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高一下期末试题包括平面解析几何初步和立体几何


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高一下学期期末考试 数学
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦 干净后,再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答

题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.

第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分)在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的;各题答案必须答在答题卡上相应的位置 .
1. 已知等差数列 {an } 中, a2 ? a8 ? 2 , a5 ? a11 ? 8 ,则其公差是( A . 6 B .3 C .2 D .1 ) )

2. 已知直线 l1 : ax ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 , l2 : x ? ay ? 2 ? 0 ,则“ a ? ?2 ”是“ l1 ? l 2 ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 若

sin A cos B cos C ? ? 则△ABC 为( a b c

) (B)等腰三角形 (D)有一个内角为 30° 的等腰三角形

(A)等边三角形 (C)有一个内角为 30° 的直角三角形 4. 实数 a , b 均为正数,且 a ? b ? 2 ,则 (A) 3 (B) 3 ? 2 2

1 2 ? 的最小值为 a b
(C) 4 (D)

3 ? 2 2

5. 若执行如图 2 所示的程序框图,当输入 n ? 1, m ? 5 ,则输出 p 的 值为 (A) ? 4

(B)1

(C)2

(D)

5

6. 圆 ? x ? a ? ? y ? 1 与 直 线 y ? x 相 切 于 第 三 象 限 , 则 a 的 值 是
2 2



) . A. 2 B. ?2 C. ? 2 D. 2
·1 ·

?x ? 2 ? 0 ? 7.已知点 P( x, y) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上运动,则 z ? x ? y 的取值范围是 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
( ) B.

A. ??2, ?1?

??1, 2?

C.

??2,1?

D. ?1, 2?
*

8. 设 {an } 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , 令 bn ? a n ?1 , n ? N , 若 数 列 {bn } 的 连 续 四 项 在 集 合

??53, ?23,19,37,82 ? 中,则 q 等于(
A. ?

) C. ?

4 3

B. ?

3 2

3 2 或? 2 3

D. ?

3 4 或? 4 3

9. 已知在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? ?2 y ? 3 ,直线 l 过点 (1, 0)且与直线

x ? y ? 1 ? 0 垂直.若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,则 ?OAB 的面积为(
A.1 B. 2 C.2 D. 2 2



10. 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,O 是底面 ABCD 的中心, M、 N 分别是棱 DD 1 、 D 1 C 1 的中点,则直线 OM( ).

A .是 AC 和 MN 的公垂线. B .垂直于 AC 但不垂直于 MN. C .垂直于 MN,但不垂直于 AC. D .与 AC、MN 都不垂直. 11.如图, P 是△ABC 所在平面外一点,连结 PA、PB、PC 后,在包括 AB、 BC、CA 的六条棱所在的直线中,异面直线的对数为( ) A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.6 对 12.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BC ? 2 ,CD ? 14 ,DD1 ? 5, 则
2 2

A1C和B1 D1 所成角的大小为_ ___.

第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)各题答案必须填写在答题卡相应

的位置上.
c ? 3, B ? 60? . 13. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 a ? 2 , 则b =
.

·2 ·

14. 数列 {an } 满足 a1 ? - , an ?1 ?

4 3

2(n ? 1)an (n ? N * ) ,则 an 的最小值是 an ? 2n
1 1 ? 的最 2a b


15. 若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a, b ? 0) 始终平分圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长, 则 小值为

16. 已知过点 P(2,2) 的直线与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 相切, 且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直, 则 a ? ( (A) ?
1 2

(B) 1

(C) 2

(D)

1 2

17. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________.

三、解答题 :(本大题6个小题,共75分)各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方 框内(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程).
18.(本小题满分 13 分)在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列. (1)求 a n ; (2)令 bn ? log 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 19. (本小题满分 13 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 对的边分别为 a , b, c ,且 c ? 2, C ? 60? . (1)求

a?b 的值; sin A ? sin B

(2)若 a ? b ? ab ,求 ?ABC 的面积 S?ABC . 20. (本小题满分 12 分)(原创)已知圆 M: x ? y ? 2 y ? 24 ,直线 l :x+y=11,
2 2

l 上一点 A 的横坐标为 a , 过点 A 作圆 M 的两条切线

l1 , l2 , 切点分别为 B ,C.
(1)当 a=0 时,求直线 l1 , l2 的方程;
M

y B A C O x

(2)当直线 l1 , l2 互相垂直时,求 a 的值; (3)是否存在点 A,使得 AB ? AC ? ?2 ?若存在, 求出点 A 的坐标,若不存在,请说明理由.
·3 ·

21. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 满足: an ? an ?1 ?

1 2 an ?1 (n ? N * ) n2

(1)若数列 {an } 是以常数 a1 为首项,公差也为 a1 的等差数列,求 a1 的值; (2)若 a0 ? 0 ,求证: (3)若 a0 ? 22.

1 1 1 ? ? 2 对任意 n ? N * 都成立; an ?1 an n

1 n ?1 ? an ? n 对任意 n ? N * 都成立; ,求证: 2 n?2

·4 ·

参考答案
18(1)设 {an } 的公比为 q ,由 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列,得 4a1 ? a3 ? 4a2 . 又 a1 ? 1 ,则 4 ? q2 ? 4q ,解得 q ? 2 . ∴an ? 2n?1 ( n ? N* ). (2) bn ? log2 2n?1 ? n ? 1 ,∴bn ?1 ? bn ? 1 , {bn } 是首项为 0,公差为 1 的等差数列, n(n ? 1) 它的前 n 项和 Sn ? . 2 19. (13 分)

20. (12 分)解: (1) )圆 M: x ? ( y ? 1) ? 25 ,圆心 M(0 , 1) , 半径 r=5,A(0, 11) , 设切线的方
2 2

程为 y=k x+11, 圆心距 d ?

10 k2 ?1

? 5 , ∴ k ? ? 3 ,所

求直线 l1 , l2 的方程为 y ? ? 3x ? 11 (2)当 l1 ⊥l2 时,四边形 MCAB 为正方形, ∴

| AM |? 2 | MB |? 5 2
2 2

设 A(a , 11-a), M(0 , 1) 则 a ? (10 ? a ) ? 5 2

a 2 ? 10a ? 25 ? 0

∴ a=5
2 2 2

(3)设 ? AB, AC ?? ? ,则 AB ? AC ?| AB | cos2? ?| AB | (1 ? 2sin 又 sin ? ?

?) ,

50 25 ? 50 r 2 ) ? AM 2 ? ? 75 ,又圆心 M 到直线l ,故 AB ? AC ? ( AM ? 25)(1 ? 2 AM 2 AM 2 | AM |
2 ∴ AM ? 50 , AB ? AC ? 50 ?

的距离是5 2

25 ? 50 ? 75 ? 0 ,故点A 不存在 50 1 2 * 21. (12 分)解: (1)由题意, an ? na1 ,又由 an ? an ?1 ? 2 an ?1 ( n ? N ) 得 n 1 2 * 2 2 an ? an ?1 ? 2 an ?1 ,即 n a1 ? [(n ? 1)a1 ] 对一切 n ? N 成立,所以 a1 ? 0 n
·5 ·

(2)由 an ? an?1 ? 0 得 an ? an ?1 ?

1 1 1 1 aa ? ? 2 aa 2 n n ?1 ,两边同除以 n n ?1 得 n an ?1 an n

(3)

1 1 1 1 1 1 ? ?( ? )?( ? )? a0 an a0 a1 a1 a2
?

?(

1 1 1 1 ? ) ? 1? 2 ? 2 ? an ?1 an 2 3

?

1 n2

? 1?

1 1 ? ? 1? 2 2 ? 3

1 1 1 ? 2 ? ,将 a0 ? 代入,得 an ? n 2 (n ? 1)n n
1 2 n ?1 n2 a ? a ? a a ? an n ?1 n ?1 n ?1 ,所以 n ?1 n2 n2 n2 ? n ? 1

由 an?1 ? n ? 1 得 an ? an ?1 ?

an ? an ?1 ?

1 2 1 n2 a ? a ? a ? an ,所以 n ?1 n ?1 n ?1 n2 n2 n2 ? n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? ? (n ? 2) an ?1 an n ? n ? 1 n ? n n n ? 1
从而

1 1 1 1 1 1 ? ?( ? )?( ? )? a1 an a1 a2 a2 a3

?(

1 1 1 1 ? )? ? an?1 an 2 n ?1

又由 a0 ?

1 3 n ?1 n ?1 1 5 1 n?2 ? an ? n 得 a1 ? 所以 ,从而 an ? ,综上, ? ? ? 2 4 n?2 n?2 an 6 n ? 1 n ? 1

·6 ·

·7 ·


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