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南通市通州区石港中学2014届高三上学期数学第18周周练试题


南通市通州区石港中学高三数学第 18 周练试卷
命题人:何永峰 审核人:顾黄兵 2014.1.1 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.函数 y ? log 0.5 x 的定义域为 .

2.从 1,2,3, 7, 9 这 5 个数中任意抽取三个数,其中仅有两个数是连续整数的概率是 3.已知集合 A ? {x | x

? 5} ,集合 B ? {x | x ? a} ,若命题“ x ? A ”是命题“ x ? B ”的充分 不必要条件,则实数 a 的取值范围是 . 开始 4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成 6 组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计, 输入 n 得到如图所示的频率分布直方图. 已知高一年级共有学生 600 名, 据此估计, 该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 .
S ?0

n?2

S ?S ?n



输出 S

第 4 题图

5.向量 a ? (cos10 ,sin10 ), b ? (cos 70? ,sin 70? ) , a ? 2b =
? ?



n ? n ?1

结束

6 . 阅读如图所示的程序框,若输入的 n 是 100 ,则输出的变量 S 的值 是 . 7. 方程 x lg( x ? 2) ? 1 有 个不同的实数根.

第 6 题图

8 . 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 若 3 ≤ a5 ≤ 4 , 2 ≤ a6 ≤ 3 ,则 S6 的取值范围 是 . .

9.若函数 f ? x ? ? mx 2 ? ln x ? 2 x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围是 10.过双曲线

x2 y 2 a2 2 2 的左焦点 ,作圆: 的 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) x ? y ? F ( ? c , 0)( c ? 0) a 2 b2 4 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 切线,切点为 E ,直线 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OE ? (OF ? OP ) ,则双曲线的 2
离心率为 .

11.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,BC=2,AC= 5 ,AA1=3,M 为线段 BB1 上的一动点,则当 AM+MC1 最小时,△AMC1 的面积为 .

12.设周期函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若 f ( x) 的最小正周期为 3,且满 足 f (1) >-2, f (2) =m-

3 ,则 m 的取值范围是 m



13.等差数列 ?an ? 的公差为 d,关于 x 的不等式

d? d 2 ? x + ? a1 ? ? x +c≥0 的解集为[0,22], 2? 2 ?

1

则使数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 最大的正整数 n 的值是



14. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ? 2 )是 偶 函 数 , 且 对 任 意 x ? R 恒 有

f ( 3? x )? f ( x? 1 ) ? 2 ,又 0 1 4f (4) ? 2013 ,则 f (2014) ?
二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分. 15. (本题满分 14 分)

.

在锐角 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 cos 2C ? ? (1)求 sin C ; (2)当 c ? 2a ,且 b ? 3 7 时,求 a . 16. (本题满分 14 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE ,

3 . 4

E

DE ? 3 AF , BE 与平面 ABCD 所成角为 60 0 .
(1)求证: AC ? 平面 BDE ; (2)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定 点 M 的位置,使得 AM // 平面 BEF ,并证明你的结论. F D C

A 17.(本题满分 14 分)已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为 2,一条准 线方程为 l: x ? 2 . ⑴ 求椭圆的标准方程;⑵ 设 O 为坐标原点,F 是椭圆的右焦点,点 M 是直线 l 上的动点, 过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长为定值. 18. (本题满分 16 分)已知某种稀有矿石的价值 y (单位:元)与其重量 ? (单位:克) 的平方成正比,且 3 克该种矿石的价值为 54000 元。⑴写出 y (单位:元)关于 ? (单位: 克)的函数关系式; ⑵若把一块该种矿石切割成重量比为 1: 3 的两块矿石,求价值损失的百分率; ⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时,切割的重量比为多少时,价值损失的百分率最大。 (注:价值损失的百分率 ? 不计) 19. (本小题满分 16 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n =2- an ,n=1,2,3,?. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 b1 =1,且 bn ?1 = bn + an ,求数列 ?bn ? 的 通项公式; (3)设 cn =n (3- bn ),求数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn .

B

原有价值 ? 现有价值 原有价值

?100% ;在切割过程中的重量损耗忽略

20. (本题满分 16 分) 已知 k ? R ,函数 f ( x) ? m x ? k ? n x (0 ? m ? 1,0 ? n ? 1) .
2

(1) 如果实数 m, n 满足 m ? 1, mn ? 1 ,函数 f ( x) 是否具有奇偶性?如果有 ,求出相应的 k 值,如 果没有,说明为什么? (2) 如果 m ? 1 ? n ? 0, 判断函数 f ( x) 的单调性; (3) 如果 m ? 2 , n ?
1 ,且 k ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 的对称轴或对称中心. 2

南通市通州区石港中学高三数学周练试卷参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. ?0,1? 8. 2.

2 5

3. a ? 5 9. m≥
1 2

4. 480 10.

5.

3

6. 5049

7. 2 13.11

? ?12, 42?

10 2

11. 3

12. (?? , ?1) ? (0 , 3)

14.1 二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 在锐角 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 cos 2C ? ? (1)求 sin C ; (2)当 c ? 2a ,且 b ? 3 7 时,求 a .

3 . 4

3 7 .所以 sin 2 C ? . ?????? 2 分 4 8 14 因为在 ?ABC 中, sin C ? 0 ,所以 sin C ? . ……………………4 分 4 1 14 (2)因为 c ? 2a ,所以 sin A ? sin C ? . ………………………………6 分 2 8 2 5 2 因为 ?ABC 是锐角三角形,所以 cos C ? , cos A ? . ………………8 分 4 8
解: (1)由已知可得 1 ? 2sin 2 C ? ? 所 以

s iB ? n

s (iA n ? A s i? C n

1 4 2 5 C ? c o s A ?c C o s? s i ? n ) 8 4 8

2 3 71 4 . 11 分 ? ? 48

由正弦定理可得:

3 7 a ,所以 a ? 14 . ? sin B sin A

…………………14 分

说明:用余弦定理也同样给分. 16. (本题满分 14 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE , DE ? 3 AF . (1)求证: AC ? 平面 BDE ; (2)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置, 使得 AM // 平面 BEF ,并证明你的结论. 16.(1)证明:因为 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . ……………………2 分 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD ,因为 DE ? BD ? D ………………4 分
3

E

F

D

C

A

B

从而 AC ? 平面 BDE . ……………………6 分 (2)当 M 是 BD 的一个三等分点,即 3BM=BD 时,AM∥ 平面 BEF. …………7 分 取 BE 上的三等分点 N,使 3BN=BE,连结 MN,NF,则 DE∥MN,且 DE=3MN, 因为 AF∥DE,且 DE=3AF,所以 AF∥MN,且 AF=MN, 故四边形 AMNF 是平行四边形. ??????????????10 分 所以 AM∥FN, 因为 AM ? 平面 BEF,FN ? 平面 BEF, ????????????????12 分 所以 AM∥平面 BEF. ????????????????14 分 17.(本题满分 14 分) 已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为 2,一条准线方程为 l: x ? 2 . ⑴ 求椭圆的标准方程; ⑵ 设 O 为坐标原点,F 是椭圆的右焦点,点 M 是直线 l 上的动点,过点 F 作 OM 的垂 线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长为定值. 解:⑴∵椭圆 C 的短轴长为 2,椭圆 C 的一条准线为 l: x ? 2 , ∴不妨设椭圆 C 的方程为 即 c ? 1. (5 分) ∴椭圆 C 的方程为

x2 a2 1 ? c2 2 . ( 2 分)∴ ( 4 分) ? y ? 1 ? ? 2, a2 c c

x2 (6 分) ? y2 ? 1. 2 ⑵ F(1,0) ,右准线为 l: x ? 2 , 设 N ( x0 , y0 ) , y0 y 则直线 FN 的斜率为 k FN ? ,直线 ON 的斜率为 kON ? 0 , (8 分) x0 ? 1 x0 x ?1 ∵FN⊥OM,∴直线 OM 的斜率为 kOM ? ? 0 , (9 分) y0
∴直线 OM 的方程为: y ? ?

x0 ? 1 2( x0 ? 1) x ,点 M 的坐标为 M (2, ? ). (11 分) y0 y0

∴直线 MN 的斜率为 k MN

∵MN⊥ON,∴ k MN ? kON

2( x0 ? 1) y0 ? . (12 分) x0 ? 2 2( x0 ? 1) y0 ? y0 y ? ?1 , ? 0 ? ?1 , ∴ x0 ? 2 x0 y0 ?

∴ y0 2 ? 2( x0 ? 1) ? x0 ( x0 ? 2) ? 0 ,即 x0 2 ? y0 2 ? 2 . (13 分) ∴ ON ? 2 为定值. (14 分) 说明:若学生用平面几何知识(圆幂定理或相似形均可)也得分,设垂足为 P,准线 l 与 x 轴交于 Q,则有 ON 2 = OPgOM ,又 OPgOM = OF gOQ = 2 ,所以 ON = 2 为定值. 18、解⑴依题意设 y ? k? (? ? 0) ,又当 ? ? 3 时, y ? 54000 ,∴ k ? 6000 ,
2

故 y ? 6000? (? ? 0) 。
2

⑵设这块矿石的重量为 a 克,由⑴可知,按重量比为 1: 3 切割后的价值 为 6000( a ) 2 ? 6000( a ) 2 ,价值损失为 6000a 2 ? (6000( a ) 2 ? 6000( a ) 2 ) ,

1 4

3 4

1 4

3 4

4

1 3 6000a 2 ? [6000( a) 2 ? 6000( a) 2 ] 4 4 价值损失的百分率为 ?100% ? 37.5% 。 6000a 2
⑶解法 1:若把一块该种矿石按重量比为 m : n 切割成两块,价值损失的百分率应为

m?n 2 2?( ) 2mn 1 m 2 n 2 2mn 2 ,又 ? ? ,当且仅当 m ? n 时 1 ? [( ) ?( ) ]? 2 2 2 ( m ? n) ( m ? n) 2 m?n m?n (m ? n)
取等号,即重量比为 1:1 时,价值损失的百分率达到最大。 解法 2:设一块该种矿石切割成两块,其重量比为 x :1 ,则价值损失的百分率为

x 2 1 2 2x ,又 x ? 0 ,∴ x 2 ? 1 ? 2 x , 1 ? [( ) ?( ) ]? 2 1? x 1? x x ? 2x ?1 2x 2x 1 故 2 ? ? ,等号当且仅当 x ? 1 时成立。 x ? 2x ?1 2x ? 2x 2
答:⑴函数关系式 y ? 6000? (? ? 0) ; ⑵价值损失的百分率为 37.5% ;
2

⑶故当重量比为 1:1 时,价值损失的百分率达到最大。 19. (1)因为 n=1 时, a1 + S1 = a1 + a1 =2,所以 a1 =1. 因为 S n =2- an ,即 an + S n =2,所以 an ?1 + S n ?1 =2. 两式相减: an ?1 - an + S n ?1 - S n =0,即 an ?1 - an + an ?1 =0,故有 2an ?1 = an . 因为 an ≠0,所以

an ?1 1 = ( n∈ N ? ). an 2
n ?1

1 ?1? 所以数列 ?an ? 是首项 a1 =1,公比为 的等比数列, an = ? ? 2 ?2?

( n∈ N ? ).
n ?1

?1? (2)因为 bn ?1 = bn + an ( n=1,2,3,?),所以 bn ?1 - bn = ? ? ?2?
b2 ? b1 =1, b3 ? b2 =

.从而有

1 ?1? ?1? , b4 ? b3 = ? ? ,?, bn ? bn ?1 = ? ? 2 ?2? ?2?
n ?1

2

n?2

( n=2,3,?).

将这 n-1 个等式相加,得

?1? 1? ? ? 2 n?2 1 ?1? 2 ?1? bn - b1 =1+ + ? ? +?+ ? ? = ? ? 1 2 ?2? ?2? 1? 2
?1? 又因为 b1 =1,所以 bn =3- 2 ? ? ?2?
n ?1

?1? =2- 2 ? ? ?2?

n ?1



( n=1,2,3,?).

5

?1? (3)因为 cn =n (3- bn )= 2n ? ? ?2?

n ?1



2 n?2 n ?1 ?? 1 ? 0 ?1? ?1? ?1? ?1? ? 所以 Tn = 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? ? ? n ? ? ? . ?2? ?2? ?2? ?2? ? ?? 2 ? ? ?



2 3 n ?1 n ?? 1 ?1 1 ?1? ?1? ?1? ?1? ? Tn = 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? ? ? n ? ? ? . 2 ?2? ?2? ?2? ?2? ? ? ?? 2 ? ?



①-②,得 Tn = 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 2

?? 1 ? 0 ?? 2 ? ?

?1? ?1? ?2? ?2?

2

?1? ?2?

n ?1

n ? ?1? - 2 n ? ? ? . ?2? ? ?

?1? 1? ? ? n n 8 1 2 ?1? ?1? 故 Tn = 4 ? ? - 4n ? ? =8- n - 4n ? ? =8- (8 ? 4n) n ( n=1,2,3,?). 1 2 2 ?2? ?2? 1? 2 20. (本题满分 16 分) 已知 k ? R ,函数 f ( x) ? m x ? k ? n x (0 ? m ? 1,0 ? n ? 1) . (1) 如果实数 m, n 满足 m ? 1, mn ? 1 ,函数 f ( x) 是否具有奇偶性?如果有,求出相应的 k 值;如果没有,说明为什么? (2) 如果 m ? 1 ? n ? 0, 判断函数 f ( x) 的单调性;
1 ,且 k ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 的对称轴或对称中心. 2 解: (1)如果 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x), m ? x ? k ? n ? x ? m x ? k ? n x 恒成立, (1 分)

n

(3) 如果 m ? 2 , n ?

即: n x ? k ? m x ? m x ? k ? n x , (n x ? m x ) ? k (m x ? n x ) ? 0 , (n x ? m x )(k ? 1) ? 0 (2 分) 由 n x ? m x ? 0 不恒成立,得 k ? 1. (3 分) 如果 f ( x) 为奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x), m ? x ? k ? n ? x ? ?m x ? k ? n x 恒成立, (4 分) 即: n x ? k ? m x ? ?m x ? k ? n x , (n x ? m x ) ? k (m x ? n x ) ? 0 , (5 分)

(n x ? m x )(k ? 1) ? 0 , 由 n x ? m x ? 0 恒成立,得 k ? ?1. (6 分)

? m ? 1 ? n ? 0, (2)

m ? 1 , ∴ 当 k ? 0 时,显然 f ( x) ? m x ? k ? n x 在 R 上为增函数; (8 分) n

m 当 k ? 0 时, f ?( x) ? m x ln m ? kn x ln n ? [( ) x ln m ? k ln n)]n x ? 0 , n m x m x ln n x 由 n ? 0, 得 ( ) ln m ? k ln n ? 0, 得 ( ) ? ?k ? ? k log m n, 得 x ? log m (?k log m n) .(9 分) n n ln m n ∴当 x ? (??, log m (?k log m n)] 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数; (10 分)
n

当 x ? [log m (?k log m n), ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数. (11 分)
n

1 时, f ( x) ? 2 x ? k ? 2? x , 2 如果k ? 0, f ( x) ? 2 x ? k ? 2? x ? 2 x ? (?k ) ? 2? x ? 2 x ? 2log2 ( ? k ) ? 2? x ? 2 x ? 2log2 ( ? k ) ? x , (13 分) 1 则 f (log 2 (?k ) ? x) ? ? f ( x), ∴函数 y ? f ( x) 有对称中心 ( log 2 (?k ), 0). (14 分) 2 log 2 k log 2 k ? x x ?x x ?x x ?2 ? 2 ? 2 , (15 分) 如果 k ? 0, f ( x) ? 2 ? k ? 2 ? 2 ? 2

(3) 当 m ? 2, n ?

6

则 f (log 2 k ? x) ? f ( x),

1 ∴函数 y ? f ( x) 有对称轴 x ? log 2 k .(16 分) 2

南通市通州区石港中学高三数学周练试卷附加题
1 ? x? t ? 2 ? 1.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若以直角坐标系 ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2 2 xoy 的 O 点为极点, ox 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标

方程为 ? ? 2cos(? ? ) . 4 ( 1)求直线 l 的倾斜角; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB.

?

2.已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC, ?DAB ? 90 , PA ? 底面 ABCD,且
?

PA=AD=DC=

1 AB=1,M 是 PB 的中点。 (Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; 2

(Ⅱ)求

AC 与 PB 所成的角的余弦值; (Ⅲ)求二面角 A-MC-B 所成的余弦值。

7

3.某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球.根 据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下: 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 摸出红、蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝 获奖金额 200 元 50 元 10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E(X).

4. (1)求证: n ? N * 时, ( 5 ? 2) 2n?1 ?( 5 ? 2) 2n?1 为正整数; (2)设 ( 5 ? 2)
2 n ?1

? m ? ? (m, n ? N*,0 ? ? ? 1) ,求证: ? (m ? ? ) ? 1.

南通市通州区石港中学高三数学周练试卷附加题参 考答案
1 ? x? t ? 2 ? 1.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若以直角坐标系 ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2 2 xoy 的 O 点为极点, ox 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标

方程为 ? ? 2cos(? ? ) . 4 ( 1)求直线 l 的倾斜角; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB.

?

2.已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC, ?DAB ? 90 , PA ? 底面 ABCD,且
?

8

PA=AD=DC=

1 AB=1,M 是 PB 的中点。 (Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; 2

(Ⅱ)求

AC 与 PB 所成的角的余弦值; (Ⅲ)求二面角 A-MC-B 所成的余弦值。

解:因为 PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建 立空间直角坐标系,则各点坐标为 A(0,0,0)B(0,2,0) ,C(1,1,0) ,D(1,0,0) ,P(0,0,1) ,M(0, 1 1, ) . 2 (Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0),故AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD⊥DC, 且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线, 由此得 DC⊥面 PAD. 又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD⊥面 PCD. (Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所以 cos ? AC, PB ?? AC ? PB | AC | ? | PB | ? 10 . 5

(Ⅲ)解:在 MC 上取一点 N(x,y,z) ,则存在 ? ? R, 使 NC ? ? MC,
1 1 NC ? (1 ? x,1 ? y,? z ), MC ? (1,0,? ),? x ? 1 ? ? , y ? 1, z ? ?.. 2 2 1 4 要使 AN ? MC , 只需 AN ? MC ? 0即x ? z ? 0, 解得 ? ? . 2 5

4 1 2 可知当? ? 时, N点坐标为( ,1, ),能使 AN ? MC ? 0. 5 5 5 1 2 1 2 此时, AN ? ( ,1, ), BN ? ( ,?1, ), 有 BN ? MC ? 0 5 5 5 5

由AN ? MC ? 0, BN ? MC ? 0得AN ? MC, BN ? MC.所以?ANB 为所求二面角的平
面角.

9

?| AN |?

30 30 4 , | BN |? , AN ? BN ? ? . 5 5 5 AN ? BN

? cos(AN , BN ) ?

2 ?? . 3 | AN | ? | BN | 2 故所求的二面角为的余 弦值为 ? . 3

3.某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球.根 据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下: 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 摸出红、蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝 获奖金额 200 元 50 元 10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E(X). 3.解:设 Ai 表示摸到 i 个红球,Bj 表示摸到 j 个蓝球,则 Ai(i=0,1,2,3)与 Bj(j=0, 1)独立. (1)恰好摸到 1 个红球的概率为
2 C1 18 3C4 P(A1)= 3 = . C7 35

(2)X 的所有可能值为 0,10,50,200,且 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)= C3 1 1 3 , 3· = C7 3 105 C3 2 3 2 P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)= 3· = , C7 3 105
1 C2 12 4 3C4 1 P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)= 3 · = = , C7 3 105 35

1 2 4 6 P(X=0)=1- - - = . 105 105 35 7 综上知 X 的分布列为 X P 0 6 7 10 4 35 50 2 105 200 1 105

6 4 2 1 从而有 E(X)=0× +10× +50× +200× =4(元). 7 35 105 105 4. (1)求证: n ? N * 时, ( 5 ? 2) 2n?1 ?( 5 ? 2) 2n?1 为正整数; (2)设 ( 5 ? 2)
2 n ?1

? m ? ? (m, n ? N*,0 ? ? ? 1) ,求证: ? (m ? ? ) ? 1.

10

11


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