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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编12:等差数列(学生版) Word版含答案


北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 12:等差数列

一、选择题 1 . (东城区 13 届上学期期末) 已知{an } 为等差数列, 其前 n 项和为 S n , a3 若

则公差 d 等于 ( ? 6 ,S3 ? 12 ,



A. 1

B.
<

br />5 3

C. 2

D. 3

2 . (2013 届北京市高考压轴卷理科) {an } 为等差数列, S n 为其前 n 项和,

a7 ? 5,S7 ? 21 则 S10 ? ( ,



A. 40

B. 35

C. 30

D. 28 )

3 . 海淀 13 届第四次月考) ( 已知正项数列

则 ( ?a n ?中,a1 ? 1 ,a2 ? 2 ,2an 2 ? an?12 ? an?12 (n ? 2) , a6 等于 C. 2 2 D.4

A.16

B.8

4 . (昌平区 13 届上学期期末考试 )设 S n 是公差不为 0 的等差数列{an } 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,则

a2 等于( a1



A.1

B.2

C.3

D.4

5 . (东城区高中 13 届 12 月)在等差数列 ?a n ?中, a n ? 0 ,且 a1 ? a 2 ? ? ? a10 ? 30 ,则 a5 ? a 6 的最大值是 (



A. 3

B. 6

C. 9

D. 36

二、填空题 6 . 2013 北 京 西 城 高 三 二 模 数 学 理 科 ) 在 等 差 数 列 {an } 中 , (

a2 ? 5 , a1 ? a4 ? 12 , 则 an ? ______;设

bn ?

1 (n ? N* ) ,则数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? ______. a ?1
2 n

7 . (2013 届北京海滨一模理科) 等差数列

{an } 中, a3 ? a4 ? 9, a2a5 ? 18 , 则 a1a6 ? _____.

8 . (2012 北京理) 已知{an } 等差数列 S n 为其前 n 项和.若 a1

?

1 , S2 ? a3 ,则 a2 =_______. 2
? S3 , k ? 0 , k ? ______. S 则

9 ( 2013 届西城区一模理科) . 设等差数列{an } 的公差不为 0 , 其前 n 项和是 S n . S2 若 10. (石景山区 13 届一模理)在等差数列{an } 中, a1

? ?2013 al =-2013,其前 n 项和为 S n ,若

S12 S10 ? =2,则 S 2013 12 10

的值等于_____.
11. (朝阳区)设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和.若 a5

? a6 ? 8, a9 ? a10 ? 24 ,则公差 d ? ______, S10 ? _______.

三、解答题 12. 房山区 13 届上学期期末) ( (本小题满分 14 分)已知数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ?

1 2 11 n ? n (n ? N? ) . 2 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

k 1 ? ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式Tn ? 对一切 n ? N 都成 2013 (2an ? 11)(2an ? 9)

立的最大正整数 k 的值;

?an , (n ? 2k ? 1 , k ? N? ), ? ? (Ⅲ)设 f (n) ? ? 是否存在 m ? N ,使得 ? ?3an ? 13, (n ? 2k , k ? N ), ?

f (m ? 15) ? 5 f (m) 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

13. (海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学(理) 已知等差数列{an } 的前 n 项和为 S n , a2 ) 且

? ?5 ,S5 ? ?20 .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求使不等式 Sn ? an 成立的 n 的最小值.

14 . 北 京 市 海 淀 区 北 师 特 学 校 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 理 科 ) 数列 { an } 中 , (

a1 ? 8 , a4 ? 2 , 且 满 足

an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 0
(1)求数列的通项公式; (2)设 Sn ?| a1 | ? | a2 | ? ? ? | an | ,求 S n .

15.北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)) ( 设等差数列{an } 的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 S n .

(1)若 a11 ? 0, S14 ? 98 ,求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a1 ? 6, a11 ? 0, S14 ? 77 求所有可能的数列 {an } 的通项公式.

16. (东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 )

已知数集 A ? ?a1 , a 2 ,? , a n ?(0 ? a1 ? a2 ? ? ? a n , n ? 3) 具有性质 P :对 ?i, j (1 ? i ? j ? n) , a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个属于 A . (1) 分别判断数集 ?0,1,3?与数集 ?0,2,4,6?是否具有性质 P ,说明理由; (2) 求证: a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

n an ; 2

(3) 已知数集 A ? ?a1 , a 2 ,? , a8 ?具有性质 P .证明:数列 a1 , a 2 ,? , a8 是等差数列.

北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 12:等差数列参考答案 一、选择题 1.

【答案】C 解 : 因 为 a3 ? 6 , S3 ? 12 , 所 以 S3 ? 12 ?

3(a1 ? a3 ) 3(a1 ? 6) , 解 得 a1 ? 2 , 所 使 用 ? 2 2

a3 ? 6 ? a1 ? 2d ? 2 ? 2d ,解得 d ? 2 ,选 C.
2.

A 【 解 析 】 设 公 差 为 d , 则 由 a7 ? 5,S7 ? 21 得 S7 ?

7(a1 ? a7 ) 7(a1 ? 5) , 即 21 ? , 解 得 a1 ? 1 , 所 以 2 2

a7 ? a1 ? 6d ,所以 d ?
3.

10 ? 9 10 ? 9 2 2 d ? 10 ? ? ? 40 ,选 A. .所以 S10 ? 10a1 ? 2 2 3 3

【答案】D 【 解 析 】 由 2an 2 ? an ?1 2 ? an ?1 2(n ? 2) 可知数 列

{an 2 }

是等差数列, 且以

a12 ? 1

为首项, 公差 ,即

d ? a2 2 ? a12 ? 4 ? 1 ? 3

,所以数列的通项公式为

an 2 ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2

,所以

a6 2 ? 3 ? 6 ? 2=16

a6 ? 4
4.

。选 D.

【答案】C 解:因为 S1 , S2 , S4 成等比数列,所以 S1S4 ? S2 2 ,即 a1 (4a1 ? 6d ) ? (2a1 ? d ) ,即 d ? 2a1d , d ? 2a1 ,所
2

2



a2 a1 ? d a1 ? 2a1 ? ? ? 3 ,选 C. a1 a1 a1

5.

C 【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 , a1 ? a2 ? ? ? a10 ? 30 , 得 5(a1 ? a10 ) ? 30 , 即 a1 ? a10 ? a5 ? a6 ? 6 , 由

a5 ? a6 ? 2 a5 a6 ,所以 6 ? 2 a5 a6 ,即 a5 a6 ? 9 ,当且仅当 a5 ? a6 时取等号,所以 a5 a6 的最大值为 9,选 C.
二、填空题 6.

2n ? 1 ,
14

n ; 4( n ? 1)

7. 8.

【解析】因为 S2 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? d ? a1 ? 所以 a2 ? a1 ? d ? 1, Sn ? na1 ? n(n ? 1)d ? 【答案】 a2 ? 1 , Sn ?

1 , 2

1 2 1 n ? n. 4 4

1 2 1 n ? n 4 4

9. 10.

5; ?2013

11. 2;40 三、解答题 12. (Ⅰ)当 n ? 1 时,

a1 ? S1 ? 6

……………… 1 分
2

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ( n ? 而当 n ? 1 时, n ? 5 ? 6

1 2

11 1 11 n) ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? n ? 5 .…… 2 分 2 2 2

∴ an ? n ? 5 .
(Ⅱ) cn ?

………………4 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2an ? 11)(2an ? 9) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

∴ Tn ? c1 ? c2 ? … ? cn ? ………………7 分

1 1 1 1 1 1 n [(1 ? ) ? ( ? ) ? … ?( ? )] ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

∵ Tn ?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)
………………8 分

1 ∴ Tn 单调递增,故 (Tn ) min ? T1 ? . 3


1 k ? ,得 k ? 671 ,所以 kmax ? 670 . 3 2013

……………… 10 分

?an , ? (n ? 2k ? 1 , k ? N? ) ?n ? 5, (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ? (Ⅲ) f (n) ? ? =? ? * ?3n ? 2, (n ? 2k , k ? N ) ?3an ? 13, (n ? 2k , k ? N ) ? ?
(1)当 m 为奇数时, m ? 15 为偶数, ………………1 2 分 (2)当 m 为偶数时, m ? 15 为奇数,

∴ 3m ? 47 ? 5m ? 25 , m ? 11 .

5 ∴ m ? 20 ? 15m ? 10 , m ? ? N? (舍去) . 7

综上,存在唯一正整数 m ? 11 ,使得 f (m ? 15) ? 5 f ( m) 成立. ……………………1 4 分
13. 解:(I)设

{an }

的公差为 d ,

依题意,有

a2 ? a1 ? d ? ?5, S5 ? 5a1 ? 10d ? ?20

? a1 ? d ? ?5 ? 5a ? 10d ? ?20 联立得 ? 1 ? a1 ? ?6 ? d ?1 解得 ?
所以

an ? ?6 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 7

a ? n ? 7 ,所以 Sn ? (II)因为 n

a1 ? an n(n ? 13) n? 2 2

n(n ? 13) ? n?7 2 2 令 ,即 n ? 15n ? 14 ? 0
解得 n ? 1 或 n ? 14 又 n ? N ,所以 n ? 14
*

所以 n 的最小值为 15
14. 解:(1) an ? 2

? 2an ?1 ? an ? 0 ∴ an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an

∴ {an ?1 ? an } 为常数列,∴{an }是以 a1 为首项的等差数列, 设 an ? a1 ? (n ? 1)d , a4 ? a1 ? 3d ,∴ d ? (2)∵ an ? 10 ? 2n ,令 an ? 0 ,得 n ? 5 . 当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 . ∴当 n ? 5 时, Sn ?| a1 | ? | a2 | ? ? ? | an | ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ? (a6 ? a7 ? ? ? an )

2?8 ? ?2 ,∴ an ? 10 ? 2n . 3

? T5 ? (Tn ? T5 ) ? 2T5 ? Tn , Tn ? a1 ? a2 ? ? ? an .
当 n ? 5 时, Sn ?| a1 | ? | a2 | ? ? ? | an | ? a1 ? a2 ? ? ? an ? Tn .

?9n ? n 2 , ( n ? 5) ? ∴ Sn ? ? 2 ? n ? 9n ? 40, ( n ? 5). ?
15. 解:

(Ⅰ)由 又 故解得 因此, 的通项公式是 1,2,3,,

(Ⅱ)由





由①+②得-7d<11,即

由①+③得

, 即

,

于是 将 4 代入①②得 又 ,故



,故

.

所以,所有可能的数列

的通项公式是 1,2,3,.

16. 解:由于 3 ? 1 和 3 ? 1都不属于集合

?0,1,3?,所以该集合不具有性质 P ;由于 2 ? 0 、 4 ? 0 、 6 ? 0 、4 ? 2 、

6 ? 2 、 6 ? 4 、 0 ? 0 、 2 ? 2 、 4 ? 4 、 6 ? 6 都 属 于 集 合 ?0,2,4,6? , 所 以 该 数 集 具 有 性 质
P.
…………………………………………4 分

(1) ? A ? ?a1 , a 2 ,? , a n ? 具有性质 P ,所以 a n ? a n 与 a n ? a n 中至少有一个属于 A 由 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ,有 a n ? a n ? a n ,故 a n ? a n ? A

?0 ? a n ? a n ? A ,故 a1 ? 0 ? 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? a n ? a k ? a n ,故 a n ? a k ? A( k ? 2,3,? , n)
由 A 具有性质 P 知, a n ? a k ? A( k ? 2,3,? , n) 又? a n ? a n ? a n ? a n ?1 ? ? ? a n ? a 2 ? a n ? a1 ,

? a n ? a n ? a1 , a n ? a n ?1 ? a 2 ,…, a n ? a 2 ? a n ?1 , a n ? a1 ? a n
从而 ( a n ? a n ) ? ( a n ? a n ?1 ) ? ? ? ( a n ? a 2 ) ? ( a n ? a1 ) ? a1 ? a 2 ? ? ? a n 故 2( a1 ? a 2 ? ? ? an ) ? nan ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 由(2)可知, ai ? a n ?1?i ? a n (i ? 1,2,? , n)

n an 2

……………………8 分

? ai ? a9?i ? a8 (i ? 1,2,?,8) …………………………①
由 a 2 ? a7 ? a8 知, a 3 ? a 7 , a 4 ? a 7 ,…, a 7 ? a 7 均不属于 A , 由 A 具有性质 P , a 7 ? a 3 , a 7 ? a 4 ,…, a7 - a7 均属于 A ,

? a7 ? a7 ? a7 ? a6 ? ? ? a7 ? a4 ? a7 ? a3 ? a8 ? a3 ? a8 ? a 3 ? a 6 ? a 7 ? a 7 ? 0 , a7 ? a6 ? a 2 , a7 ? a5 ? a3 ,…, a7 ? a3 ? a5
即 ai ? a8?i ? a7 (i ? 1,2,? ,7) …………………………② 由①②可知 ai ? a8 ? a9?i ? a8 ? ( a7 ? ai ?1 )(i ? 1,2,? ,8)

? a8 ? a7 ? ai ? ai ?1 (i ? 1,2,? ,8)
故 a1 , a 2 ,? , a8 构成等差数列. …………………………………13 分


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