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2016


2.3

第二课时

离散型随机变量的方差

一、课前准备 1.课时目标 (1) 理解离散型随机变量的方差的定义; (2) 能熟练应用离散型随机变量的方差公式求方差; (3) 能熟练应用二项分布、两点分布、超几何分布的方差公式求方差. 2.基础预探 1.设离散型随机变量 X 的分布列为 X P

x1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

p1

则 ( xi ? EX )2 描述了 xi (i ? 1, 2,?, n) 相对于均值 EX 的偏离程度,而 DX ? ________。为这 些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX 为随机 变量 X 的方差.其算术平方根 DX 为随机变量 X 的标准差,记作_______. 2.两点分布:若 X 服从两点分布,则 DX ? _______. 3.二项分布:若 X ~ B(n, p) ,则 DX ? __________. 二、学习引领 1.随机变量方差的意义 ①随机变量 X 的方差与标准差都反映了随机变量 ξ 取值相对于它的均值 EX 的稳定与波 动、集中与离散的程度. ②DX 越小,稳定性越高,波动越小. ③显然 DX≥0,且标准差与随 机变量本身有相同单位. ④由方差的定义 DX ? ( xi ? EX )2 可知,计算方差 DX 必须先求均 值 E(X),并且由此定义进一步可得到公式 DX ? E ( X 2 ) ? ( E ( X )) 2 .. 2.随机变量的方差与样本方差的关系 随机变量的方差即为总体方差,它是一个常数,不随着抽样样本而客观存在;样本方差 则是随机变量,它是随样本不同而变化的.对于简单随机样本,随着样本容易的增加,样本 方差越来越接近于总体方差. 3.求随机变量的方差的步骤 ①分析试验的特点,若为两点分布、二项分布,则直接套用公式;②否则,根据题意设 出随机变量,分析随机变量的取值;③列出分布列;④利用离散型随机变量的均值公式求得 均值;⑤利用离散型随机变量的方差公式 DX ? ? ( xi ? EX ) pi 求得方差。
2
i ?1 n

三、典例导析 题型一 一般离散型随机变量方差的计算 例 1 A,B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2.根据市场分析,X1 和 X2 的分布

1

列分别为

X1 P

5% 0.8

10% 0.2

X2 P

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

在 A,B 两个项目上各投资 100 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润, 求方差 DY1 , DY2 . 思路导析:根据分布列先求出两个随机变量的均值,在此基础上再求得其方差。 解:由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为

Y1 P

5 0.8

10 0.2

Y2 P

2 0.2

8 0.5

12 0.3

EY1 ? 5 ? 0.8 ? 10 ? 0.2 ? 6 ,

DY1 ? (5 ? 6)2 ? 0.8 ? (10 ? 6)2 ? 0.2 ? 4 ,
EY2 ? 2 ? 0.2 ? 8 ? 0.5 ? 12 ? 0.3 ? 8 ,

DY2 ? (2 ? 8)2 ? 0.2 ? (8 ? 8)2 ? 0.5 ? (12 ? 8)2 ? 0.3 ? 12 .
方法规律:求一般的离散型随机变量的方差,需先列出分布列,求出期望,然后才能利用定 义求方差. 变式训练:已知随机变量 X 的分布列为下表所示: X P 则 X 的标准差为( A.3.56 B. 3.56 ). C.3.2 D. 1 0.4 3 0.1 5

x
3.2

题型二 二项分布的方差 例 2 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制, 当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制, 两次烧制过程相互独立. 根据该厂现有的技术水 平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.5 , 0.6 , 0.4 ,经过第 二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.6 , 0.5 , 0.75 ,若经过前后两次烧 制后,合格工艺品的个数为 X,求随机变量 X 的期望与方差. 思路导析:本题中合格工艺品的个数为 X 显然服从二项分布,因此,可套用相关公式求解。

2

解:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p ? 0.3 , 所以 X ~ B(3, 0.3) , 故 EX ? np ? 3 ? 0.3 ? 0.9, DX ? npq ? 3 ? 0.3 ? 0.7 ? 0.63 方法规律:若给出的问题为二项分布、二点分布的期望、方差的计算问题,可直接套用公式 求解,从而回避复杂的运算. 变式训练:甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者为本队赢 得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为

2 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 3

2 2 1 , , ,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用 X 表示甲队的总得分.求随机变量 X 3 3 2
的 数学期望和方差. 题型三 方差的实际应用问题 例 3 甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建 材厂抽样检查,他们从中各取等量的样品检查,得到它们的抗拉强度指数如下: X
P

110 0.1 100 0.1

120 0.2 115 0.2

125 0.4 125 0.4

130 0.1 130 0.1

135 0.2 145 0.2

Y
P

其中 X 和 Y 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于 120 的条件下,问甲、乙两厂的材料哪一种稳定性较好? 思路导析: 通过分布列分别求出两个随机变量的期望和方差, 从而可以比较他们的平均水平 及材料关于平均水平的稳定性。 解:首先看两厂材料的抗拉强度的期望,然后再比较它们的方差. 因为 EX ? 110 ? 0.1 ? 120 ? 0.2 ? 125 ? 0.4 ? 130 ? 0.1 ? 135 ? 0.2 ? 125 ,

EY ? 100 ? 0.1 ? 115 ? 0.2 ? 125 ? 0.4 ? 130 ? 0.1 ? 155 ? 0.2 ? 125
又因为 DX ? (110 ?125)2 ? 0.1 ? (120 ?125)2 ? 0.2 ? (130 ?125) 2 ? 0.1

? (135? 125) 2 ? 0.2 ? 50 ,
DY ? (100 ?125)2 ? 0.1 ? (115 ?125)2 ? 0.2 ? (130 ?125) 2 ? 0.1

? (145? 125) 2 ? 0.2 ? 165,
由 EX ? EY 可知,甲、乙两厂材料的平均抗拉强度是相等的,且不低于 120,但 DX ? DY ,即乙厂材料的抗拉强度指标与其均值偏差较大.故甲厂的材料稳定性好. 方法规律:方差反映了离散型随机变量取值的集中与离散、波动与稳定的程度,在实际问题 中有非常重要的比较价值, 若两个随机变量的期望相同, 难以判断产品质量或技术水平的高

3

低等问题时,可考虑再用方差值来进一步判断. 变式训练:甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为 X、Y,X 和 Y 的分布列如下: X P 0
6 10

1
1 10

2
3 10

Y P

0
5 10

1
3 10

2
2 10

比较两名工人的技术水平的高低. 四、随堂练习 1. 任意确定四个日期,设 X 表示取到四个日期中星期天的个数,则 D(X)等于( A.

) .

6 7

B.

24 49

C.

36 49

D.

48 49

2 .设一随机试验的结果只有两种:发生和不发生,其发生的概率为 m ,令随机变量

? ??

? 1, 事件发生 ,则 ? 的方差 D? 等于( ?0, 事件不发生
B. 2 m (1- m )

) . C. m ( m -1) D. m(1- m )

A. m 3.已知 ? 的分布列为

?
P

-1

0

1

1 2
1 3

1 3

1 6
23 1 ,③ P(? ? 0) ? ,正确的有( ) . 27 3
C.2 个 D.3 个

则在下列式子中:① E? ? ? ,② D? ? A.0 个 B.1 个

4.设随机变量 ? 服从二项分布,即 ? ~ B (n, p ), 且E? ? 3, p ?

1 , 则n ? 7

; D? =



5. 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同数作和,如果和为偶数得 2 分,和为奇数得 1 分,若

? 表示取出后的得分,则 D? ?



6.编号为 1,2,3 的 3 位同学随意入座编号为 1,2,3 的三个座位,每位同学坐一个座位, 设与座位编号相同的学生个数是 ? ,求 E? , D? 和 D? .

五、课后作业 1. 已知 ? ~ B(n, ),? ~ B( n, ) ,且 E? ? 15 ,则 D? 等于(

1 2

1 3

) .

4

A.3

B.10

C.

20 3

D.20

2.甲、乙两名作者,在同样的条件下向某报社投稿,假设他们每周投稿的数目相等,稿件 被采用的篇数 X、Y 及其概率 P 的分布列如下: 甲 X P 乙 Y P 0 0.5 1 0.3 2 0.2 D.无法判定 0 0.6 1 0.1 2 0.3

则下列关于两人写作水平稳定性的判断正确的是( ). A.甲较稳定 B.乙较稳定 C.甲、乙稳定性相同 3.已知随机变量 ? 的分布列为

?
P 则 D? ? .

-1

0

1 a

1 2

1 3

4.为了检验某一种新合成物体的强度,需要进行多次试验,设进行一次试验成功的概率为 p,若某科研机构进行了 100 次独立重复试验,当 p= 时,成功次数的标准差最大, 最大值为 . 5. 某校组织科普知识竞赛.已知学生答对第一题的概率是 0.6,答对第二题的概率是 0.5, 并且他们回答问题相互之间没有影响. (I) 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率; (Ⅱ)记 ? 为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数,求 ? 的期望与方差.

6. 某选手进行 n 次射击训练,每次击中目标的概率都为 P,且每次击中目标与否是相互独 立的,X 记为击中目标的次数,若随机变量 X 的数学期望 EX=3,方差 DX ?

3 . 2

(I)求 n,P 的值; (II)若这 n 次射击有 3 次或 3 次以上未击中目标,则需继续训练,求该选手需要继续 训练的概率.

参考答案

5

2.3 第二课时 离散型随机变量的方差 2.基础预探 1.
2

? ( x ? EX )
i ?1 i

n

pi

?X

2. p(1 ? p)

3. np(1 ? p)

三、典例导析 例 1 变式训练 答案:B 解析:由题意,根据随机变量分布列的性质知:0.4+0.1+ x =1,所以 x =0.5.

EX ? 0.4 ? 0.3 ? 2.5 ? 3.2 ,
DX ? 2.22 ? 0.4 ? 0.22 ? 0.1 ? 1.82 ? 0.5 ? 3.56 ,所以标准差 DX ? 3.56 .
例 2 变式训练 解:根据题设可知, X ~ B ? 3, ? , 所以 EX ? 3 ?

? 2? ? 3?

2 2 2 2 ? 2, DX ? 3 ? ? ( 1? ) ? .. 3 3 3 3

例 3 变式训练 解:工人甲生产出次品数 X 的期望和方差分别为:
EX ? 0 ? 6 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 0.7 , 10 10 10 6 1 3 ? (1 ? 0.7) 2 ? ? (2 ? 0.7) 2 ? ? 0.891; 10 10 10

DX ? (0 ? 0.7) 2 ?

工人乙生产出次品数 Y 的期望和方差分别为:
EY ? 0 ? 5 3 2 ? 1? ? 2 ? ? 0.7 , 10 10 10

DY ? (0 ? 0.7) 2 ?

5 3 2 ? (1 ? 0.7) 2 ? ? (2 ? 0.7) 2 ? ? 0.664 10 10 10

由 EX=EY 知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但 DX>DY,可见乙的技术比较稳定. 四、随堂练习 1.答案:B 解析:因为 X ? (4, ) ,所以 DX ? 4 ? 2.答案:D 解析: 根据题意,随机变量 ? 服从两点分布,所以 D? = m (1- m ) . 3.答案:C 解析: E? ? ?1?

1 7

1 6 24 ? ? . 7 7 49

1 1 1 1 ? 0 ? ? 1? ? ? , 2 3 6 3 1 1 1 1 1 1 5 D? ? (?1 ? ) 2 ? ? (0 ? ) 2 ? ? (1 ? ) 2 ? ? ,故①③是正确的. 3 2 3 3 3 6 9

6

4.答案:21;

18 7 1 1 1 18 ,所以 n ? 21 ; D? ? np (1 ? p ) ? 21? ? (1 ? ) ? . 7 7 7 7

解析: E? ? np ? 3, p ? 5. 答案:

6 25

解析:和所有可能取值为 3,4,5,6,7,8,9,其中和为 5,6,7 时都有两种情况

P(? ? 2) ?

4 2 6 3 7 2 7 3 6 ? , P(? ? 1) ? 2 ? , 所以 D? ? (2 ? )2 ? ? (1 ? ) 2 ? ? . 2 5 5 5 5 25 C5 5 C5 5 2 1 3 1 ? , P(? ? 1) ? 3 ? , 3 A3 3 A3 2

6.解析: ? ? 0,1,3, P(? ? 0) ?

P(? ? 3) ?

1 1 ? . 3 A3 6

所以 ? 的分布列为

?
P 所以 E? ? 0 ?

0

1

3

1 3

1 2

1 6

1 1 1 ? 1? ? 3 ? ? 1, 3 2 6 1 1 1 D? ? (0 ? 1) 2 ? ? (1 ? 1) 2 ? ? (3 ? 1) 2 ? ? 1, D? ? 1 . 3 2 6

五、课后作业 1. 答案: C

1 2 1 2 20 故 D? ? 30 ? ? ? . 3 3 3
2.答案: B

解析: 因为 ? ~ B( n, ) ,所以 E? ?

n 1 ? 15 ,则 n ? 30 ,所以? ~ B (30, ) , 2 3

解析:因为 EX=0.7,EY=0.7 ,

DX ? (0 ? 0.7)2 ? 0.6 ? (1 ? 0.7)2 ? 0.1 ? (2 ? 0.7)2 ? 0.3 ? 0.810 ; DY ? (0 ? 0.7)2 ? 0.5 ? (1 ? 0.7) 2 ? 0.3 ? (2 ? 0.7) 2 ? 0.2 ? 0.610.
由 DX ? DY ,可知乙的写作水平比较稳定.故选 B.

7

3.答案:

5 9
1 1 2 3 1 6

解析:由分布列的性质得 ? ? a ? 1 ? a ? , 所以 E? ? (?1) ?

1 1 1 1 ? 0 ? ? 1? ? ? , 2 3 6 3

(-1+ )? 所以 D? ?
2

1 3

1 1 2 1 1 2 1 5 ? (0+ ) ? ? (1 ? ) ? ? . 2 3 3 3 6 9

4.答案:

1 ,5 2

解析:因为 X ? N (100, p) , 所以 DX ? 100 p (1 ? p ) ? ?100( p ? ) ? 25 ,
2

1 2

1 时, DX 的最大值为 25,即 DX 的最大值为 5. 2 5. 解: (I)设“学生答对第一题”为事件 A ,“学生答对第二题”为事件 B .
所以,当 p ? 所以“一名学生至少答对第一、二两题中一题”的概率为

P ? P(( AB) ? ( AB) ? ( AB)) ? P( AB) ? P( AB) ? P( AB)
? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.8 .
(Ⅱ)因为 ? ~ B(3, 0.8) ,所以 E? ? 3 ? 0.8 ? 2.4 , D? ? 3 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.48 . 6. 解: (I)由题意知 X ? B(n, p) ,所以 EX ? np ? 3, DX ? np (1 ? p ) ? 得1 ? p ?

3 , 2

1 1 , 从而 n ? 6, p ? 。 2 2 1 ? 6 ? 15 ? 20 21 ? . 64 32

(II)记“需要继续训练”为事件 A, 则 P( A) ? P( X ? 3) ,所以 P( A) ?

8


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