当前位置:首页 >> 数学 >>

2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析


2012 年重庆市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分.在每小题给出的四个备选选项 中,只有一个是符合题目要求的 1. (5 分) (2012?重庆)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前 5 项和 S5=( A.7 B.15 C.20 D.25 )


考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用等差数列的性质,可得 a2+a4=a1+a5=6,再利用等差数列的求和公式,即可得到 结论. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a2=1,a4=5, ∴a2+a4=a1+a5=6,
菁优网版权所有

∴S5= (a1+a5)= 故选 B. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查等差数列的求和公式,熟练运用性质是关键.

2. (5 分) (2012?重庆)不等式 A. B. C.

≤0 的解集为(

) D.

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 由不等式 可得
菁优网版权所有

,由此解得不等式的解集. ,解得﹣ <x≤1,故不等式

解答: 解:由不等式 的解集为

可得 ,

故选 A. 点评: 本题主要考查分式不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于中档题. 3. (5 分) (2012?重庆) 对任意的实数 k, 直线 y=kx+1 与圆 x +y =2 的位置关系一定是 ( A.相离 B. 相切 C. 相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 探究型. 2 2 分析: 对任意的实数 k,直线 y=kx+1 恒过点(0,1) ,且斜率存在, (0,1)在圆 x +y =2 内,故可得结论.
菁优网版权所有

2

2



1

解答: 解:对任意的实数 k,直线 y=kx+1 恒过点(0,1) ,且斜率存在 ∵(0,1)在圆 x +y =2 内 2 2 ∴对任意的实数 k, 直线 y=kx+1 与圆 x +y =2 的位置关系一定是相交但直线不过圆心 故选 C. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,解题的关键是确定直线 y=kx+1 恒过点(0,1) ,且斜 率存在. 4. (5 分) (2012?重庆) A. B. 的展开式中常数项为( C. ) D.105
2 2

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 在 的展开式通项公式中,令 x 的幂指数等于零,求出 r 的值,即可
菁优网版权所有

求得展开式中常数项. 解答: 解: 的展开式通项公式为

Tr+1= 令 =0,r=4.

=



故展开式中常数项为

=



故选 B. 点评: 本题主要考查二项式定理,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中 档题. 5. (5 分) (2012?重庆)设 tanα,tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根,则 tan(α+β)的值为 ( ) A.﹣3 B.﹣1 C .1 D.3 考点: 两角和与差的正切函数;根与系数的关系. 专题: 计算题. 2 分析: 由 tanα,tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根,利用根与系数的关系分别求出 tanα+tanβ 及 tanαtanβ 的值,然后将 tan(α+β)利用两角和与差的正切函数公式化简后,将 tanα+tanβ 及 tanαtanβ 的值代入即可求出值. 2 解答: 解:∵tanα,tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根, ∴tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2,
菁优网版权所有

2

2

则 tan(α+β)=

=

=﹣3.

故选 A 点评: 此题考查了两角和与差的正切函数公式,以及根与系数的关系,利用了整体代入的思 想,熟练掌握公式是解本题的关键.

6. (5 分) (2012?重庆)设 x,y∈R,向量 =(x,1) , =(1,y) , =(2,﹣4)且 ⊥ , ∥ ,则| + |=( A. ) B. C. D.10

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系; 向量的模; 平面向量共线 (平行) 的坐标表示.
菁 优网版权所有

专题: 计算题. 分析: 由两个向量垂直的性质可得 2x﹣4=0,由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0,由此 求出 x=2,y=﹣2,以及 的坐标,从而求得| |的值.

解答: 解:∵向量 =(x,1) , =(1,y) , =(2,﹣4)且 ⊥ , ∥ ,则有 2x﹣4=0, ﹣4﹣2y=0, 解得 x=2,y=﹣2,故 故有| |= = , =(3,﹣1 ) .

故选 B. 点评: 本题主要考查两个向量共线的性质, 两个向量垂直的性质, 两个向量坐标形式的运算, 属于基础题. 7. (5 分) (2012?重庆)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“f(x)为 [0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( ) A.既不充分也不必要的条件 B. 充分而不必要的条件 C. 必要而不充分的条件 D.充要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 由题意,可由函数的性质得出 f(x)为[﹣1,0]上是减函数,再由函数的周期性即可 得出 f(x)为[3,4]上的减函数,由此证明充分性,再由 f(x)为[3,4]上的减函数 结合周期性即可得出 f(x)为[﹣1,0]上是减函数,再由函数是偶函数即可得出 f(x) 为[0,1]上的增函数,由此证明必要性,即可得出正确选项 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴若 f(x)为[0,1]上的增函数,则 f(x)为[﹣1,0]上是减函数, 又∵f(x)是定义在 R 上的以 2 为周期的函数,且[3,4]与[﹣1,0]相差两个周期, ∴两区间上的单调性一致,所以可以得出 f(x)为[3,4]上的减函数,故充分性成立.
菁优网版权所有

3

若 f(x)为[3,4]上的减函数,同样由函数周期性可得出 f(x)为[﹣1,0]上是减函 数,再由函数是偶函数可得出 f(x)为[0,1]上的增函数,故必要性成立. 综上,“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件. 故选 D. 点评: 本题考查充分性与必要性的判断,解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向,即 由那个条件到那个条件的证明是充分性,那个方向是必要性,初学者易搞不清证明的 方向导致表述上出现逻辑错误. 8. (5 分) (2012?重庆)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x) ,且函数 y=(1﹣x) f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B. 函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(1) C. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(﹣2) D.函数 f(x)有极大值 f(﹣2)和极小值 f(2) 考点: 函数在某点取得极值的条件;函数的图象. 专题: 计算题. 分析: 利用函数的图象,判断导函数值为 0 时,左右两侧的导数的符号,即可判断极值. 解答: 解:由函数的图象可知,f′(﹣2)=0,f′(2)=0,并且当 x<﹣2 时,f′(x)>0, 当﹣2<x<1,f′(x)<0,函数 f(x)有极大值 f(﹣2) . 又当 1<x<2 时,f′(x)<0,当 x>2 时,f′(x)>0,故函数 f(x)有极小值 f(2) . 故选 D. 点评: 本题考查函数与导数的应用,考查分析问题解决问题的能力,函数的图象的应用.
菁优网版权所有

9. (5 分) (2012?重庆)设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 和 a,且长为 a 的 棱与长为 的棱异面,则 a 的取值范围是( ) A.(0, ) B.(0, ) C.(1, ) D.(1, ) 考点: 异面直线的判定;棱锥的结构特征. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先在三角形 BCD 中求出 a 的范围,再在三角形 AED 中求出 a 的范围,二者相结合即 可得到答案. 解答: 解:设四面体的底面是 BCD,BC=a,BD=CD=1,顶点为 A,AD= 在三角形 BCD 中,因为两边之和大于第三边可得:0<a<2 (1) 取 BC 中点 E,∵E 是中点,直角三角形 ACE 全等于直角 DCE,
菁优网版权所有

4

所以在三角形 AED 中,AE=ED= ∵两边之和大于第三边 ∴ <2 得 0<a< . (负值 0 值舍) (2)

由(1) (2)得 0<a< 故选:A.

点评: 本题主要考察三角形三边关系以及异面直线的位置. 解决本题的关键在于利用三角形 两边之和大于第三边这一结论. 10. (5 分) (2012?重庆)设平面点集

,则 A∩B 所表示的平面图形的面积为( A. B.

) C.

D.

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域;交集及其运算. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先分别画出集合 A 与集合 B 表示的平面区域,再画出它们的公共部分,最后利用圆 的面积公式及图形的对称性,计算所求面积即可 解答: 解: ∵ ? 或 其表示的平面区域如图,
菁优网版权所有

(x﹣1) +(y﹣1) ≤1 表示以(1,1)为圆心,1 为半径的圆及其内部区域,其面 积为 π ∴A∩B 所表示的平面图形为上述两区域的公共部分, 如图阴影区域, 由于圆和 y= 均 关于 y=x 对称, 故阴影部分面积为圆的面积的一半,即 故选:D.

2

2

5

点评: 本题主要考查了二元不等式表示平面区域的知识和延伸, 准确的画出两集合表示的平 面区域是解决本题的关键,属基础题 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分) (2012?重庆)若(1+i) (2+i)=a+bi,其中 a,b∈R,i 为虚数单位,则 a+b= 4 . 考点: 复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 分析: 由条件可得 a+bi=1+3i, 根据两个复数相等的充要条件求出 a 和 b 的值, 即可求得 a+b 的值. 解答: 解:∵(1+i) (2+i)=a+bi,其中 a,b∈R,i 为虚数单位, ∴a+bi=1+3i, ∴a=1,b=3, ∴a+b=1+3=4, 故答案为 4. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,两个复数相等的充要条件,属于基础题.
菁优网版权所有

12. (5 分) (2012?重庆)

=



考点: 极限及其运算. 专题: 计算题. 分析:

菁优网版权所有

把要求的式子化为 则求得所求式子的值. 解答: 解:由于

,即

,再利用极限及其运算法

=

=

=

= ,

6

故答案为: . 点评: 本题主要考查极限及其运算法则的应用,把要求的式子化为 的关键,属于基础题. 13. (5 分) (2012?重庆)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 ,则 c= . ,是解题

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由 A 和 B 都为三角形的内角,且根据 cosA 及 cosB 的值,利用同角三角函数间的基 本关系分别求出 sinA 和 sinB 的值, 将 sinC 中的角 C 利用三角形的内角和定理变形后, 将各自的值代入求出 sinC 的值,由 sinC,b 及 sinB 的值,利用正弦定理即可求出 c 的值. 解答: 解:∵A 和 B 都为三角形的内角,且 cosA= ,cosB= ,
菁优网版权所有

∴sinA=

= ,sinB=

=

, + × = ,

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= × 又 b=3,

∴由正弦定理

=

得:c=

=

=



故答案为: 点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系,诱导公式,两角和与差的正弦函数公式,以 及正弦定理,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 14. (5 分) (2012?重庆)过抛物线 y =2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若 ,则|AF|= .
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设出点的坐标与直线的方程,利用抛物线的定义表示出|AF|、|BF|再联立直线与抛物 线的方程利用根与系数的关系解决问题,即可得到答案. 解答: 解:由题意可得:F( ,0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .
菁优网版权所有

因为过抛物线 y =2x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,
7

2

所以|AF|= +x1,|BF|= +x2. 因为 ,所以 x1+x2=

设直线 l 的方程为 y=k(x﹣ ) , 联立直线与抛物线的方程可得:k x ﹣(k +2)x+ 所以 x1+x2= .
2 2 2

=0,

∴ ∴k =24 2 ∴24x ﹣26x+6=0, ∴ ,
2

∴|AF|= +x1= 故答案为: 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义,以及掌握直线与抛物线位置关系,并 且结合准确的运算也是解决此类问题的一个重要方面 15. (5 分) (2012?重庆)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课 和其他三门艺术课各 1 节, 则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率 为 (用数字作答) .

考点: 等可能事件的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 三门文化课排列,中间有两个空,若每个空各插入 1 节艺术课,则排法种数为
菁优网版权所有

,若两个空中只插入 1 节艺术课,则排法种数为 三门文化课中相邻排列,则排法种数为

?(

?

)?

=216,

=144,而所有的排法共有

=720 种,

由此求得所求事件的概率. 解答: 解:把语文、数学、外语三门文化课排列,有 在两个空中, ①若每个空各插入 1 节艺术课,则排法种数为

种方法,这三门课中间存在两个空,

=72,

8

②若两个空中只插入 1 节艺术课,则排法种数为

?(

?

)?

=216,

③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列,把三门文化课捆绑为为一个整体, 然后和三门艺术课进行排列,则排法种数为 而所有的排法共有 =720 种, = , =144,

故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 故答案为 .

点评: 本题主要考查等可能事件的概率,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (13 分) (2012?重庆)设 f(1) )处的切线垂直于 y 轴. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ) 求导函数,利用曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线垂直于 y 轴,可得 f′ (1)=0,从而可求 a 的值;
菁优网版权所有

,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,

(x>0) ,

= 数 f(x)的极值. 解答: 解: (Ⅰ) 求导函数可得

,确定函数的单调性,即可求得函

∵曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线垂直于 y 轴. ∴f′(1)=0,∴ ∴a=﹣1; (Ⅱ) 由(Ⅰ)知, (x>0) ,

=

令 f′(x)=0,可得 x=1 或 x=

(舍去)

∵0<x<1 时,f′(x)<0,函数递减;x>1 时,f′(x)>0,函数递增
9

∴x=1 时,函数 f(x)取得极小值为 3. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,函数的单调性与极值,正确求导是 关键. 17. (13 分) (2012?重庆)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者 获胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 ,乙 每次投篮投中的概率为 ,且各次投篮互不影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率; (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 ξ 的分布列与期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法 公式;离散型随机变量及其分布列. 专题: 计算题. 分析: 设 Ak,Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则 P(Ak)= ,P(Bk)= (k=1,2,
菁优网版权所有

3) (Ⅰ) 记“甲获胜”为事件 C, 则P (C) =P (A1) +P ( ) +P ( ) ,

利用互斥事件的概率公式即可求解; (Ⅱ) 投篮结束时甲的投篮次数 ξ 的可能值为 1,2,3,求出相应的概率,即可得到 ξ 的分布列与期望. 解答: 解:设 Ak,Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则 P(Ak)= ,P(Bk)= (k=1, 2,3) (Ⅰ) 记“甲获胜”为事件 C,则 P(C)=P(A1)+P( = × + = ; )+P( )

(Ⅱ) 投篮结束时甲的投篮次数 ξ 的可能值为 1,2,3 P(ξ=1)=P(A1)+P( P(ξ=2)=P( P( (ξ=3)=P( ξ 的分布列为 ξ P 1 2 3 )= )+P( )= )= = =

期望 Eξ=1× +2× +3× =



10

点评: 本题考查互斥事件概率的求解,考查离散型随机变量的分布列与期望,解题的关键是 确定变量的取值,理解变量取值的含义,属于中档题.

18. (13 分) (2012?重庆)设 f(x)=4cos(ωx﹣ (Ⅰ)求函数 y=f(x)的值域 (Ⅱ)若 f(x)在区间

)sinωx﹣cos(2ωx+π) ,其中 ω>0.

上为增函数,求 ω 的最大值.

考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;正弦函数的定义域和值域; 正弦函数的单调性. 专题: 计算题;转化思想. 分析: (I)由题意,可由三角函数的恒等变换公式对函数的解析式进行化简得到 f(x) = sin2ωx+1,由此易求得函数的值域;
菁优网版权所有

(II)f(x)在区间

上为增函数,此区间必为函数某一个单调区间的

子集,由此可根据复合三角函数的单调性求出用参数表示的三角函数的单调递增区 间, 由集合的包含关系比较两个区间的端点即可得到参数 ω 所满足的不等式, 由此不 等式解出它的取值范围,即可得到它的最大值. 解答: 解:f(x)=4cos(ωx﹣ )sinωx﹣cos(2ωx+π) =4( cosωx+ sinωx)sinωx+cos2ωx
2 2 2

=2 cosωxsinωx+2sin ωx+cos ωx﹣sin ωx = sin2ωx+1, ∵﹣1≤sin2ωx≤1, 所以函数 y=f(x)的值域是[ (II)因 y=sinx 在每个区间[ 令 所以,解不等式得 个闭区间[ , ≤x≤ ,又 ω>0, ,即 f(x)= ],k∈z 上是增函数 上为增函数 , ],对某个 k∈z 成立, sin2ωx+1, (ω>0)在每 ] ],k∈z 上为增函数,

又有题设 f(x)在区间 所以 ?[

于是有

.解得 ω≤ ,故 ω 的最大值是 .

点评: 本题考查三角恒等变换的运用及三角函数值域的求法, 解题的关键是对所给的函数式
11

进行化简, 熟练掌握复合三角函数单调性的求法, 本题考查了转化的思想, 计算能力, 属于中等难度的题 19. (12 分) (2012?重庆)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中点 (Ⅰ)求点 C 到平面 A1ABB1 的距离; (Ⅱ)若 AB1⊥A1C,求二面角 A1﹣CD﹣C1 的平面角的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;与二面角有关的立体几何综合题;点、线、面间的距离 计算. 专题: 综合题;转化思想. 分析: (I)由题意,由于可证得 CD⊥平面 A1ABB1.故点 C 到平面的距离即为 CD 的长度, 易求;
菁优网版权所有

(II)解法一:由题意结合图象,可通过作辅助线先作出二面角的平面角∠A1DD1, 然后在直角三角形 A1D1D 中求出二面角的余弦; 解法二:根据几何体的形状,可过 D 作 DD1∥AA1 交 A1B1 于 D1,在直三棱柱中,可 得 DB,DC,DD1 两两垂直,则以 D 为原点,射线 DB,DC,DD1 分别为 X 轴、Y 轴、Z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D﹣xyz.给出各点的坐标,分别求出两平面的 法向量,求出两向量的夹角即为两平面的夹角. 解答: 解: (I)由 AC=BC,D 为 AB 的中点,得 CD⊥AB.又 CD⊥AA1. 故 CD⊥平面 A1ABB1. 所以点 C 到平面 A1ABB1 的距离为 CD= =

(II)解法一:如图 1,取 D1 为 A1B1 的中点,连接 DD1,则 DD1∥AA1∥CC1. 又由(I)知 CD⊥平面 A1ABB1.故 CD⊥A1D,CD⊥D1D,所以∠A1DD1 为所求的 二面角 A1﹣CD﹣C1 的平面角.因 A1D 为 A1C 在面 A1ABB1 中的射影,又已知 AB1⊥A1C 由三垂线定理的逆定理得 AB1⊥A1D. 从而∠A1AB1、 ∠A1DA 都与∠B1AB 互余.因此∠A1AB1=∠A1DA,所以 Rt△ A1AD∽Rt△ B1A1A.因此 AA1:AD=A1B1: AA1,即 AA1 =AD?A1B1=8,得 AA1=2
2

,从而 A1D=

=2

.所以

Rt△ A1D1D 中,cos∠A1DD1=

=

=

解法二:如图 2,过 D 作 DD1∥AA1 交 A1B1 于 D1,在直三棱柱中,有 DB,DC,DD1 两两垂直,以 D 为原点,射线 DB,DC,DD1 分别为 X 轴、Y 轴、Z 轴的正半轴建
12

立空间直角坐标系 D﹣xyz. 设直三棱柱的高为 h,则 A(﹣2,0,0) ,A1(﹣2,0,h) ,B1(2,0,h) ,C(0, ,0) ,C1(0, ,h) ,从而
2

=(4,0,h) , , 故

=(2,

,﹣h) = (0, 0, 2 ) ,

由 AB1⊥A1C, 可得 8﹣h =0, h=2 =(0, ,0)

= (﹣2, 0, 2) ,

设平面 A1CD 的法向量为 =(x1,y1,z1) ,则有 ⊥

, ⊥

∴ ?

=0 且 ?

=0,即

,取 z1=1,则 =( , ⊥ ,即

,0,1)

设平面 C1CD 的法向量为 =(x2,y2,z2) ,则 ⊥ =0,取 x2=1,得 =(1,0,0) ,



所以 cos< , >=

=

=

, 所以二面角 A1﹣CD﹣C1 的平面角的

余弦值

点评: 本题考查二面角的求法及点到面距离的求法,点到面的求法一般是作垂线,垂线段的 长度即所求,二面角的余弦值的求法有两种,一种是几何法,找到二面角平面角所在

13

的三角形,解三角形求出角的余弦值,第二种方法是现在比较常用的方法向量法,其 特征是思维量小,计算量大,作题时对这两种方法要根据题设灵活选用 20. (12 分) (2012?重庆)如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左 右焦点分别为 F1,F2,线段 OF1,OF2 的中点分别为 B1,B2,且△ AB1B2 是面积为 4 的直 角三角形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 B1 做直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2⊥QB2,求直线 l 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)设椭圆的方程为 ,F2(c,0) ,利用△ AB1B2 是的直
菁优网版权所有

角三角形,|AB1|=AB2|,可得∠B1AB2 为直角,从而 ,又 S= |B1B2||OA|=

,利用 c =a ﹣b ,可求

2

2

2

=4,故可求椭圆标准方程;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B1(﹣2,0) ,B2(2,0) ,由题意,直线 PQ 的倾斜角不为 0,故 2 2 可设直线 PQ 的方程为 x=my﹣2, 代入椭圆方程, 消元可得 (m +5) y ﹣4my﹣16﹣0, 利用韦达定理及 PB2⊥QB2, 利用 解答: 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 可求 m 的值, 进而可求直线 l 的方程.

,F2(c,0)

∵△AB1B2 是的直角三角形, |AB1|=AB2|, ∴∠B1AB2 为直角, 从而|OA|=|OB2|, 即 ∵c =a ﹣b ,∴a =5b ,c =4b ,∴ 在△ AB1B2 中,OA⊥B1B2,∴S= ∵S=4,∴b =4,∴a =5b =20 ∴椭圆标准方程为 ;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

|B1B2||OA|=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B1(﹣2,0) ,B2(2,0) ,由题意,直线 PQ 的倾斜角不为 0,故
14

可设直线 PQ 的方程为 x=my﹣2 代入椭圆方程,消元可得(m +5)y ﹣4my﹣16=0① 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , ∴ ,
2 2





∴ ∵PB2⊥QB2,∴

=



,∴m=±2

所以满足条件的直线有两条,其方程分别为 x+2y+2=0 和 x﹣2y+2=0. 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查 向量知识的运用,考查三角形的面积计算,综合性强. 21. (12 分) (2012?重庆)设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=a2Sn+a1,其中 a2≠0. (Ⅰ)求证:{an}是首项为 1 的等比数列; (Ⅱ)若 a2>﹣1,求证 ,并给出等号成立的充要条件.

考点: 数列与不等式的综合;等比数列的前 n 项和;等比关系的确定;数列与函数的综合.
菁 优网版权所有

专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)根据 Sn+1=a2Sn+a1,再写一式,两式相减,即可证得{an}是首项为 1 的等比数 列; (Ⅱ)当 n=1 或 2 时, (I)知 a1=1, 等号成立,设 n≥3,a2>﹣1,且 a2≠0,由 ,所以要证的不等式可化为 (n≥3) ,即证 (n≥2) ,a2=1 时,等号成立;再证明 a2>﹣1 且 a2≠1 时, ( ) ( )>0,即可证得结论.

解答: 证明: (Ⅰ)∵Sn+1=a2Sn+a1,① ∴Sn+2=a2Sn+1+a1,② ②﹣①可得:an+2=a2an+1

15

∵a2≠0,∴ ∵Sn+1=a2Sn+a1,∴S2=a2S1+a1,∴a2=a2a1 ∵a2≠0,∴a1=1 ∴{an}是首项为 1 的等比数列; (Ⅱ)当 n=1 或 2 时, 等号成立 ,所以要证的不等式可化为

设 n≥3,a2>﹣1,且 a2≠0,由(Ⅰ)知 a1=1, (n≥3) 即证 a2=1 时,等号成立 当﹣1<a2<1 时, 当 a2>1 时, 与 ) ( 与 同为负; 同为正; )>0,即 (n≥2)

∴a2>﹣1 且 a2≠1 时, (

上面不等式 n 分别取 1,2,…,n 累加可得

∴ 综上, ,等号成立的充要条件是 n=1 或 2 或 a2=1.

点评: 本题考查等比数列的证明,考查不等式的证明,考查叠加法的运用,需要一定的基本 功,属于中档题.

16


相关文章:
2012年重庆市高考理科数学试卷含答案
2012年重庆市高考理科数学试卷答案_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。高考数学 帅老师 15818573235 2012 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题 本...
2012年重庆市高考数学(理科)试卷及答案-全面解析分析
并给出等号成立的充要条件. 2012 年重庆市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分.在每小题给出的...
2015年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析_数学_高中教育_教育专区。答案精准,解析详尽!2015 年重庆市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题...
2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2012 年重庆市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分.在每小题给出的四个备选选项 中,只有一个...
2012年高考重庆理科数学试卷和答案(word完美解析版)
2012年高考重庆理科数学试卷和答案(word完美解析版)_高考_高中教育_教育专区。2012年高考重庆理科数学试卷和答案(word完美解析版)2012 年普通高等学校招生全国统一考试...
2013年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析_高考_高中教育_教育专区。答案精准,解析详尽!2013 年重庆市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题...
2012年重庆市高考数学试卷(理科)及详解
并给出等号成立的充要条件. 3 2012 年重庆市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分.在每小题给出...
2012年重庆市高考数学试卷(理科)全面解析,试卷分析
2012年重庆市高考数学试卷(理科)全面解析,试卷分析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。很实用的答案分析,感觉很好哦!2012 年重庆市高考数学试卷(理科) 菁优网 www...
2012高考重庆理科数学试题及答案(高清版)
2012高考重庆理科数学试题答案(高清版)_高考_高中教育_教育专区。2012 年普通...c s in C . 14.答案: 解析:F 点坐标为( 1 2 ,0),设 A,B 两点的...
2012年高考重庆理科数学试卷和答案(word完美解析版)
2012年高考重庆理科数学试卷和答案(word完美解析版)_高考_高中教育_教育专区。2012年高考重庆理科数学试卷2012 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学(理科)一...
更多相关标签:
高考文理科试卷一样吗 | 高考理科综合试卷 | 2016高考理科数学试卷 | 2016年高考理科试卷 | 高考理科试卷 | 高考理科数学模拟试卷 | 2016高考理科综合试卷 | 高考数学试卷解析 |