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2014年上海高三数学四区(静安区杨浦区青浦区宝山区)联考二模试卷理科含答案


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打印日期: 2014 年 4 月 6 日星期日

2013 年静安、杨浦、青浦宝山区高三二模卷(理科)
(满分 150 分,答题时间 120 分钟)

2013.04.

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 CU A ? 2.若复数 z 满足 z ? i (2 ? z ) ( i 是虚数单位),则 z ? 3.已知直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角大小是 ? ,则 tan 2? ? 4.若关于 x、y 的二元一次方程组 ? 是 . . .

?

?

.

?mx ? y ? 3 ? 0 有唯一一组解,则实数 m 的取值范围 ?(2m ? 1) x ? y ? 4 ? 0
开始 输入 p n=1 S=0 n=n+1 n<p?
? 否 是

5 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 和 函 数 y ? l o g 2 ( x ? 1) 的 图 像 关 于 直 线

x ? y ? 0 对称,则函数 y ? f ( x) 的解析式为
6. 已知双曲线的方程为 为 7.函数 f ( x) ? .

.

x2 ? y 2 ? 1 ,则此双曲线的焦点到渐近线的距 3
cos(? ? x) cos x ? sin x

离 S=S+2?n

sin x ? cos x 2 sin x
.

的最小正周期

T?
n

输出 S 结 束 (第 9 题图) . 数

8.若 (1 ? 2 x) 展开式中含 x 3 项的系数等于含 x 项系数的 8 倍,则正整

n?

. 9.执行如图所示的程序框图,若输入 p 的值是 7 ,则输出 S 的值是

10.已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那么这个圆锥的母 线长为

cm .
(结果用最简分数表示).

11. 某中学在高一年级开设了 4 门选修课, 每名学生必须参加这 4 门选修课中的一门, 对于该年级的甲、 乙、 丙 3 名学生,这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率是 12 . 各 项 为正 数 的 无穷等 比 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 为 S n ,若 lim 是 .

Sn ? 1 , 则 其 公比 q 的 取 值 范围 n ?? S n ?1

13.已知两个不相等的平面向量 ? , ? ( ? ? 0 )满足| ? |=2,且 ? 与 ? - ? 的夹角为 120°,则| ? |的最 大值是 .

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5 9 13 ? 1 ? 10 15 20 ? 5 ? 9 15 21 27 14. 给出 30 行 30 列的数表 A :? ? 13 20 27 34 ?? ? ? ? ? ?117 150 183 216 ?

? ? ? ? ? ?

117 ? ? 150 ? 183 ? ?, 其特点是每行每列都构成等差数列, 216 ? ? ? ? 1074 ? ?

记 数 表 主 对 角 线 上 的 数 1, 10, 21, 34, ?, 1074按 顺 序 构 成 数 列 ?bn ? , 存 在 正 整 数 s、t (1 ? s ? t ) 使

b1 , bs , bt 成等差数列,试写出一组 ( s, t ) 的值

.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应编 号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 ? ? ( (A)

?
2

, ? ) , sin ? ?
(B) ?

3 ? ,则 tan(? ? ) 的值等于?????????( 5 4
1 . 7
(C) 7 . (D) ? 7 .



1 . 7

16.已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? a sin ? ,则“ a ? 2 ”是“圆 C 与极轴所在直线相切” 的 ??????????????????????????????( )

(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充要条件.(D)既不充分又不必要条件. 17. 若直线 ax ? by ? 2 经过点 M (cos? , sin ? ) ,则 ??????????( (A) a 2 ? b 2 ? 4 . (B) a 2 ? b 2 ? 4 . (C) )

1 1 1 1 ? 2 ? 4 . (D) 2 ? 2 ? 4 . 2 a b a b

18.已知集合 M ? ( x, y ) y ? f ( x) ,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y 2 ) ? M ,使 得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 成立,则称集合 M 是“ ? 集合”. 给出下列 4 个集合: ① M ? ?( x, y ) y ?

?

?

? ?

1? ? x?

② M ? ( x, y ) y ? e ? 2
x

?

?


③ M ? ( x, y ) y ? cos x

?

?

④ M ? ( x, y ) y ? ln x

?

?
(D)①③④.

其中所有“ ? 集合”的序号是????????????????????( (A)②③ . (B)③④ . (C)①②④.

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三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为 A1 B1 , CD 的中点. (1)求直线 EC 与平面 B1 BCC1 所成角的大小; (2)求二面角 E ? AF ? B 的大小.

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 如图所示,扇形 AOB ,圆心角 AOB 的大小等于 平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P . (1)若 C 是半径 OA 的中点,求线段 PC 的大小; (2)设 ?COP ? ? ,求△ POC 面积的最大值及此时 ? 的值.

? ,半径为 2 ,在半径 OA 上有一动点 C ,过点 C 作 3

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21.(本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . 已知函数 f ( x) ? x ? a .
2

(1)若 F ( x) ? f ( x) ?

2 是偶函数,在定义域上 F ( x) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围; bx ? 1

(2)当 a ? 1 时,令 ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ,问是否存在实数 ? ,使 ? ( x) 在 ?? ?,?1? 上是减函数,在

?? 1,0? 上是增函数?如果存在,求出 ? 的值;如果不存在,请说明理由.

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知点 A(1,0) , P 2 、 AP 3 成等差数列,公差 1 、 AP 1、P 2、P 3 是平面直角坐标系上的三点,且 AP 为d ,d ? 0. (1)若 P 1 坐标为 ?1, ?1? , d ? 2 ,点 P 3 在直线 3x ? y ? 18 ? 0 上时,求点 P 3 的坐标; (2) 已知圆 C 的方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? r (r ? 0) , 过点 A 的直线交圆于 P 1、P 3 两点,P2 是圆 C 上
2 2 2

另外一点,求实数 d 的取值范围; (3)若 P 1、P 2 、P 3 都在抛物线 y ? 4 x 上,点 P 2 的横坐标为 3 ,求证:线段 PP 1 3 的垂直平分线与 x 轴的
2

交点为一定点,并求该定点的坐标.

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23.(本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? a ( a ? 3 ), a n ?1 ? S n ? 3 ,设 bn ? S n ? 3 n , n ? N ? .
n

(1)求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (2)若 a n?1 ≥ a n , n ? N ? ,求实数 a 的最小值; (3)当 a ? 4 时,给出一个新数列 ?en ? ,其中 en ? ?
?

?3 , n ? 1 ,设这个新数列的前 n 项和为 C n ,若 C n ?bn , n ? 2

可以写成 t p ( t , p ? N 且 t ? 1, p ? 1 )的形式,则称 C n 为“指数型和”.问 ?C n ? 中的项是否存在“指数型 和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.

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2013 年静安、杨浦、青浦宝山区高三二模卷(理科)
参考答案及评分标准 说明 1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进 行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解 答在某一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度 决定后面部分的给分,但是原则上不应超出后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给 分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. [?1,3] ; 2. 2 ; 3. 2013.04

4 ; 3

4. m ?

1 ; 3

5. y ? 2 ? 1 ;
x

6. 1 ;

7. (文、理)? ;8. (文)4(理)5 ;9. 13.(文) (1, ??) (理)

1 C4 P3 3 1 63 ;10. 17 ;11. (文) 2 ? (理) 43 ? ;12.?0,1? ; 4 8 64 4 4

4 3 ;14.(文)②③⑤(理) (17 ,25) . ② 3

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应编 号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. D ; 16.(文)B (理)A ; 17. B ;18.(文)C(理)A 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤 . 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . (文)解:(1)如图正四棱锥底面的边长是 1.5 米,高是 0.85 米 S

V ?

1 1 sh ? ? 1.5 ? 1.5 ? 0.85 ? 0.6375 m 3 3 3
O

0.85

所以这个四棱锥冷水塔的容积是 0.6375 m . (2)如图,取底面边长的中点 E ,连接 SE ,

3

E

1.5

SE ? SO 2 ? EO 2 ? 0.85 2 ? 0.75 2

1 S侧 ? 4 ? ? 1.5 ? SE 2
(理)

1 ? 4 ? ? 1.5 ? 0.85 2 ? 0.75 2 ? 3.40 m 2 2

答:制造这个水塔的侧面需要 3.40 平方米钢板.

19.(1)(理)解法一:建立坐标系如图 平面 B1 BCC 1 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0) 春季辅导 高三数学 《2013 年静安、杨浦、青浦宝山区高三二模卷(文科) 》 第 6 页 共 12 页

姓名: 备注: 因为 E (2,1,2) C (0,2,0) ,? EC ? (?2,1,?2) , 可知直线 EC 的一个方向向量为? d ? (?2,1,?2) . 设直线 EC 与平面 B1 BCC1 成角为 ? , d 与 n1 所成角为 ? ,则

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sin ? ? cos? ?

n1 ? d n1 d

?

1 9 ?1

?

1 3

1 3 19(1)解法二: EB1 ? 平面 B1 BCC 1 ,即 B1C 为 EC 在平面 B1 BCC 1 内的射影,故 ?ECB 1 为直线 EC 故EC与平面B1BCC 1成角大小为arcsin
与平面 B1 BCC1 所成角, 在 Rt ?EB 1C 中, EB 1 ? 1, B1C ? 2 2 , 故 tan ?ECB1 ?

EB1 1 2 ? ? B1C 2 2 4

故EC与平面B1 BCC 1成角大小为arctan
19(2)(理科)

2 4

解法一:建立坐标系如图.平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) 设平面 AEF 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z ) ,因为 AF ? ( ?2,1,0) , AE ? (0,1,2) 所以 ?

?? 2 x ? y ? 0 ,令 x ? 1,则 y ? 2, z ? ?1 ? n2 ? (1,2,?1) ? y ? 2z ? 0
n1 ? n2 n1 n2 ? ?1 1? 4 ?1 ? 6 6

cos? ?

6 . 6 19(2)解法二:过 E 作平面 ABC 的垂线,垂足为 E ? , ?EGE? 即为所求 E ? ? AB ,过 E ? 作 AF 的垂线设垂足为 G , ?ADF ∽ ?AGE
由图知二面角 E ? AF ? B 为锐二面角,故其大小为 arccos

G ?E AD GE ? 2 2 ? ? ? 即 GE ? ? AE ? AF 1 5 5 EE ? ? 5 在 Rt?EE ?Q 中 tan ?EGE ? ? GE ? 所以二面角 E ? AF ? B 的大小为 arctan 5 .
20.(本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .

2? , OP ? 2, OC ? 1 3 2? 2 2 2 由 OP ? OC ? PC ? 2OC ? PC cos 3 ? 1 ? 13 2 得 PC ? PC ? 3 ? 0 ,解得 PC ? . 2
解:(1)在△ POC 中, ?OCP ? (2)∵ CP ∥ OB ,∴ ?CPO ? ?POB ?

?

3

?? ,

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姓名: 备注: 在△ POC 中,由正弦定理得

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2 CP OP CP ? ? ,即 2? sin ? sin ?PCO sin ? sin 3 ? CP 4 ? ? OC ? sin( ? ? ) . 2? 3 3 sin 3

∴ CP ?

4 3

sin ? ,又

OC sin( ? ? ) 3

?

(文)记△ POC 的周长为 C (? ) ,则

C (? ) ? CP ? OC ? 2 ?

4 3

sin ? ?

4

sin( ? ? ) ? 2 3 3

?

=

? 4 ? 3 1 4 ?? ? cos? ? sin ? ? ?2? sin ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 3? 3? 2 3 ? ?

∴? ?

?
6

时, C (? ) 取得最大值为

4 3 ?2. 3

(理)解法一:记△ POC 的面积为 S (? ) ,则 S (? ) ?

1 2? CP ? OC sin , 2 3

?

1 4 4 ? 3 4 ? ? sin ? ? sin( ? ? ) ? ? sin ? ? sin( ? ? ) 2 3 3 2 3 3 3

?

4 3

sin ? (

3 1 2 cos? ? sin ? ) ? 2 sin ? cos? ? sin 2 ? 2 2 3

? sin 2? ?
∴? ?

3 3 2 3 ? 3 ? (sin 2? ? ) ? cos 2? ? 3 6 3 3 3 3 . 3

?
6

时, S (? ) 取得最大值为

解法二: cos
2

2? OC 2 ? PC 2 ? 4 1 ? ?? 3 2OC ? PC 2
2 2 2

即 OC ? PC ? OC ? PC ? 4 ,又 OC ? PC ? OC ? PC ? 3OC ? PC 即 3OC ? PC ? 4 当且仅当 OC ? PC 时等号成立, 所以 S ?

1 2? 1 4 3 3 CP ? OC sin ? ? ? ? 2 3 2 3 2 3

? OC ? PC ∴ ? ?

?
6

时, S (? ) 取得最大值为

3 . 3

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21.(本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (文)解:(1)依题意, a ? 2 3 , C (2 3,0) ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 由 ?12 ,得 y ? ? 3 , 4 ?y ? x ? 设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) ,? OC ? 2 3

1 1 OC ? y1 ? y 2 ? ? 2 3 ? 2 3 ? 6 ; 2 2 y ? kx ? 2 ? ? 2 2 2 (2)如图,由 ? x 2 y 2 得 (3k ? 1) x ? 12kx ? 0 , ? ? (12 k ) ? 0 ? ?1 ? ?12 4 依题意, k ? 0 ,设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,线段 PQ 的中点 H ( x0,y0 ) , x ? x2 ?6k 2 则 x0 ? 1 , y0 ? kx0 ? 2 ? 2 , D (0, ? 2) , ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 2 ?2 2 3 3 k ? 1 由 k DH ? k PQ ? ?1,得 ? k ? ?1 ,∴ k ? ? 6k 3 ? 2 3k ? 1 2 (理)解:(1) F ( x) ? x 2 ? a ? 是偶函数,? b ? 0 bx ? 1
∴ S ?ABC ? 即 F ( x) ? x ? a ? 2 , x ? R
2

又 F ( x) ? ax 恒成立即 x ? a ? 2 ? ax ? a( x ? 1) ? x ? 2
2 2

当 x ? 1时 ? a ? R 当 x ? 1时, a ? 当 x ? 1时, a ?

x2 ? 2 3 ? ( x ? 1) ? ? 2 ,a ? 2 3 ? 2 x ?1 x ?1 x2 ? 2 3 ? ( x ? 1) ? ?2, x ?1 x ?1

a ? ?2 3 ? 2

综上: ? 2 3 ? 2 ? a ? 2 3 ? 2 (2) ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ? x ? (2 ? ? ) x ? (2 ? ? )
4 2

?? ( x) 是偶函数,要使 ? ( x) 在 ?? ?,?1? 上是减函数在 ?? 1,0? 上是增函数,即 ? ( x) 只要满足在区间 ?1,???
上是增函数在 ?0,1? 上是减函数. 令 t ? x 2 ,当 x ? ?0,1? 时 t ? ?0,1? ; x ? ?1,??? 时 t ? ?1,??? ,由于 x ? ?0,?? ? 时,

t ? x 2 是增函数记 ? ( x) ? H (t ) ? t 2 ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) ,故 ? ( x) 与 H (t ) 在区间 ?0,??? 上有相同的增减
性,当二次函数 H (t ) ? t ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) 在区间 ?1,?? ? 上是增函数在 ?0,1? 上是减函数,其对称轴方
2

程为 t ? 1 ? ?

2?? ? 1 ? ? ? 4. 2

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 春季辅导 高三数学 《2013 年静安、杨浦、青浦宝山区高三二模卷(文科) 》 第 9 页 共 12 页

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4 2 2

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(文)解:(1)? y ? f ( f ( x)) ? x ? 2ax ? a ? a 过原点, a 2 ? a ? 0

? a ? 0或a ? ?1 得 f ( x) ? x 2 或 f ( x) ? x 2 ? 1
(2)(3)同理 21 (理)解(1) AP 1 ? 1 ,所以 AP 3 ? x, y ? 3 ? 5 ,设 P

?? x ? 1?2 ? y 2 ? 25 ? 则? ,消去 y ,得 x2 ? 11x ? 30 ? 0 ,?(2 分) ? ?3x ? y ? 18 ? 0 解得 x1 ? 5 , x2 ? 6 ,所以 P3 的坐标为 ? 5, ?3? 或 ? 6, 0 ?
(2)由题意可知点 A 到圆心的距离为 t ? 又已知 d ? 0 , 0 ? P 1P 3 ? 2r ,所以

(3 ? 1) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 13 ?(6 分)

(ⅰ)当 0 ? r ? 13 时,点 A ?1, 0 ? 在圆上或圆外, 2d ? AP3 ? AP 1 ? P 1P 3 ,

?r ? d ?0 或 0? d ? r
m ax

(ⅱ)当 r ? 13 时,点 A ?1, 0 ? 在圆内,所以 2d

?

13 ? r ? r ? 13 ? 2 13 ,

又已知 d ? 0 , 0 ? 2d ? 2 13 ,即 ? 13 ? d ? 0 或 0 ? d ? 13 (3)因为抛物线方程为 y ? 4 x ,所以 A ?1, 0 ? 是它的焦点坐标,
2

结论: 当 0 ? r ? 13 时,? r ? d ? 0 或 0 ? d ? r ; 当 r ? 13 时,? 13 ? d ? 0 或 0 ? d ? 13

点 P2 的横坐标为 3 ,即 AP2 ? 8 设P 1 ? x1 ? 1 , AP 3 ? x3 ? 1 , AP 1 ? x1 , y1 ? , P 3 ? x3 , y3 ? ,则 AP 1 ? AP 3 ? 2 AP 2 , 所以 x1 ? x3 ? 2 x2 ? 6

y3 ? y1 y3 ? y1 4 ,则线段 PP ? 1 3 的垂直平分线 l 的斜率 kl ? ? x3 ? x1 y3 ? y1 4 y3 ? y1 y ?y 则线段 PP ? ? 3 1 ? x ? 3? 1 3 的垂直平分线 l 的方程为 y ? 2 4 直线 l 与 x 轴的交点为定点 ? 5, 0 ?
直线 PP 1 3 的斜率 k ? 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (文)解:(1)令 n ? 1得 1 ? a 2 ? a1 ? 又 a1 ? 2 ? a 2 ?

1? 2 2 ,即 a 2 ? a1 ? ; 3 3

8 3

n(n ? 1) ? nan ?1 ? S n ? , ? 2 ? 3 (2)由 a 2 ? a1 ? 和 ? n(n ? 1) 3 ? (n ? 1)a n ? S n ?1 ? ? 3 ? 2 2n ? an?1 ? a n ? , ? nan?1 ? (n ? 1)a n ? a n ? 3 3 2 2 所以数列 {a n } 是以 2 为首项, 为公差的等差数列,所以 a n ? (n ? 2) . 3 3
解法一: 数列 {a n } 是正项递增等差数列, 故数列 {a k n } 的公比 q ? 1 , 若 k2 ? 2 , 则由 a 2 ?

a 4 8 得q ? 2 ? , a1 3 3

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32 32 2 10 ,由 ? (n ? 2) 解得 n ? ? N * ,所以 k 2 ? 2 ,同理 k 2 ? 3 ;若 k 2 ? 4 , 9 9 3 3 2 n ?1 n ?1 则由 a 4 ? 4 得 q ? 2 ,此时 a k n ? 2 ? 2 组成等比数列,所以 2 ? 2 n ?1 ? (m ? 2) , 3 ? 2 ? m ? 2 ,对任 3 n ?1 n ?1 何正整数 n ,只要取 m ? 3 ? 2 ? 2 ,即 a k n 是数列 {a n } 的第 3 ? 2 ? 2 项.最小的公比 q ? 2 .所以
此时 a k3 ? 2 ? ( ) 2 ?

4 3

k n ? 3 ? 2 n ?1 ? 2 .???(10 分)
解法二: 数列 {a n } 是正项递增等差数列,故数列 {a k n } 的公比 q ? 1 ,设存在
2 ? a k1 ? a k3 ,即 a k1 , a k2 ,?, a kn ,? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的数列 {a k n } 是等比数列,则 a k 2

2 ?2 ? 2 ? 3 (k 2 ? 2)? ? 2 ? 3 (k 3 ? 2) ? ?k 2 ? 2 ? ? 3?k 3 ? 2 ? ? ? 因为 k 2、k 3 ? N * 且k 2 ? 1 所以 k 2 ? 2 必有因数 3 , 即可设 k 2 ? 2 ? 3t , t ? 2, t ? N , 当数列 {a k n } 的公比 q
最小时,即 k 2 ? 4 , ? q ? 2 最小的公比 q ? 2 .所以 k n ? 3 ? 2
n ?1

2

? 2.

(3)由(2)可得从 {a n } 中抽出部分项 a k1 , a k 2 ,?, a k n , ? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的数列 {a k n } 是等 比数列,其中 k1 ? 1 ,那么 {a k n } 的公比是 q ?

k2 ? 2 ,其中由解法二可得 k 2 ? 3t ? 2, t ? 2, t ? N . 3 k ? 2 n?1 2 k ? 2 n?1 3t ? 2 ? 2 n?1 a kn ? 3 ? ( 2 ) ? (k n ? 2) ? k n ? 3 ? ( 2 ) ? 2 ? kn ? 3 ? ( ) ?2 3 3 3 3 ? k n ? 3 ? t n ?1 ? 2 , t ? 2, t ? N
2 n ?1

所以 k1 ? k 2 ? ? ? k n ? 3(1 ? t ? t ? ? ? t
n

) ? 2n ? 3 ? t n ? 2n ? 3
n

(理)解:(1) a n ?1 ? S n ? 3 ? S n ?1 ? 2S n ? 3 , bn ? S n ? 3 n , n ? N ? ,当 a ? 3 时,

bn ?1 S n ?1 ? 3n ?1 2S n ? 3n ? 3n ?1 ? ? =2,所以 ?bn ? 为等比数列. bn S n ? 3n S n ? 3n

b1 ? S1 ? 3 ? a ? 3 , bn ? (a ? 3) ? 2 n ?1 .
(2) 由(1)可得 S n ? 3 n ? (a ? 3) ? 2 n ?1

a n ? S n ? S n ?1 , n ? 2, n ? N ?

a n ?1 ? an ? ? ; n ?1 n?2 n?2 ?2 ? 3 ? (a ? 3) ? 2

? a 2 ? a1 a n ?1 ?a n , ? ?a n ?1 ? a n n ? 2

, a ? ?9

所以 a ? ?9 ,且 a ? 3 .所以 a 的最小值为 n ?1 (3)由(1)当 a ? 4 时, bn ? 2
n n 当 n ? 2 时, C n ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 ? 2 ? 1 , C1 ? 3 ,
n 所以对正整数 n 都有 C n ? 2 ? 1.

由 t p ? 2 n ? 1 , t p ? 1 ? 2 n ,( t , p ? N 且 t ? 1, p ? 1 ), t 只能是不小于 3 的奇数.

?

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姓名: 备注:
p p

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①当 p 为偶数时, t p ? 1 ? (t 2 ? 1)(t 2 ? 1) ? 2 n , 因为 t
p 2

? 1 和 t ? 1 都是大于 1 的正整数,
p 2

p 2

所以存在正整数 g , h ,使得 t

? 1 ? 2 , t ? 1 ? 2h ,
g

p 2

2 g ? 2 h ? 2 , 2 h (2 g ?h ? 1) ? 2 , 所 以 2 h ? 2 且 2 g ?h ? 1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 , 相 应 的 n ? 3 , 即有
C 3 ? 3 2 , C 3 为“指数型和”;
②当 p 为奇数时,t ? 1 ? (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t
p 2 2 p ?1

) ,由于1 ? t ? t 2 ? ? ? t p ?1 是 p 个奇数之和,仍为奇 ) ? 2 n 不成立,此时没有“指数型和”.

数,又 t ? 1 为正偶数,所以 (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t

p ?1

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