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陕西省西安市昆仑中学2014届高三一轮复习讲义数学(理科)第57课时 曲线与方程


课题:曲线与方程
考纲要求:了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 教材复习 1. 曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中,如果某曲线 C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元 方程 f ( x, y) ? 0 的实数解建立了如下关系: ; ? 2 ? 以这个方程的解为坐标的点都是 ?1? 曲线上的点的坐标都是这个方程的
那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线(图形). 2. 两曲线的交点 即为方程组 的实数解,若此方程组无解,则两曲线 C1 , C2 设曲线 C1 的方程为 F 1 ? x, y ? ? 0 ,曲线 C2 的方程为 F 2 ? x, y ? ? 0 ,则曲线 C1 , C2 的交点坐标 .

①建系:建立适当的坐标系;②设点:设轨迹上的任一点 P ? x, y ? ;③列式:列出动点 P 所 满足的关系式;④代换:依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x , y 的方程 式,并化简;⑤证明:证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

3. 求动点轨迹方程的一般步骤

?1? 直接法:直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ? x, y ? ? 0 ; ? 2 ? 定义法:先根据定义得出动点的轨迹的类别,再由待定系数法求出动点的轨迹方程. ? 3? 待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线的方程.先根据所求曲线类型设出相应曲线的
方程,再由条件确定其待定系数; :动点 P ? x, y? 依赖于另一动点 Q ? x0 , y0 ? 的变化而变化,并且 ? 4 ? 代入法(相关点法) Q ? x0 , y0 ? 又在某已知曲线上,则可先用 x, y 的代数式表示 x0 , y0 ,再将 x0 , y0 带入已知曲线

4. 求轨迹方程常用方法

得要求的轨迹方程.

? 5? 参数法:当动点 P ? x, y ? 的坐标 x, y 之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,

可考虑将 x , y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 5. 对于中点弦问题,常用“点差法” :其步骤为:设点,代入,作差,整理.

基本知识方法 1. 掌握“方程与曲线”的充要关系; 2. 求轨迹方程的常用方法:轨迹法、定义法、代入法、参数法、待定系数法、直接法和交轨
法、向量法. 要注意“查漏补缺,剔除多余”.

典例分析:
考点一

问题

曲线与方程 1. ?1? ( 06 武汉调研)如果命题“坐标满足方程 f ( x, y) ? 0 的点都在曲线 C 上”

是不正确的,那么下列命题正确的是 A. 坐标满足方程 f ( x, y) ? 0 的点都不在曲线 C 上;

B. 曲线 C 上的点不都满足方程 f ( x, y) ? 0 ; C. 坐标满足方程 f ( x, y) ? 0 的点有些在曲线 C 上,有些不在曲线 C 上; D. 至少有一个点不在曲线 C 上,其坐标满足方程 f ( x, y) ? 0 .

? 2 ? 如果曲线 C 上的点满足方程 f ( x, y) ? 0 ,则以下说法正确的是:
A. 曲线 C 的方程是 f ( x, y) ? 0 ; B. 方程 f ( x, y) ? 0 的曲线是 C ; C. 坐标满足方程 f ( x, y) ? 0 的点在曲线 C 上; D. 坐标不满足方程 f ( x, y) ? 0 的点不在曲线 C 上;

? 3? 判断下列结论的正误,并说明理由: ① 过点 A ? 3,0? 且垂直于 x 轴的直线的方程为 x ? 3 ;
②到 x 轴距离为 2 的点的直线的方程为 y ? ?2 ; ③到两坐标轴的距离乘积等于 1 的点的轨迹方程为 xy ? 1 ; ④ △ ABC 的顶点 A ? 0, ?3? , B ?1,0 ? , C ? ?1,0? , D 为 BC 的中点,则中线 AD 的方程为

x ? 0.

? 4 ? 作出方程 y ?

x 2 ? 2 x ? 1 所表示的曲线.

? 5? ( 2011 北京)曲线 C 是平面内与两个定点 F1 ? ?1,0? 和 F2 ?1,0? 的距离的积等于常数
a 2 (a ? 1) 的点的轨迹.给出下列三个结论: ① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称;

③若点 P 在曲线 C 上,则 △ F1PF2 的面积大于 其中,所有正确结论的序号是

1 2 a . 2

考点二 直接法求轨迹方程 xOy 问题 2. ( 2011 全国新课标)在平面直角坐标系 中,已知点 A ? 0, ?1? , B 点在直线 uuu r uur uuu r uu u r uuu r uu r y ? ?3 上, M 点满足 MB / /OA , MA ? AB ? MB ? BA , M 点的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)略.

考点三 定义法求轨迹方程 问题 3.已知 △ ABC 中, ? A 、 ? B 、 ?C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? c ? b 成等差数列, AB ? 2 ,求顶点 C 的轨迹方程.

考点四

代入法(相关点法)求轨迹方程

问题 4. ( 2011 陕西)如图,设 P 是圆 x2 ? y 2 ? 25 上的动点,
点 D 是 P 在 x 轴上投影, M 为 PD 上一点,且 | MD |?

4 | PD | . 5

?1? 当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; ? 2 ? 求过点 ? 3,0? 且斜率为 5 的直线 l 被 C 所截线段的长度.
4

课后作业:
1. 方程 x 2 ? 4 ? y 2 ? 4

?

? ?
2

?

2

? 0 表的图形是

A. 两个点 B. 四个点 C. 两条直线 D. 四条直线

2. 设曲线 C 是到两坐标轴距离相等点的轨迹,那么 C 的方程是 A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. | x | ? | y |? 0 D. y ?| x | 和 x ?| y |

3. 已知 x 2 ? y 2 ? 1点 A(1, 0) , △ ABC 内接于圆,且 ?BAC ? 60 ,当 B, C 在圆上运动时, BC 中点的轨迹方程是 1 1 1 1 1 1 A. x 2 ? y 2 ? B. x 2 ? y 2 ? C. x 2 ? y 2 ? ( x ? ) D. x 2 ? y 2 ? ( x ? ) 2 4 2 2 4 4

4. 若两直线 x ? y ? 5a ? 0 与 x ? y ? a ? 0 交点在曲线 y ? x2 ? a 上,则 a ?

5. 若曲线 y 2 ? xy ? 2 x ? k ? 0 通过点 (a, ?a)(a ? R) ,则 k 的取值范围是

6. 画出方程 ? x 2 ? y 2 ? 4 ? ? x ? y ? 1 ? 0 所表示的图形:

7. A 为定点,线段 BC 在定直线 l 上滑动,已知 | BC |? 4 , A 到 l 的距离为 3 ,求 △ ABC 的
外心的轨迹方程.

8. 设 x ? R ,求两直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 与 l2 :? m ? 2? x ? 3 y ? 2m ? 0 的交点 P 的轨迹方程.

9. 已知抛物线 y 2 ? 4 px ? p ? 0? , O 为顶点,

y

A, B 为抛物线上的两动点,且 OA ? OB ,如果
OM ? AB 于 M ,求点 M 的轨迹方程.
A O

M

x
B

走向高考:
10. ( 01 广东)设圆 M 的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 ,直线 l 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 的 点 P 的坐标为 (2,1) ,那么 A. 点 P 在直线 l 上,但不在圆 M 上 B. 点 P 在圆 M 上,但不在直线 l 上 C. 点 P 既在圆 M 上,也在直线 l 上, D. 点 P 既不在圆 M 上,也不在直线 l 上

11. ( 04 辽宁)已知点 A(?2,0) 、 B(3,0) ,动点 P( x, y ) 满足 PA ? PB ? x 2 ,则点 P 的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

12. ( 2012 四川)如图, 动点 M 到两定点 A(?1, 0) 、B(2, 0)
B A ?? 2 M A B 构成 ?MAB , 且 ?M
(Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)略. , 设动点 M 的轨迹为 C .

y

M

A

O

B x


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