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高中数学必修2(人教A版)第二章几点、直线、平面的位置关系2.1知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

一、学习任务 理解空间点、线、面的位置关系,会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系;了解可 以作为推理依据的公理和定理,能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系.

二、知识清单

/>平面的概念与基本性质 点、线、面的位置关系

三、知识讲解
1.平面的概念与基本性质 描述: 平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形,课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象.几何里所说的 平面就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是几何中的平面是没有厚度、无限延展的. 平面的画法 我们常常把水平的平面画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画 为 45? ,且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立 体感,我们常把被遮挡的部分用虚线画出来. 平面的表示 为了表示平面,常把希腊字母 α, β, γ 等等写在代表平面的平行四边形的一个角上,如平面 α 、 平面 β ;也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写英文字母作 为这个平面的名称,如图中的平面可以表示为平面 ABCD 、平面 AC 或者平面 BD .

集合符号在立体几何中的应用 以点作为元素,直线和平面都是由点构成的集合.几何中许多符号的规定都是源于将图形视为点 集.例如:点 A 在平面 α 内,记作 A ∈ α;点 A 不在平面 α 内,记作 A ? α.直线 l 在
平面 α 内,记作 l ? α;直线 l 不在平面 α 内,记作 l ?? α;直线 l 与 m 相交于点 A ,记作 l ∩ m = A ;平 面 α 与平面 β 相交于直线 a ,记作 α ∩ β = a .

平面的基本性质 平面的基本性质是由三条公理描述的: 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

A∈l

A∈α

符号语言:A ∈ l,B ∈ l,且 A ∈ α,B ∈ α?l ? α.

公理2

过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

推论1

经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.

推论2

经过两条相交直线,有且只有一个平面.

推论3

经过两条平行直线,有且只有一个平面.

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言:P ∈ α,且 P ∈ β ?α ∩ β = l ,且 P ∈ l.

空间位置关系与几何量的基础 平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 例题: 用符号语言表示下列语句. (1)点 A 在平面 α 外,点 B 在平面 α 内,直线 l 经过点 A ,B ; (2) 平面ABD 与平面BCD 交于 BD , 平面ABC 与 平面ADC 交于 AC . 解:(1)a ? α,B ∈ α,A ∈ l,B ∈ l. (2)平面ABD ∩ 平面BCD = BD,平面ABC ∩ 平面ADC = AC. 如图所示,在四面体 ABCD 中,E、F 、G、H 分别是 AB 、AD 、BC 、CD 上的点,且 EF ∩ GH = P ,求证 B ,D ,P 三点共线.

证明:因为 E ∈ AB,F ∈ AD,所以 EF ? 平面 ABD,同理,GH ? 平面 BCD,又 EF ∩ GH = P ,所以 P ∈ 平面 ABD,P ∈ 平面 BCD,而 平面 ABD ∩ 平面 BCD = BD, 所以 P ∈ 直线BD,即 B ,D ,P 三点共线. 已知:如图,l 1 ∩ l 2 = A ,l 2 ∩ l 3 = B ,l 1 ∩ l 3 = C .求证:直线 l 1 ,l 2 ,l 3 在同一平面内.

证法一:(同一法) 因为 l 1 ∩ l 2 = A ,所以 l 1 和 l 2 确定一个平面 α. 因为 l 2 ∩ l 3 = B ,所以 B ∈ l 2 .又因 为 l 2 ? α ,所以 B ∈ α.同理可证 C ∈ α .又 B ∈ l 3 ,C ∈ l 3 ,所以 l 3 ? α .因此,直线 l 1 ,l 2 ,l 3 在同一个平面内. 证法二:(重合法) 因为 l 1 ∩ l 2 = A ,所以 l 1 ,l 2 确定一个平面 α.因为 l 2 ∩ l 3 = B ,所以 l 2 ,l 3 确定一个平 面 β .又因为 A ∈ l 2 ,l 2 ? α ,所以 A ∈ α.又 A ∈ l 2 ,l 2 ? β ,所以 A ∈ β .同理可证得 B ∈ α,B ∈ β ,C ∈ α ,C ∈ β .所以不共线的三个点 A ,B ,C 在平面 α 内,又在平面 β 内.所以平面 α 和平面 β 重合,即直线 l 1 ,l 2 ,l 3 在同一平面内. 结合空间想象回答下列问题: (1)2 个平面可以分空间为______部分; (2)3 个平面可以分空间为______部分; (3)正方体的各个面延伸后将空间分成______部分. 解:(1)3 ,4 ;(2)4 ,6 ,7 ,8 ;(3)27. 对于(1):当 2 个平面平行时,分成 3 部分;当两个面相交时,分成 4 部分; 对于(2):当 3 个平面两两平行时,分成 4 部分;当其中两个平面平行,和另外一个平面相 交或者三个平面相交于一条直线时,分成 6 部分;当 3 个平面两两相交且交线两两平行时,分 成 7 部分;当 3 个平面两两相交且交线相交于一点时,分成 8 部分; 对于(3):首先,将正方体的四个侧面延伸,可知将空间分成 9 部分,然后,将正方体的上下 底面延伸可知将之前部分分成了 3 层,每层 9 部分,共 3 × 9 = 27 部分 . 若直线 a 、b 、c 相交于一点,则这 3 条直线可能确定的平面有( ) A.0 个 B.1 个 C.无数个 D.1 个或 3 个 解:D 当 a 、b 、c 三线共面时,平面只有 1 个;当三线不共面时,任意两条可确定一个平面,共 3 个.

2.点、线、面的位置关系

描述: 点与平面的位置关系 平面内有无数个点,平面可以看成点的集合.点 A 在平面 α 内,记作 A ∈ α ;点 A 不在平 面 α 内,记作 A ? α . 直线与直线的位置关系 空间直线与直线的位置关系共有以下两种: 共面直线 在同一平面内的两条直线.更进一步,若这两条直线有且只有一个公共点,则称它 们是相交直线 ,若这两条直线没有公共点,则称它们是平行直线; 异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线. 直线垂直 如果两条直线所成的角是直角,那么我们就说这两条直线互相垂直,记作 a ⊥ b .在空间,两条 直线垂直包括两种情形:共面垂直和异面垂直. 直线与平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系共有以下三种: 直线在平面内 直线上的所有点都在平面内; 直线与平面相交 直线与平面有且仅有一个公共点; 直线与平面平行 直线与平面没有公共点. 平面与平面的位置关系 空间平面与平面的位置关系共有以下两种: 平行 两个平面没有公共点,则称这两个平面平行; 相交 两个平面有一条公共直线,则称这两个平面相交,此时这条公共直线称为这两个平面的 交线. 例题: 如果在两个平面内分别各有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.垂直相交 解:C 可根据题意作图判断,如图所示,分别为两个平面平行、相交的情况 .

分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.异面或相交 D.平行 解:C 如图所示,可能相交,也可能异面,若两直线平行,则此两条直线确定一个平面,且原两条异面 直线均在此平面内,故矛盾 .

若直线 l 不平行于平面 α,且 l ?? α,则( ) A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存 在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 解:B 依题意,设直线 l ∩ α = A,如图.α 内的直线若经过点 A ,则与直线 l 相交;若不经过点 A ,则与直线 l 是异面直线,但不可能与 l 平行.

四、课后作业

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1. 如图,在正方体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 中, O 是底面正方形 ABCD 的中心, M 是 D 1 D 的中 点, N 是 A 1 B 1 上的动点,则直线 NO 、 AM 的位置关系是 (

).

A.平行
答案: C 解析:

B.相交

C.异面垂直

D.异面不垂直

A 1 B 1 和点 O 确定平面 A 1 B 1 O ,且 NO ? 平面 A 1 B 1 O , ∴ 判定 MA 与平面 A 1 B 1 O 的 位置关系,只需判定直线 NO、AM 的位置关系即可. )

2. 平行六面体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为 ( A.3
答案: C

B.4

C.5

D.6

3. 正方体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 中,P 、 Q 、 R 分别是 AB 、 AD 、 B 1 C1 的中点.那么,正方体 的过 P 、 Q 、 R 的截面图形是 ( A.三角形
答案: D

)
C.五边形 D.六边形

B.四边形

4. 下列正方体或正四面体中,P ,Q,R ,S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是 (

)

A.

B.

C.

D.
答案: D

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