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2013年高考分类题库考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例


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考点 11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化 问题举例
一、选择题 1. (2013·辽宁高考理科·T12)设函数 f ( x) 满足 x 2 f ?( x) ? 2 xf ( x) ? 则 x>0 时,f(x)(


B. 有极小值,无极大值 D. 既无极大值也无极小值

ex e2 , f (2) ? . x 8

A. 有极大值,无极小值 C. 既有极大值又有极小值

【解题指南】结合题目条件,观察式子的特点,构造函数,利用导数研究极值 问题。 【解析】选 D.由题意知 f ?( x) =
e x 2 f ( x) e x - 2 x 2 f ( x) = , x3 x x3

令g(x) = e x - 2x 2f (x), 则g '(x) = e x - 2x 2f '(x) - 4xf (x ) = e x - 2( x 2 f ? ( x) + 2 xf ( x)) = ex 2e x 2 = e x (1- ). x x

由 g ?( x) = 0 得 x = 2 ,当 x = 2 时,
g ( x) min = e - 2创2
2 2

e2 = 0 8
g ( x) x3 0,

即 g ( x) ? 0 ,则当 x > 0 时, f ?( x) =

故 f ( x) 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值. 2. (2013·新课标Ⅰ高考文科·T12)与(2013·新课标Ⅰ高考理科·T11)
-1-

相同
?? x 2 ? 2 x , x ? 0 已知函数 f ( x) ? ? ,若 | f ( x) |? ax ,则 a 的取值范围是( ?ln( x ? 1), x ? 0



A. (??,0]

B. (??,1]

C. [?2,1]

D. [?2,0]

【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象,利用 | f ( x) | 在 (0,0) 处的切线为 制定参数的标准. 【解析】选 D. 画出函数 y=|f(x)| 的图象如图所示 , 当
x ? 0 时, g ( x) ?| f ( x) |? x 2 ? 2 x ,
g ?( x) ? 2 x ? 2 , g ?(0) ? ?2 ,故 a ? ?2 .

当 x ? 0 时, g ( x) ?| f ( x) |? ln( x ? 1) , g ?( x) ?

1 x ?1

由于 g ( x) 上任意点的切线斜率都要大于 a ,所以
a ? 0 ,综上 ? 2 ? a ? 0 .

3. (2013· 新课标全国Ⅱ高考文科· T11) 与(2013· 新课标全国Ⅱ高考理科· T10) 相同 设已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是( A. ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0 B.函数 y ? f ( x) 的图象是中心对称图形 C.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 单调递减 D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f ?( x0 ) ? 0 【解析】选 C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导. A 项,因为函数 f(x)的值域为 R,所以一定存在 x0∈R,使 f(x0)=0,A 正确.B 项,假设函 数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量 a ? (?m, ?n) 将函数的图象平移,则 所 得 函 数 y=f(x+m)-n 是 奇 函 数 , 所 以 f(x+m)+f(-x+m)-2n=0, 化 简 得
-2-



?

(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0. 上 式 对 x ∈ R 恒 成 立 , 故 3m+a=0, 得 m=- ,n=m3+am2+bm+c=f 错误!未找到引用源。,所以函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的 对称中心为错误!未找到引用源。,故 y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项, 由于 f ?( x) =3x2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点 x0,必定有一个极大值点 x1,若 x1<x0,则 f(x)在区间(-∞,x0)上不单调递减,C 错误.D 项,若 x0 是极值点,则一定有
f ?( x0 ) ? 0 .故选 C.

a 3

4.(2013·安徽高考文科·T10)已知函数 f (x)=x3 +ax 2 +bx+c 有两个极值点 x1 , x2 , 若 f (x1 )=x1 < x2 ,则关于 x 的方程 3(f (x))2 +2af (x)+b=0 的不同实根个数是 ( ) A.3 B.4 C. 5 D.6

【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出 f(x)=x1 或 f(x)=x2, 再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.
2 + 2a x+ b 【 解 析 】 选 A 。 因 为 f ' ( x )= 3x , 函 数 的 两 个 极 值 点 为 x1 , x2 , 所 以

f ?( x1 ) ? 0, f ?( x2 ) ? 0 , 所 以 x1 , x2 是 方 程 3x 2 + 2ax + b = 0 的 两 根 , 所 以 解 方 程
3( f ( x))2 + 2af ( x) + b = 0 得 f ( x) ? x1或f ( x) ? x2 , 由上述可知函数 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)

上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又 f(x1)=x1<x2,如图,

数形结合可知 f(x)=x1 有两个不同实根,f(x)=x2 有一个实根,所以不同实根的个数 为 3.
x2 , 5. (2013· 安徽高考理科· T10) 若函数 f (x)=x3 +ax 2 +bx+c 有极值点 x1 , 且 f (x1 )=x1 ,

-3-

则关于 x 的方程 3(f (x))2 +2af (x)+b=0 的不同实根个数是 ( ) A.3 B.4 C. 5 D.6

【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出 f(x)=x1 或 f(x)=x2, 再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.
2 + 2a x+ b 【 解 析 】 选 A 。 因 为 f ' ( x )= 3x , 函 数 的 两 个 极 值 点 为 x1 , x2 , 所 以

f ?( x1 ) ? 0, f ?( x2 ) ? 0

, 所 以 x1 , x2 是 方 程 3x2 + 2a x+ b= 0的 两 根 , 所 以 解 方 程

3( f ( x))2 + 2af ( x) + b = 0 得 f ( x) ? x1或f ( x) ? x2 ,不妨设 x1 < x2 . 由题意知函数 f(x) 在 (-

∞ ,x1),(x2,+ ∞ ) 上 单 调 递 增 , 在 (x1,x2) 上 单 调 递 减 . 又 f(x1)=x1<x2, 如 图 ,

数形结合可知 f(x)=x1 有两个不同实根,f(x)=x2 有一个实根,所以不同实根的个数 为 3. 6.(2013·湖北高考理科·T10)已知 a 为常数,函数 f ( x ) ? x ? ln x ? ax ? 有两个极 值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则( A.
f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 1 2 1

) B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?
1 2 1

C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 2

D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 2

1 f '(x) ? ln x ? ax ? x( ? a) ? ln x ? 1 ? 2ax(x ? 0) 【解析】选 D. ,令 f ' ( x) ? 0 ,由题意可 x

得 ln x ? 2ax ?1有两个实数解 x1,x2?函数 g(x)=lnx+1-2ax 有且只有两个零点 ? g(x) 在 (0,+ ∞ ) 上 的 唯 一 的 极 值 不 等 于 0, g'(x)= 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 -2a=
1 ? 2ax , 错误!未找到引用源。. x
-4-

①当 a≤0 时, g?(x) >0, f ?(x) 单调递增, 因此 g(x)= f ?(x) 至多有一个零点,不符合题意,应舍去. ②当 a>0 时,令 g?(x) =0,解得 x= 因为 x ? (0,
x ?(
1 , 2a

1 ,函数 g(x)单调递增; ), g?(x) ? 0, 2a

1 错误!未找到引用源。函数 g(x)单调递减. , ??) 时, g?(x) ? 0, 2a

所以 x=错误! 未找到引用源。 是函数 g(x)的极大值点,则 g 错误! 未找到引用源。 >0, 即 ln 错误!未找到引用源。+1-1=-ln(2a)>0, 所以 ln(2a)<0, 所以 0<2a<1,即 0<a<
1 2

因为 0<x1<错误!未找到引用源。<x2, 所以 f'(x1)=lnx1+1-2ax1=0, f'(x2)=lnx2+1-2ax2=0. 则 f(x1)=x1(lnx1-ax1)=x1(2ax1-1-ax1) =x1(ax1-1)<错误!未找到引用源。 f(x2)=x2(lnx2-ax2)=x2(ax2-1)>1× ? ?a?
? 1 1? 1 ? ? ? 1? ? ? ? ? 1? . 2a ? 2 ? 2a ?

7. (2013·天津高考文科·T8)设函数 f ( x) ? e x ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x2 ? 3 . 若实数 a, b 满足 f (a) ? 0, g (b) ? 0 , 则 A. C.
g (a) ? 0 ? f (b) 0 ? g (a) ? f (b)

( B. D.


f (b) ? 0 ? g (a)

f (b) ? g (a) ? 0

【解题指南】 先由 f (a) ? 0, g (b) ? 0 确定 a,b 的大小, 再结合 f ( x) ? e x ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x2 ? 3 的单调性进行判断. 【解析】选 A. 因为 f ?( x) ? e x ? 1 ? 0, 所以 f ( x) ? e x ? x ? 2 在其定义域内是单调递增的,
-5-

由 f (a) ? 0 知 0 ? a ? 1, 又因为 x ? 0 , g ?( x) ? 1 ? 2x ? 0 ,故 g (x) ?ln x ?x 2 ?3 在 (0, ??) 上也是单
x

调递增的, 由

所以 g (a) ? g (b) ? 0 , 因此 g (a) ? 0 ? f (b) 。 g (b )? 知 0 1? b ? 2, 0 ? f (a) ? f (b) ,

8.(2013 · 浙 江 高 考 理 科 · T8) 已 知 e 为 自 然 对 数 的 底 数 , 设 函 数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则 ( )

A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 【解题指南】当 k=1,2 时,分别验证 f'(1)=0 是否成立,根据函数的单调性判断是极 大值点还是极小值点. 【解析】选 C.当 k=1 时,f′(x)=ex(x-1)+ex-1,此时 f'(1)≠0,故排除 A,B; 当 k=2 时,f'(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时 f'(1)=0,在 x=1 附近左侧,f'(x)<0,在 x=1 附近右 侧,f'(x)>0,所以 x=1 是 f(x)的极小值点. 9.(2013·浙江高考文科·T8)已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导 函数 y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( )

【解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质. 【解析】 选 B.因为 f'(x)>0(x∈(-1,1)),所以 f(x)在(-1,1)为增函数,又 x∈(-1,0)时,f'(x)
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为增函数,x∈(0,1)时,f'(x)为减函数,所以选 B. 10. (2013·大纲版全国卷高考文科·T10) 已知曲线 y ? x 4 ? ax 2 ? 1在点? -1,a ? 2 ? 处切线的斜率为8,a = ( A. 9 B. 6 C. -9 D. -6 )

【解题指南】先对函数求导,将 x=-1 代入到导函数中即可求出 a 的值. 【 解 析 】 选 D. 由 题 意 可 知 , 点 (?1, a ? 2) 在 曲 线 上 , 因 为 y ? ? 4 x 3 ? 2ax , 则
4 ? (?1) 3 ? 2a ? (?1) ? 8 ,解得 a ? ?6

二、填空题 11. (2013·广东高考文科·T12)若曲线 y=ax2-lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a= . 【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识,可先求 导. 【解析】对 y=ax2-lnx 求导得 y? ? 2ax ? ,而 x 轴的斜率为 0,所以在点(1,a)处切线 的斜率为 y? x ?1 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? . 【答案】 . 12. (2013·新课标Ⅰ高考理科·T16)若函数 f ( x) ? (1 ? x 2 )( x 2 ? ax ? b) 的图像关 于直线 x ? ?2 对称,则 f ( x) 的最大值为_______. 【解题指南】 首先利用数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ?2 对称求出 a, b 的值, 然后利用 导数判断函数的单调性,这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解. 【 解 析 】 因 为 函 数 f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 x ? ?2 对 称 , 所 以 f (0) ? f (?4) , 得
4b ? ?60 ? 15a ,又 f ?( x) ? ?4 x 3 ? 3ax 2 ? 2(1 ? b) x ? a ,
1 2 1 2 1 x

而 f ?(?2) ? 0 , ? 4 ? (?2) 3 ? 3a(?2) 2 ? 2(1 ? b) ? (?2) ? a ? 0 .
-7-

得 11a ? 4b ? 28 即 ?

?4b ? ?60 ? 15a ,解得 a ? 8 , b ? 15 . ?11a ? 4b ? 28

故 f ( x) ? (1 ? x 2 )( x 2 ? 8 x ? 15) , 则 f ?( x) ? ?4 x 3 ? 24 x 2 ? 28 x ? 8 ? ?4( x 3 ? 6 x 2 ? 7 x ? 2)
? ?4( x ? 2)( x 2 ? 4 x ? 1)

令 f ?( x) ? 0 ,即 ( x ? 2)( x 2 ? 4 x ? 1) ? 0 ,则 x ? ?2 或 x ? ?2 ? 5 或 ? 2 ? 5 . 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

f (?2 ? 5 ) ? [1 ? (?2 ? 5 ) 2 ][( ?2 ? 5 ) 2 ? 8 ? (?2 ? 5 ) ? 15] ? (?4 5 ? 8)(8 ? 4 5 ) ? 16 f (?2 ? 5 ) ? [1 ? (?2 ? 5 ) 2 ][( ?2 ? 5 ) 2 ? 8 ? (?2 ? 5 ) ? 15] ? (4 5 ? 8)(8 ? 4 5 ) ? 16

故 f ( x) 的最大值为 16 . 【答案】16 三、解答题 13. (2013·大纲版全国卷高考文科·T21)已知函数 f ? x ? =x3 ? 3ax 2 ? 3x ? 1. (I)求 a ? ? 2时,讨论f ? x ?的单调性; ; (II)若 x ? ? 2, ?? ?时,f ? x ? ? 0, 求a的取值范围. 【解析】 (I)当 a ? ? 2 时, f ( x) ? x 3 ? 3 2 x 2 ? 3x ? 1 ,
f ?( x) ? 3x 2 ? 6 2 x ? 3 .

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 2 ? 1 , x2 ? 2 ? 1 .
-8-

当 x ? (??, 2 ? 1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (??, 2 ? 1) 是增函数; 当 x ? ( 2 ? 1, 2 ? 1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ( 2 ? 1, 2 ? 1) 是减函数; 当 x ? ( 2 ? 1,??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ( 2 ? 1,??) 是增函数. (II)由 f (2) ? 0 得 a ? ? . 当 a ? ? , x ? (2,??) 时,
f ?( x) ? 3( x 2 ? 2ax ? 1) ? 3( x 2 ? 5 1 x ? 1) ? 3( x ? )( x ? 2) ? 0 , 2 2
5 4 5 4

所以 f ( x) 在 (2,??) 是增函数,于是当 x ? (2,??) 时, f ( x) ? f (2) ? 0 . 综上, a 的取值范围是 [? ,??) . 14. (2013·江苏高考数学科·T20)设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e x ? ax ,其中
a 为实数。
5 4

(1)若 f ( x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g ( x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范 围; (2)若 g ( x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f ( x) 的零点个数,并证明你的结论。 【解题指南】(1)先对 f(x)=lnx-ax 求导,利用条件 f(x)在(1,+∞)上是单调减函数求 出 a 的范围,再利用 g(x)在(1,+∞)上有最小值求出 a 的范围,两者取交集.(2)注意函 数方程不等式间的相互转化. 【解析】(1)令 f ?( x) ? ? a ?
1 x 1 ? ax ? 0 ,考虑到 f(x)的定义域为(0,+∞),故 a>0,进而解 x

得 x>a-1,即 f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于 f(x) 在 (1,+ ∞ ) 上是单 调 减 函数 , 故 (1,+ ∞ ) ? (a-1,+ ∞ ), 从而 a-1 ≤ 1, 即 a ≥ 1. 令 g'(x)=ex-a=0,得 x=lna.当 x<lna 时, g ?( x) <0;当 x>lna 时, g ?( x) >0.又 g(x)在(1,+∞) 上有最小值,所以 lna>1,即 a>e.综上,有 a∈(e,+∞). (2)当 a≤0 时,g(x)必为单调增函数;当 a>0 时,令 g ?( x) =ex-a>0,
-9-

解得 a<ex,即 x>lna,因为 g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,类似(1)有 lna≤-1,即 0<a ≤e-1.结合上述两种情况,有 a≤e-1. (i)当 a=0 时,由 f(1)=0 以及 f ?( x) ? >0,得 f(x)存在唯一的零点. (ii)当 a<0 时,由于 f(ea)=a-aea=a(1-ea)<0,f(1)=-a>0,且函数 f(x)在[ea,1]上的图象不间 断,所以 f(x)在(ea,1)上存在零点. 另外,当 x>0 时, f ?( x) ? ? a ? 0 ,故 f(x)在 (0,+∞)上是单调增函数,所以 f(x)只有一个零点. (iii) 当 0<a ≤ e-1 时 , 令 f'(x)= 错误!未找到引用源。 -a=0, 解得 x=a-1. 当 0<x<a-1 时 , f ?( x) f>0, 当 x>a-1 时 , f ?( x) <0, 所 以 ,x=a-1 是 f(x) 的 最大 值 点 , 且最 大 值 为 f(a-1)=-lna-1. ①当-lna-1=0,即 a=e-1 时,f(x)有一个零点 x=e. ②当-lna-1>0,即 0<a<e-1 时,f(x)有两个零点. 实际上,对于 0<a<e-1,由于 f(e-1)=-1-ae-1<0,f(a-1)>0,且函数 f(x)在[e-1,a-1]上的图象连 续,所以 f(x)在(e-1,a-1)上存在零点.另外,当 x∈(0,a-1)时,f'(x)= ? a >0,故 f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以 f(x)在(0,a-1)上只有 一个零点. 下面考虑 f(x)在(a-1,+∞)上的情况,先证 f(错误!未找到引用源。)=a(a-2-错误!未 找到引用源。)<0.为此, 我们要证明:当 x>e 时,ex>x2.设 h(x)=ex-x2,则 h?( x) =ex-2x,再设 l ( x) ? h?( x) =ex-2x,则
l ?( x) =e -2.
x

1 x

1 x

1 x

当 x>1 时, l ?( x) =ex-2>e-2>0,所以 l ( x) ? h?( x) 在(1,+∞)上是单调增函数 .故当 x>2 时 , h?( x) =ex-2x> h?(2) =e2-4>0, 从而 h(x) 在 (2,+ ∞ ) 上是单调增函数 , 进而当 x>e
- 10 -

时,h(x)=ex-x2>h(e)=ee-e2>0.即当 x>e 时,ex>x2. 当 0<a<e-1,即 a-1>e 时,f(错误!未找到引用源。)=a(a-2-错误!未找到引用源。)<0, 又 f(a-1)>0,且函数 f(x)在[a-1, ea ]上的图象连续,所以 f(x)在(a-1, ea )上存在零点.
?1 ?1

又当 x>a-1 时,f'(x)=

1 ? a <0, x

故 f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数,所以 f(x)在(a-1,+∞)上只有一个零点. 综合(i),(ii),(iii)可知,当 a≤0 或 a=e-1 时,f(x)的零点个数为 1, 当 0<a<e-1 时,f(x)的零点个数为 2. 15. (2013·湖南高考理科·T22)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? (1)记 f(x)在区间[0,4]上的最大值为 g(a),求 g(a)的表达式. (2)是否存在 a,使函数 y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线 相互垂直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【解题指南】 (1)首先是去掉绝对值符号,然后利用导数求出函数的单调区间,再求 出 f(x)在区间[0,4]上的最大值为 g(a). (2)首先要根据函数的单调性讨论出 a 取什么范围时可能存在两点,在该两点处的 切线相互垂直,然后利用两互相垂直的直线斜率之积等于-1 去讨论求解. 【解析】 (1)当 0 ? x ? a 时, f ( x) ? 因此,当 x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 当 x ? (a,??) 时, f ?( x) ?
a?x ;当 x ? a 时, f ( x) ? x ? a . x ? 2a x ? 2a

x?a . x ? 2a

? 3a ? 0 , f ( x) 在 (0, a) 上单调递减; ( x ? 2a ) 2

3a ? 0 , f ( x) 在 (a,??) 上单调递增. ( x ? 2a ) 2

② a ? 4 ,则 f ( x) 在 (0,4) 上单调递减, g (a) ? f (0) ? . ② 若 0 ? a ? 4 , 则 f ( x) 在 (0, a) 上 单 调 递 减 , 在 (a,4) 上 单 调 递 增 , 所 以 g(a)=max{f(0),f(4)}. 而
g (a) ? f (4) ? 4?a ; 4 ? 2a

1 2

f (0) ? f (4) ?

1 4 ? a a ?1 ? = , , 2 4 ? 2a a ? 2

故 当

0 ? a ?1



- 11 -

4 ? 2a 1 当 1 ? a ? 4 时, g (a) ? f (0) ? .综上所述, g(a) ? ? 1 ,a ?1. 2 ?2

?

4?a

,0 ? a ?1

(2)由(1)知,当 a ? 4 时, f ( x) 在 (0,4) 上单调递减,故不满足要求. 当 0?a?4 时 ,
f ( x) 在 (0, a) 上 单 调 递 减 , 在 (a,4) 上 单 调 递 增 . 若 存 在

使曲线 y ? f ( x) 在 ( x1 , f ( x1 )) ,( x2 , f ( x2 )) 两点处的切线互相垂直, x1 , x2 ? (0,4)( x1 ? x2 ) , 则 x1 ? (0, a), x2 ? (a,4) ,且 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? ?1 , 即
? 3a 3a 3a ,由, x1 ? (0, a), x2 ? (a,4) 得 x1+2a∈ ? ? ?1 ,亦即 x1 ? 2a ? 2 2 ( x1 ? 2a) ( x2 ? 2a) x2 ? 2 a 3a 3a . ? ( ,1) x 2 ? 2a 4 ? 2a 3a ? ? x ? 1? 的交集非空. 4 ? 2a ?

(2a,3a),

故(*)成立等价于集合 A={x|2a<x<3a}与集合 B= ? ?x|
?

因为

3a 1 ? 3a ,所以当且仅当 0<2a<1,即 0<a< 时, A∩B≠?. 2 4 ? 2a

综上所述,存在 a 使函数 f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线 互相垂直,且 a 的取值范围是 (0, ). 16.(2013·湖南高考文科·T21)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)证明:当 f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0. 【解题指南】第(Ⅰ)小题解题依据是在定义域下不等式 f ?( x) ? 0 的解集是原函数 的增区间,不等式 f ?( x) ? 0 的解集是原函数的减区间。第(Ⅱ)小题首先要确定 在什么范围下 f(x1)=f(x2) ,然后再构造新函数利用单调性去证明。 【解析】 (Ⅰ)函数的定义域是(-∞,+∞),
1? x x e . 1? x2 1 2

- 12 -

1? x x 1? x x f ?( x) ? ( )?e ? e 1 ? x2 1 ? x2 , ? x 2 ? 2 x ? 1 1 ? x ? x ? x[( x ? 1) 2 ? 2] x ?? ? e ? e 2 2 1 ? x2 ? (1 ? x 2 ) 2 ? (1 ? x ) ?

当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x) 的单调递增区间是 (??,0) ,单调递减区间是 (0,??) 。 ( Ⅱ ) 当 x ? 1 时 , 由于
1- x 同 ? 0 ,e x ? 0故 , f x ( ? ); 0 理 , 当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 , 当 1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 )( x1 ? x2 ) 时,不妨设 x1 ? x2 ,由(Ⅰ)知, x1 ? (??,0) , x2 ? (0,1) ,下面

证 明 : ?x ? (0,1), f ( x) ? f (? x) , 即 证 (

1 ? x x 1 ? x ?x )e ? e ,此不等式等价于 1? x2 1? x2 1? x 1? x (1 ? x)e x ? x ? 0 ,令 g ( x) ? (1 ? x)e x ? x ,则 g ?( x) ? ? xe ? x (e 2 x ? 1) ,当 x ? (0,1) 时, e e 1? x g ?( x ) ? 0, g ( x) 单调递减,从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 (1 ? x)e x ? x ? 0 , e

所以 ?x ? (0,1), f ( x) ? f (? x) ,而 x2 ? (0,1) ,所以 f ( x2 ) ? f (? x 2 ) ,从而 f ( x1 ) ? f (? x 2 ) , 由于 x1 ,? x2 ? (??,0) , f ( x) 在 (??,0) 上单调递增,所以 x1 ? ? x2 ,即 x1 ? x2 ? 0 。
?1 ? a x,0 ? x ? a 17.(2013·江西高考文科·T21)设函数 f (x) ? ? a ? 1 ? (1 ? x),a ? x ? 1 ?1 ? a ?

为错误!未找

到引用源。常数且 a∈(0,1). (1)当 a ? 1 时,求 f (f ( 1 )) ;
2 3

(2)若 x0 满足 f(f(x0))= x0,但 f(x0)≠x0,则称 x0 为 f(x)的二阶周期点. 证明函数 f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点 x1,x2; (3)对于(2)中 x1,x2,设 A(x1,f(f(x1) ) ) ,B(x2,f(f(x2) ) ),C(a2,0), 记△ ABC 的面积为 S(a) ,求 S(a) 在区间 [ 1 , 1 ] 上的最大值和最小值.
3 2

【解题指南】 (1)把 a 的值代入,利用分段函数的解析式,由内到外进行求解; (2)先求出 f(f(x) )的解析式,再根据二阶周期点的定义依次分段求解; (3) 在第二问的基础上写出点 A、B 的坐标,把△ ABC 的面积表示成 a 的函数,再
- 13 -

结合函数求最值得方法进行处理. 【解析】(1)当 a ? 1 时, f ( 1 ) ? 2 , f (f ( 1 )) ? f ( 2 ) ? 2(1 ? 2 ) ? 2 .
2

3

3

3

3

3

3

?1 2 ? a 2 x,0 ? x ? a , ? ? 1 (x ? a),a 2 ? x ? a, ? a(1 ? a) (2) f (f (x)) ? ? ? 1 ? (x ? a),a ? x ? a 2 ? a ? 1, 2 ? (1 ? a) ? ? 1 (1 ? x),a 2 ? a ? 1 ? x ? 1. ? a(1 ? a) ?

当 0 ? x ? a 2 时,由 点; 当 a 2 ? x ? a 时,由 因为 f (

1 x ? x 解得 x ? 0 ,因为 f (0) ? 0 ,故 a2

x=0 不是 f(x)的二阶周期

1 a (x ? a) ? x 解得 x ? 2 ? (a 2 ,a] , a(1 ? a) ?a ? a ? 1

a 1 a 1 a , )? ? 2 ? 2 ? 2 ?a ? a ? 1 a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 故x ? 2 a 为 f(x)的二阶周期点; ?a ? a ? 1
2

当 a ? x ? a 2 ? a ? 1 时,由 因为 f (

1 1 (x ? a) ? x 解得 x ? ? (a,a 2 ? a ? 1) , 2 (1 ? a) 2?a

1 1 1 1 )? (1 ? )? 2 ? a 1? a 2?a 2?a

,故 x ?

1 不是 2?a

f(x)的二阶周期点;

当 a 2 ? a ? 1 ? x ? 1 时,由 因为 f (

1 1 (1 ? x) ? x 解得 x ? 2 ?[a 2 ? a ? 1,1] a(1 ? a) ?a ? a ? 1

1 1 1 a 1 , )? (1 ? 2 )? 2 ? 2 ?a ? a ? 1 1 ? a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 故x ? 2 1 为 f(x)的二阶周期点. ?a ? a ? 1 综上,函数 f(x)有且仅有两个二阶周期点 x1 ? 2 a , x2 ? 2 1 . ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 a 1 1 (3)由(2)得 A( 2 a , 2 ) , B( 2 , 2 ). ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1
2

则 S(a) ? 1 ?

1 a(a 3 ? 2a 2 ? 2a ? 2) a 2 (1 ? a) ? S (a) ? ? , 2 (?a 2 ? a ? 1) 2 2 ?a 2 ? a ? 1


? 2a 2 ? 2a ? 2) (?a 2 ? a ? 1) 2
3

方法一:因为 a ?[ 1 , 1 ] ,有 a 2 ? a ? 1 ,所以 S?(a) ? 1 ? a(a
3 2
2
- 14 -

?

1 a[(a ? 1)(a ? 1) 2 ? (1 ? a 2 ? a)] 1 1 ? ? 0 ,则 S(a) 在区间 [ , ] 上单调递增, 2 2 2 (?a ? a ? 1) 3 2

故 S(a) 在区间 [ 1 , 1 ] 上的最小值为 S( 1 ) ?

1 ,最大值为 S( 1 ) ? 1 . 3 2 3 33 2 20 方法二:令 g(a) ? a 3 ? 2a 2 ? 2a ? 2 ,则 g?(a) ? 3a 2 ? 4a ? 2 ? 3(a ? 2 ? 10 )(a ? 2 ? 10 ) , 3 3 因为 a ? (0,1), g?(a) ? 0 ,所以 g(a ) 在区间 [ 1 , 1 ] 上的最小值为 g( 1 ) ? 5 ? 0 ,则对任意 3 2 2 8

的 a ?[ 1 , 1 ] , g(a) ? 0 . 所以 S?(a) ? 1 ? a(a
3 2
2

? 2a 2 ? 2a ? 2) 1 1 ? 0 ,则 S(a ) 在区间 [ , ] 上单调递 2 2 (?a ? a ? 1) 3 2
3

增,故 S(a) 在区间 [ 1 , 1 ] 上的最小值为 S( 1 ) ?
3 2

3

1 ,最大值为 S( 1 ) ? 1 . 33 2 20

18.(2013·安徽高考文科·T20)与(2013·安徽高考理科·T17)相同 设函数 f(x)=ax-(1+a2)x2,其中 a>0,区间 l={x|f(x)>0}。 (Ⅰ)求 l 的长度(注:区间(α ,β )的长度定义为β -α ); (Ⅱ)给定常数 k ∈(0,1) ,当 1-k≤a≤1+k 时,求 l 长度的最小值。 【解题指南】 (1)求出方程 f ( x)=0 的两个根; (2)利用导数求函数的最小值。 【解析】 (1)因为方程 ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根 x1 > 0, x2 = 故 f(x)>0 的解集为{x|x1<x<x2},因此区间 l = (0, (2) 设 d (a) =
a , 1 + a2

a a 。 ),区间长度为 2 1 + a2 1+a

1-a 2 a ? d ( a ) ? 则 ,令 d ?(a) ? 0,得a ? 1 ,由于 0<k<0, , 2 ( 1 ? a 2) 1 + a2

当 1-k ? a ? 1时, d ' (a) ? 0, d (a) 单调递增;当1 ? a ? 1 ? k时, d ' (a) ? 0, d (a) 单调递减。
-?a? 1 k时 + d a, 的 ( 最 ) 小 值 必 定 在 a = 1-k或a =1+k 处 取 得 。 而 因 此 当 1k

1- k d (1 - k ) 1 + (1 - k ) 2 2 - k 2 - k 3 = = <1 1+k d (1 + k ) 2 - k2 +k3 ,故 d (1 - k ) < d (1 + k ) , 1 + (1 + k ) 2

因此当 a = 1 - k时, d (a) 在区间[1-k,1+k]上取得最小值

1- k 。 2-2k +k 2

19.(2013·北京高考文科·T18)已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x.
- 15 -

(1)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值。 (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围。 【解题指南】 (1)把已知条件转化为 f '(a) ? 0, f (a) ? b ; (2)转化为 y=f(x)的极值与 b 的关系。 【解析】 (1) f '( x) ? 2 x ? x cos x ? x(2 ? cos x) , 由线 y ? f ( x) 在 (a, f (a)) 处的切线为 y ? b ,因此, f '(a) ? 0, f (a) ? b , 于是 2a ? a cos a ? 0且a 2 ? a sin a ? cos a ? b , 解得 a ? 0, b ? 1 。 (2)由(1)知 f '( x) ? x(2 ? cos x) ,于是当 x ? 0 时, f ( x) 单调递增,当 x ? 0 时, f ( x) 单调递减,当 x ? 0 时, f ( x) 取得极小值 1. 因此 b 的取值范围为 (1, ??) 。 20.(2013·福建高考理科·T17)已知函数 f(x)=x-alnx(a∈R) (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程. (2)求函数 f(x)的极值. 【解题指南】对函数求导,根据导数即切线斜率,求出切线方程,欲求极值,先求单 调性,要注意对参数 a 进行讨论. 【解析】函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-错误!未找到引用源。. (1)当 a=2 时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1-错误!未找到引用源。(x>0), 所以 f(1)=1,f'(1)=-1, 所以 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0. (2)由 f′(x)= 1 ? ?
a x x?a ,x>0 可知: x
- 16 -

①当 a≤0 时,f'(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; ②当 a>0 时,由 f'(x)=0,解得 x=a; 因为 x∈(0,a)时,f'(x)<0,x∈(a,+∞)时,f'(x)>0, 所以 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-alna,无极大值. 综上:当 a≤0 时,函数 f(x)无极值, 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大值. 21.(2013·福建高考理科·T20)已知函数 f ( x) ? sin( wx ? ? )( w ? 0,0 ? ? ? ? ) 的周期为π , 图象的一个对称中心为错误!未找到引用源。,将函数 f(x)图象上所有点的横坐 标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移 ? 个单位长度后得
2

到函数 g(x)的图象. (1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式.
? ?? (2)是否存在 x0 ? ? ? , ? ,使得 f(x0),g(x0),
?6 4?

f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定 x0 的个数,若不存在,说明理由. (3)求实数 a 与正整数 n,使得 F(x)=f(x)+ag(x)在错误! 未找到引用源。 内恰有 2 013 个零点. 【解题指南】第(3)问要求考生化整体到局部,先研究函数在一个周期内图象的性 质,再从特殊到一般地解决问题. 【解析】(1)由函数 f(x)=sin(ω x+ ? )的周期为π ,ω >0,得ω =2, 又曲线 y=f(x)的一个对称中心为错误!未找到引用源。, ? ∈(0,π ), 故 f ( ) ? sin(2 ? ? ? ) ? 0 ,得 ? =错误!未找到引用源。,所以 f(x)=cos 2x.
4 4

?

?

将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后可得 y=cos x 的图象,再将 y=cosx 的图象向右平移错误!未找到引用源。个单位长度后得到函
- 17 -

数 g(x)=sin x. (2)当 x∈错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。<sinx< 所以 sinx>cos2x>sinxcos2x. 问题转化为方程 2cos 2x=sin x+sin xcos 2x 在错误!未找到引用源。内是否有解, 设 G(x)=sin x+sinxcos 2x-2cos 2x,x∈错误!未找到引用源。, 则 G'(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x). 因为 x∈错误!未找到引用源。,所以 G′(x)>0,G(x)在错误!未找到引用源。内 单调递增. 又 G( ) ? ? ? 0 , G ( ) ?
6
4

2 1 ,0<cos2x< , 2 2

?

1 4

?

2 ? 0. 2

且函数 G(x)的图象连续不断,故可知函数 G(x)在错误!未找到引用源。内存在唯 一零点 x0, 即存在唯一的 x0 ? ( , ) 满足题意.
6 4

? ?

(3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x,令 F(x)=asin x+cos 2x=0, 当 sin x=0,即 x=kπ (k∈Z)时,cos 2x=1,从而 x=kπ (k∈Z)不是方程 F(x)=0 的解,所 以方程 F(x)=0 等价于关于 x 的方程 a ? ?
cos 2 x ,x≠kπ (k∈Z), sin x

现研究 x∈(0,π )∪(π ,2π )时方程解的情况, 令 h( x ) ? ?
cos 2 x ,x∈(0,π )∪(π ,2π ), sin x

则问题转化为研究直线 y=a 与曲线 y=h(x)在 x∈(0,π )∪(π ,2π )的交点情况,
h?( x) ? cos x(2sin 2 x ? 1) ? 3? ,令 h′(x)=0,得 x ? 或 x ? . 2 2 2 sin x

当 x 变化时,h(x)和 h′(x)变化情况如下表
x
(0, ) 2

?

? 2

( ,? ) 2

?

(? ,
- 18 -

3? ) 2

3? 2

(

3? , 2? ) 2

h?( x)

?
Z

0
1

?
]

?
]

0
?1

?
Z

h( x )

当 x>0 且 x 趋近于 0 时,h(x)趋向于-∞, 当 x<π 且 x 趋近于π 时,h(x)趋向于-∞, 当 x>π 且 x 趋近于π 时,h(x)趋向于+∞, 当 x<2π 且 x 趋近于 2π 时,h(x)趋向于+∞, 故当 a>1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,π )内无交点,在(π ,2π )内有 2 个交点; 当 a<-1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,π )内有 2 个交点,在(π ,2π )内无交点; 当-1<a<1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,π )内有 2 个交点,在(π ,2π )内有 2 个交 点, 由函数 h(x)的周期性,可知当 a≠±1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,nπ )内总有偶 数个交点,从而不存在正整数 n,使得直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,nπ )内恰有 2013 个交点;当 a=±1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,π )∪(π ,2π )内有 3 个交点,由周 期性,2 013=3×671,所以 n=671×2=1 342. 综上,当 a=±1,n=1 342 时,函数 F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ )内恰有 2 013 个零点. 22.(2013·福建高考文科·T22)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 的底数). (I)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (II)求函数 f ( x) 的极值; (III)当 a ? 1 时,若直线 l : y ? kx ? 1与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值.
a ( a ? R , e 为自然对数 ex

- 19 -

【解题指南】对函数求导,根据导数即切线斜率,知切线斜率为 0,欲求极值, 先求单调性,要注意对参数 a 进行讨论。 【解析】方法一: (Ⅰ)由 f ? x ? ? x ? 1 ?
a a ,得 f ? ? x ? ? 1 ? x . x e e

又因为曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线平行于 x 轴,
a e a (Ⅱ) f ? ? x ? ? 1 ? x , e

得 f ? ?1? ? 0 ,即1 ? ? 0 ,解得 a ? e .

①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为 R 上的增函数,所以函数 f ? x ? 无极值. ②当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 e x ? a , x ? ln a .
x ? ? ??, ln a ? , f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? ln a, ?? ? , f ? ? x ? ? 0 .

所以 f ? x ? 在 ? ??, ln a ? 上单调递减,在 ? ln a, ?? ? 上单调递增, 故 f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值,且极小值为 f ? ln a ? ? ln a ,无极大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 无极小值; 当 a ? 0 , f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值 ln a ,无极大值.
1 ex 1 令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? kx ? 1? ? ?1 ? k ? x ? x , e

(Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ?

则直线 l : y ? kx ?1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点, 等价于方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解. 假设 k ? 1 ,此时 g ? 0 ? ? 1 ? 0 , g ? ?
1 ? 1 ? ? ?1 ? 1 ? 0 , ? k ?1 ? e k ?1

又函数 g ? x ? 的图象连续不断,由零点存在定理,可知 g ? x ? ? 0 在 R 上至少有一解, 与“方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解”矛盾,故 k ? 1 . 又 k ? 1 时, g ? x ? ?
1 ? 0 ,知方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解. ex

所以 k 的最大值为1.
- 20 -

方法二: (Ⅰ) (Ⅱ)同解法一. (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ?
1 . ex

直线 l : y ? kx ?1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点, 等价于关于 x 的方程 kx ? 1 ? x ? 1 ?
1 在 R 上没有实数解,即关于 x 的方程: ex 1 (*) ? k ? 1? x ? x e

在 R 上没有实数解. ①当 k ? 1 时,方程(*)可化为 ②当 k ? 1 时,方程(*)化为
1 ? 0 ,在 R 上没有实数解. ex

1 ? xe x . k ?1

令 g ? x ? ? xe x ,则有 g ? ? x ? ? ?1 ? x ? e x . 令 g ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?1 , 当 x 变化时, g ? ? x ? 的变化情况如下表:
x
g?? x?

? ??, ?1?
?
?

?1

? ?1, ?? ?
?
?

0
? 1 e

g ? x?
1 e

当 x ? ?1 时, g ? x ?min ? ? ,同时当 x 趋于 ?? 时, g ? x ? 趋于 ?? ,
? 从而 g ? x ? 的取值范围为 ? ? ? , ?? ? . 1 ? e ?

所以当

1 1? ? ? ? ??, ? ? 时,方程(*)无实数解, k ?1 ? e?

解得 k 的取值范围是 ?1 ? e,1? . 综上,得 k 的最大值为 1. 23.(2013·广东高考理科·T21)设函数 f ( x) ? ( x ? 1)e x ? kx 2 ( k ? R ).
- 21 -

(2)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (3)当 k ? ( ,1] 时,求函数 f ( x) 在 [0, k ] 上的最大值 M . 【解题指南】本题含有参数,考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程 中,应用好分类讨论思想. 【解析】 (1)当 k ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 1)e x ? x 2 ,求导可得 f ?( x) ? xe x ? 2 x ? x(e x ? 2) ,令 则当 x ? 0 时,f ?( x) ? 0 ; 当0 ? x ? f ?( x) ? 0 可得 x ? 0, x ? ln 2 , n 2 l 时,f ?( x) ? 0 ; 当 x ?n 2 l
1 2

时, f ?( x) ? 0 ;所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 (??,0),(ln 2, ??) ,单调递减区间是
(0, ln 2) ;
() ( ? xe ) 1 ? (2) 对 fx
x ? k x 2

求导可得 f ?( x) ? e x ? ( x ? 1)e x ? 2kx ? x(e x ? 2k ) , 因为 k ? ( ,1] ,

1 2

所以 2k ? (1, 2],令 f ?( x ) ? 0 可得 x ? 0, x ? ln(2k ) ,显然 0 ? (ln 2k ) ? ln 2 而 ln 2 ? 1 . 则当
0 ? x ? ln(2k ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(2k ) 时, f ?( x) ? 0 ;所以函数 f ( x) 的单调递增区

间是 ((ln 2k ), ??) ,单调递减区间是 (0, (ln 2k )) . 令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k ,则 g ? ? k ? ? ? 1 ?
? 所以 g ? k ? 在 ? ? ,1? 上递增, 1 ?2 ?

1 k

1? k ? k) = 0, ? 0 ,又当 k=1 时, g( k

所以 g ? k ? ? ln 2 ? 1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ? ?0, k ? 所以当 x ? ? 0, ln ? 2k ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? ln ? 2k ? , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ; 所以 M ? max ? f ? 0 ? , f ? k ?? ? max ??1, ? k ? 1? e k ? k 3 ? 令 h ? k ? ? ? k ? 1? ek ? k 3 ? 1 ,则 h? ? k ? ? k ? e k ? 3k ? , 令 ? ? k ? ? ek ? 3k ,则 ? ? ? k ? ? ek ? 3 ? e ? 3 ? 0
1 ? 3? ?1? ? 所以 ? ? k ? 在 ? ? ,1? 上递减,而 ? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 ?2 ?

?2?

?

2?

? ? ? 所以存在 k0 ? ? ? ,1? 使得 ? ? k0 ? ? 0 ,且当 k ? ? , k0 ? 时, ? ? k ? ? 0 , 2 2 1 1 ? ? ? ?
- 22 -

当 k ? ? x0 ,1? 时, ? ? k ? ? 0 ,
? 所以 h ? k ? 在 ? ? , k0 ? 上单调递增,在 ? k0 ,1? 上单调递减. 2 1 ? ?
1? 1 7 因为 h ? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 , ? ??? ?2? 2 8
? 所以 h ? k ? ? 0 在 ? ? ,1? 上恒成立,当且仅当 k ? 1 时取得“ ? ”. 1 ?2 ?

综上,函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M ? ? k ? 1? ek ? k 3 . 24.(2013·广东高考文科·T21)设函数 f ( x) ? x 3 ? kx2 ? x ? k ? R ? . (1) 当 k ? 1时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M . 【解题指南】本题含有参数,考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程 中,应用好分类讨论思想.
2 【解析】对函数 f ( x) ? x3 ? kx 2 ? x 求导得 f ? ? x ? ? 3x ? 2kx ? 1 . 2 (1)当 k ? 1 时 f ? ? x ? ? 3x ? 2 x ? 1 ,由 ? ? 4 ?12 ? ?8 ? 0 可知 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递

增.
k 2 (2)方法一:当 k ? 0 时, f ? ? x ? ? 3x ? 2kx ? 1 ,其图像开口向上,对称轴 x ? , 3
1? 且过点 ? 0,
2 ? 0 ,即 ? 3 ? k ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ?k , ?k ? (i)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 ?k? 3 ??k? 3 ?

上单调递增,从而当 x ? k 时, f ? x ? 取得最小值 m ? f ? k ? ? k ,当 x ? ?k 时, f ? x ? 取
3 3 3 得最大值 M ? f ? ?k ? ? ?k ? k ? k ? ?2k ? k .
2 2 (ii)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 ? k ? 3?? k ? 3? ? 0 ,即 k ? ? 3 时,令 f ? ? x ? ? 3x ? 2kx ? 1 ? 0 解



x1 ?

k ? k2 ?3 k ? k2 ?3 , x2 ? 3 3









k ? x2 ? x1 ? 0







m ? min ? f ? k ? , f ? x1 ?? , M ? max ? f ? ?k ? , f ? x2 ?? .
- 23 -

3 2 2 因为 f ? x1 ? ? f ? k ? ? x1 ? kx1 ? x1 ? k ? ? x1 ? k ? ? x1 ? 1? ? 0 , 所以 f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ;

3 2 3 2 2 因为 f ? x2 ? ? f ? ?k ? ? x2 ? kx2 ? x2 ? ? ?k ? k ? k ? k ? = ? x2 ? k ? [? x2 ? k ? ? k ? 1] ? 0 , 所以 f ? x ? 2

3 的最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k ? k ; 3 综上所述,当 k ? 0 时, f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k ? k .


f(


? x)


3


k) 2 ?


x

k ?0
?
3




?x



?x

?

? , k?

? k ,


)x ?


0?x k

f? (

k ? x3

2 x ?k?) f ? k ( ; ( ,故 ?k f 1 k ?? ??

f ( x) ? f (? k ) ? x 3 ? kx 2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x ? k )( x 2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1) ? ( x ? k )[( x ? k ) 2 ? k 2 ? 1] ? 0 ,故 f ? x ? ? f ? ?k ? .

又 f (k ) ? k ? 0 , f (?k ) ? ?2k 3 ? k ? 0 ,所以 f ( x) max ? f (?k ) ? ?2k 3 ? k , f ( x)min ? f (k ) ? k . 25. (2013·湖北高考理科·T22)设 n 是正整数, r 为正有理数。 (Ⅰ)求函数 f ?x ? = (1 ? x) r ?1 ? (r ? 1) x ? 1( x ? ?1) 的最小值; (Ⅱ)证明:
n c ?1 ? (n ? 1) r ?1 (n ? 1) r ?1 ? n r ?1 < n r< ; r ?1 r ?1

(Ⅲ)设 x ?R,记[ x ]为不小于的最小整数,例如[2]=2,[ ? ]=4,[- ]=-1. 令 S = 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ? 3 125 ,求[ S ]的值。
4 4 4 4

3 2

(参考数据:80 3 ≈344.7,81 3 ≈350.5,124 3 ≈618.3,126 3 ≈631.7) 【解题指南】导数的应用; (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论证明。 (Ⅲ)利用(Ⅱ)的 结论 r 和 n 取特殊值后累加可得。 【解析】 (Ⅰ)因为 f ?( x) ? (r ? 1)(1 ? x)r ? (r ? 1) ? (r ? 1)[(1 ? x)r ? 1] ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 . 当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (?1,0) 内是减函数; 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, ??) 内是增函数. 故函数 f ( x ) 在 x ? 0 处取得最小值 f (0) ? 0 . (Ⅱ)由(Ⅰ) ,当 x ? (?1, ??) 时,有 f ( x) ? f (0) ? 0 ,即
(1 ? x ) r ?1 ? 1 ? ( r ? 1) x ,且等号当且仅当 x ? 0 时成立,
- 24 -

故当 x ? ?1 且 x ? 0 时,有
(1 ? x ) r ?1 ? 1 ? ( r ? 1) x .


n n

在①中,令 x ? 1 (这时 x ? ?1 且 x ? 0 ) ,得 (1 ? 1 )r ?1 ? 1 ? r ? 1 .
n

上式两边同乘 nr ?1 ,得 (n ? 1)r ?1 ? n r ?1 ? n r (r ? 1) ,即
nr ? (n ? 1)r ?1 ? nr ?1 . r ?1
n



当 n ? 1 时,在①中令 x ? ? 1 (这时 x ? ?1 且 x ? 0 ) ,类似可得
nr ? nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 . r ?1



且当 n ? 1 时,③也成立. 综合②,③得
nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 (n ? 1)r ?1 ? nr ?1 ? nr ? . r ?1 r ?1
3



(Ⅲ)在④中,令 r ? 1 , n 分别取值 81,82,83,…,125,得
4 4 4 3 4 3 ( 813 ? 80 3)< 3 81 ? (82 3 ? 813 ) , 4 4 4 4 4 4 3 3 ( 82 3 ? 813)< 3 82 ? (833 ? 82 3 ) , 4 4 4 4 4 3 4 3 ( 833 ? 82 3) ? 3 83 ? (84 3 ? 833 ) , 4 4

………
4 4 4 4 3 3 ( 125 3 ? 124 3) ? 3 125 ? (126 3 ? 125 3 ) . 4 4

将以上各式相加,并整理得
4 4 4 4 3 3 ( 125 3 ? 80 3) ? S ? (126 3 ? 813 ) . 4 4

3 ( 125 3 ? 80 3) ? 210.2 , ( 126 3 ? 813) ? 210.9 . 代入数据计算,可得 3 4 4

4

4

4

4

由? ?S ? ? 的定义,得 ? ?S ? ? ? 211 . 26. (2013·湖北高考文科·T21)设 a ? 0 , b ? 0 ,已知函数 f ( x) ? ax ? b .
x ?1
- 25 -

(Ⅰ)当 a ? b 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 x ? 0 时,称 f ( x) 为 a 、 b 关于 x 的加权平均数. (i)判断 f (1) ,
f( b b b b ) , f ( ) 是否成等比数列,并证明 f ( ) ? f ( ) a a a a



( ii ) a 、 b 的几何平均数记为 G. 称
H ? f ( x) ? G ,求 x 的取值范围.

2ab a?b

为 a 、 b 的调和平均数,记为 H. 若

【解题指南】 (Ⅰ)求出函数的定义域,利用导数判断函数的单调性,注意分类 讨论。 (Ⅱ) (i)表示出 f (1) ,
f( b b b b ) , f ( ) 用等比中项加以证明, f ( ) ? f ( ) a a a a

由基

本不等式可以证明; (ii)用(Ⅰ)的结论函数的单调性分类证明。 【解析】 (I) f ( x)的定义域为(??,?1) ? (?1,??),
f ?( x) ? a( x ? 1) ? (ax ? b) a ?b , ? 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

当 a ? b 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (??, ?1),(?1, ??) 上单调递增; 当 a ? b 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (??, ?1),(?1, ??) 上单调递减。 (II) (i)计算得 f (1) ? 故 f (1) f ( ) ?
b a a?b b 2ab b ? 0, f ( ) ? ? 0, f ( ) ? ab ? 0 , 2 a a?b a

a ? b 2ab b ? ? ab ? [ f ( )]2 ,即 2 a?b a

b b f (1) f ( ) ? [ f ( )]2 ? ? a a



所以 f (1), f ( 因

b b ), f ( ) 成等比数列。 a a

b b a?b b ? ab,即f (1) ? f ( ) ,由①得 f ( ) ? f ( ) 。 a a 2 a b a b ) ? G ,故由 H ? f ( x) ? G ,得 a

(ii)由(i)知 f ( ) ? H , f (

- 26 -

b b f ( ) ? f ( x) ? f ( ) a a b a

??



当 a ? b 时, f ( ) ? f ( x) ? f (

b )?a 。 a

这时, x 的取值范围是 (0,??) ; 当 a ? b 时, 0 ? ? 1 ,从而 ?
b a
b a b ,由 f ( x)在(0,??)上单调递增与②式得 a

b b b b ?x? ,即 x 的取值范围是 [ , ] ; a a a a

当 a ? b 时,

b b b ,由 f ( x)在(0,??)上单调递减与②式得 ? 1 ,从而 ? a a a b b b b ? x ? ,即 x 的取值范围是 [ , ] 。 a a a a

27. (2013·山东高考理科·T21)设函数 f ( x) ? 的底数, c ? R) . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间,最大值; (Ⅱ)讨论关于 x 的方程 | ln x |? f ( x) 根的个数.

x ? c(e ? 2.71828? 是自然对数 e2 x

【解题指南】 (Ⅰ)先利用导数公式求函数的导数,根据单调性与导数的关系求 出函数的单调区间,然后再利用单调性求最值.(Ⅱ)将求函数根的个数问题转 化为求函数零点的个数,利用函数的导数来判断函数的单调性,然后利用单调 性判断函数零点. 【解析】 (Ⅰ) f ??x ? ? ?1 ? 2 x ?e ?2 x , 由 f ??x ? ? 0 解得 x ? ,
1 2 1 当 x ? 时, f ??x ? ? 0 , f ?x ? 单调递减. 2 1 2

当 x ? 时, f ??x ? ? 0 , f ?x ? 单调递增;

- 27 -

1? ?1 ? 所以,函数 f ?x ? 的单调递增区间是 ? ? ? ?, ? ,单调递减区间是 ? ,?? ? , ? 2? ?2 ? 1 ? 1 ?1 最大值为 f ? ? ? ? e ?e. ?2? 2

(Ⅱ)令 g ?x ? ? ln x ? f ?x ? ? ln x ? xe?2 x ? c , x ? ?0,?? ? , ① 当 x ? ?1,??? 时, ln x ? 0 ,则 g ?x ? ? ln x ? xe?2 x ? c , 所以 g ??x ? ? e ?2 x ? ? 因为 2 x ? 1 ? 0, 所以 g ??x ? ? 0 . 所以 g ? x ? 在 ?1,??? 上单调递增. ② 当 x ? ?0,1? 时, ln x ? 0 ,则 g ?x ? ? ? ln x ? xe?2 x ? c
? e2 x ?2 x ? ? ? ? 2 x ? 1? 所以 g ?x ? ? e ? ? ?, ? x ? ? e2 x ? ? 2 x ? 1? ?, ? x ?

e2 x ?0, x

因为 e 2 x ? ?1, e 2 ?, e 2 x ? 1 ? x ? 0 , 所以 ?
e2x ? ?1 . x

又 2x ? 1 ? 1 , 所以 ?
e2 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,即 g ??x ? ? 0 . x

因此 g ? x ? 在 ?0,1? 上单调递减, 综合①②可知,当 x ? ?0,?? ? , g ?x ? ? g ?1? ? ?e ?2 ? c , 当 g ?1? ? ?e ?2 ? c ? 0 ,即 c ? ?e ?2 时, g ? x ? 没有零点, 故关于 x 的方程 ln x ? f ?x ? 根的个数为 0; 当 g ?1? ? ?e ?2 ? c ? 0 ,即 c ? ?e ?2 时, g ? x ? 只有一个零点,
- 28 -

故关于 x 的方程 ln x ? f ?x ? 根的个数为 1; 当 g ?1? ? ?e ?2 ? c ? 0 ,即 c ? ?e ?2 时, a.当 x ? ?1,??? 时,由(Ⅰ)知
?1 ? g ?x ? ? ln x ? xe?2 x ? c ? ln x ? ? e ?1 ? c ? ? ln x ? 1 ? c , ?2 ?

要使 g ?x ? ? 0 ,只需要 ln x ? 1 ? c ? 0 ,即 x ? ?e1?c ,??? . b.当 x ? ?0,1? 时,由(Ⅰ)知
?1 ? g ?x ? ? ? ln x ? xe?2 x ? c ? ? ln x ? ? e ?1 ? c ? ? ? ln x ? 1 ? c , ?2 ?

要使 g ?x ? ? 0 ,只需要 ? ln x ? 1 ? c ? 0 ,即 x ? ?0, e ?1?c ?, 所以 c ? e?2 时, g ? x ? 有两个零点, 故关于 x 的方程 ln x ? f ?x ? 根的个数是 2. 综上所述, 当 c ? e?2 时,关于 x 的方程 ln x ? f ?x ? 根的个数是 0; 当 c ? e?2 时,关于 x 的方程 ln x ? f ?x ? 根的个数是 1; 当 c ? e?2 时,关于 x 的方程 ln x ? f ?x ? 根的个数是 2. 28. (2013·山东高考文科·T21)已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? ln x (a, b ? R) . (Ⅰ)设 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 设 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) .试比较 ln a 与 ?2b 的大小. 【解题指南】 (Ⅰ)先利用导数公式求函数的导数,根据单调性与导数的关系求 出函数的单调区间.(Ⅱ)由条件知, f ?1? 为函数的最小值,然后构造函数,利用 函数的单调性比较两数的大小.. 【解析】 (Ⅰ)由 f ?x ? ? ax2 ? bx ? ln x, x ? ?0,??? ,
- 29 -

得 f ??x ? ?

2ax2 ? bx ? 1 . x

(1)当 a ? 0 时, f ??x ? ?

bx ? 1 x

①若 b ? 0 ,当 x ? 0 时, f ??x ? ? 0 恒成立, 所以函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ?0,??? ②若 b ? 0 ,当 0 ? x ? 时, f ??x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递减, 当 x ? 时, f ??x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递增,
1? ?1 ? 所以函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ? ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ,?? ? . ? b?

1 b

1 b

?b

?

(2)当 a ? 0 时, f ??x ? ? 0 , 得 2ax2 ? bx ? 1 ? 0 , 由 ? ? b2 ? 8a ? 0 得 x1 ? 显然, x1 ? 0, x2 ? 0 当 0 ? x ? x2 时, f ??x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递减, 当 x ? x2 时, f ??x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递增,
? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,单调递增区间是 所 以 函 数 f ?x ? 的 单 调 递 减 区 间 是 ? 0, ? ? 4a ? ? ? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,?? ? , ? ? 4a ? ?
? b ? b 2 ? 8a ? b ? b 2 ? 8a , x2 ? 4a 4a

综上所述 当 a ? 0 , b ? 0 时,函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ?0,???
1? ?1 ? 当 a ? 0 , b ? 0 时,函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ? ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ,?? ? ? b?

?b

?

? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,单调递增区间是 当 a ? 0 时 , 函 数 f ?x ? 的 单 调 递 减 区 间 是 ? 0, ? ? 4 a ? ?
- 30 -

? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,?? ? . ? ? 4a ? ?

(Ⅱ) 由 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) ,则函数 f ?x ? 在 x ? 1 处取得最小值, 由(Ⅰ)知,
? b ? b 2 ? 8a 是 f ?x ? 的唯一的极小值点, 4a

? b ? b 2 ? 8a ? 1 ,整理得 故 4a

2a ? b ? 1 即 b ? 1 ? 2a .

令 g ?x? ? 2 ? 4 x ? ln x , 则 g ??x ? ?
1 ? 4x x 1 4

令 g ??x ? ? 0, 得 x ? , 当 0 ? x ? 时, g ??x ? ? 0, g ? x ? 单调递增; 当 x ? 时, g ??x ? ? 0, g ? x ? 单调递减.
1? 1 因此 g ?x ? ? g ? ? ? ? 1 ? ln ? 1 ? ln 4 ? 0 , ?4? 4

1 4

1 4

故 g ?a ? ? 0 ,即 2 ? 4a ? ln a ? 2b ? ln a ? 0 , 即 ln a ? ?2b 29. (2013·陕西高考理科·T21)已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (1) 若直线 y=kx+1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (2) 设 x>0, 讨论曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数. (3) 设 a<b, 比较
f (a) ? f (b) 与 f (b) ? f (a) 的大小, 2 b?a

并说明理由.

【解题指南】利用导数的几何意义,可求解;分析清楚函数的单调性及极值, 讨论确定曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数;作差后构造新函数, 利用函数的单调性进行大小比较.
- 31 -

【解析】(1)

f (x)的反函数 g ( x) ? ln x . 设直线 y=kx+1 与 g ( x) ? ln x 相切于点

?kx 0 ? 1 ? lnx 0 ? 2 ?2 P(x 0, y 0 ), 则? 。所以 k ? e?2 1 ? x0 ? e ,k ? e ?k ? g' (x 0 ) ? x 0 ?

(2)当 x > 0,m > 0 时, 曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 的公共点个数即方程
f ( x) ? mx 2 根的个数。

由 f (x) ? mx 2 ? m ?

ex ex xe x (x ? 2) , , 令 h(x) ? ? h '(x) ? x2 x2 x4

则 h(x)在 (0,2)上单调递减,这时h(x) ? (h(2),??);
e2 h(x) 在(2,??)上单调递增, 这时h(x) ? (h(2), ??). h(2) ? . 4
h(2)是y ? h(x)的极小值且是最小值。

所以对曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数,讨论如下: 当 m ? (0,
e2 e2 e2 ) 时,有 0 个公共点;当 m= ( , ? ?) 时,有 1 个公共点;当 m ? 时 4 4 4

有 2 个公共点. (3)
?

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)
(b ? a ? 2) ? e a ? (b ? a ? 2) ? e b (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b ? a a ? ?e 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a)

令 t(x) ? x ? 2 ? (x ? 2) ? ex , x ? 0, 则t '(x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e x ? 1 ? (x ?1) ? e x 。
t '(x)的导函数t ''(x) ? (1 ? x ? 1) ? ex ? x ? ex ? 0, 所以t '(x)在(0, ? ?)上单调递增 ,

且 t '(0) ? 0.因此t '(x) ? 0,t(x)在(0, ??)上单调递增, 而t(0) ? 0,
所以在(0, ??)上t(x) ? 0 。

因为当x ? 0时,t(x) ? x ? 2 ? (x ? 2) ? e x ? 0且a ? b,
所以 (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b ?a a ?e ? 0 2 ? (b ? a)
- 32 -

所以 当a < b时,

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) ? . 2 b?a

30.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T21)已知函数 f(x)=ex-ln(x+m), (1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0. 【解题指南】(1)求导,然后将 x ? 0 代入导函数,求得 m ,讨论分析导函数的符 号,得单调性. (2)求 f ? x ? 的最小值 f ? x0 ? ,证明最小值 f ? x0 ? ? 0 即可.
1 1 【解析】(1)因为 f ? ? x ? ? ex ? , x ? 0 是 f ? x ? 的极值点,所以 f ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0 , x?m m
l n 解 得 m ? 1, 所 以 函 数 f ? x ? ? xe? ? x ? ? 1, 其 定 义 域 为

? ?1, ?? ? , 因 为

f ? ? x ? ? ex ?

e 1 ? x ?1

x

? x ? 1? ? 1 ,
x ?1

设 g ? x ? ? e x ? x ? 1? ? 1, 则 g ' ? x ? ? e x ? x ? 1? ? e x ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上是增函数,又 因为 g ? 0 ? ? 0 ,所以当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,即 f ? ? x ? ? 0 ,当 ?1 ? x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,
f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? ?1, 0 ? 上是减函数,在 ? 0, ?? ? 上是增函数.

(2)当 m ? 2 , x ? ? ?m, ?? ? 时, ln ? x ? m ? ? ln ? x ? 2 ? ,故只需证明当 m ? 2 时, f ? x ? ? 0 . 当 m ? 2 时,函数 f ? ? x ? ? e x ?
1 在 ? ?2, ?? ? 单调递增. x?2

由 f ? ? ?1? ? 0, f ? ? 0 ? ? 0 ,故 f ? ? x ? ? 0 在 ? ?2, ?? ? 上有唯一实根 x0 ,且 x0 ? ? ?1, 0 ? . 当 x ? ? ?2, x0 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x0 , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,从而当 x ? x0 时, f ? x ? 取得 最小值.由 f ? ? x0 ? ? 0 得
e x0 ? 1 , ln ? x0 ? 2 ? ? ? x0 , x0 ? 2
2

? x ? 1? ? 0 1 ? x0 ? 0 故 f ? x ? ? f ? x0 ? ? . x0 ? 2 x0 ? 2
- 33 -

综上,当 m ? 2 时, f ? x ? ? 0 . 31. (2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T21)已知函数 f ( x) ? x 2e? x 。 (1)求 f ( x) 的极小值和极大值; (2)当曲线 y ? f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围。 【解题指南】 (1)求导函数 f ? ? x ? ,令 f ? ? x ? ? 0 求极值点,列表求极值. (2)设切线,表示出切线 l 的方程,令 y ? 0 得 l 在 x 轴上的截距,利用函数知识求得 截距的取值范围. 【解析】(1) f ? ? x ? ? e? x ? ? x 2 ? 2 x ? ,令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 0 或 2 . 列表如下
x

? ??, 0 ?
0

(0 2 ,2)

? 2, ?? ?

f ?? x?

?

0 极 小值

?

0 极 大值
4 . e2

?

f ? x?



增 函数

减 函数

函数

函数 f ? x ? 的极小值为 f ? 0 ? ? 0 ,极大值为 f ? 2 ? =
0 0

(2)设切点为 ? x0 , x0 2 e ? x ? ,则切线 l 的斜率为 k ? e ? x ? ? x0 2 ? 2 x0 ? 此时切线 l 的方程为 y ? x0 2e? x ? e? x ? ? x0 2 ? 2 x0 ? ? x ? x0 ?
0 0

令 y ? 0 ,得 x ?
x?

x0 ? x0 . x0 ? 2

2 ? x0 ? 2 ? 3 , x0 ? 2

由已知和(1)得 x0 ? (??, 0) ? (2, ??), 令h(t ) ? t ? (t ? 0) ,则当 t∈(0,+∞)时,h(t)的
- 34 -

2 t

取值范围为 [2 2, ??) ; 当 t∈(-∞,-2)时,h(t)的取值范围是(-∞,-3),所以当 x0∈(-∞,0) ∪(2,+∞)时,x 的取值范围是(-∞,0)∪ [2 2 ? 3, ??) ,综上, l 在 x 轴上的截距的取值范 围是(-∞,0)∪ [2 2 ? 3, ??) . 32. (2013·辽宁高考文科·T21)
(?) 证明:当 x ? ? 0,1? 时,
2 x ? sin x ? x ; 2

(??) 若不等式 ax ? x 2 ?

x3 ? 2( x ? 2) cos x ? 4 对 x ? [0,1] 恒成立,求实数 a 的取值范围。 2

【解题指南】构造函数,利用函数的单调性证明不等式;利用已知的不等式恰 当地放缩,将复杂的不等式转化为简单的不等式 【解析】 (?) 记 F ( x) ? sin x ?
2 2 x ,则 F ?( x) ? cos x ? . 2 2

2 ? 2 ?? ? cos ? ? 0, 当 x?? ? 0, ? 时, F ?( x) ? cos x ?
? 4?

2

4

2

则 F ( x) ? sin x ?
?

2 ? ?? x 在 x ? ? 0, ? 上是增函数,所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ; 2 ? 4?

? 当 x?? ? ? ? 0, ? ,1? 时, F ?( x) ? cos x ? 2 2 2 ?4 ?

2

2

2

则 F ( x) ? sin x ?

2 ?? ? x 在 x ? ? ,1? 上是减函数, 2 ?4 ?

所以 F ( x) ? F (1) ? sin1 ?

2 ? 2 ? sin ? ?0 2 4 2
2 x; 2

故当 x ? ? 0,1? 时, F ( x) ? 0 ,即 sin x ?

记 H ( x) ? sin x ? x ,则当 x ? ? 0,1? 时, H ?( x) ? cos x ? 1 ? 0 所以 H ( x) ? sin x ? x 在 x ? ? 0,1? 上是减函数,则 H ( x) ? H (0) ? 0 即 H ( x) ? sin x ? x ? 0 , sin x ? x
- 35 -

综上,当 x ? ? 0,1? 时,
(??) 由 (?) 可知, sin

2 x ? sin x ? x ; 2

x 2 x 2x , ? ? ? 2 2 2 4

当 x ? ? 0,1? 时, ax ? x 2 ? x3 ? 2( x ? 2) cos x ? 4
1 x ? ax ? x 2 ? x3 ? 2( x ? 2)(1 ? 2sin 2 ) ? 4 2 2 1 x ? (a ? 2) x ? x 2 ? x3 ? 4( x ? 2)sin 2 2 2
? (a ? 2) x ? x 2 ? 1 3 2x 2 x ? 4( x ? 2)( ) 2 4

1 2

? (a ? 2) x

所以当 a ? ?2 时, a ? 2 ? 0 , (a ? 2) x ? 0 ,不等式 ax ? x 2 ? x3 ? 2( x ? 2) cos x ? 4 恒成立. 下面证明,当 a ? ?2 时,不等式 ax ? x 2 ? x3 ? 2( x ? 2) cos x ? 4 不恒成立. 由 (?) 可知, sin ?
x 2 x 2

1 2

1 2

则当 x ? ? 0,1? 时, ax ? x 2 ? x3 ? 2( x ? 2) cos x ? 4
1 3 x ? 2( x ? 2) cos x ? 4 2 1 x ? ax ? x 2 ? x3 ? 2( x ? 2)(1 ? 2sin 2 ) ? 4 2 2 1 x ? (a ? 2) x ? x 2 ? x3 ? 4( x ? 2)sin 2 2 2 1 x ? (a ? 2) x ? x 2 ? x3 ? 4( x ? 2)( )2 2 2 1 3 ? (a ? 2) x ? x 2 ? x 3 ? (a ? 2) x ? x 2 2 2 ax ? x 2 ?
3 ? 2 ? ? ? x ? x ? (a ? 2) ? 2 ? 3 ?

1 2

所以存在 x0 ? ? 0,1? (例如 x0 取
ax ? x 2 ? 1 3 x ? 2( x ? 2) cos x ? 4 ? 0 2

a ?1 1 和 中较小者)满足 3 2

即当 a ? ?2 时,不等式 ax ? x 2 ? x3 ? 2( x ? 2) cos x ? 4 不恒成立.
- 36 -

1 2

综上,实数 a 的取值范围为 ? ??, ?2?. 33. (2013· 辽宁高考理科· T21) 已知函数 f ( x) ? (1 ? x)e?2 x , g ( x) ? ax ? 当 x ? ? 0,1? 时,
(?) 求证: 1 ? x ? f ( x) ?

x3 ? 1 ? 2 x cos x . 2

1 ; 1? x

(??) 若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。

【解题指南】由于欲证不等式不便于直接证明,因而可以采用间接证明的方法 ——分析法; 【解析】 (?) 证明:⑴要证 x ? ? 0,1? 时, (1 ? x)e?2 x ? 1 ? x 只需证 (1 ? x)e? x ? (1 ? x)e x 记 h( x) ? (1 ? x)e? x ? (1 ? x)e x 则 h?( x) ? [(1 ? x)e ? x ? (1 ? x)e x ] ? x(e x ? e ? x ) 当 x ? ? 0,1? 时, h?( x) ? x(e x ? e? x ) ? 0 因此 h( x) ? (1 ? x)e? x ? (1 ? x)e x 在 ? 0,1? 上为增函数, 故 h( x) ? h(0) ? 0 所以 (1 ? x)e?2 x ? 1 ? x , x ? ? 0,1? ; ⑵要证 x ? ? 0,1? 时, (1 ? x)e?2 x ? 只需证 e x ? 1 ? x 记 k ( x) ? e x ? x ? 1 则 k ?( x) ? e x ? 1 当 x ? ? 0,1? 时, k ?( x) ? e x ? 1 ? 0 因此 k ( x) ? e x ? x ? 1 在 ? 0,1? 上为增函数, 故 k ( x) ? k (0) ? 0
- 37 -

1 1? x

所以 (1 ? x)e?2 x ?

1 , x ? ? 0,1? 1? x

综上可知, 1 ? x ? (1 ? x)e?2 x ? 即 1 ? x ? f ( x) ?
1 1? x

1 , x ? ? 0,1? 1? x

(??) 由 (?) 知 1 ? x ? f ( x) ,则有

f ( x) ? g ( x) ? (1 ? x)e ?2 x ? (ax ? x3 ? 1 ? 2 x cos x) 2

x3 ? 1 ? 2 x cos x) 2

? 1 ? x ? (ax ?

? ? x(a ? 1 ?
1 2

1 2 x ? 2cos x) 2

设 G( x) ? x 2 ? 2 cos x ,则 G?( x) ? x ? 2sin x 记 H ( x) ? x ? 2sin x ,则 H ?( x) ? 1 ? 2cos x 当 x ? ? 0,1? 时, cos x ? cos1 ? cos ? ? H ?( x) ? 1 ? 2cos x ? 0
3

?

1 2

从而 G?( x) ? x ? 2sin x 在 ? 0,1? 上为减函数, 于是当 x ? ? 0,1? 时, G?( x) ? G?(0) ? 0 故 G( x) ? x 2 ? 2 cos x 在 ? 0,1? 上为减函数, 所以 G( x) ? G(0) ? 2 从而 G ( x) ? a ? 1 ? G (0) ? a ? 1 ? 2 ? a ? 1 ? a ? ?3. 所以 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 ? 0,1? 上恒成立 下面证明当 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 ? 0,1? 上不恒成立。 由 (? ) 知 f ( x ) ?
f ( x) ? g ( x) ?

1 2

1 ,则有 1? x

1 x3 ? (ax ? ? 1 ? 2 x cos x) 1? x 2

1 x2 ? ? x( ? a ? ? 2 cos x) 1? x 2

- 38 -

记 I ( x) ?

1 x2 1 ? a ? ? 2 cos x ? ? a ? G ( x) 1? x 2 1? x
?1 ? G?( x) (1 ? x) 2 ?1 ? G?( x) ? 0 (1 ? x) 2

则 I ?( x) ?

由前所述,当 x ? ? 0,1? 时, I ?( x) ? 故 I ( x) ?

1 ? a ? G( x) 在 ? 0,1? 上为减函数, 1? x

于是 I (1) ? I ( x) ? I (0) 即 a ? 1 ? 2cos1 ? I ( x) ? a ? 3 因为当 a ? ?3 时, a ? 3 ? 0 所以存在 x0 ? (0,1), 使得 I ( x) ? 0 此时 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 即当 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 ? 0,1? 上不恒成立。 综上,实数 a 的取值范围为 ? ??, ?3?. 34.(2013·新课标Ⅰ高考理科·T21)已知函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx +d),若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y =4x+2 (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值 (Ⅱ)若 x≥-2 时,f(x)≤kgf(x),求 k 的取值范围。 【解题指南】 (Ⅰ)根据曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2)可将 P(0,2) 分别代入到 y=f(x)和曲线 y=g(x)上,再利用在点 P 处有相同的切线 y=4x+2, 对曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)进行求导,列出关于 a, b, c, d 的方程组求解. (Ⅱ)构造函数 F ( x) ? kg( x) ? f ( x) ,然后求导,判断函数 F ( x) ? kg( x) ? f ( x) 的单调 性,通过分类讨论,确定 k 的取值范围.
- 39 -

【解析】 (Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2 , g (0) ? 2 , f ?(0) ? 4 , g ?(0) ? 4 . 而 f ?( x) ? 2 x ? a , g ?( x) ? e x (cx ? d ? c) . 故b ? 2, d ? 2 , a ? 4 , d ? c ? 4 . 从而 a ? 4 , b ? 2 , c ? 2 , d ? 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 , g ( x) ? 2e x ( x ? 1) . 设 F ( x) ? kg( x) ? f ( x) ? 2kex ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ? 2 , 则 F ?( x) ? 2kex ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 2( x ? 2)(kex ? 1) . 由题设可得 F (0) ? 0 ,得 k ? 1. 令 F ?( x) ? 0 ,即 2( x ? 2)( kex ? 1) ? 0 ,得 x1 ? ? ln k , x2 ? ?2 . (ⅰ)若 ? 1 ? k ? e 2 ,则 ? 2 ? x1 ? 0 ,从而当 x ? (?2, x1 ) 时, F ?( x) ? 0 当 x ? ( x1 ,??) 时, F ?( x) ? 0 , 即 F ( x) 在 x ? (?2, x1 ) 单调递减,在 x ? ( x1 ,??) 单调递增,故 F ( x) 在 [?2,??) 上有最小 值为 F ( x1 ) .
F ( x1 ) ? 2 x1 ? 2 ? x1 ? 4 x1 ? 2 ? ? x1 ( x1 ? 2) ? 0 .
2

故当 x ? ?2 时, F ( x) ? 0 恒成立,即 f ( x) ? kg( x) . (ⅱ)若当 k ? e 2 ,则 F ?( x) ? 2e 2 ( x ? 2)(e x ? e ?2 ) ,当 x ? ?2 时, F ?( x) ? 0 ,即 F ( x) 在
(?2,??) 上 单 调 递 增 , 而 F (?2) ? 0 , 故 当 且 仅 当 x ? ?2 时 , F ( x) ? 0 恒 成 立 , 即 f ( x) ? kg( x) .

(ⅲ)若 k ? e 2 ,则 F (?2) ? ?2ke?2 ? 2 ? ?2e ?2 (k ? e 2 ) ? 0 . 从而当 x ? ?2 时, f ( x) ? kg( x) 不可能恒成立. 综上, k 的取值范围为 [1, e 2 ] .

- 40 -

35.(2013·新课标Ⅰ高考文科·T20)已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x 2 ? 4 x ,曲线
y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y ? 4 x ? 4

(Ⅰ)求 a , b 的值 (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值 【解题指南】 (Ⅰ)对函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x 2 ? 4 x 求导,利用点 (0, f (0)) 处切线方 程为 y ? 4 x ? 4 知 f ?(0) ? 4 ,求得 a , b 的值; (Ⅱ)由(Ⅰ)确定函数解析式,并对 f ( x) 求导,根据导函数 f ?( x) 判断函数的 单调性,根据函数的单调性求出极值. 【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? e x (ax ? a ? b) ? 2 x ? 4 .由已知得 f (0) ? 4 , f ?(0) ? 4 . 故 b ? 4 , a ? b ? 8 ,从而 a ? 4 , b ? 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? 4e x ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ,
1 f ?( x) ? 4e x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 4( x ? 2)(e x ? ) . 2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? ln 2 或 x ? ?2 . 从而当 x ? (??,?2) ? (? ln 2,??) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (?2,? ln 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 故 f ( x) 在 (??,?2) , (? ln 2,??) 单调递增,在 x ? (?2,? ln 2) 单调递减. 当 x ? ?2 时,函数 f ( x) 取得极大值,极大值为 f (?2) ? 4(1 ? e ?2 ) 36. (2013· 四川高考理科· T21) 已知函数 f ( x) ? ?
? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0, ?ln x, x ? 0,

其中 a 是实数. 设

A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .

(Ⅰ)指出函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小 值; (Ⅲ)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.
- 41 -

【解题指南】在求解过程中,首先需要把握函数的解析式及定义域,结合各段 函数的特征确定其单调区间,在后续的求解过程中,需要首先求解函数 f ( x) 的 图象在点 A, B 处的切线的斜率,结合已知求解 x2 ? x1 的最小值,在第(Ⅲ)问中, 应着重分析函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线重合得到的信息. 【解析】(Ⅰ)函数 f(x)的单调递减区间为(??,?1), 单调递增区间为(?1,0),(0,+?). (Ⅱ)由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为f ?(x1),点 B 处的切线斜率为f ?(x2), 所以当点 A 处的切线与点 B 处的切线垂直时,有f ?(x1)f ?(x2)=?1. 当 x<0 时,f ?(x)=2x+2 因为 x1<x2<0,所以(2x1+2)(2x2+2)=?1 所以 2x1+2<0, 2x2+2>0. 1 因此 x2?x1=2[?(2x1+2)+ 2x2+2]? [?(2x1+2)](2x2+2)=1, 3 1 当且仅当?(2x1+2)= 2x2+2=1 即 x1=?2,x2=?2时等号成立. 所以,函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直时,求 x2? x1 的最小值为 1. (Ⅲ)当 x1<x2<0 或 x2>x1>0 时, f ?(x1)?f ?(x2), 所以 x1<0<x2. 当 x1<0 时 , 函 数 f(x) 的 图 象 在 点 (x1,f(x1)) 处 的 切 线 方 程 为 y?(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x?x1), 即 y=(2x1+2)x?x12+a. 1 1 当 x2>0 时,函数 f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为 y?lnx2=x (x?x2),即 y=x 2 2 x+lnx2?1.

?2x1+2= 1 x2 两切线重合的充要条件是? 2 ??x1 +a =lnx2?1
由①及 x1<0<x2 知?1<x1<0. 1 由①②得 a= x12+ln2x +2?1=x12?ln(2x1+2)?1. 1 令 h(x1)=x12?ln(2x1+2)?1(?1<x1<0),
- 42 -

① ②

1 则 h?(x1)=2x1?x +1<0, 所以 h(x1)在(?1,0)上是减函数. 1 则 h(x1)>h(0)=?ln2?1, 所以 a>?ln2?1, 又当 x1?(?1,0)且趋近于?1 时, h(x1)无限增大, 所以 a 的取值范围是(? ln2? 1,+?). 故当函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合,a 的取值范围是(?ln2?1,+?). 37.(2013·四川高考文科·T21) 已知函数 f ( x) ? ?
? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 ?ln x, x ? 0

,其中 a 是

实数。设 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 . (Ⅰ)指出函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,证明:x2 ? x1 ? 1 ; (Ⅲ)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围。 【解题指南】在求解过程中,首先需要把握函数的解析式及定义域,结合各段 函数的特征确定其单调区间,在后续的求解过程中,需要首先求解函数 f ( x) 的 图象在点 A, B 处的切线的斜率,结合已知证明,在第(Ⅲ)问中,应着重分析函 数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线重合得到的信息. 【解析】(Ⅰ)函数 f(x)的单调递减区间为(??,?1), 单调递增区间为(?1,0),(0,+?). (Ⅱ)由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为f ?(x1),点 B 处的切线斜率为f ?(x2), 故当点 A 处的切线与点 B 处的切线垂直时,有f ?(x1)f ?(x2)=?1. 当 x<0 时,对函数 f(x)求导,得f ?(x)=2x+2 因为 x1<x2<0,所以( 2x1+2)(2x2+2)=?1, 所以 2x1+2<0, 2x2+2>0. 1 因此 x2?x1=2[?(2x1+2)+ 2x2+2]? [?(2x1+2)](2x2+2)=1, 3 1 当且仅当?(2x1+2)= 2x2+2=1,即 x1=?2且 x2=?2时等号成立.
- 43 -

所以,函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直时, 有 x2 ? x1 ? 1 . (Ⅲ) 当 x1<x2<0 或 x2>x1>0 时, f ?(x1)?f ?(x2), 故 x1<0<x2. 当 x1<0 时 , 函 数 f(x) 的 图 象 在 点 (x1,f(x1)) 处 的 切 线 方 程 为 y?(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x?x1), 即 y=(2x1+2)x?x12+a. 1 1 当 x2>0 时,函数 f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为 y?lnx2=x (x?x2),即 y=x 2 2 x+lnx2?1.

?2x1+2= 1 x2 两切线重合的充要条件是? 2 ??x1 +a =lnx2?1

① ②

由①及 x1<0<x2 知,0<错误!未找到引用源。<2.
? 1 ? ? 1? -1 由①②得,a=lnx2+ ? ? 2 x2 ? ? 1? 1 =-ln 错误!未找到引用源。+ ? ? 2 ? 错误!未找到引用源。-1. 4 ? x2 ?
2 2

令 t=错误!未找到引用源。,则 0<t<2,且 a=错误!未找到引用源。t2-t-lnt. 设 h(t)= t2-t-lnt(0<t<2), 则 h'(t)= t-1- =
1 2 1 4

1 t

(t ? 1) 2 ? 3 <0, 2t

所以 h(t)(0<t<2)为减函数. 则 h(t)>h(2)=-ln2-1, 所以 a>-ln2-1. 而当 t∈(0,2)且 t 趋近于 0 时,h(t)无限增大. 所以 a>-ln2-1. 又当 x1∈(-1,0)且趋近于-1 时,h(x1)无限增大, 所以 a 的取值范围是(-ln2-1,+∞).
- 44 -

故当函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合时,a 的取值范围是(-ln2-1,+∞). 38. (2013·天津高考文科·T20) 设 a ?[?2,0] , 已知函数
? x3 ? (a ? 5) x, x ? 0, ? f ( x) ? ? 3 a ? 3 2 x ? ax, x ? 0. ?x ? ? 2

(Ⅰ) 证明 f ( x) 在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; ( Ⅱ ) 设曲线 y ?
x1 ? x 2 ? x 3 ? ? 1 . 3
f ( x)

在点 Pi ( x i , f ( xi ))(i?

处的切线相互平行 , 1, 2, 3)

且 x1 x2 x3 ? 0, 证明

【解题指南】(Ⅰ) 利用导数分段证明 f ( x) 在区间(-1,0)内单调递减, 在区间(0,1) 内单调递减,在区间(1, + ∞)内单调递增,且 f ( x) 在 x=0 处不间断,进而得出结 论. (Ⅱ)由函数 f ( x) 的单调性及切线平行得出 x1 , x2 , x3 的关系,通过构造函数及换元法 转化为求最小值问题求解. 【证明】(Ⅰ) 设函数 f1 ( x) ? x3 ? (a ? 5) x( x ? 0), ①
f1? ( x) ? 3x 2 ? (a ? 5), 由 a ? ? ?2,0? ,

f 2 ( x) ? x 3 ?

a?3 2 x ? ax( x ? 0), 2
f1? ( x) ? 3x 2 ? (a ? 5 )? 3 ?a? 5 ? 0,

从 而当 ?1 ? x ? 0 时 ,

所以

f1 ( x) 在区间 ? ?1,0? 内单调递减.



f 2? ( x) ? 3x 2 ? (a ? 3) x ? a ? (3x ? a)( x ? 1), 由 a ? ? ?2,0? , 所以当

0<x<1 时 ,f2 ′ (x)<0; 当 x>1

时,f2′(x)>0.即函数 f2(x)在区间[0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增. 综合①,②及 f1 (0) ? f2 (0) ,可知函数 f ( x) 在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1, + ∞) 内单调递增.
a ? 3? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? ( x) 在区间 ? ??,0? 内单调递减,在区间 ? ? 0, ? 内单调递减,在区间 ? 6 ? ?a?3 ? , ?? ? 内单调递增 . ? ? 6 ?

因为曲线 y ?

处的切线相互平行 , f ( x) 在点 P i ( xi , f ( xi ))(i ? 1, 2, 3)

从而 x1 , x2 , x3 互不相等,且 f′(x1)=f'(x2)=f′(x3).
- 45 -

不 妨 设

x1 ? 0

x ?

2

x ,?

3



3x12 ? (a ? 5) ? 3x22 ? (a ? 3) x2 ? a ? 3x32 ? (a ? 3) x3 ? a,

可 得

3x22 ? 3x32 ? (a ? 3)( x2 ? x3 ) ? 0, 解得 x2 ? x3 ?

a?3 a?3 , 从而 0 ? x2 ? ? x3 . 3 6



g ( x) ? 3x2 ? (a ? 3) x ? a,



g(

a?3 ) ? g ( x2 ) ? g (0) ? a. 6



3x12 ? (a ? 5) ? g ( x2 ) ? a,

解 得

2a ? 5 2a ? 5 a ? 3 ? ? x1 ? 0, 所 以 x1 ? x 2? x ? ? , 3 ? 3 3 3
t?? a ? ? ?2 , ?0 ,所以 ,

2a ? 5 3t 2 ? 5 , 则 a? 设 t? , 因为 3 2

? 3 15 ? 3t 2 ? 1 1 1 1 1 , ? (t ? 1)2 ? ? ? , 即 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? , 故 x1 ? x2 ? x3 ? ?t ? 6 2 3 3 3 3 ? ? 3

39. (2013·天津高考理科·T20)已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (1) 求函数 f(x)的单调区间; (2) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ?
f (s) .
2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

(3) 设(2)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e2 时, 有

【解题指南】 (1) 求出函数 f ( x) ? x2 ln x 的导数, 利用导数确定函数 f(x)的单调区间. (2) 利用(1)的结论,首先确定 t>0 时,对应函数 f ( x) 的定义域为 (1, ??) ,然后根据 函数 f(x)的单调性证明. (3) 承接(2)通过换元法及函数的单调性进行证明. 【解析】(1)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) .
f ?( x) ? 2x ln x ? x ? x(2ln x ? 1), 令 f ?( x) ? 0, 得 x ?
1 e .

当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(0,

1 e
?

)

1 e

(

1 e

, ??)
?

0 极小值
- 46 -

f ( x)

所以函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, (2)当 0 ? x ? 1时, 设
t ?0
f ( x) ? 0.

1 e

) ,单调递增区间是 (

1 e

, ??) .

,令

h( x) ? f ( x) ? t

,

x ? ?1, ?? ?

. 由 (1) 知 ,

h( x)

在 区 间 ?1, ?? ? 内 单 调 递 增 . 使t ?
f ( s ) 成立.

h(1) ? ?t ? 0, h(et ) ? e2t ln et ? t ? t (e2t ? 1) ? 0. 故存在唯一的 s ? (1, ??) ,

(3)因为 s ? g (t ) , 由(2)知

t ? f ( s ) ,且 s ? 1 ,从而

ln g (t ) ln s ln s ln s u ? ? ? ? , 其中 u ? ln s. 2 ln t ln f ( s) ln( s ln s) 2ln s ? ln ? ln s ? 2u ? ln u

要使 2 ? ln g (t ) ? 1 成立,只需 0 ? ln u ? u .
5 ln t 2 2

当 t>e2 时,若 s=g(t)≤e,则由 f(s)的单调性知,t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾. 所以 s>e,即 u>1,从而 ln u>0 成立. 另一方面,令 F (u) ? ln u ? u , u ? 1. F ?(u) ? 1 ? 1 , 令 F ?(u) ? 0, 得 u ? 2, 当 1 ? u ? 2 时, F ?(u) ? 0; 当
2 u 2

u ? 2 时, F ?(u) ? 0. 故对 u ? 1 , F (u) ? F (2) ? 0. 因此 ln u ?

u 成立. 2

综上,当 t >e2 时, 有

2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

40.(2013·浙江高考理科·T22)已知 a∈R,函数 f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. (2)当 x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值. 【解题指南】(1)先确定 f'(x),再求切线斜率 f'(1),从而写出切线方程. (2)当 x∈[0,2]时,要分类讨论 a 取不同的值时,f(x)的单调性即 f'(x)>0 或 f'(x)<0. 【解析】(1)由题意 f'(x)=3x2-6x+3a,故 f'(1)=3a-3,又 f(1)=1, 所以所求切线方程为 y=(3a-3)x-3a+4. (2)由于 f'(x)=3(x-1)2+3(a-1),0≤x≤2,故 ①当 a≤0 时,有 f'(x)≤0,此时 f(x)在[0,2]上单调递减,故 |f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3-3a;
- 47 -

②当 a≥1 时,有 f'(x)≥0,此时 f(x)在[0,2]上单调递增,故 |f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3a-1; ③当 0<a<1 时,设 x1 ? 1 ? 1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a , 则 0<x1<x2<2,f'(x)=3(x-x1)(x-x2). 列表如下:
x
f ?( x)

0

? 0, x1 ?
?

x1

? x1 , x2 ?
?

x2

? x2 , 2 ?
?

2

0

0


f ( x)



值 单调递减


f ( x2 )



值 单调递增 3a ?1

3 ? 3a

单调递增
f ( x1 )

由于 f ( x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a , f ( x2 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a 故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 >0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4(1 ? a) 1 ? a>0 从而 f ( x1 )> f ( x2 ) ,所以|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|,f(x1)} (i)当 0<a< 时, f (0)> f (2)
a 2 (3 ? 4a) >0 又 f ( x1 ) ? f (0) ? 2(1 ? a) 1 ? a ? (2 ? 3a) ? 2(1 ? a) 1 ? a ? (2 ? 3a)

2 3

故 | f (x) |max ? f (x1 ) ?? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a (ii)当 ≤a<1 时, f (2) ? f (2) ,且 f (2)≥f (0) 又 f ( x1 ) ? f (2) ? 2(1 ? a) 1 ? a ? (3a ? 2) ?
2 3 3 4
a 2 (3 ? 4a) 2(1 ? a ) 1 ? a ? 3a ? 2

2 3

所以当 ≤a< 时, f ( x1 )> f (2) ,故 f (x)max ? f (x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a 当 ≤a<1 时,f(x)max=|f(2)|=3a-1.
3 4

- 48 -

? ? 3 ? 3a, a≤0, ? 3 综上所述, | f (x) |max ? ? ?1 ? 2(1 ? a) 1 ? a , 0<a< , 4 ? 3 ? 3a ? 1, a≥ , ? ? 4

41.(2013·浙江高考文科·T21)已知 a∈R,函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax. (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程. (2)若|a|>1,求 f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值. 【解题指南】 (1)先求 f'(x),再求 f'(2),从而易求切线方程.(2)对 a 进行讨论,分析 f(x) 在闭区间[0,|2a|]上的单调性,从而求其最小值. 【解析】(1)当 a=1 时,f'(x)=6x2-12x+6, 所以 f'(2)=6, 又因为 f(2)=4,所以切线方程为 y=6x-8. (2)记 g(a)为 f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值. f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a), 令 f'(x)=0,得到 x1=1,x2=a, 当 a>1 时,
0

x
f ?( x)

? 0,1?
?

1
0

?1,a ?
?

a

? a, 2a ?
?

2a

0

0
f ( x)

单调递增 极大值 3a ?1

单调递减 极小值 a2 (3 ? a)
? 0,1<a≤3, 2 ?a (3 ? a ), a>3,

单调递增 4a3

比较 f(0)=0 和 f(a)=a2(3-a)的大小可得 g(a)= ? 当 a<?1 时,
- 49 -

x
f ?( x)

0

? 0,1?
?

1
0

?1, ?2a ?
?

?2a

f ( x)

0

单调递减

极小值 3a ?1

单调递增

?28a3 ? 24a2

得, g (a) ? 3a ?1
? 3a ? 1, a< ? 1, ? 综上所述, f ( x) 在闭区间 ? ? 0, 2 a ? ? 上的最小值 g ( a ) ? ? 0,1<a≤3, ? a 2 (3 ? a ), a>3. ?

42. (2013· 重庆高考理科· T17) 设 f ( x) ? a( x ? 5)2 ? 6ln x , 其中 a ? R , 曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与 y 轴相交于点(0,6) . (Ⅰ)确定 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间与极值. 【解题指南】直接根据曲线在(1, f (1) )处的切线过点(0,6)求出 a 的值,直接 求导得出函数的单调区间与极值. 【解析】 (Ⅰ)因为 f ( x) ? a( x ? 5)2 ? 6ln x ,所以 f ?( x) ? 2a( x ? 5) ? . 令 x ? 1, 得 f (1) ? 16a, f ?(1) ? 6 ? 8a ,所以曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线方程为
1 y ? 16a ? (6 ? 8a)( x ? 1) ,因为点 ?0,6 ? 在切线上,所以 6 ?16a ? 8a ? 6 ,得 a ? . 2 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? ( x ? 5) 2 ? 6 ln x( x ? 0), 2 6 ( x ? 2)( x ? 3) f ?( x) ? x ? 5 ? ? x x 6 x

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 2, x2 ? 3 当 0 ? x ? 2 或 x ? 3 时 , f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 在 (0,2), (3,??) 上 为 增 函 数 ; 当 2 ? x ? 3 时 ,
f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (2,3) 上为减函数.

由 此 可 知 f ( x) 在 x ? 2 处 取 得 极 大 值 f (2) ? ? 6 ln 2 , 在 x ? 3 处 取 得 极 小 值
f (3) ? 2 ? 6 ln 3 .

9 2

- 50 -

43. (2013·重庆高考文科·T20)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不 计厚度) .设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造 成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 ? 元( ? 为圆周率) . (Ⅰ)将 V 表示成 r 的函数 V (r ) ,并求该函数的定义域; (Ⅱ)讨论函数 V (r ) 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 【解题指南】直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域,通过求导 研究函数的单调性进而求出函数的最值. 【解析】 (Ⅰ)因为蓄水池侧面的总成本为 100 ? 2?rh ? 200?rh 元,底面的总成本为
160?r 2 元,

所以蓄水池的总成本为 (200?rh ? 160?r 2 ) 元.又据题意 200?rh ? 160?r 2 ? 12000 ? , 所以 h ?
1 ? (300 ? 4r 2 ) ,从而 V (r ) ? ?r 2 h ? (300 r ? 4r 3 ). 5r 5

因 r ? 0, 又由 h ? 0 可得 r ? 5 3 ,故函数 V (r ) 的定义域为 ?0,5 3 ?. (Ⅱ)因 V (r ) ?
?
5 (300 r ? 4r 3 ). 故 V ?(r ) ?

?
5

(300 ? 12 r 2 ). 令 V ?(r ) ? 0 ,解得 r1 ? 5

r2 ? ?5 (因 r2 ? ?5 不在定义域内,舍去).

当 r ? ?0,5? 时, V ?(r ) ? 0 ,故 V (r ) 在 ?0,5? 上为增函数, 当 r ? ?5,5 3 ?时, V ?(r ) ? 0 ,故 V (r ) 在

?5,5 3 ?上为减函数,由此可知,
时,该蓄水池的体积最大.

V (r ) 在 r ? 5 处取得最大值,此时 h ? 8. 即当 r ? 5, h ? 8

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