当前位置:首页 >> 数学 >>

北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题(word版)


昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科) (满分 150 分,考试时间 120 分钟)2013.1 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. (1)设集合 A ? ? x x >1? , B ? ? x | x ( x ? 2 ) ?

0 ? ,则 A ? B 等于 A. { x | x ? 2} C. ?x 1 ? x ? 2 ? (2)“ a ? 2 ”是“直线 y ? ? a x ? 2 与 y ? A. 充分不必要条件 C. 充要条件
a 4

B. ?x 0 ? x ? 2 ? D. { x | 0 ? x ? 1}
x ? 1 垂直”的

B 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(3)已知函数 f ( x )= ln x ,则函数 g ( x )= f ( x ) ? f '( x ) 的零点所在的区间是 A.(0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? (4)设不等式组 ? x ≤ 4, ? y ? ?2 ?

表示的平面区域为 D .在区域 D 内随机取一个点,则此点

到直线 y + 2 = 0 的距离大于 2 的概率是 A.
4 13

B.

5 13

C.

8 25

D.

9 25

(5)设 S n 是公差不为 0 的等差数列 { a n } 的前 n 项和,且 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列,则 A.1 B. 2 C. 3 D. 4

a2 a1

等于

(6)在高三(1)班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生,2 位男生.如 果 2 位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为 A. 24 面积为 A. 1 0 ? 4 3 ? 4 2 B. 36 C. 48 D.60

(7)已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的全

第1页

B. 1 0 ? 2 3 ? 4 2 C. 1 4 ? 2 3 ? 4 2 D. 1 4 ? 4 3 ? 4 2 (8)已知函数:① f ( x ) ? ? x ? 2 x ,② f ( x ) ? c o s (
2

?
2

?

?x 2

1

)

,③

f ( x ) ? | x ? 1| 2

.则以

下四个命题对已知的三个函数都能成立的是 命题 p : 命题 r
f ( x ) 是奇函数;

命题 q : 命题 s :

f ( x ? 1) f (x)

在 (0, 1) 上是增函数;
? 1 对称

1 1 : f( )? 2 2



的图像关于直线 x

A.命题 p、 q

B.命题 q、 s

C.命题 r、 s

D.命题 p、 r

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)若
ai 1? i ? ? 2 ? 2 i ,其中 i

是虚数单位,则实数 a 的值是____________.

(10)以双曲线

x

2

?

y

2

? 1 的右焦点为圆心,并与其渐近线相

9

16

切的圆的标准方程是 (11)在 △ A B C 中,若 b

_____.
? 2 2 , c ? 1 , tan B ? 2 2

,则 a =

.

(12)已知某算法的流程图如图所示,则程序运行结束时输出 的结果为 . (13)在 R t ? A B C 中,? C ? 9 0 , A C ? 4 , B C ? 2 , D 是 B C 的中点,那么 ( A B ? A C ) ? A D ? ____________;若 E 是 A B 的 中点, P 是 ? ABC (包括边界)内任一点.则 A D ? E P 的取值 范围是___________. (14) 在平面直角坐标系中, 定义 d ( P , Q ) ? x1 ? x 2 ? y 1 ? y 2 为两点 P ( x1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) 之间的“折线距离”. 则 ① 到坐标原点 O 的“折线距离”不超过 2 的点的集合所构成的平面图形面积是_________;
uuu uur r
uuu r uuu r uuu r
?

第2页



坐标原点 O 与直线 2 x ? y ? 2 3 ? 0 上任意一点的“折线距离”的最小值是 _____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分)已知函数
f (x) ? ( 2 3 sin
2

x ? sin 2 x ) ? cos x sin x

?1.

(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [
? ? , ] 上的最值. 4 2
E F

(16) (本小题满分 14 分)在四棱锥 E - A B C D 中,底面 A B C D 是正 形,A C 与 B D 交 于 点 O , E C ^ 底 面 A B C D , F 为 B E 的中点. (Ⅰ) 求证: D E ∥平面 A C F ; (Ⅱ)求证: B D ^ A E ; (Ⅲ)若 A B =
EG EO


B

C O

D

A

2 C E , 在线段 E O 上是否存在点 G ,使 C G ^ 平 面 B D E ?若存在,求出

的值,若不存在,请说明理由.

(17) (本小题满分13分)为了解甲、乙两厂的产品的质量,从两厂生产的产品中随机抽取 各10件,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图: 甲厂 9 3 9 6 5 8 0 1 8 4 5 6 9 0 3 乙厂

1 5 0 3 2 1 0 3 规定:当产品中的此种元素含量满足≥18 毫克时,该产品为优等品. (Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率; (Ⅱ)从乙厂抽出的上述 10 件产品中,随机抽取 3 件,求抽到的 3 件产品中优等品数 ? 的

第3页

分布列及其数学期望 E ( ? ) ; (Ⅲ)从上述样品中,各随机抽取 3 件,逐一选取,取后有放回,求抽到的优等品数甲厂恰 比乙厂多 2 件的概率.

(18) (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x ) ? ? x ? a x ? 4 ( a ? R ).
3 2

(Ⅰ) 若函数 y ? f ( x ) 的图象在点 P (1, f (1 ) ) 处的切线的倾斜角为 上的最小值; (Ⅱ)若存在 x 0 ? ( 0 , ?? ) ,使 f ( x 0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

? 4

, f ( x ) 在 ? ? 1,1 ? 求

(19) (本小题满分 13 分)已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴, 离心率为
y ? 4
2

2 2

, 且抛物线

2 x 的焦点是椭圆 M

的一个焦点.

(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段 O A , O B 为邻边作平行四边形 OAPB,其 中点 P 在椭圆 M 上, O 为坐标原点. 求点 O 到直线 l 的距离的最小值.

(20) (本小题满分 14 分) 已知每项均是正整数的数列 a 1 , a 2 , a 3 , ? , a 1 0 0 ,其中等于 i 的项有 k i 个 ( i ? 1, 2, 3 ? ) ,设
b j ? k 1 ? k 2 ? ? ? k j ( j ? 1, 2 , 3 ), g ( m ) ? b1 ? b 2 ? ? ? b m ? 1 0 0 m ( m ? 1, 2, 3 ? ). ?
) (( ) (Ⅰ) 设数列 k 1 ? 4 0, k 2 ? 3 0, k 3 ? 2 0, k 4 ? 1 0, k 5 ? ... ? k 1 0 0 ? 0 , g,1,( ,3g 求 )(2 ) 4 g g



(Ⅱ)若 a 1 , a 2 , a 3 , ? , a 1 0 0 中最大的项为 50, 比较 g ( m ), g ( m ? 1) 的大小; (Ⅲ)若 a 1 ? a 2 ? ? ? a 100 ? 2 0 0 ,求函数 g ( m ) 的最小值.

第4页

昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数 学 试卷 参考答案(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.)
题 号 答案 (1) C (2) A (3) B (4) D (5) C (6) D (7) B (8) C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) (9)
4

(10) ( x ? 5 ) ? y ? 1 6
2 2

(11) 3 (13) 2; [-9,9]

(12)4 (14) 8; 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 得 x 故
? kπ

(k

?

Z),
? k π , k ? Z}.…………………2

f ( x ) 的定义域为 { x ?

R| x



因为 f ( x ) ?

( 2 3 sin

2

x ? sin 2 x ) ? cos x sin x

?1

? ( 2 3 sin x ? 2 co s x ) ? co s x ? 1
? 3 sin 2 x ? c o s 2 x

? 2 s in ( 2 x ?

π 6

)

,………………………………6 分
2π 2 ? π

所以 (II)由 x 挝[ 当2x ? 当2x ?

f ( x ) 的最小正周期 T ?

.…………………7 分

? ? , ], 2 x 4 2 ? 5? 6 ? ? 2

[

? 2

, ? ], 2 x ? 2

? 6

[

? 5? , ], …………..9 分 3 6

? 6 ? 6

,即 x ? ? 3

时 , f ( x ) 取 得 最 小 值 1 ,…………….11 分

,即 x ?

时 , f ( x ) 取 得 最 大 值 2 .……………….13 分

(16)(本小题满分 14 分) 解: (I)连接 O F .

E F G C O A B
第5页

D

由 A B C D 是正方形可知,点 O 为 B D 中点. 又 F 为 B E 的中点, 所以 O F ∥ D E ………………….2 分 又OF 趟平 面 ACF , DE
平 面 ACF ,

所以 D E ∥平面 A C F ………….4 分 (II) 证明:由 E C ^ 底 面 A B C D , B D 所以 E C ^ B D , 由 A B C D 是正方形可知, A C ^ B D , 又 A C 翘E C = C , A C , E C
平 面 A C E,
底 面 A B C D,

所以 B D ^ 平 面 A C E , ………………………………..8 分 又 A E ? 平 面 A C E, 所以 B D ^ A E …………………………………………..9 分 (III)解法一: 在线段 E O 上存在点 G ,使 C G ^ 平 面 B D E . 理由如下: 如图,取 E O 中点 G ,连接 C G . 在四棱锥 E - A B C D 中, A B =
2C E , C O = 2 2 AB = CE ,

所以 C G ^ E O .…………………………………………………………………..11 分 由(II)可知, B D ^ 平 面 A C E , 而 B D ? 平 面 B D E , 所以, 平 面 A C E ^ 平 面 B D E , 且 平 面 A C E ? 平 面 B D E 因为 C G ^ E O , C G
平 面 A C E, E O,

所以 C G ^ 平 面 B D E …………………………………………………………. 13 分 故在线段 E O 上存在点 G ,使 C G ^ 平 面 B D E . 由 G 为 E O 中点,得 解法二: 由 E C ^ 底 面 A B C D, 且底面 A B C D 是正方形,如图, 建立空间直角坐标系 C - D B E ,
EG EO = 1 2 . …………………………………………… 14 分

z E F G C O B y

D x

A

第6页

由已知 A B =

2C E , 设 C E = a (a > 0) ,

则 C (0, 0, 0 ), D ( 2 a , 0, 0 ), B (0, 2 a , 0 ), E (0, 0, a ),
2 2 2 2 uuu r a , 0 ), B D = ( 2 a , uur 2 a , 0 ), B E = (0 , uuu r 2 a , a ), E O = ( 2 2 2 2

O(

a,

a,

a , - a ).

设 G 为线段 E O 上一点, 且

EG EO

uuu r uuu r = ? (0 < ? < 1) , E G = ? E O = ( 则

2 2

? a,

2 2

? a , - ? a ),

uuu r uur uuu r CG = CE + ? EO = (

2 2

? a,

2 2

? a , (1 - ? ) a ), …………………………..12 分
uuu r uuu r

由题意,若线段 E O 上存在点 G ,使 C G ^ 平 面 B D E ,则 C G ^ B D , C G ^ B E . 所以, - ? a + (1 - ? ) a = 0 , 解 得 , ? =
2 2

uuu r

uur

1 2

( 0 ,1),

故在线段 E O 上存在点 G ,使 C G ^ 平 面 B D E ,且 (17)(本小题满分 13 分)

EG EO

=

1 2

. …………………… 14 分

解: (I)甲厂抽取的样本中优等品有 6 件,优等品率为 乙厂抽取的样本中优等品有 5 件,优等品率为 (II) ? 的取值为 0,1,2,3.
C5 ?C5
0 3

6 10 5 10

? ?

3 5

. . ………………..2 分

1 2

P (? ? 0 ) ?

C 10

3

?

1 12

, P ( ? ? 1) ?

C5 ?C5
1

2

C 10

3

?

5 12

,

P (? ? 2 ) ?

C5 ?C5
2

1

C 10

3

?

5 12

, P ( ? ? 3) ?

C5
3

3

?

1 12

C 10

所以 ? 的分布列为
?
P

0
1 12

1
5 12

2
5 12

3
1 12

第7页

( 故 ? 的 数 学 期 望 为 E ? )? 0 ?

1 12

? 1?

5 12

? 2?

5 12

? 3?

1 12

?

. 2 ……………………9 分

3

(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件包括 2 个事件,即 A=“抽取的优等品数甲厂 2 件,乙厂 0 件”,B=“抽取的优等品数甲厂 3 件,乙厂 1 件”
27 2 3 2 2 0 1 0 1 3 P ( A) ? C3 ( ) ( ) ? C3 ( ) ( ) ? 5 5 2 2 500 81 3 3 3 1 1 1 1 2 P(B) ? C3 ( ) ? C3 ( ) ( ) ? 5 2 2 1000

抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的概率为 P ( A ) ? P ( B ) ? (18)(本小题满分 13 分)
2 解: (I) f ? ( x ) ? ? 3 x ? 2 ax .

27 500

?

81 1000

?

27 200

. …13 分

…………………………. ……………1 分 …………………3 分

根据题意, f ? (1) ? ta n

? 4

? 1,? ? 3 ? 2 a ? 1, 即 a ? 2 .

3 2 2 此时, f ( x ) ? ? x ? 2 x ? 4 ,则 f ? ( x ) ? ? 3 x ? 4 x .

令 f '( x ) ? 0, 得 x1 ? 0 , x 2 ?
x
?1
?7
?1

4 3

.
0

( ? 1, 0 )

(0 ,1)

1
1
?3

f ?? x?
f



0
?4

+ ↗

?x?

…………………………………………………………………………………………. 6 分 ∴当 x ? ? ? 1,1 ? 时, f ? x ? 最小值为 f ? 0 ? ? ? 4 . ………………………7 分 (II)? f ? ( x ) ? ? 3 x ( x ?
2a 3 ).

①若 a ≤ 0, 当 x ? 0时 , f ? ( x ) ? 0,? f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上单调递减. 又 f (0 ) ? ? 4, 则 当 x ? 0时 , f ( x ) ? ? 4 .
? 当 a ≤ 0时 , 不 存 在 x 0 ? 0, 使 f ( x 0 ) ? 0 . …………………………………………..10 分

②若 a ? 0 , 则 当 0 ? x ? 从而 f ( x ) 在(0,
2a 3

2a 3

时 , f ? ( x ) ? 0; 当 x ? 2a 3

2a 3

时 , f ?( x ) ? 0 .

)上单调递增,在(

,+ ? ) 上单调递减.

第8页

? 当 x ? ( 0 , ?? )时 , f ( x ) max ? f (

2a 3

) ? ?

8a 27

3

?

4a 9

3

? 4 ?

4a 27

3

? 4.

根据题意,

4a

3

? 4 ? 0 , 即 a ? 2 7 . ? a ? 3 . …………….............................. 13 分
3

27

综上, a 的取值范围是 (3, ? ? ) . (19)(本小题满分 13 分) 解: (I) 由已知抛物线的焦点为 ( 2 , 0 ) ,故设椭圆方程为
x a
2
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )



则c

?

2 ,由 e ?

2 2

, 得 a ? 2 , b ? 2 . 所以椭圆 M
2

的方程为

x

?

y

2

4

2

? 1 . ……5



(II)当直线 l 斜率存在时,设直线方程为 y ? k x ? m ,
? y ? kx ? m ,
2 ? x2 y ? ? 1. ? ? 4 2

则由 ?

消去 y 得, (1 ? 2 k ) x ? 4 km x ? 2 m ? 4 ? 0 ,
2 2 2

…………………6 分
2

? ? 1 6 k m ? 4 (1 ? 2 k )( 2 m ? 4 ) ? 8( 2 ? 4 k ? m ) ? 0
2 2 2 2 2



①…………7 分

( ( 设 A、 B 、 P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、 x 2 , y 2 )、 x 0 , y 0 ) ,则:
4 km 1 ? 2k
2

x 0 ? x1 ? x 2 ? ?

, y 0 ? y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 m ?

2m 1 ? 2k
2

…………8 分 ,

由于点 P 在椭圆 M 上,所以

x0 4

2

?

y0 2

2

?1 .

……… 9 分

从而

4k m

2

2 2 2

(1 ? 2 k )

?

2m

2 2 2

(1 ? 2 k )

? 1 ,化简得 2 m

2

? 1 ? 2 k ,经检验满足①式.
2

………10 分 又点 O 到直线 l 的距离为:

第9页

1 d ? |m | 1? k
2

?k

2

?

2 1? k
2

?

1?

1 2 (1 ? k )
2

?

1?

1 2

?

2 2

………11 分 ………12 分

当且仅当 k ? 0 时等号成立 当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上,

从而点 P 的坐标为 ( ? 2, 0 ) 或 ( 2, 0 ) ,直线 l 的方程为 x ? ? 1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1 .
2 2

所以点 O 到直线 l 的距离最小值为 (20)(本小题满分 14 分)

.

………13 分

解: (I) 因为数列 k 1 ? 4 0, k 2 ? 3 0, k 3 ? 2 0, k 4 ? 1 0 , 所以 b1 ? 4 0, b 2 ? 7 0, b 3 ? 9 0, b 4 ? 1 0 0 , 所以 g (1) ? ? 60, g ( 2 ) ? ? 90, g (3) ? ?100, g( 4 ) ? ?100 (II) 一方面, g ( m ? 1) ? g ( m ) ? b m ? 1 ? 1 0 0 , 根据 b j 的含义知 b m ? 1 ? 1 0 0 , 故 g ( m ? 1) ? g ( m ) ? 0 ,即 g ( m ) ? g ( m ? 1) , 当且仅当 b m ? 1 ? 1 0 0 时取等号. 因为 a 1 , a 2 , a 3 , ? , a 1 0 0 中最大的项为 50,所以当 m ? 5 0 时必有 b m ? 1 0 0 , 所以 g (1) ? g ( 2 ) ? ? ? g ( 4 9 ) ? g (5 0 ) ? g (5 1) ? ? ? 即当 1 ? m ? 4 9 时,有 g ( m ) ? g ( m ? 1) ; 当 m ? 4 9 时,有 g ( m ) ? g ( m ? 1) …9 分 (III)设 M 为 ? a 1 , a 2 , ? , a 1 0 0 ? 中的最大值. 由(II)可以知道, g ( m ) 的最小值为 g ( M ) . 根据题意, b M ? k 1 ? k 2 ? k 3 ? L ? k M ? 1 0 0,
k1 ? 2 k 2 ? 3 k 3 ? L ? MM k ? 1 ? a ? a. . . a ? 2 3 ? 1 0. 0 a

…………………4 分



第 10 页

下面计算 g ( M ) 的值.
g ( M ) ? b1 ? b 2 ? b 3 ? ? ? b M ? 1 0 0 M ? ( b1 ? 1 0 0 ) ? ( b 2 ? 1 0 0 ) ? ( b 3 ? 1 0 0 ) ? ? ? ( b M ? 1 ? 1 0 0 ) ? (? k2 ? k3 ? ? ? kM ) ? (? k3 ? k4 ? ? ? k M ) ? (? k4 ? k5 ? ? ? k M ) ? ? ? (? k M ) ? ? [ k 2 ? 2 k 3 ? ? ? ( M ? 1) k M ] ? ? ( k1 ? 2 k 2 ? 3 k 3 ? ? ? M k M ) ? ( k1 ? k 2 ? ? ? k M ) ? ? ( a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a100 ) ? bM ? ? ( a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a100 ) ? 1 0 0



∵ a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a100 ? 2 0 0 , ∴ g ( m ) 最小值为 ? 1 0 0 .

∴ g (M ) ? ?100 ,

………………………………………….14 分

第 11 页


相关文章:
北京昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题含答案
北京昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题含答案_高三数学_数学_高中教育_教育...【Word版解析】北京市昌... 暂无评价 16页 ¥0.50 北京市朝阳区2013届高...
北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题
北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题_...
【Word版解析】北京市昌平区2013届高三上学期期末考试 数学理试题
Word版解析】北京市昌平区2013届高三上学期期末考试 数学理试题_数学_高中教育_教育专区。Word版解析昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数 考...
北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题
北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科)第Ⅰ卷(...
北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案
北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案隐藏>> 昌平区 2012-2013 学年第一...
北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题_Word版含答案[1] 2
北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题_Word版含答案[1] 2 隐藏>> 昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科) (满分 150...
【2013昌平一模】北京市昌平区2013届高三上学期期末考试理科数学试题
2013昌平一模】北京市昌平区2013届高三上学期期末考试理科数学试题_数学_高中教育_教育专区。昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科)...
【解析】北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题
【解析】北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 隐藏>> 昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试共 40 分) 卷(理科) (满分 150...
北京市昌平区2012-2013学年度高三数学(理)上学期期末考试试题word版带答案2013.1
北京市昌平区2012-2013学年度高三数学(理)上学期期末考试试题word版带答案2013.1_数学_高中教育_教育专区。北京市昌平区2012-2013学年度高三数学(理)上学期期末...
更多相关标签:
北京市昌平区邮编 | 北京市昌平区 | 北京市昌平区第一中学 | 北京市昌平区中医医院 | 北京市昌平区物美招聘 | 北京市昌平区第二中学 | 北京市昌平区医院 | 北京市昌平区天气预报 |