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探索三角形相似条件


北 师 大? 八 年 级《 学 下 》 北 师 大 ?八 年 级《 数 数 (学 () 上 ) 》 课首

6

2012-8-7

1

回顾 思考 回顾与思考

相似 与 全等
1、什么叫相似三角形?
2、若给定两个三角形, 你有什么办法来判定 它们是否相

似?

1、什么叫全等三角形?
2、全等三角形的判定 方法有哪些?

【全等三角形】 形状相同、大小相等的两个三角形。 即:三角对应相等,三边也对应相等的两个三角形全等.

【相似三角形】 形状相同、大小不一定相等的两个三角形。 即:三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似. 【全等三角形的判定方法】AAS、ASA、SAS、SSS、 HL。 相似比等于1的两个三角形是全等三角形. 【相似三角形的判定方法】目前只能用定义来判定。 即:三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似. 2 2012-8-7

三角形相似的条件的探索方向
你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件? 因为两个三角形相似仅仅是大小的不同(形状相同),

也就是边按一定的比例放大或缩小, 而角的大小与边的长短无关, 只考虑角 所以类比三角形全等可知… 只考虑边 考虑部分角与部分边.

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先 ”从角考虑” 两三角形相似的条件
1、两个三角形, 如果只有一个角对应相等, 能否判定这两个三角形相似?
每人画一个△ABC, 使∠A=30°,与同 伴交流两个三角形是 否相似?

结论:只有一个角对应相等时, 不能判定两个三角形相似。
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先 ”从角考虑” 两三角形相似的条件
2、两个三角形,如果有两个角对应相等 , 能否判定这两个三角形相似? ⑴ 一位同学画△ABC,使∠A=45°,∠B=60°, 另一位同学画 △A’B’C’ , 使∠A’=45° , ∠B’=60° 。
⑵ 用刻度尺分别量出两个三角形的边长。 (单位:厘米, 精确到百分位)

⑶ 用计算器计算

AB A' B '

,

BC B'C '

,

AC A' C '

(结果化为小数,精确到十分位) 这是一个今后经常用来判定
你们发现了什么? 【相似三角形的判定定理 1 】
两个三角形相似的重要方法, 务必予以熟练掌握.

两角对应相等的两个三角形相似。
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基础 基础练习
A’




B A C

1、下列图形中两个三角形是否相似?
A

B

C B’

C’

D E A

A A’ D E B
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C B’

C’

C B
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议一议
1、有一个锐角对应 相等的两个直角三 角形相似吗? 为什么? 2、顶角相等的两个 等腰三角形是否相似? 为什么?

答:相似.
因为有 两个角对应相等.

答:相似.
因为 顶角相等, 两个底角也对应相等.

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(3)如果△ABC∽△A1B1C1 , △A1B1C1 ∽ △A2B2C2 ,那么△ABC 与 △A2B2C2 是否相似?为什么? 答:△ABC ∽ △A2B2C2 理由是:

△ABC∽△A1B1C1 ,则∠A=∠A1 ; △A1B1C1 ∽ △A2B2C2 则∠ A1 =∠A2, 所以∠A=∠A2。 同理可得 ∠B=∠B2。
所以△ABC ∽ △A2B2C2
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例题解析

认识 “A字型”
A

例 1 如图:D 、 E分别是边AB、AC上的点,DE∥BC. (1) 图中有哪些相等的角? (2) 找出图中的相似三角形,并说明理由。 (3) 写出图中成比例线 段。 解:(1) ∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠B, ∠AED=∠C;

D

E

(2) ∵ DE∥BC,
∴ ∠ADE=∠B, ∠AED= ∠C , ∴ △ ADE ∽ △ ABC .

B

C

(3) ∵ △ ADE ∽ △ AED

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AD AB

?

AE AC

?

DE BC

;
9

想一想

解题后的反思与拓展

例 1 如图4-17,D,E分别是△ ABC边AB, AC上的点, DE∥BC。 解: (1)由上面(3)题可知: A △ ADE∽△ABC
D B 图4-17 E C
AD AB AB AD ? ? 由 AE AC AC AE AB

?反过来比 ?.
? ? AC AE AC ? AE AE .
10

(2)

AD AB ? AD AD BD AD ?

还是在上面例 题的条件下,
AB AD
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?合比 ?.

?

AC AE

吗?

BD AD

?

CE AE



CE AE

吗?

想一想

解题后的反思与拓展

例 1 如图4-17,D,E分别是△ ABC边AB, AC上的点, DE∥BC。 解: (1)由上面(3)题可知: A △ ADE∽△ABC
D B 图4-17 E C
AD AB ? AE AC

AD ? AC=AE ? AB。

方法与规 律

在以后求证线段成比例或 还是在上面例 题的条件下, 线段积相等时, 求证: AD ? AC=AE ? AB。 可考虑用两个三角形相似。
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抽象 与 提升
如图, 想一想, 在已知 DE ∥ BC 的条件下, 你能总结出一般的结论吗? D 结论1: 平行于三角形一边直线截其它两边, 所截得的三角形与原三角形相似; B
如图: 在△ ABC中, 如果DE∥BC,那么△ ADE∽△ABC; 结论2: 平行于三角形一边直线截其它两边, 所得的对应线段成比例. 如图: 在△ ABC中, 如果DE∥BC。
那么
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A E C

图4-17

AD DB

?

AE EC

; 或

AD AB

?

AE AC

; 或

DB AD

?

EC AE

; 或

DB AB

?

EC AC

.
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拓展练习
猜一猜:

千里之行始于足下
相似三角形对应高的比与相似比的关系.
A

相似三角形对应高的比等于相似比.
推证

如图∵△ ABC∽ △DEF. ∴∠B = ∠E. B 0. 又∵∠AMB = ∠DNE =90 ∴△ AMB∽ △DNE. (两角对应相等的两个三角形相似).
? AM DN ? AB DE .

M D

C

(相似三角形对应边成比例).

E

在P116<随堂练习>题 2 中求斜 边上的高,其道理正是这个结论.
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N

F

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拓展练习

千里之行始于足下
A

猜一猜: 相似三角形对应角平分线的比与相似比的关系. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比..
推证

如图∵△ ABC∽ △DEF. ∴∠B = ∠E, ∠BAC= ∠EDF. B 又∵AM,DN分别是∠BAC和 ∠EDF的角平分线. ∴∠BAM=∠EDN. ∴△ AMB∽ △DNE. (两角对应相等的两个三角形相似).
? AM DN ? AB DE .

M

C D

E

N

F

(相似三角形对应边成比例).
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感悟与反思

回味无穷
判定三角形相似的常用方法之一 : 两角对应相等的两个三角形相似. 相似三角形的各对应角相等, 各对应边对应成比例.
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比, 对应 周长的比都等于相似比. A

如图, 在△ ABC和△ DEF中 , 如果∠A=∠D, ∠B=∠E, 那么△ ABC∽ △DEF. 这是一个今后经常用 来判定两个三角形相似的重要方法, 务必予以熟练掌握.
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B

D

C

E

F
15

6

作业

探索三角形相似的条件

学无止境 没有最好,只有更好

未 过 磨 历 , 且 会 就 成 功

P120

习题 4.6

1、2、3。

不 经 风 雨 , 怎 能 识 彩 虹

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!

.
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