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2014-2015学年江苏省徐州市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)


2014-2015 学年江苏省徐州市高二(下)期末数学试卷(理科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。请把答案填写在答题纸相应位 置上。 1. (5 分) (2015 春?徐州期末)已知复数 z 满足 =i(i 为虚数单位) ,若 z=a+bi

(a,b∈R) ,则 a+b= 1 . 考点: 复数代数形式的乘除运算.

专题: 数系的扩充和复数. 分析: 变形化简已知复数,由复数相等可得 a 和 b 的值,可得答案. 2 解答: 解:由题意可得 z=i(1﹣2i) =i(1﹣4﹣4i)=i(﹣3﹣4i)=4﹣3i, 由复数相等可得 a=4 且 b=﹣3, ∴a+b=4﹣3=1, 故答案为:1 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,涉及复数相等的定义,属基础题.
所有

2. (5 分) (2015 春?徐州期末)用 1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字的三位数共有 60 个. (用数字作答) 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析 : 由题意得,选 3 个再全排列即可. 3 解答: 解: 数字 1、 2、 3、 4、 5 可组成没有重复数字的三位数, 选 3 个再全排列, 故有 A5 =60 个, 故答案为:60. 点评: 本题主要考查了简单的排列问题 ,属于基础题.
所有

3. (5 分) (2015 春?徐州期末)已知 i 为虚数单位,若复数 z= a 的值为 5 . 考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数.
所有

+2i(a≥0)的模等于 3,则

分析: 利用复数 a+bi(a,b 为实数)的模为 解答: 解:因为复数 z= 故答案为:5.

进行解答.

+2i(a≥0)的模等于 3,所以 a+4=9,解得 a=5; .

点评: 本题考查了复数的模;复数 a+bi(a,b 为实数)的模为

(i) (ii)可得 b

4. (5 分) (2015 春?徐州期末)在(1+2x) 的展开式中,x 的系数为 80 答) 考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理. 3 分析: 由条件利用二项展开式的通项公式求得展开式中 x 的系数.
所有

5

3

. (用数字作

解答: 解:在(1+2x) 的展开式中,x 的系数为

5

3

?2 =80,

3

故答案为:80. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题. 5. (5 分) (2 015 春?徐州期末)给出下列演绎推理:“自然数是整数, 2 是自然数 ,所 以,2 是整数”,如果这个推理是正确的,则其中横线部分应填写 2 是自然数 . 考点: 进行简单的演绎推理. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用演绎推理的三段论写出小前提即可. 解答: 解:由演绎推理三段论可知: :“自然数是整数,2 是自然数,所以,2 是整数”, 故答案为:2 是自然数. 点评: 本题考查演绎推理三段论的应用,考查基本知识的应用.
所有

6. (5 分) (2015 春?徐州期末)已知 f(x)=x ﹣5x +10x ﹣10x +5x﹣1,则 f(1+ 值为 4 . 考点: 专题: 分析: 解答: = 二项式定理的应用. 二项式定理. 5 利用二项式定理可得 f(x)=(x﹣1) ,由此求得 f(1+ )的值. 5 4 3 2 5 解:∵已知 f(x)=x ﹣5x +10x ﹣10x +5x﹣1=(x﹣1) ,∴f(1+ )
所有

5

4

3

2

)的

=

=4



故答案为:4 . 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,属于基础题. 7. (5 分) (2015 春?徐州期末)从 3 个女生 5 个男生中选 4 个人参加义务劳动,其中男生女 生都有且男生不少于女生的概率是 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 先求出没有限制的条件的种数,在求出其中男生男生少于女生和全是男生的种数, 继而得到男生女生都有且男生不少于女生的 种数,根据概率公式计算即可. 4 解答: 解:从 3 个女生 5 个男生中选 4 个人参加义务劳动共有 C8 =70 种, 3 1 4 其中男生男生少于女生,即 3 女 1 男,有 C3 C5 =5 种,全是男生的有 C5 =5 种, 所以男生女生都有且男生不少于女生的为 70﹣5﹣5=60,
所有

(i) (ii)可得 b

故男生女生都有且男生不少于女生的概率是 故答案为: .

= .

点评: 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于基 础题 8. (5 分) (2015 春?徐州期末)4 个不同的小球全部放入 3 个不同的盒子,则每个盒子至少 有一个小球的放法共有 36 种. (用数字作答) 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 利用挡板法把 4 个小球分成 3 组,然后再把这 3 组小球全排列,再根据分步计数原 理求得所有的不同放法的种数. 2 解答: 解:在 4 个小球之间插入 2 个挡板,即可把 4 个小球分成 3 组,方法有 C4 =6 种. 3 然后再把这 3 组小球全排列,方法有 A3 =6 种. 再根据分步计数原理可得所有的不同方法共有 6×6=36 种, 故答案为:36. 点评: 本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用,利用挡板法把 4 个小球分成 3 组,是解题的关键,属于中档题
所有

9. (5 分) (2015 春?徐州期末)设随机变量 X 的概率分布如表所示: X 1 2 3 4 P 则 X 的方差为 2 .

5

考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与 统计. 分析: 由题意及随机变量 ξ 的概率分布表,可以先利用期望 定义求出期望 Eξ 的值,再由方 差的定义求出其方差即可.
所有

解答: 解:由题意及表格可得:Eξ=
2 2 2 2

=3,
2

Dξ= [(1﹣3) +(2﹣3) +(3﹣3) +(4﹣3) +(5﹣3) ]=2. 故答案为:2. 点评: 此题考查了离散型随机变量的期望与方差的定义及计算,重点考查了学生的计算能 力及公式的正确使用. 10. (5 分) (2015 春?徐州期末)已知随机变量 X 的概率分布如表所示,其中 a,b,c 成等 比数列,当 b 取最大值时,E(X)= 0 . X 1 ﹣1 0 P a b c

(i) (ii)可得 b

考点: 专题: 分析: 解答:

离散型随机变量的期望与方差. 概率与统计. 利用等比数列以及基本不等式求出 a、b、c,然后求解期望. 解:随机变量 X 的概率分布如表所示,其中 a,b,c 成等比数列,
所有

可得 a+b+c=1, b =ac≤ 解得 0≤b E(X)=

2

=

, 当且仅当 a=c 时取等号, b≤

2



,b 的最大值为: ,此时 a=c= , =0.

故答案为:0. 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法,旧版本的应用,等比数列的性质, 考查计算能力. 11. (5 分) (2015 春?徐州期末)A、B、C、D、E、F 共 6 各同学排成一排,其中 A、B 之 间必须排两个同学的排法种数共有 144 种. (用数字作答) 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 先从 4 人中选 2 人排在 A,B 之间,并把这 4 个同学看作一个复合元素,再和剩下 的 2 人全排,根据分步计数原理可得. 解答: 解:先从 4 人中选 2 人排在 A,B 之间,并把这 4 个同学看作一个复合元素,再和 2 2 3 剩下的 2 人全排列,故有 A2 A4 A3 =144, 故答案为:144 种. 点评: 本题考查了分步计数原理,相邻用捆绑,属于基础题.
所有

12. (5 分) (2015 春?徐州期末)在极坐标系中,若点 A、B 的极坐标分别为(3, 4, ) ,则△ AOB(O 为极点)的面积等于 3 .

) , (﹣

考点: 极坐标刻画点的位置. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 点 B (﹣4, 即可得出. 解答: 解:点 B(﹣4, ∴S△ AOB= ) , 即为

所有

. 利用 S△ AOB=

) ,即为 =3.



故答案为:3. 点评: 本题考查了极坐标、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础 题. (i) (ii)可得 b

13. (5 分) (2010?南京三模)正整数按下列方法分组:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9}, {10,11,12,13,14,15,16},…记第 n 组中各数之和为 An;由自然数的立方构成下列数 3 3 3 3 3 3 3 3 组:{0 ,1 },{1 ,2 },{2 ,3 },{3 ,4 },…记第 n 组中后一个数与前一个数的差为 Bn, 3 则 An+Bn= 2n . 考点: 数列差分的概念. 专题: 计算题. 2 分析: 根据所给的两个数列的特点,看出前 n 组共有 1+3+5+…+(2n﹣1)=n 个正整数, 故用前 n 组的和减去前 n﹣1 组的和,写出表示式,后面要求的两个数字的差,可以用立方 差公式整理得到结果,不两部分相加得到结果. 解答: 解:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…
所有

前 n 组共有 1+3+5+…+(2n﹣1)=n 个正整数,故 2 2 An=(1+2+3+…+n )﹣[1+2+3+…+(n﹣1) ] (用前 n 组的和减去前 n﹣1 组的和) =
2

2



=(2n﹣1) (n ﹣n+1) 3 3 Bn=n ﹣(n﹣1) 3 故 An+Bn=2n 3 故答案为:2n 点评: 本题考查数列的查分的概念,是一个基础题,解题的关键是看清题目中所给的数列 的项与项数之间的关系,注意运算过程不要出错. 14. (5 分) (2015 春?徐州期末)已知函数 f(x)=|x﹣1|,设 f1(x)=f(x) ,fn(x)=fn﹣1 * (f(x) ) (n>1,n∈N ) ,令函数 F(x)=fn(x)﹣m,若 m∈(0,1)时,函数 F(x)有 且只有 8 各不同的零点,这 8 个零点按从小到大的顺序分别记为 x1、x2、x3、x4、x5、x6、 x7、x8,则 x1x2x5x6+x3x4x7x8 的取值范围是 (﹣6,16) . 考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 由题意作函数 fn(x)的图象,再设 x4=x,x∈(0,1) ;从而可得 x3=﹣x,x2=x﹣2, x1=﹣x﹣2,x5=﹣x+2,x6=x+2,x7=﹣x+4,x8=x+4;从而化简即可. 解答: 解:由题意,作 fn(x)的图象如下,
所有

(i) (ii)可得 b

结合图象可得, 设 x4=x,x∈(0,1) ;则 x3=﹣x,x2=x﹣2,x1=﹣x﹣2, x5=﹣x+2,x6=x+2,x7=﹣x+4,x8=x+4; 故 x1x2x5x6+x3x4x7x8=(﹣x﹣2) (x﹣2) (﹣x+2) (x+2)+(﹣x)x(﹣x+4) (x+4) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =(4﹣x ) ﹣x (16﹣x )=2(x ) ﹣24x +16=2(x ﹣6) ﹣56 ∵x∈(0,1) , ∴x ﹣6∈(﹣6,﹣5) , 2 2 ∴50<2(x ﹣6) <72, 2 2 ∴﹣6<2(x ﹣6) ﹣56<16, 故 x1x2x5x6+x3x4x7x8 的取值范围是(﹣6,16) ; 故答案为: (﹣6,16) . 点评: 本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用,属于基础 题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定的区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (14 分) (2015 春?徐州期末)已知 i 是虚数单位,复数 z 满足(z﹣2)i=﹣3﹣i. (1)求 z;
[来源:Z。xx。k.Com]

2

(2)若复数

在复平面内对应的点在第一象限,求实数 x 的取值范围.

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: (1)根据复数的基本运算法则即可求 z; (2)结合复数的几何意义进行求解. 解答: 解: (1)由(z﹣2)i=﹣3﹣i,得 zi=﹣3+i,…(2 分)
所有

所以 z =

=1+3i.…(6 分)

(2)因为 z=1+3i. 所以 因为 = 对应的点在第一象限, = [(x+3)+(1﹣3x)i],…(10 分)

所以

解得﹣3<x< .

所以,实数 x 的取值范围是(﹣3, ) .…(14 分) 点评: 本题主要考查复数的基本运算和复数的几何意义, 考察学生的运算能力.

16. (14 分) (2015 春?徐州期末)已知( (1)求 n 的值; (i) (ii)可得 b



) 展开式中第 5 项是常数项.

n

(2)求展开式中所有有理项. 考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理. 分析: (1)在二项展开式的通项公式中,令 r=4 且 x 的幂指数等于零,即可求出 n 的值.
所有

(2)在通项公式中,令 x 的幂指数 理项. 解答: 解: (1) ( ﹣

为整数,可得 r 的值,从而得到展开式中所有有

) 展开式的通项公式为 Tr+1= =0,

n

?

?

,再根

据第 5 项是常数项,可得 求得 n=6. (2)在通项公式中,令 x 的幂指数 故有理项为 T1=x ,T5=
3

为整数,可得 r=0,4,



点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属 于基础题.

17. (14 分) (2015 春?徐州期末)已知矩阵 A= (1)求矩阵 A 的逆矩阵 A ; (2)求矩阵 A 的特征值和特征向量;
﹣1



(3)求圆 x +y =1 在经过矩阵 A 对应的变换后得到的曲线的方程. 考点: 逆变换与逆矩阵;特征值与特征向量的计算. 专题: 矩阵和变换. 分析: (1)根据 AA =
﹣1

2

2

所有

,求出 A 的逆矩阵 A ;

﹣1

(2)根据矩阵 A 的特征多项 式,求出 A 的特征值与特征向量; 2 2 (3)求出圆 x +y =1 上任意一点,经过矩阵 A 对应的变换后得到点满足的方程即可. 解答: 解: (1)∵A= ,

AA =

﹣1



∴A =

﹣1



(i) (ii)可得 b

(2)矩阵 A=

的特征多项式为:f(λ)=

=λ ﹣7λ+6;

2

令 f(λ)=0,解得矩阵 A 的特征值为:λ1=6,λ2=1; 把 λ1=6 代入方程组 ,解得 x=y,

所以矩阵 A 的属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=



再把 λ2=1 代入方程组

,解得 2x=﹣3y,

所以矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量为 α2= (3)设(x0,y0)是圆 x +y =1 上任意一点, 它在经过矩阵 A 对应的变换后得到点(x,y) , 由 = = ,
2 2







解得



代入

+
2

=1,
2

整理得 10x +9y ﹣18xy﹣18=0,即为所求. 点评: 本题考查了高等数学中的矩阵以及矩阵的变换应用问题,也考查了求矩阵的逆矩阵 与特征向量的应用问题.

18. (16 分) (2015 春?徐州期末) 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数,a,b>0) ,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,在此极坐标系 下,直线 E 的极坐标方程为 =4 .

(1)将曲线 C 的参数方程及直线 E 的极坐标方程分别化为普通方程与直角坐标方程; (2)若 a=b,且曲线 C 与直线 E 相切,求 a 的值; (3)若 a=3,b=4,求曲线 C 上的点到直线 E 距离的最小值. 考点: 简单曲线的极坐标方程. (i) (ii)可得 b

所有

专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)利用 cos θ+sin θ=1 可把曲线 C 的参数方程 化为直角坐标方程.直线 E 的极坐标方程为 =4
2 2 2 2 2

(θ 为参数,a,b>0) , =4 ,展开为

,即可化为极坐标方程.

(2)由 a=b,曲线 C 为 x +y =a .根据曲线 C 与直线 E 相切的充要条件为圆心到直线的距 离等于半径即可得出. (3)当 a=3,b=4 时,曲线 C 的方程为 点,点 P 到直线 E 距离 d= ,设 P(3cosα,4sinα)是椭圆 C 上的一 = ,即可得出.

解答: 解: (1)曲线 C 的参数方程为

(θ 为参数,a,b>0) ,化为

=1.

直线 E 的极坐标方程为 =4
2 2 2

=4

,展开为

,直角坐标方程为 y+x﹣8=0.

(2)由 a=b,曲线 C 为 x +y =a .∵曲线 C 与直线 E 相切, ∴a= ,解得 a =4 .

(3)当 a=3,b=4 时,曲线 C 的方程为



设 P(3cosα,4sinα)是椭圆 C 上的一点,点 P 到直线 E 距离 d= = . .

∴曲线 C 上的点到直线 E 距离的最小值为

点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数方程及其应用、直线与椭圆 的位置公式、点到直线的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题. 19. (16 分) (2015 春?徐州期末)有 红、黄、蓝、白 4 种颜色的小球,每种小球数量不限 且它们除颜色不同外,其余完全相同,将小球放入如图所示编号为 1,2,3,4,5 的盒子中, 每个盒子只放一只小球. (1)放置小球满足:“对任意的正整数 j(1≤j≤5) ,至少存在另一个正整数 k(1≤k≤5,且 j≠k) 使得 j 号盒子与 k 号盒子中所放小球的颜色相同”的概率; (2)记 X 为 5 个盒子中颜色相同小球个数的最大值,求 X 的概率分布和数学期望 E(X) .

(i) (ii)可得 b

考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)阅读题意得出满足条件的发放分为两类: ①每个盒子中颜色都相同,共有 4 种,②有 2 种颜色组成,共有 2×

所有

=120,运用古

典概率公式求解即可. (2)确定 X 的可能的值为 2,3,4,5.分别求出概率得出分布列,即可求解数学期望. 5 解答: 解: (1)4 种颜色的球放置在 5 个不同的盒子中,共有 4 种放法, 满足条件的发放分为两类:
[来源:学科网 ZXXK]

①每个盒子中颜色都相同,共有 4 种,②有 2 种颜色组成,共有 2× 所求的概率为 P= = ;

=120,

(2)X 的可能的值为 2,3,4,5. 则:P(X=2)= = ,

P(X=3)=

=



P(X=4)= P(X=5)= =

= ;



所以 X 的概率分布列为: X 2 3 4 5
[来源:Zxxk.Com]

P E(X)=2× = .

点评: 本题考察了实际问题与概率的结合,仔细阅读题意得出所求概率的类比,熟练利用 排列组合知识求解即可,难度较大. 20. (16 分) (2015 春?徐州期末)已知 fn(x)=(1+2x) (1+2 x)…(1+2 x) (n≥2,n∈N ) . (1)设 fn(x)展开式中含 x 项的系数为 an,求 an. 2 n+1 (2)设 fn(x)展开式中含 x 项的系数为 bn,求证:bn+1=bn+2 an. (3)是否存在常数 a,b,使 bn= (2
n﹣1 2 n *

﹣1) (2 a+b)对一切 n≥2 且 n∈N 恒成立?若不存

n

*

在,说明理由;若存在,求出 a,b 的值,并给出证明. 考点: 数学归纳法;二项式定理的应用. (i) (ii)可得 b

所有

专题: 证明题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 这是一个数列与二项式的综合题,第(1) 、 (2)小题容易解决,第(3)小题是一个 探索性问题,可先用特殊值法求出 a、b 的值,再用数学归纳法证明. 解答: 解: (1)根据多项式乘法的运算法则,fn(x)的展开式中 x 项的系数为 2 3 n n+1 an=2+2 +2 +…+2 =2 ﹣2. 2 2 (2) 用为 an、 bn 分别是 fn (x) 的展开式中 x 项、 x 项的系数, 则可设 fn (x) =1+anx+bnx +…, 则
[来源:学科网]

fn+1(x)=fn(x)?(1+2 n+1 ∴bn+1=bn+2 an.

n+1

)=1+(an+2
n﹣1

n+1

)x+(bn+2
n

n+1

?an)x +…,?
*

2

(3)假设存在 a、b,使得 bn= (2
2

﹣1) (2 a+b)对一切 n≥2 且 n∈N 恒成立,则

b2= (2﹣1) (2 a+b) ,即 4a+b= b2.① 同理 8a+b= b3.② 又由 f2(x)=1+6x+8x ,得 a2=6,b2=8.从而 b3=56, 代入①、②得 a=1,b=﹣1. 猜想:bn= (2
n﹣1 2

﹣1) (2 ﹣1) (n≥2) .

n

证明如下: (i)n=2 时,已经证明成立; (ii)假设 n=k 时结论成立,即 bk= (2 则 n=k+1 时,bk+1=bk+2
k+1 k﹣1

﹣1) (2 ﹣1) ,
k k+1

k

ak= (2

k﹣1

﹣1) (2 ﹣1)+2

(2

k+1

﹣2)= (2

(i) (ii)可得 b


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