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高三一轮复习课件:函数的单调性(一)


8、 函数的单调性

一、函数的单调性
设函数 f(x) 的定义域为 I :
如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自 变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数; 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自 变量的值 x1, x2,

当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数. 注: 函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区 间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数, 而在另一些 区间上可能是减函数.

二、单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么 就说函数 y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性, 这 一区间叫做函数 y=f(x) 的单调区间. 注: ①函数的单调区间只能是其定义域的子区间; ②函数的单调区间是连续区间, 若区间不连续, 应 分段考查. ③在单调区间上, 增函数的图象自左向右看是上升的, 减函数的图象自左向右看是下降的.

三、用定义证明函数单调性的步骤

1.取值: 对任意 x1, x2∈M, 且 x1<x2; 2.作差: f(x1)-f(x2); 作商: f(x1)/f(x2)时,要注意分母。 3.判定差的正负; 4.根据判定的结果作出相应的结论.

四、复合函数的单调性
复合函数 f[g(x)] 的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u) 的单调性密切相关, 其规律如下:

函数 u=g(x) y=f(u) y=f[g(x )]

增 增

单调性 增 减 减 增

减 减









五、函数单调性的判定方法
1.定义法: 主要适用于抽象函数或已知函数. 2.导数法: 适用于具体函数. 3.图像法: 4.复合函数单调性的判定: 5.和函数单调性的判定: 6.奇偶性: 奇函数在对称区间上具有相同的单调性;

偶函数在对称区间上具有相反的单调性. 7.反函数: 互为反函数的两个函数在各自的定义域上具有 相同的单调性.

六、两类问题的区别
若函数 f(x) 可导, 1.函数 f(x) 的单调递增(或递减)区间是 D:

不等式 f ?(x)>0(<0) 的解集是区间 D;
2.函数 f(x) 在区间 D 上单调递增(或递减): 不等式 f ?(x)≥0(≤0) 对于 x?D 恒成立.

b 例1.试用定义求函数 f(x)=ax+ x (a>0, b>0) 的单调区间.

解题分析:因函数定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)且f(x)是奇 函数,所以所以可以先讨论函数在(0,+∞)上的单调性.
解法1: f ( ? x ) ? ?ax ? ? b x
设x1 ? x2 ? 0, 则

? ? f ( x ) ? f ( x )是奇函数.
b x 在(0, ?? )上的单调性

又因为 x ? 0, 所以下面先讨论f ( x ) ? ax ?

? ? b ? ? b ? b ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ax1 ? ? ? ? ax2 ? ? ? ( x1 ? x2 ) ? a ? ? x1 ? ? x2 ? x1 x2 ? ? ?

当0 ? x2 ? x1 ?

? 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )故 f ( x )在 ? 0, ? ?

时, ? a ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 a x1 x2
b? ? 上是减函数. a?

b

b

b 例1.试用定义求函数 f(x)=ax+ x (a>0, b>0) 的单调区间.
?当x1 ? x2 ? b a 时, 0 ? b x1 x2 ?a

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? b ? 故 f ( x )在 ? , ?? ? 上是增函数. ? a ? ? ? f ( x )是奇函数,
? ? f ( x )在 ? ??, ? ? ? ? f ( x )在 ? ? ? b ? b? ?、 ? a? ? ? ? 0, ? ? ? , ?? ? 上分别是增函数; ? a ? b b? ? 上分别是减函数 a?

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

? , 0 ?、 ? a ?

b 变形.试求函数 f(x)=ax+ x (a>0, b>0) 的单调区间.
解法: ∵函数 f(x) 的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞), b ax2-b 函数 f(x) 的导函数 f ?(x)=a- x2 = x2 ,

令 f ?(x)>0 得: x2> b ? x<- b 或 x> b ; a a a
令 f ?(x)<0 得: x2< b ? - b <x<0 或 0<x< b . a a a ∴函数 f(x) 的单调递增区间是 (-∞, - b ) 与 ( b , +∞), a a 函数 f(x) 的单调递减区间是 (- b , 0) 与 (0, b ). a a

注: ①这个函数的单调性十分重要, 应用非常广泛, 它 的图象如图所示: y

2 ab - b o a

b a -2 ab

x

②求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题, 但必须注意, 如果函数的解析式含有参数, 而且参数 的取值影响函数的单调区间, 这时必须对参数的取值 进行分类讨论.

b 例1.试求函数 f(x)=ax+ x (a>0, b>0) 的单调区间. 【解题回顾】含参数函数单调性的判定,往往对参数要分 变式题: 类讨论.本题的结论十分重要,在一些问题的求解中十分 4 求 y ? s in ? ? (? ? R 且 ? ? k ? , k ? Z ) 的 值 域 有用,应予重视.
s in ?

解 : 令x ? sin?,因 ? ? R且? ? k?
? x ? ? ?1, 0 ? ? ? 0,1?
? 原函数为y ? x ? 而y? x? 4 4 x , x ? ? ?1, 0 ? ? ? 0,1?

x 故 y ? ? ??, 5? ? ?5, ? ? ? ?

, 在 ? ?1, 0 ? 及 ? 0,1? 上都是减函数,

例2.试讨论函数 y=2log21 x-2log 1 x + 1 的单调性.
2 2

解: 令 t=log 2 x, 则 t 关于 x 在 (0, +∞) 上单调递减. 1 1 而 y=2t2-2t+1 在 (-∞, 2 ] 上单减, 在 [ 1 , +∞) 上单增, 2 2 又由 t≤ 1得 x≥ 2, 由 t≥ 1 得 0<x≤ 2, 2 2 2 2 x-2log x+1 在 [ 2 , +∞) 上单调递增, 故函数 y=2log 1 1 2 2 2 2 在 (0, 2 ] 上单调递减.

练习.已知 f(x)=8+2x-x2, 若 g(x)=f(2-x2),
试确定 g(x) 的单调区间. 解: g(x)=8+2(2-x2)-(2-x2)2 . 对 g(x) 求导得: g?(x)=-4x(x2-1), 由g?(x)>0 得: x<-1 或 0<x<1; 由g?(x)<0 得: -1<x<0 或 x>1. 故 g(x) 的单调递增区间是 (-∞, -1) 与 (0, 1); 单调递减区间是 (-1, 0) 与 (1, +∞).

例3.已知f(x)是定义在R上的增函数, 对x∈R有f(x)>0, 且f(5)=1, 设F(x)=f(x)+ 1 , 讨论 F(x) 的单调性, 并证明你的结论. f(x) 解:分析: 上任取 x1, x2, 设 x1<x2, 则由已知 f(x2)>f(x1) 且: 在 R 这是抽象函数的单调性问题, 应该用单调性定义解决. 1 1 F(x2)-F(x1)=[f(x2)+f(x ) ]-[f(x1)+ f(x ) ] 2 1 1 =[f(x2)-f(x1)][1- f(x )f(x ) ]. 1 2 ∵f(x) 是 R 上的增函数, 且 f(5)=1, ∴当 x≤5 时 0<f(x)≤1, 而当 x≥5 时 f(x)≥1. ①若 x1<x2≤5, 则 0<f(x1)<f(x2)≤1, ∴ 0<f(x1)f(x2)<1; 1 ∴1- f(x )f(x ) <0, ∵f(x2)-f(x1)>0, ∴F(x2)<F(x1); 1 2 ②若 x2>x1≥5, 则 f(x2)>f(x1)≥1, ∴f(x1)f(x2)>1, 1 ∴1- f(x )f(x ) >0, ∵f(x2)-f(x1)>0, ∴F(x2)>F(x1). 1 2 综上, F(x) 在 (-∞, 5] 上为减函数, 在 [5, +∞) 上为增函数.

例4.设函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1. (1)当 k 为何值时, 函数 f(x) 的单调递减区间是 (0, 4); (2)当 k 为何值时, 函数 f(x) 在(0, 4)内 单调递减. 解: 对 f(x) 求导得 f ?(x)=3kx2+6(k-1)x, (1)∵函数 f(x) 的单调递减区间是(0, 4), ∴不等式 f ?(x)<0 的解集为(0, 4), 即 kx2+2(k-1)x<0 的解集为(0, 4), ∴0 与 4 是方程 kx2+2(k-1)x=0 的两根, 1 故由根与系数的关系可求得 k 值为 3 . (2)命题等价于 kx2+2(k-1)x<0 对 x?(0, 4) 恒成立, 等价于 kx+2(k-1)<0 对 x?(0, 4) 恒成立, 设g(x)=kx+2(k-1), 由于 g(x) 的图象为一条直线, g(0)≤0 ?k≤ 1. 则 g(4)≤0 3 2 (或分离变量 ? k< x+2 对 x?(0, 4) 恒成立.)

例5.是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4] 上是增函数?

解题分析:假设存在实数a,分a>1, 0<a<1两种情况, 解:设g(x)=ax2-x,假设符合条件的 a 值存在. 由复合函数单调性解. 当a > 1时,为使函数y=f(x)=log (ax2-x)在闭区间[2,4]上 是增函数,只需g(x)=ax2-x在[2,4]上是增函数,故应满足
1 ? ?x ? ?2 1 ? 解得 a ? , 又 a ? 1 ,所以 a ? 1 2a 2 ? g ( 2) ? 4a ? 2 ? 0 ?
a

当0<a < 1时,为使函数y=f(x)=loga(ax2-x)在闭区间[2,4]上 是增函数,只需g(x)=ax2-x在[2,4]上是减函数,故应满足

1 ? 综上可知, 当 a∈(1,+∞)时, ? x? ?4 , 无解。 ? 2a f(x)=loga(ax2-x)在闭区间 [2,4] ? g ( 4) ? 16a ? 4 ? 0 ?

上是增函数.

例6.设 f ? x ? ?

1 x?2

? lg

1? x 1? x

①试判断函数f(x)的单调性并给出证明; ②若f(x)的反函数为f -1(x),证明方程f -1(x)=0有惟一解; ③解关于x的不等式f [x(x1 2 1 2

)]<

解题分析:用定义证明函数的单调性. 利用反证法,结合互为反函数的函数单调性的关系, 证明方程有唯一解. 解: ①函数的定义域是(-1,1),由增减函数的定义可以证 明f(x)在(-1,1)上是减函数 .

例7.设 f ? x ? ?

1 x?2

? lg

1? x 1? x

①试判断函数f(x)的单调性并给出证明; ②若f(x)的反函数为f -1(x),证明方程f -1(x)=0有惟一解; ③解关于x的不等式f [x(x解 : (2)因为 f (0) ? 1 2
?1

1 2

)]<

1 2

, 所以 f

?1



1 2

?1? ? ? ? 0, ?2?

是方程, f
?1

? x ? ? 0 的一根,
? 1 2 1 ,

假设 f 则f
?1

? x ? ? 0还有一解 x1

2 ?1 矛盾,所以f ( x ) ? 0有唯一解。

? x1 ? ? 0, 所以f (0) ? x1 ?

例7.设 f ? x ? ?

1 x?2

? lg

1? x 1? x

①试判断函数f(x)的单调性并给出证明; ②若f(x)的反函数为f -1(x),证明方程f -1(x)=0有惟一解; ③解关于x的不等式f [x(x1 2 1 2

)]<

? ? 1 ?? 解: 不等式即为 f ? x ? x ? ? ? ? f (0), (3) 2 ?? ? ?

1? ? 由f ( x )的单调性,得0 ? x ? x ? ? ? 1 2? ?
? 1 ? 17 ? ? 1 1 ? 17 解得 x ? ? ,0? ? ? , ? ? ?2 4 4 ? ? ? ? ? ? ?

例8.函数 f(x) 对任意 a, b∈ R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当x>0 时, 有 f(x)>1.
(1)求证: f(x) 是 R 上 的增函数; (2)若 f(4)=5, 解不等式 f(3m2-m-2)<3. (1)证: 由已知, 对任意的 x1, x2∈(-∞, +∞) 且 x1<x2 有: f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2- x1)-1. ∵x2-x1>0, ∴f(x2- x1)>1. ∴f(x2- x1)-1>0. ∴f(x2)-f(x1)>0 即 f(x2)>f(x1).

∴f(x) 是 R 上 的增函数.

例8.函数 f(x) 对任意 a, b∈ R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当x>0 时, 有 f(x)>1.
(1)求证: f(x) 是 R 上 的增函数; (2)若 f(4)=5, 解不等式 f(3m2-m-2)<3.
(2)解: ∵f(4)=5, 令 a=b=2 得: f(4)=f(2)+f(2)-1, 从而 f(2)=3. ∴原不等式等价于 f(3m2-m-2)<f(2). ∵f(x) 是 R 上 的增函数, ∴3m2-m-2<2, 即 3m2-m-4<0. 解得: -1<m< 4 . 3 故不等式 f(3m2-m-2)<3 的解集为 (-1, 4 ). 3

【解题回顾】抽象函数是高考考查函数的目标之 一,几种常见的抽象函数在做小题时,可与具体函 数相对应如.f(x+y)=f(x)+f(y).f(x)f(y)=f(x+y). f(x· y)=f(x)+f(y)等分别与一次函数、指数函数、 对数函数相对应.

例9.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足以下两个条件: ①对任意x,y∈(-1,1),都有 ②当x∈(-1,0)时,有 f(x)>0. (1)判定f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由. (2)判定f(x)在(-1,0)上的单调性,并给出证明.
? x? y ? ? f ?x? ? f ? y? ? f ? ? ? 1 ? xy ? ?

1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? f? 2 ? f? ? f? ? ? ??n ? N ? (3)求证: ? n ? 3n ? 1 ? ? n?1? ?n?2? 1 ?1? ? 1 ? ? ? ?1? (4)求证:f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? 2 ?? f? ? ?5? ? 11 ? ? n ? 3n ? 1 ? ?2?

解: (1)当x=y=0时,f(0)+f(0)=f(0), ∴f(0)=0 解题分析:利用定义判定函数的奇偶性,注意赋值法在 f(x)+f(-x)=f(0)=0, 解决抽象问题中的作用,不等式的证明可采用裂项法. 即 f(-x)=-f(x) ∴f(x)在(-1,1)上是奇函数.

例9.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足以下两个条件:
①对任意x,y∈(-1,1),都有 ②当x∈(-1,0)时,有 f(x)>0. (1)判定f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由. (2)判定f(x)在(-1,0)上的单调性,并给出证明.
(2)任取 ? 1 ? x1 ? x2 ? 0, x ? ( ?1, 0) 时,f ( x ) ? 0
? x? y ? ? f ?x? ? f ? y? ? f ? ? ? 1 ? xy ? ?

? x1 ? x2 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( ? x2 ) ? f ? ??0 ? 1 ? x1 x2 ?

即f ( x1 ) ? f ( x2 )
? f ( x )在( ?1, 0)上是减函数

例9.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足以下两个条件:
? x? y ? ? ①对任意x,y∈(-1,1),都有 f ? x ? ? f ? y ? ? f ? ? ? 1 ? xy ? ?

②当x∈(-1,0)时,有 f(x)>0.

1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? f (3)求证: ? 2 ?? f ? ?? f ? ? ?n ? N ? ? n ? 3n ? 1 ? ? n?1? ? n?2?
1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? 解: (3) f ? ? f ? ? f ? ? f ?? ? ? ? ? ? n ?1? ? n?2? ? n ?1? ? n?2?
1 1 ? ? ? n ?1 n?2 ? f ? 1 1 ?1? ? n ?1 n ? 2 ? ? ? 1 ? ? ? f ? 2 ? ? ? n ? 3n ? 1 ? ? ?

例9、定义在(-1,1)上的函数f(x)满足以下两个条件:
①对任意x,y∈(-1,1),都有 ②当x∈(-1,0)时,有 f(x)>0.
? x? y ? ? f ?x? ? f ? y? ? f ? ? ? 1 ? xy ? ?

1 ?1? ? 1 ? ? ? ?1? ?? f? ? (4)求证:f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? 2 ?5? ? 11 ? ? n ? 3n ? 1 ? ?2?
1 ?1? ? 1 ? ? ? 解: 由(3)知f ? ? ? f ? (4) ?? ? f ? 2 ? ? ?5? ? 11 ? ? n ? 3n ? 1 ? ? ?1? ? ?1? ? ? 1 ? 1 ? 1 ?? ? 1 ?? ? ?? ? ? f ? ? ? f ? ?? ? ? f ? ? ? f ? ?? ? ? ? ? f ? ? f ? ? ?? ? 3 ?? ? 4 ?? ? n ? 2 ?? ? ?2? ? ?3? ? ? n ?1?

? 1 ? ?0 ? ? 1 时,有f ? ??0 n?2 ? n?2? 1 ?1? ? 1 ? ?1? ?1? ? 1 ? ? ? ?1? ? f ? ?? f ? ? f ? ? ? f ? ? ? f ? ? ??? f ? 2 ? f? ? ? ? 5? 11 ? n ? 3n ? 1 ? ?2? ? n?2? ?2? ? ? ? ? 2? 1

1 ?1? ? ? ? f ? ?? f ? ? ?2? ? n?2?

例10.已知函数 f(x) 的定义域为 (-∞, 0)∪(0, +∞), 且满足条件: ① f(xy)=f(x)+f(y), ② f(2)=1, ③ 当 x>1 时, f(x)>0. (1)求证: f(x) 为偶函数;(2)讨论函数的单调性;(3)求不等式 f(x)+f(x-3)≤2的 解集. (1)证: 在①中令 x=y=1, 得 f(1)=f(1)+f(1) ?f(1)=0. 令 x=y=-1, 得 f(1)=f(-1)+f(-1)?f(-1)=0. 再令 y=-1, 得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x). ∴f(x) 为偶函数. 1 1 1 (2)解: 在①中令 y= x , 得: f(1)=f(x)+f( x )?f( x ) =-f(x), 先讨论 f(x) 在 (0, +∞) 上的单调性, 任取x1, x2, 设x2>x1>0, x2 1 )=f( x2 ). 则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( x x1 ∵ x1 >1, 1 x2 ∴由③知 f( x )>0. ∴f(x2)>f(x1). 1 ∴f(x) 在 (0, +∞) 上是增函数, ∵偶函数图象关于 y 轴对称, ∴由 (1) 知, f(x) 在(-∞, 0) 上是减函数.

(3)解: ∵f[x(x-3)]=f(x)+f(x-3)≤2, 由 ①、② 得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4), 1)若 x(x-3)>0, ∵ f(x) 在 (0, +∞) 上为增函数, ∴由 f[x(x-3)]≤f(4) 得: x<0 或 x>3 x(x-3)>0 x(x-3)≤4 ? -1≤x≤4 ?-1≤x<0 或 3<x≤4; 2)若 x(x-3)<0, ∵ f(x) 在 (-∞, 0) 上为减函数, ∴由 f[x(x-3)]≤f(-4) 得: 0<x<3 x(x-3)<0 x(x-3)≥-4 ? x?R ? 0<x<3. ∴原不等式的解集为[-1, 0)∪(0, 3)∪(3, 4]. 法二 原不等式等价于 f[|x(x-3)|]≤f(4)(x?0, x-3?0), 由 f(x) 在 (0, +∞) 上为增函数得: |x(x-3)|≤4. 再进一步求得解集. 注 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题, 其基本 方法是变量代换、换元等, 应熟练掌握它们的这些特点.

例11.已知f(x)= 2x-a (x∈R) 在区间[-1, 1]上是增函数. (1)求 x2+2 实数 a 的值所组成的集合 A;(2)设关于 x 的方程 f(x)= 1 的两 x 个非零实根为 x1, x2. 试问: 是否存在实数 m, 使得不等式 m2+tm+1≥|x1-x2| 对任意 a∈A 及 t∈[-1, 1]恒成立? 若存在, 求 出 m 的取值范围;若不存在, 说明理由. 4+2ax -2x2 -2(x2 -ax -2) 解: (1)f ?(x)= = . 2+2)2 2+2)2 (x (x ∵f(x) 在区间[-1, 1]上是增函数, ∴f ?(x)≥0 对 x∈[-1, 1]恒成立. 即 x2 -ax -2≤0 对 x∈[-1, 1]恒成立. ① 设 ?(x)=x2-ax-2. ?(1)=1-a -2≤0 方法一: ① ? ?(-1)=1+a -2≤0 ? -1≤a≤1. ∵对 x∈[-1, 1], f(x) 是连续函数, 且只有当 a=1 时, f ?(-1)=0 以及当 a=-1 时, f ?(1)=0, ∴ A={a | -1≤a≤1} .

a a ≥0 方法二: ① ? 2 2 <0 或 ?(1)=1-a-2≤0 ?(-1)=1+a -2≤0 ? 0≤a≤1 或 -1≤a<0 ? -1≤a≤1. ∵ 对x∈[-1, 1], f(x) 是连续函数, 且只有当 a=1 时, f ?(-1)=0 以及当 a=-1 时, f ?(1)=0, ∴ A={a | -1≤a≤1} . 2x-a (2)由 2 = 1 得 x2-ax-2=0, x +2 x ∵ △=a2+8>0, ∴ x1, x2 是方程 x2-ax-2=0 的两实根. x1+x2=a, ∴ x x =-2, 从而 |x1- x2|= (x1+x2)2 -4x1x2 = a2+8 . 1 2 ∵ -1≤a≤1, ∴ |x1- x2| = a2+8 ≤3. 要使 m2+tm+1≥|x1- x2| 对任意 a∈A 及 t∈[-1, 1]恒成立, 当且仅当 m2+tm+1≥3 对任意 t∈[-1, 1]恒成立, 即 m2+tm-2≥0 对任意 t∈[-1, 1]恒成立. ② 设 g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),

g(-1)=m2-m -2≥0 方法一: ② ? ? m≥2 或 m≤-2. g(1)=m2+m -2≥0
∴ 存在实数 m, 使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2| 对任意 a∈A 及 t∈[-1, 1]恒成立, 其取值范围是 (-∞, -2)∪(2, +∞). 方法二: 当 m=0 时, ②显然不成立; 当 m?0 时, m>0 m<0 ②? g(-1)=m2-m -2≥0 或 g(1)=m2+m -2≥0

? m≥2 或 m≤-2.
∴ 存在实数 m, 使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2| 对任意 a∈A 及 t∈[-1, 1]恒成立, 其取值范围是 (-∞, -2)∪(2, +∞).


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