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高一数学期末复习资料必修


高一数学期末复习资料

必修(4)

第二章 平面向量

二、平面向量的坐标运算、平面向量的数量积 一、知识精点
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1.向量的直角坐标运算:设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) ,则
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a ? b ? __________ _____; a ? b ? __________ ; ? a ? __________ 。 ___ _
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2.若点 A, B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则向量 AB 的坐标为_____________。

__________ 3.设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a// b ? __________ 。
4.平面向量的数量积:

量 a, b 的数量积,记作 a ? b ,即_________=_____________________。 规定:零向量与任一向量的数量积为 0。 特别地:
?

? ?

已知平面上两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角为 ? ,则____________________叫做向
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⑴若 a 和 b 为非零向量,则 a ? b= 0 ? 2 _______________; 2 ⑵ a ? a ?| a | ,且将 a ? a 记作 a ,则 a ?| a | ;
2 2
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⑶若 a 和 b 同向,则 a ? b =___________;若 a 和 b 反向,则 a ? b =_____________; ⑷ | a? b | ?| a | ? | b | 。 5.非零向量 a 和 b 的夹角公式: cos? ? __________ ______。 6.一向量在另一向量方向上的投影:
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b 在 a 方向上的投影为 | b | ? cos? ,其中 ? 为 a 和 b 的夹角。
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7.平面向量数量积的运算律: ⑴交换律: a ? b =______________;

___ ⑵结合律: (? a ) ? b ? __________ ; _____。 ⑶分配律: ( a ? b ) ? c ? __________
8.设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) ,则
? ? ? ? ? ?

?

?

⑴平面向量数量积的坐标运算: a? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ; ⑵两向量垂直的等价条件: a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ; ⑶向量的模: | a |?
?

? ? ?

x12 ? y12 ;
2 1

⑷两向量的夹角公式: cos ? ?

x1 x 2 ? y1 y 2
2 2 x ? y12 ? x 2 ? y 2



二、基础精练
1.设向量 AB ? (2,3) ,且点 A 的坐标为 (1,2) ,则点 B 的坐标为( A. (1,1)
? ? ?? ?



B. ( 4,4)
? ?
?

C. (3,5)
?

D. (?1,?1) )
0

2.若 | a |? 4, | b |? 3, a? b ? ?6 ,则 a 与 b 的夹角为( A. 150
?
0

B. 120
? ?

0

C. 60

0
?

D. 30

3.已知平面向量 a ? (3,1), b ? ( x,?3) ,且 a ? b ,则 x =_________。 4.与向量 a ? (12,5) 平行的单位向量为________________。

?

1

三、范例精析
? ? ?

例 1.设 a , b , c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,给出下列四个命题: ① ( a? b ) ? c ? a? ( b ? c ) ? 0 ;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

③ ( b ? c ) ? a ? ( c ? a ) ? b 不与 c 垂直; 其中真命题的个数为( A.1
?

?

② | a | ? | b |?| a ? b | ;
? ? ? ? ? 2

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④ ( a ? b ) ? ( a ? b ) ?| a | ? | b | 。
2

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) C.3
? ?

B.2

D.4
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例 2.已知向量 a ? (3,?2), b ? (?2,1), c ? (7,?4) ,试以 a, b 为基底,表示 c 。

例 3.设 a 和 b 是两个单位向量,其夹角是 600 ,试求向量 2 a ? b 与 2 a ? 3 b 的夹角。

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例 4.设向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (10, k ) ,当 k 为何值时, A, B, C 三点共线?

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例 5.已知 a ? (1,1), b ? (0,?2) ,求当 k 为何值时, ⑴ k a ? b 与 a- b 共线; ⑵ k a ? b 与 2 a- b 垂直; ⑶ k a ? b 与 a ? b 的夹角为 120 。
0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

例 6.已知 a, b 是两个不共线向量,且 a ? (cos? , sin ? ), b ? (cos? , sin ? ) 。 ⑴求证: a ? b 与 a ? b 垂直; ⑵若 ? ? (?
? ? ? ?

? ?

?

?

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?

? ? ? 3 , ), ? ? ,且 a ? b ? ,求 sin ? 的值; 4 4 4 5
? ? ?

⑶若 k ? 0 , k a ? b 和 k a ? b 的大小相等,且 0 ? ? ? ? ? ? ,求 ? ? ? 的值。

2

四、测试精选
(一)选择题
? ? ? ?

1.给出以下四个命题:① AB ? BC ? CA ? 0 ;
? ? ? ? ? ?

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②若 | a |?| b | ,则 a ? b 或 a ? ? b ;
? ? ? ?

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③ a ? b ? b ? a ,但 ( a ? b ) c ? ( b ? c ) a 不一定成立; ④ a 与 b 均为非零向量,且 a ? b , 则 | a ? b | = | a ? b | 。其中正确命题的个数为( A.1 个 B.2 个 C.3 个
? ? ? ?

) D.4 个 )

2.若 A(1,1), B(2,?4), C ( x,?9) 三点共线,则 x 的值为( A. ? 1
? ?

B. 3

C.
?

9 2
?

D. 51 ) D.
?

3.已知 a ? (2,1), b ? (1,?2) ,则向量 a 与 b 的夹角为( A.

? 2
? ?

B.

? 3
? ?

C.

? 4

? 6

? ?

4.已知 m ? (1,0), n ? (1,1) ,且 m ? k n 恰好与 m 垂直,则实数 k 的值为( A. 1 B. ? 1 C. 1 或 ? 1 D.以上都不对
? ? ? ? ? ?

5.已知 a ? (?1,2), b ? (?1,1), c ? (3,?2) ,用 a, b 作基底时,可将向量 c ? p a ? q b ,则

p, q 的值分别为(
A. p ? 4, q ? 1

) B. p ? 1, q ? ?4 C. p ? 0, q ? 4
?

D. p ? 1, q ? 4
? ?? ?

6. 已知点 A, B 的坐标分别为 (2,?1), (4,3) , 向量 a 的坐标为 (2k ? 1,7) , a// AB , k 的 且 则 值为( A. ?
? ?



9 10

B.

9 10

C. ?
0

19 10

D.
? ?

19 10

?? ?

7.若 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,则 | a ? 3 b | 的值为( A. 7 是( )
? ?

B. 10

C. 13
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8. O 为 ?ABC 所在的平面内一点, 若 且满足 (OB? OC) ? (OB? OC ? 2 OA) ? 0 , ?AC 则 B A.等腰三角形 值为(
?

?? ?

?? ?

?? ?

D. 4

B.直角三角形
0
?

9.已知单位向量 a, b 的夹角为 90 , c ? 2 a ? 3 b ,d ? k a ? 4 b ,且 c 与 d 垂直,则 k 的 ) B. 6
?

?

C.等腰直角三角形
? ? ? ?

?

D.以上都不对
?

A. ? 6

C. 3
? ? ? ? ?

D. ? 3 )

10. 已知 m ? (1,0) , ? ( , n A. 150
?
0

? ? ? 3 b 且 则 ( ) , a ? m? 2 n , ? 2 m ? 3 n , a 与 b 的夹角为 2 0 0 0 B. 120 C. 60 D. 30

1 2

(二)填空题
? ?

1.已知 | a |? 3, | b |? 5 ,且 a ? b=12 ,则向量 a 在向量 b 的方向上的投影为___________。 2.已知 a ? (1,2), b ? (3,1) ,则 | 3 a ? 2 b |? ______________。 3.已知 a ? (3,2), b ? (2,?1) ,若 ? a ? b 与 a ? ? b 平行,则实数 ? ? _________ 。 4.已知向量 a ? (?2,3) , b// a ,向量 b 的起点为 A(1,2) ,终点 B 在坐标轴上,则点 B 的 坐标为___________。
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3

5. 若平面上三点 A, B, C 满足 | AB |? 3, | BC |? 4, | CA |? 5 , AB ? BC ? BC ? CA ? CA? AB 则 的值等于_________________。
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6.平面向量 a, b 中,已知 a ? (4,?3),| b |? 1 ,且 a ? b ? 5 ,则向量 b ? __________ 。 7.已知 a, b 是非零向量,且满足 ( a ? 2 b ) ? a , ( b ? 2 a ) ? b ,则 a 与 b 的夹角为____。 8.向量 a, b 满足 ( a ? b ) ? (2 a ? b ) ? ?4 ,且 | a |? 2, | b |? 4 ,则与夹角的余弦值等于___。 (三)解答题 1. 已知 ?ABC 中,AB ? a , AC ? b , a ? b ? 0 ,| a |? 3, | b |? 5 , ?A C 的面积为 若 且 B
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15 4

求 a 与 b 的夹角。
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2.已知向量 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 0 ,且 | a |? 3, | b |? 5, | c |? 7 ,求 a 与 b 的夹角。

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3.已知 | a |? 1, | b |?
? ?

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2。
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⑴若 a// b ,求 a ? b ; ⑵若 a, b 的夹角为 600 ,求 | 2 a ? b | 的值; ⑶若 a ? b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角。
? ? ? ? ?

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4..已知向量 m ? (a ? sin ? ,?1) , n ? (1, 2b cos? ) ,且 m ? n 。

?

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?

2 ,求 sin 2? 的值; 2 ? 2 ⑵若 b ? ? a ,且 ? ? (0, ) ,求实数 a 的取值范围。 2 2
⑴若 a ? b ?

5.已知向量 a ? (cos
? ?

?

⑴求 a ? b 及 | a ? b | ;
? ?

?

?

3 3 ? x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ) ,且 x ? [0, ] 。 2 2 2 2 2
? ?

⑵求函数 f ( x) ? a? b ? 4 | a ? b | 的最小值。

4


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