利用函数的性质求解. 该类问题一般与最多、最少最省等最优化问题相联系,只要考查函数的单调

性、导数、均值不等式等知识,所涉及的背景一般与当年的重大事件相联系,以 生产或生活中的问题为主。 近几年高考该类问题只出现在选择题或填空题中,属于中等题,若出现在解 答题中一般较难。 【例 3】 (2008 年江苏)某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B,及 CD 的中点 P 处,已知 AB ? 20 km, CD ? 10km ,为了处理三家工厂的污水,现要 在矩形 ABCD 的区域上(含边界) ,且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处 理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长为 ykm。 (I)按下列要求写出函数关系式: ① 设 ?BAO ? ? (rad ) , y 表示成 ? 的函数关系 将 式; ② 设 OP ? x(km) ,将 y 表示成 x 的函数关系式。 (II)请你选用(I)中的一个函数关系式,确定污 水处理厂的位置,使三条排水管道总长度最短。 【解析】本小题考查函数最值的应用。 (I) ①由条件可知 PQ 垂直平分 AB, BAO ? ? (rad ) , OA ? 则 ? 故 OB ?
AQ 10 ? COS ?BAO COS?

10 ,又 OP ? 10 ? 10 tan ? ,所以 COS? 10 10 20 ? 10sin ? ? y ? OA ? OB ? OP ? ? ? 10 ? 10 tan ? ? ? 10(0 ? ? ? ) 。 COS? COS? cos ? 4

② OP ? x(km) , OQ ? 10 ? x , 则 所以 OA ? OB ? (10 ? x) 2 ? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200 , 所以所求的函数关系式为 y ? x ? 2 x2 ? 20 x ? 200(0 ? x ? 10) 。 (II)
y? ?

选择函数模型①。

?10cos 2 ? ? (20 ? 10sin ? )(? sin ? ) 10(2sin ? ? 1) ? 。 cos 2 ? cos 2 ?
1 ? ? ,又 0 ? ? ? ,所以 ? ? 。 2 4 6

令 y? ? 0 得 sin ? ? 当0 ?? ? 数。 所以当 ? ?

?
6

时, y? ? 0 , y 是 ? 的减函数;

?

6

?? ?

?
4

时, y? ? 0 , y 是 ? 的增函

?
6

时 ymin ? 10 3 ?10 。当 P 位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB 边

10 3 km 处。 3

典例三:不等式与线性规划问题 线性规划是中学教材中仅有的几个具有实际应用操作的考点之一, 是每年高 考重点,该类问题主要考向有:二元一次不等式(组)所表示的平面区域问题;

线性约束条件下的函数最值问题; 以及应用线性规划的方法解决一些简单的实际 问题。多以选择题、填空题为主,属中档题。
? x ? 2 y ? 19 ? 0, ? 【例 4】(2008 年山东) 设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ? 0, 所表示的平面区域 ?2 x ? y ? 14 ? 0 ?

为 M,使函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是( C ( A ) [1,3] (D)[ 10 ,9] (B)[2,



10 ]

(C)[2,9]

【例 5】 (2007 山东)本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别 为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广 告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、 乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元? 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总
? x ? y ≤ 300, ? 收益为 z 元,由题意得 ?500 x ? 200 y ≤ 90000, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
y
500

目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .
? x ? y ≤ 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?

400

300 l 200 100 M

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域. 如图: 作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 ,

0

100

200 300

x

即 3x ? 2 y ? 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.

? x ? y ? 300, 联立 ? 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900.
200) ? 点 M 的坐标为 (100, .

? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元)
答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收 益最大,最大收益是 70 万元.

点评: 用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能 力,随着课改的深入,这类试题应该是高考的热点题型之一。 典例四:导数的综合应用 利用导数可以解决曲线的切线问题,研究函数的单调性、最值、极值问题, 确定或应用函数曲线的切线斜率或切线方程是近几年高考命题的热点, 常与函数 的图像、性质及几何图形的性质交汇命题,主要以选择题、填空题的形式考查, 有时也渗透在大题之中,难度不大。 利用导数研究函数的单调性也是高考命题的一个热点, 常与函数的性质交汇 命题, 且函数中一般含参数, 特别是利用单调性求参数取值范围考查的频率较高, 一般以解答题的形式出现,属中高档题目。 函数的最值与极值是函数的重要性质, 而利用导数作为工具是解决这类问题 的重要方法,是高考重要的考点,多以选择题、填空题为主,以中低档题出现, 在解答题中出现时属中高档题。 【例 6】 (2008 年全国一 19) . 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间;
? 2 1? (Ⅱ)设函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ? ? 3 3?

解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 当 a 2 ≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增 当 a 2 ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?

?a ? a 2 ? 3 3

? ? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? , 即 f ( x) 在 ? ??, ? 递增, ? ? 递减, ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ? ? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? 递增 ? ? ? ? 3 ? ?
? ?a ? ? ? (2) ? ? ?a ? ? ? a2 ? 3 2 ≤? 3 3 a ?3 1 ≥? 3 3
2

,且 a 2 ? 3 解得: a ≥

7 4

典例五:函数、导数、不等式的综合应用 函数、导数、不等式的综合问题将函数的性质、导数的有关知识、不等式的 相关性质综合在一起考查,多层设问,特别是最后一问难度较大。 【例 7】 (2008 天津卷 21)

已知函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2 x2 ? b ( x ? R ) ,其中 a, b ? R . (Ⅰ)当 a ? ?
10 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

(Ⅱ)若函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对于任意的 a ?[?2, 2] ,不等式 f ? x ? ? 1 在 [?1,1] 上恒成立,求 b 的取值 范围. (Ⅰ)解: f ?( x) ? 4x3 ? 3ax2 ? 4x ? x(4x2 ? 3ax ? 4) .
10 时, f ?( x) ? x(4x2 ?10x ? 4) ? 2x(2x ?1)( x ? 2) . 3 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? , x3 ? 2 . 2

当a ? ?

当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, 0)

0 0 极小 值

1 (0, ) 2

1 2

1 ( , 2) 2

2 0 极小值

(2, ??)

- ↘

+ ↗

0 极大值

- ↘

+ ↗

1 1 所以 f ( x) 在 (0, ) , (2, ??) 内是增函数,在 (??, 0) , ( , 2) 内是减函数. 2 2

(Ⅱ)解: f ?( x) ? x(4x2 ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根. 为使 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x2 ? 3ax ? 4 ? 0 成立,即有 ? ? 9a2 ? 64 ? 0 .
8 8 解些不等式,得 ? ? a ? .这时, f (0) ? b 是唯一极值. 3 3 8 8 因此满足条件的 a 的取值范围是 [? , ] . 3 3

(Ⅲ) 解: 由条件 a ?[?2, 2] , 可知 ? ? 9a2 ? 64 ? 0 ,从而 4 x2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立. 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . 因此函数 f ( x) 在 [?1,1] 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者.

? f (1) ? 1 为使对任意的 a ?[?2, 2] , 不等式 f ( x) ? 1 在 [?1,1] 上恒成立, 当且仅当 ? , ? f (?1) ? 1

?b ? ?2 ? a 即? ,在 a ?[?2, 2] 上恒成立. ?b ? ?2 ? a
所以 b ? ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 (??, ?4] . 点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等 式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力. 【例 7】 (2008 山东卷 21) 已知函数 f ( x) ?
1 ? a ln( x ? 1), 其中 n∈N*,a 为常数. (1 ? x)n

(Ⅰ)当 n=2 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a=1 时,证明:对任意的正整数 n,当 x≥2 时,有 f(x)≤x-1. (Ⅰ)解:由已知得函数 f(x)的定义域为{x|x>1}, 当 n=2 时, f ( x) ?
1 ? a ln( x ? 1), (1 ? x)2

所以

2 ? a(1 ? x)2 f ( x) ? . (1 ? x)3

(1)当 a>0 时,由 f(x)=0 得

x1 ? 1 ?
此时

2 2 >1, x2 ? 1 ? <1, a a

f′(x)=

?a( x ? x1 )( x ? x2 ) . (1 ? x)3

当 x∈(1,x1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(x1+∞)时,f′(x)>0, f(x)单调递增. (2)当 a≤0 时,f′(x)<0 恒成立,所以 f(x)无极值. 综上所述,n=2 时, 当 a>0 时,f(x)在 x ? 1 ?

2 2 a 2 处取得极小值,极小值为 f (1 ? ) ? (1 ? ln ). a a 2 a

当 a≤0 时,f(x)无极值. (Ⅱ)证法一:因为 a=1,所以 f ( x) ? 当 n 为偶数时, 令 g ( x) ? x ? 1 ?
1 ? ln( x ? 1), (1 ? x) n n 1 x?2 n ? ? ? >0(x≥2). n ?1 ( x ? 1) x ? 1 x ? 1 ( x ? 1)n?1 1 ? ln( x ? 1). (1 ? x)n

则 g′(x)=1+

所以当 x∈[2,+∞]时,g(x)单调递增, 又 g(2)=0 因此 g ( x) ? x ? 1 ?
1 ? ln( x ? 1) ≥g(2)=0 恒成立, ( x ? 1)n

所以 f(x)≤x-1 成立. 当 n 为奇数时, 要证 f ( x) ≤x-1,由于 令 则 所以 >0, 所以当 x≥2 时,恒有 h(x) >0,即 ln(x-1)<x-1 命题成立. 综上所述,结论成立. 证法二:当 a=1 时, f ( x) ?
1 ? ln( x ? 1). (1 ? x)n 1 ≤1, (1 ? x) n 1 <0,所以只需证 ln(x-1) ≤x-1, (1 ? x) n

h(x)=x-1-ln(x-1), h′(x)=11 x?2 ? ≥0(x≥2), x ?1 x ?1

当 x∈[2,+∞]时, h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1) 单调递增,又 h(2)=1

当 x≤2,时,对任意的正整数 n,恒有 故只需证明 1+ln(x-1) ≤x-1.

令 h( x) ? x ?1? (1? ln( x ?1)) ? x ? 2 ? ln( x ?1), x ??2, ??? 则 h?( x) ? 1 ?
1 x?2 ? , x ?1 x ?1

当 x≥2 时, h?( x) ≥0,故 h(x)在 ?2,??? 上单调递增, 因此 故 当 x≥2 时,h(x)≥h(2)=0,即 1+ln(x-1) ≤x-1 成立. 当 x≥2 时,有
1 ? ln( x ? 1) ≤x-1. (1 ? x) n

即 f(x)≤x-1. 四:针对训练 1.(08 全国一 6)若函数 y ? f ( x ? 1) 的图像与函数 y ? ln x ? 1的图像关于直线
y ? x 对称,则 f ( x) ? (

B ) C. e2 x ?1 D. e2 x ? 2

A. e2 x ?1

B. e 2 x

2.(08 全国一 7)设曲线 y ? 则 a ?( D A.2 ) 1 B. 2

x ?1 2) 在点 (3, 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直, x ?1
1 2

C. ?

D. ?2

? 3.(08 全国一 9)设奇函数 f ( x) 在 (0, ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式
f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为( x

D )
? 1) B. (??, 1) ? (0, 0) 1) D. (?1, ? (0,

0) ? A. (?1, ? (1, ?) ? ? C. (??, 1) ? (1, ?)

? 3? 4.(08 江西卷 6)函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x 在区间 ( , ) 内的图象是 D 2 2
y
y
y
?
2

y

?

3? 2

? 2

?

3? 2

2 -

?
? 2

2 -

?
? 2

o ?2 -

x

o

?
A

?

o ?2 -

x

?

3? 2

x o

?
B

3? 2

x
C
D

5.(08 陕西卷 11)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)? 2 xy ( x,y ?R ) f)( 2 ? ,则 f (?3) 等于( , 1 A.2 B.3 C.6 D.9 B ) C )

x 6. 08 广东卷 7) a ? R , ( 设 若函数 y ? eax ? 3x , ? R 有大于零的极值点,( 则

1 1 D. a ? ? 3 3 7. (08 上海卷 8) 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 若当 x∈(0,+∞)时, (x) f =lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是 (-1,0)∪(1,+∞) 1 8.(08 江苏卷 8)直线 y ? x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0? 的一条切线,则实数 b 2 = .ln2-1.

A. a ? ?3

B. a ? ?3

C. a ? ?

9.(08 江苏卷 14) f ? x ? ? ax3 ? 3x ? 1 对于 x???1,1 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 ?

a=

.4

10(08 湖南卷 13)设函数 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f ?1 ( x) ,且函数 y ? x ? f ( x) 的

图象过点(1,2),则函数 y ? f ?1 ( x) ? x 的图象一定过点 11.(08 安徽卷 20) . 1 ( x ? 0且x ? 1) 设函数 f ( x) ? x ln x (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

. (-1,2)

(Ⅱ)已知 2 ? x a 对任意 x ? (0,1) 成立,求实数 a 的取值范围。 解 (1)
f ' ( x) ? ? ln x ? 1 1 , 若 f ' ( x) ? 0, 则 x ? 列表如下 2 2 x ln x e
1 (0, ) e 1 e 1 ( ,1) e

1 x

x
f ' ( x)
f ( x)
1

(1, ??)

+ 单调增

0
1 极大值 f ( ) e

单调减

单调减

(2)



2 x ? x a 两边取对数, 得

1 ln 2 ? a ln x ,由于 0 ? x ? 1, 所以 x

a 1 ? ln 2 x ln x

(1)

1 f ( x ) ? f ( ) ? ?e , e a ? ?e , 即 ) 为 使 (1) 式 对 所 有 x ? ( 0 , 1成 立 , 当 且 仅 当 ln 2

由(1)的结果可知,当 x ? (0,1) 时,

a ? ?e ln 2

ln x ? ln x ? ln( x ? 1) . 1? x (Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值;

12(08 辽宁)设函数 f ( x) ?

(Ⅱ)是否存在实数 a,使得关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集为(0,+ ? )?若 存在,求 a 的取值范围;若不存在,试说明理由. 本小题主要考查函数的导数,单调性,极值,不等式等基础知识,考查综 合利用数学知识分析问题、解决问题的能力. 解: (Ⅰ) f ?( x) ?
1 ln x 1 1 ln x ? ? ? ?? . ······· 2 分 2 x(1 ? x) (1 ? x) x x ?1 (1 ? x)2

1) 故当 x ? (0, 时, f ?( x) ? 0 , x ? (1,∞) 时, f ?( x) ? 0 . ?

所以 f ( x) 在 (0, 单调递增,在 (1,∞) 单调递减. ·········· 4 分 1) ?
? 由此知 f ( x) 在 (0,∞) 的极大值为 f (1) ? ln 2 ,没有极小值. ······ 6 分

(Ⅱ) (ⅰ)当 a ≤ 0 时, 由于 f ( x) ?
(1 ? x) ln(1 ? x) ? x ln x ln(1 ? x) ? x ? ln(1 ? x) ? ln x ? ? ? 0, 1? x 1? x

? 故关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集为 (0,∞) . ············ 10 分

(ⅱ)当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 为正整数,且有

ln x ln 2n 1? ? 1? ? ? ln ?1 ? ? 知 f (2n ) ? ? ln ?1 ? n ? ,其中 n n 1? x 1? 2 ? x? ? 2 ?

n n 1? a 1 ? ln ?1 ? n ? ? ? n ? e 2 ? 1 ? n ? ? log 2 (e 2 ? 1) . ··········· 12 分 2 ? 2 ? 2

又 n ≥ 2 时,

ln 2n n ln 2 n ln 2 2 ln 2 ? ? ? . n n n(n ? 1) n ? 1 1 ? 2 1 ? (1 ? 1) 2



2 ln 2 a 4 ln 2 ? ?n? ? 1. n ?1 2 n
n

取整数 n0 满足 n0 ? ? log2 (e 2 ?1) , n0 ? 则 f (2n0 ) ?

4 ln 2 ? 1 ,且 n0 ≥ 2 , a

n0 ln 2 1 ? a a ? ? ln ?1 ? n0 ? ? ? ? a , n0 1? 2 ? 2 ? 2 2

? 即当 a ? 0 时,关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集不是 (0,∞) . ? 综合(ⅰ) (ⅱ)知,存在 a ,使得关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集为 (0,∞) ,

且 a 的取值范围为 ? ?∞, . 14 分 0? 五:复习建议 (一)复习函数时要注意: 1.深刻理解一些基本函数, 如二次函数、 指数函数、 对数函数的图象与性质, 对数与形的基本关系能相互转化. 2.掌握函数图象的基本变换,如平移、翻转、对称等. 3.二次函数是初中、高中的结合点,应引起重视,复习时要适当加深加宽.

二次函数与二次方程、 二次不等式有着密切的联系,要沟通这些知识之间的内在 联系,灵活运用它们去解决有关问题. 4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点, 复习时应适当加强这方面 的训练,做到条理清楚、分类明确、不重不漏. 5.利用函数知识解应用题是高考重点,应引起重视. (二)在复习解不等式过程中,注意培养、强化与提高函数与方程、等价转化、 分类讨论、数形结合的数学思想和方法,逐步提升数学素养,提高分析解决综合 问题的能力. 能根椐各类不等式的特点,变形的特殊性,归纳出各类不等式的解 法和思路以及具体解法。 (三)导数复习应注意熟记求导公式及法则,理科特别注意复合函数求导,熟 练掌握导数解决函数单调性、最值极值问题的方法与步骤。
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