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江苏省运河中学2013高二暑假作业数学答案


江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思

江苏省运河中学 2013 高二暑假作业之数学答案
编者按:本资料由于编写时间仓促,难免会出现疏漏之处,敬请谅解。2013.7

答案一: 1-8.概念见课本 9. ?1,3,5,15? ;10. x x ? 2k , k ? N ? ;11. ?1,

2 ? ;12. ?; Z ; 13.⑴ ? ??, ?1? ??2, ??? ;⑵ ? ??, ?1? ? ? 2,3? ;⑶ ? ?2, ?1? ??2? ;⑷ ? ; 14. 0.45 ;15. (CU A) ? (CU B) 16.

?

?

?

?

k?2
B 4 -2 m
CU ( A ? B) ? {x | x ? ?1, 或x ? 9} ,

17.在数轴上表示出集合 A、B,如右图所示:
A ? B ? {x | 3 ? x ? 5} ,

A x

4

m

x

18.由 A ? B ? A ,可得 A ? B . 在数轴上表示集合 A 与集合 B,如右图所示:由图形可知, m ? 4 . 19.∵ a ? 0 ∴ a 2 ? 1, a ? b ? a, 得 b ? 0 , a
2010

? b2010 =1③

20.①若 B ? ? , m ? 4 ? m, m ? 2

?4 ? m ? m ? ②若 B ? ? , ?m ? 0 解得 1 ? m ? 2 ,综上 m 的范围为 ?x | m ? 1 。 ? ?4 ? m ? 3 ?

1 ? x? ?x ? 0 ? ? 4 或? 21. A ? ?a, b? ,?a, b, c? , ?a, b, d? 22. ? ?y ?1 ?y ? 1 ? ? 2
23.①若 B ? ? , a ? 1 ? 2a ? 1, a ? 2

? 2a ? 1 ? a ? 1 ? ②若 B ? ? , ? 2a ? 1 ? 5 , 2 ? a ? 3 ,综上 a ? 3 ? a ? 1 ? ?2 ?
24.由 A ? B ? {1, 2,3, 4,5,8} ,则 CU ( A ? B) ? {6,7,9} . 由 A ? B ? {5,8} ,则 CU ( A ? B) ? {1, 2,3, 4,6,7,9} 由 CU A ? {1,3,6,7,9} , CU B ? {2, 4,6,7,9} ,
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 则 (CU A) ? (CU B) ? {6,7,9} ,
(CU A) ? (CU B) ? {1, 2,3, 4,6,7,9} .

由计算结果可以知道, (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) ,
(CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) .

25. ?1,2,3,7,8,9,10? 26.①当 a ? 1 时, A ? ?CU B? ? x | x ? 1或x ? 2 ? R ,∴ a ? 1 不合题意; ②当 1 ? a ? 2 时, A ? ?CU B? ? x | x ? a或x ? 2 ? R ,∴ 1 ? a ? 2 不合题意; ③当 a ? 2 时, A ? ?CU B ? ? ?x | x ? R? ? R 符合题意 所以实数 a 取值范围是 a ? 2 27. ∵ A ? B ? ?? ? ,∴ ?

?

?

?

?

? 1? ? 3?

1 2 2 是方程 3x ? px ? 5 ? 0 和 3x ? 10x ? q ? 0 的解, 3

代入可得 p ? ?14, q ? 3 ,∴ A ? x | 3x 2 ? 14 x ? 5 ? 0 ? ?? ,5?

?

?

? 1 ? ? 3 ?

? 1 ? ? 1 ? B ? ? x | 3x 2 ? 10 x ? 3 ? 0? ? ?? , ?3? , A ? B ? ?? , ?3,5? ? 3 ? ? 3 ?
28. 设 54 名同学组成的集合为 U,会打篮球的同学组成的集合为 A,会打排球的同学组成的集合为 B,这 两种球都会打的同学的集合为 X,设 X 中元素个数为 x , ,由 Venn 图得:

? 36 ? x ? ? ? 40 ? x ? ? x ? ? ?
29. B ? ??1,6?

1 ? x ? 1? ? 54 ,解得 x ? 28 ,所以两种球都会打的有 28 人。 ?4 ?

当 m ? 2 时 A ? ?2? , A ? B ? ??1, 2,6? , A ? B ? ? 当 m ? ?1 时, A ? ??1, 2? , A ? B ? ??1, 2,6? , A ? B ? ??1 ? 当 m ? 6 时, A ? ?2,6? , A ? B ? ??1, 2,6? , A ? B ? ?6? ; 当 m ? 2, m ? ?1, m ? 6 时, A ? ?2, m? , A ? B ? ??1,2,6, m? , A ? B ? ?

二、函数的概念和图象 1~15 见课本.
16.

3 . 2

17 . a ? ?1 .

18.减 , 最 大 .

19 . (1 ) .
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? 3 ? 20. 解:(1) ? ? , ?? ? ; ? 4 ?
22. 解:(1) f ? x ? ? x ?

(2) ? ?1, ?? ? ;

? x 2 +x-1, x ? 0 (3) ? ?6,1? . 21. ? f ( x) ? ?0, x ? 0 ? ? x 2 ? x ? 1, x ? 0 ?
(2)递 增 .证 明 :设

1 ?x ? 0? . x

x2 ? x1 ? ?1,则
, 因 为

? 1? ? 1 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? ? x1 ? ? ? ? x 2 ? ? ? ? x1 ? ? x2 ?

? ? 1 ? ? ? ? x1 ? x 2 ??1 ? ? ? ? x1 x 2 ? ? ? ?

x2 ? x1 ? ?1 , 所



x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 1 , 1 ?

1 ? 0 ,所 以 x1 x 2

? ? 1? ? 1 ? 1 ? ? >0, 从 而 f ?x ? 在 x ? ?? ?,?1? 上 是 增 函 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? ? x1 ? ? ? ? x 2 ? ? ? ? x1 ? x 2 ??1 ? ? ? ? ? ? x1 ? ? x2 ? x1 x 2 ? ? ? ?
数. 23.解:由于函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图像开口向上,对称轴为 x ? 1
2

a)

当 0 ? a ? 1 时, x ? ?0, a ? ,函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 在区间 ? 0, a ? 上的图像如图(1)所示,所以 函数 f ( x) 在 ? 0, a ? 上单调递减

y
3 2

a

1 图(1)

x

? ymax ? f (0) ? 3, ?3 ? 3, ?? 即? 2 ? a ? 1, 符合题意 ; ? ymin ? f (a ) ? 2, ?a ? 2a ? 3 ? 2,
b) 当 1 ? a ? 2 时, x ? ?0, a ? ,函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 在区间 ? 0, a ? 上的图像如图(2)所示,
2

y
3 2

1

1a

2

x

图(2)

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? ymax ? f (0) ? 3, ?? ?1 ? a ? 2, 符合题意 ? ymin ? f (a ) ? 2,
c) 当 a ? 2 时, x ? ?0, a ? ,函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 在区间 ? 0, a ? 上的图像如图(3)所示,

y
3 2

1

2

a

x

图(3)

? ymax ? f (a) ? 3,?a ? 2 ,不符合题意
由(1) (3)可知: a 的取值范围为 1 ? a ? 2 . (2) 24.解: (法一)将函数化为分段函数的形式

y

3

? ?2 x ? 1, x ? ?1 ? y ? ?3, ?1 ? x ? 2 ? 2 x ? 1, x ? 2 ?
由图像可知,值域是 ?3, ?? ? .

1

2

x

?函数y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 表示数轴上的动点x到两定点-1,的距离之和 2
(法二)?易见y的最小值是3,

?函数的值域是 ?3,+? ?

四、基本初等函数 1~17 见课本. 18.一.

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2 1 x?2 ) ,? e x ? x ? e 4? 2 x ,? x 2 ? x ? 4 ? 2 x ? ?1 ? x ? 3 2 e 1 由于函数 y ? 3 x 在[-1,3]上单调递增,? 值域为[ ,27 ] . 3 4 4 4 20.解: (法一) (1)当 0 ? a ? 1 时, log a ? 1 ? log a a,? a ? ,? 0 ? a ? , 5 5 5 4 4 (2)当 a ? 1 时, log a ? 1 ? log a a,? a ? ,? a ? 1, 5 5 4 由(1) (2)可知, 0 ? a ? 或a ? 1 . 5 (法二) log 4 a ? 0或 log 4 a ? 1 ,

19.解:? e

x2 ? x

?(

5

5

即 log 4 a ? log 4 1或 log 4 a ? log 4
5
x

5

5

5

4 4 , ? a ? 1或0 ? a ? . , 5 5

2 21.解:令 u ? 2 ,则 y ? u ? 4u ? 5 ,所以函数的值域为[1,5].

2 22.解:函数 y ? loga2 ( x ? 2x ? 3) 是由函数 y ? loga2 u 和函数 u ? x ? 2 x ? 3 复合而成的,
2 2 当 x ? (??,?2) 时,函数 u ? x ? 2 x ? 3 单调递减,且 u ? 5 .

2 因 为 当 x ? (??,?2) 时 , 函 数 y ? l o g2 ( x ? 2x ? 3) 是 增 函 数 , 则 u ? 5 时 , y ? l o g2 u 单 a a

调递减,所以 0 ? a ? 1 ,故 a 的取值范围为 (?1,0) ? (0,1) .
2

23.解:

1 1 x x ? ?3 ? log 1 x ? ? ,? ? log 2 x ? 3,? y ? (log 2 ) ? (log 2 ) ? (log 2 x ? 2) ? (log 2 x ? 1), 2 2 4 2 2 3 3 1 令u ? log 2 x,则y ? f (u ) ? (u ? 2)(u ? 1) ? u 2 ? 3u ? 2,? y ? f (u )在u ? 时,取最小值f ( ) ? ? , 2 2 4 1 又f (3) ? 2 ? f ( ),? y ? f (u )的最大值为f (3) ? 2, 2 x x 1 综上所述,函数y ? (log 2 ) ? (log 2 )的最大值为2,最小值为- . 4 2 4
24.(1) 奇 函 数 , (2) 在 R 上 单 调 递 减 , (3)最 小 值 为 f ?12? ? ?8 ,最 大 值 为 f ?? 12? ? 8 .

1.①

2.2

? 3 ? 3. ?- ,3? ? 2 ?
7.①③ 8. 3

六、三角函数 ?x π ? 4.y=2sin? - ? ?2 3 ? 5π 9. 2

5π kπ 5.x= + (k∈Z) 12 2

6.①②③⑤

10.①④

11.解 (1)由图象,知 A=2.
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f(x)的最小正周期 T=4??

?5π -π ?=π ,故 ω =2π =2. ? T ? 12 6 ?

π π ?π ? ?π ? 将点? ,2?代入 f(x)的解析式,得 sin? +φ ?=1,又|φ |< ,所以 φ = . 2 6 ?6 ? ?3 ? π? ? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+ ?. 6? ? π? ? π? ? π? π ? (2)g(x)=f?x+ ?=2sin[2?x+ ?+ ]=2sin?2x+ ?, 3? ? 12? ? 12? 6 ?

? π? ?π ? ? π ? ?π ? 其中 g?- ?=- 3,g? ?=0,所以 g?- ?≠g? ?, ? 3? ?3? ? 3? ?3?
g?- ?≠-g? ?.故 g(x)为非奇非偶函数. 3 3
2π 12.解 (1)f(x)的最小正周期 T= . 3 (2)由函数的最大值为 4,可得 A=4.所以 f(x)=4sin(3x+φ ). π ? π ? ?π ? 当 x= 时,4sin?3? +φ ?=4,所以 sin? +φ ?=1. 12 12 ? ? ?4 ? π π 5π π π π 因为 < +φ < ,故 +φ = ,所以 φ = . 4 4 4 4 2 4 π? ? 所以 f(x)的解析式是 f(x)=4sin?3x+ ?. 4? ? π ? 12 π π? 3 ?2 ? (3)因为 f? α + ?= ,故 sin?2α + + ?= . 12? 5 4 4? 5 ?3 ? 3 3 2 所以 cos 2α = ,即 1-2sin α = , 5 5 1 5 2 故 sin α = .所以 sin α =± . 5 5

? π? ? ?

?π ? ? ?

?ω =1, ? 13.解 (1)猜想:? π ?φ =- 2 ?

?ω =-2, ? 或? π ?φ = 2 . ?

?ω =1, ? 由? π ?φ =- 2 , ?

? π? ? π? 知 f(x)=2cos?x- ?=2sin x,而 f(x)=2sin x 为奇函数且在?0, ?上是增函数. 2? 4? ? ? ?ω =-2, ? 由? π ?φ = 2 , ?
π? ? 知 f(x)=2cos?-2x+ ?=2sin 2x, 2? ?

? π? 而 f(x)=2sin 2x 为奇函数且在?0, ?上是增函数. 4? ?
(2)由 f(x)为奇函数,知 f(-x)=-f(x), ∴2cos(-ω x+φ )=-2cos(ω x+φ ).∴4cos ω x?cos φ =0.
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 π 又 x∈R,∴cos φ =0.解得 φ =kπ + ,k∈Z. 2 π? ? 当 k=2n (n∈Z)时,f(x)=2cos?ω x+2nπ + ?=2sin(-ω x)为奇函数, 2? ? π π π π ? π? ∵f(x)在?0, ?上是增函数,∴ω <0.由- ≤-ω x≤ ? ≤x≤- , 4? 2 2 2ω 2ω ?

? π? 又 f(x)在?0, ?上是增函数, 4? ?
π ? π π ? π? ?π 故有?0, ?? ? ,- ?, ≤- ,-2≤ω <0,且 ω ∈Z, 4 ? ?2ω 2ω ? 4 2ω ?

?ω =-1或-2, ? ∴ω =-1 或-2,故? π ?φ =2nπ + 2 ,n∈Z. ?
π 当 k=2n+1 (n∈Z)时,f(x)=2cos[ω x+(2n+1)π + ] 2

? π? =2sin ω x 为奇函数,由于 f(x)在?0, ?上是增函数, 4? ?
π π π π ∴ω >0.由- ≤ω x≤ ? - ≤x≤ , 2 2 2ω 2ω π ? π π ? π? ? π? ? π 又 f(x)在?0, ?上是增函数,故有?0, ?? ?- , ?, ≤ , 4? 4 ? ? 2ω 2ω ? 4 2ω ? ?

?ω =1或2, ? 0<ω ≤2,且 ω ∈Z,∴ω =1 或 2,故? π ?φ =? 2n+1? π + 2 ,n∈Z. ?
∴所有符合题意的 ω 与 φ 的值为

?ω=-1或-2, ? π ? Z ?φ=2nπ+2 ,n∈ ?
七、1.1 8. 2π 3 2.- 9.- 1 16 5 3

?ω=1或2, ? π 或? Z. ?φ=?2n+1?π+ 2 ,n∈ ?
2 5 3.- 5 10. 15 2 4.1 5. 7 25 6. π 3 7.1

π? ? 11.解 (1)f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1=sin 2x-cos 2x= 2sin?2x- ?, 4? ? 因此函数 f(x)的最小正周期为 π . π? ? ?π 3π ? (2)f(x)= 2sin?2x- ?在区间? , ?上为增函数, 4? 8 ? ? ?8 在区间?

?3π ,3π ?上为减函数,又 f?π ?=0,f?3π ?= 2, ?8? ? 8 ? 4 ? ? 8 ? ? ? ? ?
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f?

?3π ?= 2sin?3π -π ?=- 2cos π =-1, ? ? 2 4? 4 ? 4 ? ? ?

?π 3π ? 函数 f(x)在区间? , ?上的最大值为 2,最小值为-1. 4 ? ?8 ?1 π ? 12.解 (1)∵f(x)=2sin? x- ?,x∈R. 6? ?3
∴f?

?5π ?=2sin?5π -π ?=2sin π = 2. ? ? 12 6 ? 4 ? 4 ? ? ?

36 20 16 (2) cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β = - = . 65 65 65 13.解 (1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C =0.因为 B=π -A-C,

? π? 1 所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.由于 sin C≠0,所以 sin?A- ?= . 6? 2 ?
π 又 0<A<π ,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3, 2 故 bc=4. 而 a =b +c -2bccos A,故 b +c =8. 解得 b=c=2.
2 2 2 2 2

八、平面向量(一)
1. (

12 5 或 12 5 , ) ( ? ,? ) 13 13 13 13
?? ?? ? 2 2

2. ?1, 5 ? 或 ? ?3, ?5 ? 或 ? 5, ?5 ? 3.3 个 8.矩形 9.1 10. ?8

4.120°

5.2

6. ? 1 e1 ? 1 e2

7. ?1, 3?

??? ??? ??? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? 11.解:因为 BD ? CD ? CB ? 2e1 ? e2 ? e1 ? 3e2 ? e1 ? 4e2 ,

?

?

BD 若 A,B,D 三点共线,则 AB, 共线,设 AB ? ? BD ,即 2e1 ? k e2 ? ? e1 ? 4? e2
? 2e1 ? ? e1 ?? ?? ? ? 由于 e1 , 2 不共线,可得 ? ?? e ? ?? ,故 ? ? ?ke2 ? ?4? e2 ? ?? ??

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

? 2, k ? ?8 .

? ? 1 1 ? ? AC ? a ? b . 12.解:连结 AF ,因 AC ? AB + BC ? a ? b ,故 AE ? 2 2 ? ? ??? ? ? ? ? 1 1 1 ? ? b ? c . 因 AF ? AB ? BF ? a + b?c , 所 以 又 因 BD ? b ? c , 故 BF ? BD ? 2 2 2 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? EF = AF ? AE ? a + b ? c - a ? b = a ? c 2 2 2

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

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? ? ? ? 13. 解:由题设 k a ? b ? ? k , k ? 2 ? , a ? b ? ?1, ?1? .

? ? ? ? ⑴若 k a ? b 与 a ? b 共线,则 k ? ? ?1? ? ? k ? 2 ? ? 1 ? 0, 所以 k ? ?1 .
? ? ? ? ⑵要使 k a ? b 与 a ? b 的夹角为 1200 ,则

cos1200 ?

k ? 1 ? (k ? 2) ? (?1) k ? (k ? 2)
2 2

1 ? (?1)
2

2

??

1 ? ? ,解得 k = ? 1 ? 3 . 2 k ? 2k ? 2
2

1

??? ? ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? 14.解:⑴因为 OA ? ?1, 2 ? , AB ? ? 3, 3? ,所以 OP ? OA ? t AB ? ?1 ? 3t , 2 ? 3t ? .
若点 P 在 x 轴上,则 2 ? 3t ? 0, t ? ?

2 ; 3

?1 ? 3t ? 0 2 1 若点 P 在第二象限,则 ? , 解得 ? ? t ? ? . 3 3 ?2 ? 3t ? 0

??? ? ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ⑵因为 OB ? ? 4, 5 ? , OP ? ?1 ? 3t , 2 ? 3t ? ,所以 PB ? OB ? OP ? ? 3 ? 3t , 3 ? 3t ? .又 OA ? ?1, 2 ? ,

??? ??? ? ? ? 3 ? 3t ? 1 若四边形 OABP 为平行四边形,则 OA ? PB ,则 ? , 无解, ?3 ? 3t ? 2
故四边形 OABP 不能成为平行四边形.

九、平面向量(二)
1.3 π] 2π 5.4 6. 3 5 2 3 11.-1 12. 10+1 13. a 14. 4 2 4.3 1 2.-25 3.- 2 1 7.② 8.(-∞,-2)∪(-2, ) 9.60° 2 π 10.[ , 3

15.【解】 (1)∵c∥a 且|c|=2 5, 1 1 ∴c=±2 5? ?a=±2 5? ?(1,2)=±(2,4)=(2,4)或(-2,-4). |a| 5 (2)∵(a+2b)⊥(2a-b), ∴(a+2b)?(2a-b)=0. 2 2 ∴2a +3a?b-2b =0. 2 2 ∴2|a| +3|a|?|b|cos θ -2|b| =0. 5 5 ∴2?5+3? 5? cos θ -2? =0,∴cos θ =-1 2 4 ∴θ =π +2kπ (k∈Z),∵θ ∈[0,π ],∴θ =π . 1 3 16. 【解】 (1)由 a=( 3,-1),b=( , )得 a?b=0, 2 2 |a|=2,|b|=1. 2 2 2 2 2 [a+(t -3)b]?(-ka+tb)=0,-ka +ta?b-k(t -3)a?b+t(t -3)b =0. 1 3 1 3 3 -4k+t -3t=0,k= (t -3t),f(t)= (t -3t). 4 4

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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 1 3 (2)由(1)知 k= (t -3t), 4 1 3 2 (t -3t)+t 2 k+t 4 则 = , t t 1 2 3 = t +t- , 4 4 1 7 2 =( t+1) - . 2 4 2 k+t 7 故 的最小值为- . t 4 17. 【解】 因为设 e1,e2 是两个单位向量,其夹角为 60°, 1 则|e1|=1,|e2|=1,e1?e2= . 2 又 a =(2e1+e2) =4e1+4e1?e2+e2,所以|a|= 7; 2 2 2 2 同理 b =(-3e1+2e2) =9e1-12e1?e2+4e2,所以|b|= 7. 7 2 2 而 a?b=(2e1+e2)?(-3e1+2e2)=-6e1+e1?e2+2e2,所以 a?b=- . 2 7 - 2 a?b 1 2π 设 a 与 b 的夹角为θ ,则 cos θ = = =- ,因为θ ∈[0,π ],所以θ = ,即 a |a||b| 2 3 7? 7 2π 与 b 的夹角为 . 3 → → → → → → 18.【解】 (1)PA=OA-OP,PB=-OA-OP. 3 → → → → → → →2 →2 1 (2)PA?PB=(OA-OP)?(-OA-OP)=OP -OA = -1=- . 4 4 OP+PC 2 1 → → → → → (3)因为(PA+PB)?PC=-2OP?PC≥-2( ) =- , 2 2 1 → → → 当且仅当 OP=PC 即 P 为 OC 的中点时取得“=” ,故(PA+PB)?PC的最小值为- . 2 → → 19. 【解】 (1)由题意∠A 为直角,∴AB?AC=0. → → → → → → ∵AB=OB-OA=2i+3j,AC=OC-OA=(2-m)i+(1-m)j, 7 ∴(2i+3j)?[(2-m)i+(1-m)j]=0.∴2(2-m)+3(1-m)=0.解得 m= . 5 → → → → (2)若AB与AC共线,则存在实数 l,使得AC=l AB, 即(2-m)i+(1-m)j=l(2i+3j). ?2-m=2l, ? ∴? ∴m=4. ? ?1-m=3l. → → ∵点 A,B,C 能构成三角形,∴AB与AC不共线. 又点 B,C 不重合,故实数 m 应满足的条件为 m≠4. 20. 【解】 (1)设∠CAB=α ,∠CAD=β , → → AB?AC 120 12 3 cos α = = = ,cos β = , → → 130 13 5 |AB||AC| 5 4 ∴sin α = ,sin β = , 13 5
2 2 2 2

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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 12 3 5 4 16 ∴cos ∠BAD=cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β = ? - ? = . 13 5 13 5 65 → → → (2)由AC=x?AB+y?AD得: → → → → ?→?AB=xAB2+yAD?AB ?AC ? ?→ → → → → ?AC?AD=xAB?AD+yAD2
? ?120=169x+16y ∴? ?30=16x+25y ? 40 50 解得 x= ,y= . 63 63

十、不等式(一)
一、填空题. 1.(2)(3) 6.a ? 2.-9 3. ?

5 2

7. x ?3 ? 2 ? x ? ?3 ? 2, x ? 1

?

1 3 ?a? 2 2

4.(1,2) ? ( 10 ,+∞) 5.4

?

8.5

9.20

10.18

二、解答题. 11. ⑴3+2 2 ⑵4

12.⑴2

m? ? 1 当m ? ?2时? x | ? x ? ? ? 4? ? 2 ⑵ 当m ? ?2时? m ? 当m ? ?2时? x | ? ? x ? 4 ? 1? ? 2?

13.过点(0,2)时取得最小值 2 14.(1)当 a ? 4 时, f ( x) ? x ?

4 ? 2 ? 6 ,当且仅当 x ? 2 时,等号成立 x

? f ( x) min ?6
(2)? x ? 1, f ( x) ?

x2 ? 2x ? a ? 0 恒成立 x
即 (1 ? x) ? 1 ? a 恒成立
2

? x 2 ? 2 x ? a ? 0 恒成立

? 只要 4 ? 1 ? a ,即 a ? ?3 .

十一、不等式(二)
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 1 1.(-∞,a)∪( ,+∞) 2.8 3.{x|0<x<1} a 11 6. 5 1 7. [-1,- )∪(0,1] 2 4.3 5.(-2,1)

8.4 9.k≤-7 或 k≥1 10.x≤-2 或 0≤x≤10

1 11.[- ,1] 3

3 3 12.(-∞,loga3) 13. [- , ] 14.3 4 4
2

15. 【解】 ∵y=(m-2)x +2(m-2)x+4 为二次函数, ∴m≠2. 2 ∵二次函数的值恒大于零,即(m-2)x +2(m-2)x+4>0 的解集为 R,
?m-2>0 ? ∴? ? ?Δ <0 ?m>2 ? ,即? 2 ? ?4(m-2) -16(m-2)<0



? ?m>2 解得:? ?2<m<6 ?
2

,∴m 的取值范围为{m|2<m<6}.

16. 【解】 由 x -x-2>0 可得 x<-1 或 x>2.
?x -x-2>0, ? ∵? 2 ? ?2x +(2k+5)x+5k<0
2

的整数解为 x=-2,

5 2 又∵方程 2x +(2k+5)x+5k=0 的两根为-k 和- . 2 5 ①若-k<- ,则不等式组的整数解集合就不可能为{-2}; 2 5 ②若- <-k,则应有-2<-k≤3.∴-3≤k<2. 2 综上,所求 k 的取值范围为-3≤k<2. 25 25 2 3 2 2 17. 【解】 由 x +25+|x -5x |≥ax,1≤x≤12 ? a≤x+ +|x -5x|,而 x+ ≥2 x x
2

25 x? =10,等 x 25 x

号当且仅当 x=5∈[1,12]时成立;且|x -5x|≥0,等号当且仅当 x=5∈[1,12]时成立;所以,a≤[x+ +|x -5x|]min=10,等号当且仅当 x=5∈[1,12]时成立;故 a∈(-∞,10]. 2 2 18. 【解】 原式?(x-a)(x-a )<0,∴x1=a,x2=a 2 2 2 当 a=a 时,a=0 或 a=1,x∈?,当 a<a 时,a>1 或 a<0,a<x<a , 2 2 当 a>a 时 0<a<1,a <x<a, 2 2 ∴当 a<0 时,原不等式的解集为{x|a<x<a };当 0<a<1 时,原不等式解集为{x|a <x<a}; 2 当 a>1 时,原不等式的解集为{x|a<x<a };当 a=0 或 a=1 时,x∈?. 19. 【解】 设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台,总利润是 P,则 P=6x+8y,由题意有
2

?5x+10y≤110, ? x≥0, ?y≥0, ?x、y均为整数. ?

30x+20y≤300,

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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 3 1 由图 6-3 知直线 y=- x+ P 过 M(4,9)时,纵截距最大.这时 P 也取最大值 Pmax=6?4+8?9 4 8 =96(百元).

图 6-3

故当月供应量为空调机 4 台,洗衣机 9 台时,可获得最大利润 9 600 元. a 20. 【证明】 (1)∵f(1)=a+b+c=- , 2 ∴3a+2b+2c=0. 又 3a>2c>2b,∴3a>0,2b<0,∴a>0,b<0. 又 2c=-3a-2b,由 3a>2c>2b,∴3a>-3a-2b>2b. b 3 ∵a>0,∴-3< <- . a 4 (2)∵f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c a ①当 c>0 时,∵a>0,∴f(0)=c>0 且 f(1)=- <0. 2 ∴函数 f(x)在区间 (0,1)内至少有一个零点. a ②当 c≤0 时,∵a>0,∴f(1)=- <0 且 f(2)=a-c>0, 2 ∴函数 f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点. 综合①②得 f(x)在(0,2)内至少有一个零点. (3)∵x1,x2 是函数 f(x)的两个零点, 2 则 x1,x2 是方程 ax +bx+c=0 的两根, b c 3 b ∴x1+x2=- ,x1x2= =- - . a a 2 a ∴|x1-x2|= (x1+x2) -4x1x2 = b 2 3 b (- ) -4(- - )= a 2 a b 2 ( +2) +2. a
2

b 3 57 ∵-3< <- ,∴ 2≤|x1-x2|< . a 4 4 十三、 简易逻辑参考答案 课本回顾: 1.假 2.互为否命题. 3.逆命题为真,否命题为真,逆否命题为假. 习题精练: 1.p 且 q,p 或 q,非 p 2.a+b 不是偶数,则 a、b 不都是奇数 3.必要而不充分条件 4.充分而不必要条件 5. ? ABC 是等腰直角三角形 6.不内接于圆的四边形对角不互补 7.a=b,或 a=-b 或 a ? b 逆命题、否命题、逆否命题
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2 8.若 x ? ?3且x ? 2 ,则 x +x-6 ? 0 9.充分必要条件

10.0; 4;原命题、

江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 11. “若 a 是正数,则 a 的平方根不等于 0”逆命题是: (1) “若 a 的平方根不等于 0,则 a 是正数” ,否命 题是“若 a 不是正数,则它的平方根等于 0, ”逆否命题: “若 a 的平方根等于 0,则 a 不是正数” 。 (2) “若平行四边形的两条对角线不相等,则它不是矩形” ,逆命题是: “若平行四边形不是矩形,则它的 两条对角线不相等” ,否命题是“若平行四边形的两条对角线相等,则它是矩形逆否命题是: “若平行四边 形是矩形,则它的两条对角线相等。 ”

? 4 3 4 3 ?m? ?? ?(? m) ? 4(m ? 4 ? 0 ?? ? 0 3 ? 3 4 3 ? ? ? 12.由 ? x1 ? x 2 ? 0 即 ?? ( ? m) ? 0 得 ?m ? 0 ∴ 2<m< 3 ?m 2 ? 4 ? 0 ?m ? 0或m ? ?2 ?x ? x ? 0 ? 1 2 ? ? ? ?
2 2

13.假设存在整数 m、n 使得 m =n +1998,则 m -n =1998,即(m+n)(m-n)=1998。 当 m 与 n 同奇同偶时,m+n,m-n 都是偶数,∴ (m+n)(m-n)能被 4 整除,但 4 不能整除 1998,此时 (m+n)(m-n) ? 1998 ; 当 m,n 为一奇一偶时,m+n 与 m-n 都是奇数,所以(m+n)(m-n)是奇数,此时(m+n)(m-n) ? 1998 。 ∴假设不成立则原命题成立。 14.不正确

2

2

2

2

? a<-b<1, ∴a+b<0 且 b+1>0

( a ? b) 2 ? ( a ? b) a ? b ? ? b ?1 b ?1 b ?1
2 2

15. (1)充分性:? a+b+c=0, ∴a?1 +b?1+c=0, ∴x=1 是方程 ax +bx+c=0 的一个根 2 (2)必要性:? x=1 是方程 ax2+bx+c=0 的根,∴a?1 +b?1+c=0,即 a+b+c=0 综合(1) ,关于 x (2) 2 的方程 ax +bx+c=0 有一个根为 1 的充要条件是 a+b+c=0 16.(1)必要性:若 ax -ax+1>0 对 x ? 恒成立,由二次函数性质有: ?
2

?a ? 0 ?? ? 0,

即?

?a ? 0
2 ?a ? 4a ? 0

∴0<a<4

(2)充分性: 0<a<4,对函数 y=ax +ax+1,其中 ? ? a ? 4a ? a(a ? 4) ? 0 且 a>0 ∴ax -ax+1>0(X ? R) 若
2

2

2

恒成立。 由(1) (2)命题得证。 17.假设

a?b 2 2 < ab ,则 a+b<2 ab ),( a ? b ) <0 这与( a ? b ) ? 2

ab ? 0,相矛盾

a?b ? ab ,其中等号成立的充要条件是 a=b。 2
18.设六个圆的圆心分别为 A 、A ??A ,假设点 P 同 依题意得 PA1<A1A2,PA2<A1A2 ∴ ? A1PA2 为 ? A1PA2 的最大内 ? A1PA2>60°,同理可证 ? A2PA3>60°,∴?? ? A6PA1>60° + ? A6PA3+?+ ? A6PA1>360°,与周角定义相矛盾,故点 P 不 圆的内部。 19.解:(1)命题 P 的否命题为:―若 ac ? 0, 则二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有实根‖.
2
1 2 6

时在它们的内部, 角 ∴ ? A1PA2+ ? ? 能同时在这六个

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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 (2)命题 P 的否命题是真命题. 证明如下:

? ac ? 0,??ac ? 0 ? ? ? b2 ? 4ac ? 0 ? 二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实根.
∴该命题是真命题. 20.【解法一】 化简 A,B 得

1 或 x> 1? ,B:{x|x<-5 或 x> 1? 5 ∵A B 但 B ? A.∴非 B 非 A,但非 A ? 非 B. ∴非 A 是非 B 的充分不必要条件. 【解法二】 化简 A,B 得 1 A:{x|x<- 或 x>1},B:{x|x<-5 或 x>1} 5 1 ∴非 A:{x|- ≤x≤1},非 B:{x|-5≤x≤1}. 5
A:{x|x<由非 A 非 B.∴非 A 是非 B 的充分不必要条件.

十四、答案: 课本习题: 1.(1)a=0.3 (2) 0.3 (3) 0.6 2.(1)

2 3

(2)

2 3
2

(3)

7 12

3. P(X=1)=1-p

4.X~H(3,2,15),故 X 的概率分布如下: X P 0 1

22 35

12 35

1 35

5. P(X=3)=0.02625 P ? X ? 2? =0.097375 6.(1)0.3087 (2) 0.47178

P ? X =0? =0.037125
2

P ? X ? 1? =0.6588
9.

7. E(X)=3 8.V(X)= ?1 ? 3? ?

1 1 1 2 2 ? ? 2 ? 3? ? ? ? ? ? 5 ? 3? ? ? 2 5 5 5

15 ?

100 ?1 1500

习题精炼 1.解 (1)η 的值为 2,1,0,-1. P(η=2)=C0x0(1-x)3=(1-x)3, 3 P(η=1)=C1x(1-x)2=3x(1-x)2. 3 P(η=0)=C2x2(1-x)=3x2(1-x), 3 P(η=-1)=C3x3=x3. 3 ∴η 的概率分布为: η P 2 (1-x)
3

1 3x(1-x)
2 2

0 3x (1-x)

-1 x3

(2)E(η)=2(1-x)3+3x(1-x)2-x3=2-3x. 1 令 2-3x>1,得 x< , 3
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 1 所以当 0<x< 时,就可以投资. 3 2.解 (1)由于甲组有 10 名工人,乙组有 5 名工人,根据分层抽样原理,若从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核,则从甲组抽取 2 名工人,乙组抽取 1 名工人. (2)记 A 表示事件:从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人, C1C1 8 4 6 则 P(A)= 2 = . C10 15 (3)ξ 的可能取值为 0,1,2,3. Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人,i=0,1,2. B 表示事件:从乙组抽取的是 1 名男工人. Ai(i=0,1,2)与 B 独立, C2 C1 6 4 3 P(ξ=0)=P(A0 B )=P(A0)· B )= 2 · 1= , P( C10 C5 75 P(ξ=1)=P(A0· B+A1·B ) =P(A0)· P(B)+P(A1)· B ) P( 2 1 1 1 1 C4 C2 C6C4 C3 28 = 2 · 1+ 2 · 1= , C10 C5 C10 C5 75

C2 C1 10 6 2 P(ξ=3)=P(A2· B)=P(A2)· P(B)= 2 · 1= , C10 C5 75 31 P(ξ=2)=1-[P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=3)]= . 75 故 ξ 的概率分布为 0 6 P 75 6 28 31 10 8 E(ξ)=0? +1? +2? +3? = . 75 75 75 75 5 3. 甲 ξ 1 28 75 2 31 75 3 10 75

4. 【答案】解:5 名学生数学成绩的平均分为: (89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 ) ? 93 5 名学生数学成绩的方差为:

1 5

1 [(89 ? 93) 2 ? (91 ? 93) 2 ? (93 ? 93) 2 ? (95 ? 93) 2 ? (97 ? 93) 2 ] ? 8 5 1 5 名学生物理成绩的平均分为: (87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93) ? 90 5
5 名学生物理成绩的方差为:

1 24 [(87 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (92 ? 90) 2 ? (93 ? 90) 2 ] ? 5 5
因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. (Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分为事件 A 十五、答案:课本习题 1. (1) 3x-y-14=0 (2)x-2y+1=0 (3)y=-2x-2 (4) y ? 2. (1)2x-y-4=0 (2) a=-8 3.2 -5
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3 ? x ? 7? 2

江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 4.(1)2x+5y-21=0 习题精炼 1.m=2 或 5. a ? (2) x+y-5=0 5.15x+5y-2=0

1 2

2.3x+y-6=0 3. 2 2 6.a=-1 7. 2x-y+2=0

4.

2? 3

1 3

8.3x-y+10=0

9. 【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图,由对称性可猜想 ( ? ) x ? (

1 1 c b

1 1 ? )y ? 0 。 p a

事实上,由截距式可得直线 AB :

x y 1 1 1 1 x y ? ? 1 ,直线 CD : ? ? 1 ,两式相减得 ( ? ) x ? ( ? ) y ? 0 , a b c p c b p a

显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程,又原点 O 也满足此方程,故为所求的直线 OF 的方程。 答案 ( ? ) x ? (

1 1 c b

1 1 ? )y ? 0 . p a
11.

4 x 或 x+y+1=0 12. x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0 3 3 ? (?2) 5 ? ? , ∵ AD ? BC , 13. 解:直线 BC 的斜率为 k BC ? ?2 ? 1 3 A C 4 3 ∴ k AD ? ,根据点斜式,得到所求直线的方程为 5 D ?2 2 3 y ? 4 ? ( x ? 2) , 即 3x ? 5 y ? 14 ? 0 ?2 B 5
10.2x+3y-5=0

y??

? 14. P( ? , )或 P( , )
15. 2x + 7y – 5 = 0 十六、答案: 课本习题:
2 2 1.(1) x ? y ? 36 (2) ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 41
2 2

3 1 5 5

3 5

1 5

2.

? x ? 1?
2 2

2

? ? y ? 5 ? ? 25
2

3.

? x ? 1?

2

? ? y ? 3? ? 29
2 2

4. x ? y ? x ? 9 y ?12 ? 0
2 2

2 5. A 6. (1) ? x ? 3 ? ? y ? 29 2 2

(2) ? x ? 5 ? ? ? y ? 5 ? ? 25 或 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 7.b=2 或-2 8.

? x ? 4?

2

? ? y ? 1? ? 25
2

9. ? 2 ? 1, 2 ? 1

?

?

10.

? x ? 1?

2

? ? y ? 3? ? 1
2

习题精炼 1.(1) 7 ? 2 3 7 ? 2 3 (2)

2? 6
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 2. (1) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4
2 2

(2)

2 5

3.(1)

? x ? 5?

2

? ? y ? 6 ? ? 25 (2)x=0 或 8x+15y-45=0
2

4. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 5. ⊙C:(x+1) +(y-2) =4,圆心 C(-1,2),半径 r=2. (1)若切线过原点设为 y=kx,则
2 2

| -k - 2 | 1? k 2

4 =2,∴k=0 或 . 3

|-1+2-a| 若切线不过原点,设为 x+y=a,则 =2,∴a=1±2 2, 2 4 ∴切线方程为:y=0,y= x,x+y=1+2 2和 x+y=1-2 2.? 3 (2) ???????7 分

x0 ? y 0 ? 2x 0 - 4 y 0 ? 1 = x 0 ? y 0 ∴2x0-4y0+1=0,ks5u
2 2 2 2 2 2

|PM|= x0 ? y 0 ? 2x 0 - 4 y 0 ? 1 = 5y 0 - 2 y 0 ?
2

1 4

1 1 2 2 2 ∵P 在⊙C 外,∴(x0+1) +(y0-2) >4,将 x0=2y0- 代入得 5y2 -2y0+ >0, 0 2 4 ∴|PM|min= 6.(1) 5 ? 1 1? .此时 P?- , ?.???????14 分 10 ? 10 5?
2

? x ? 3?

? y 2 ? 25

(2)2x-y-1=0 或 2x-y-11=0

十七、答案: 课本习题: 1.y=4 或 3x+4y-13=0 2. 2 3.(1) x ? 3 y ? 4 ? 0 (2) x=0 或 y ?
2

3 x 4

4.

2 55 5

5.2

6.外切,相交. 7.

? x ? 3?

2

? ? y ? 3? ? 18

习题精炼 1. [0,10] 2.解: (Ⅰ)设圆心为 M (m, 0) ( m ? Z ) .由于圆与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切,且半径

为 5 ,所以

4m ? 29 ? 5 ,即 4m ? 29 ? 25 .因为 m 为整数,故 m ? 1 . 5
2 2

故所求圆的方程为 ( x ?1) ? y ? 25 . ?????????????4 分

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(Ⅲ)设符合条件的实数 a 存在,由于,则直线 l 的斜率为 ?

1 a

1 l 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ? 4 ,即 x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 a
由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M (1, 0) 必在 l 上,ks5u 所以 1 ? 0 ? 2 ? 4a ? 0 ,解得 a ?

3 3 3 ? 5 ? 。由于 ? ? , ?? ? ,故存在实数 a ? 4 4 4 ? 12 ?

使得过点 P(?2, 4) 的直线 l 垂直平分弦 AB?????????14 分

3. 解(1)圆 C 即 ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 25 ,显然 P(5, 0) 在圆 C 上,则 P 为切点, kOP ? 么所求切线 l1 的斜率为 k ?

4?0 4 ? ? ,那 2?5 3

3 3 ,所以直线 l1 方程为 y ? 0 ? ( x ? 5) 即 3x ? 4 y ? 15 ? 0 . 4 4

(2)当直线 l2 的斜率不存在时, l2 方程为 x ? 5 ,圆心 C 到 x ? 5 距离是 3, |AB|=2 52 -32 =8 满足题意; 当直线 l2 的斜率存在时,设 l2 方程为 y ? k ( x ? 5) ,由垂径定理和勾股定理得,圆心 C 到直线 l2 的距离 是 3,即

| ?3k ? 4 | k ?1
2

? 3 ,解得 k ? ?

7 ,则 l2 方程是 7 x ? 24 y ? 35 ? 0 24

所以,直线 l2 方程是 7 x ? 24 y ? 35 ? 0 或 x ? 5 ? 0 . 4.(1) P(2a, a)(0 ? a ? 2).

1 ? M (0,2), MP ? 5,? (2a)2 ? (a ? 2)2 ? 5. 解得 a ? 1 或 a ? ? (舍去).? P(2,1). 5
由题意知切线 PA 的斜率存在,设斜率为 k. 所以直线 PA 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0.

? 直线 PA 与圆 M 相切,?

| ?2 ? 2k ? 1| 1? k
2

4 ? 1 ,解得 k ? 0 或 k ? ? . 3

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?直线 PA 的方程是 y ? 1 或 4 x ? 3 y ? 11 ? 0.
(2)① P(2a, a)(t ? 2a ? t ? 4).

?PA 与圆 M 相切于点 A,? PA ? MA.
?经过 A, P , M 三点的圆的圆心 D 是线段 MP 的中点.

a ? M (0, 2),? D 的坐标是 (a, ? 1). 2 t t?4 a 5 5 2 4 ]) DO2 ? f (a).? f (a) ? a2 ? ( ? 1)2 ? a2 ? a ? 1 ? (a ? )2 ? . ( a ? [ , 2 2 2 4 4 5 5 t 2 4 t 5 t ②当 ? ? ,即 t ? ? 时, f (a)min ? f ( ) ? t 2 ? ? 1; 2 5 5 2 16 2 t 2 t 24 4 2 4 当 ? ? ? ? 2 ,即 ? ? t ? ? 时, f (a)min ? f (? ) ? ; 2 5 2 5 5 5 5 t 2 24 t 5 t t 15 当 ? 2 ? ? ,即 t ? ? 时 f (a)min ? f ( ? 2) ? ( ? 2)2 ? ( ? 2) ? 1 ? t 2 ? 3t ? 8 5 2 5 2 4 2 2 16
4 ?1 2 ? 4 5t ? 8t ? 16, t ? ? 5 ? 4 ? 2 5 24 则 L(t ) ? ? . ,? ? t ? ? 5 5 ? 5 24 ?1 2 ? 4 5t ? 48t ? 128, t ? ? 5 ?

3 5 十八、答案 1-3 见课本 4. 5. 6. 5 2

x ?y 16 9
2

2

? 1 7.16

8.解:设:点 A(X1,Y1),B(X2,Y2) Y=1-X 代入椭圆方程得:(a+b)X?-2bX+(b-1)=0 ===>X1+X2=(2b)/(a+b);X1*X2=(b-1)/(a+b) ===>(X1+X2)/2=b/(a+b);(Y1+Y2)/2=a/(a+b) ∵M 是线段 AB 的中点 ∴M[b/(a+b),a/(a+b)] ∵直线 OM 过原点,∴直线 OM 的方程由点斜式可得: a/(a+b)=(√2/2)(b/(a+b)) ===>b=√2a ∵K(OA)?K(OB)=-1 ∴(Y1/X1)?(Y2/X2)=-1 ===>Y1*Y2=-X1*X2 ===>(1-X1)(1-X2)=1-(X1+X2)+X1*X2 ===>(a-1)/(a+b)=(1-b)/(a+b) ∴a-1=1-b ∴a+b=2 又∵b=√2a ∴a+√2a=2 ∴a=2(√2-1)=2√2-2
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 那么,b=4-2√2 9. (1)
2

x

2

45

?

y
9

? 1 (2)

y

0

??

3 2

10. 1. x ;4 ;y ;2 3 ;x ;(?1,0) ;(1,0) ; ;(?2,0) ;(0,? 3) ;

1 2

?? 2,2? ; ??

3, 3

?
2

11. 0 ? k ? 1 12.14
2

13..

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ? 1 ; 14. 8; 25 9 9 25

x y 2 15. 解:椭圆方程为 + =1,a=3,b= 5,c=2,所以 e= ,2a=6. 9 5 3
|PF| 2 = ,所以|PQ| |PQ| 3 3 3 9 11 = |PF|.从而|PA|+ |PF|=|PA|+|PQ|, 故当 A、 、 三点共线时, PA|+|PQ|最小, P Q | 最小值为 +1= , 2 2 2 2 (1)如图(左)所示,过点 P 向椭圆的左准线作垂线,垂足为 Q,则由椭圆的定义知 6 5 此时 P(- ,1). 5 (2)如图(右)所示,设椭圆右焦点为 F1,则|PF|+|PF1|=6,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6,因为- |AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当 P、 、 1 共线时等号成立), A F 所以|PA|+|PF|≤6+ 2, PA|+|PF|≥6- 2. | 故|PA|+|PF|的最大值为 6+ 2,最小值为 6- 2. 16. 解:(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2 为等腰直角三角形,所以有 OA=OF2,即 b=c. 所以 a= 2c,e= =

c a

2 . 2

(2)由题知 A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0), 其中,c= a -b ,设 B(x,y).
2 2

???? ? ???? 3c 由 AF2 =2 F2 B ?(c,-b)=2(x-c,y),解得 x= , 2
b 3c b y=- ,即 B( ,- ).
2 2 2 9 2 b c 4 4 x2 y2 将 B 点坐标代入 2+ 2=1,得 2 + 2=1,
2

a

b

a

b



9c 1 2+ =1, 4a 4
2 2

2

解得 a =3c .①

???? ??? ? 3c 3b 3 又由 AF1 ? AB =(-c,-b)?( ,- )= 2 2 2
?b -c =1, 即有 a -2c =1.② 由①,②解得 c =1,a =3,从而有 b =2. 所以椭圆方程为 + =1. 3 2 17. 解: (1)把直线方程 代入椭圆方程
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2 2 2 2 2 2 2

x2 y2



江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 ,即 . ,

解得

. , ,由(1)得

(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为

, 根据弦长公式得





解得



因此,所求直线的方程为

?c 1 ?a ? 2 , ? ?4 9 18. 解:(1)由题意得, ? 2 ? 2 ? 1, 解得 a ? 4, b ? 2 3, c ? 2 , ?a b ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ?
∴所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1. 16 12

(2)F(2,0) A(-4,0) , ,右准线 l 为直线 x ? 8 , 故所要求的圆的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 6 2)2 ? 81 (3)设 P 点横坐标为 x 0 ,则 ∴

PM 8 ? x0 ? ,∵ ? 4 ? x0 ? 4 , AM 8?4

8 ? x0 PM PM 12 1 ? ? ? ?1 ? . AP AM ? PM x0 ? 4 x0 ? 4 2

PM 1 的取值范围是 ? ,?? ? ? ?2 AP ? ? 19.解:(1)即设 A( 2,1) 的中点弦两端点为 P ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,则有关系 x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ? 2 .又据对称性知 1

y ?y x1 ? x2 , 所以 1 2 x1 ? x2
2 2 2 2 P 是中点弦 P1P2 所在直线的斜率, P1 、 2 在双曲线上, 由 则有关系 2x1 ? y1 ? 2,2x2 ? y2 ? 2 . 两

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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 式相减是:
2( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

∴ 2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 ) ? 0 ∴

y1 ? y2 ?4 x1 ? x2

所求中点弦所在直线为 y ? 1 ? 4( x ? 2) ,即 4 x ? y ? 7 ? 0 . (2)可假定直线 l 存在,而求出 l 的方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 方法同(1),联立方程 ? ?
?2 x 2 ? y 2 ? 2 ,消去 y,得 2 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?

然而方程的判别式 ? ? (?4) 2 ? 4 ? 2 ? 3 ? ?8 ? 0 ,无实根,因此直线 l 与双曲线无交点,这一矛盾说明了满足条 件的直线 l 不存在. 20. 解:⑴设 Q(x0,0) ,由 F(-c,0) A(0,b)知 FA ? (c, b), AQ ? ( x0 ,?b)

? FA ? AQ,? cx0 ? b 2 ? 0, x0 ?
设 P ( x1 , y1 ),由AP ?

b2 ?2 分 c

8b 2 5 8 , y1 ? b ?? PQ ,得 x1 ? 13c 13 5

8b 2 2 5 ( ) ( b) 2 13c ? 13 ? 1 ?? 因为点 P 在椭圆上,所以 a2 b2
1 2 2 2 整理得 2b =3ac,即 2(a -c )=3ac, 2e 2 ? 3e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率 e= ?? 2 ⑵由⑴知 2b 2 ? 3ac,得

b2 3 ? a; c 2



c 1 1 ? ,得c ? a , a 2 2

3 1 于是 F(- a,0) Q ( a ,0) , 2 2
△AQF 的外接圆圆心为(

1 1 a,0) ,半径 r= |FQ|=a??? 2 2

1 | a ?5| 所以 2 ? a ,解得 a=2,∴c=1,b= 3 , 2
所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

十 九 答 案 1-4 概 念 见 课 本 5.2 6.

y

2

? ?20x 7.4

8. 解 : 由 定 义 知 | PF | ? | PF2 |? 2a , 又 已 知 1

F | PF1 |? 4 | PF2 | , 解 得 P 1 ?

8 3

a PF2 ? ,

2 a , 在 ?PF1 F2 中 , 由 余 弦 定 理 , 得 3

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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思

64 2 4 2 a ? a ? 4c 2 17 9 9 ? cos ?F1 PF2 ? 9 ? ? e 2 , 要 求 e 的 最 大 值 , 即 求 c o s F1PF2 的 最 小 值 , 当 8 2 8 8 2? a? a 3 3 5 5 c o s F1 PF2 ? ?1时,解得 e ? .即 e 的最大值为 .9.(1) ? 2 ? m ? 4 (2) 2 ? 3 3 1 1 1 1 10. (1) k< 且 k ? ? 时, 与 C 有两个公共点(2)当 k ? ? 时, 与 C 仅有一个公共点 当 l l (3) 当 k? 2 2 2 2
时,l 与 C 无交点 11. 5 12. 17 4 13. 6 2 14. m=4 15. y=± 3 x 4

16.解(1)由题意可设所求的双曲线方程为 x2 y2 c 则有 e= =2,c=2,∴a=1,则 b= 3 2- 2=1(a>0,b>0) a b a
∴所求的双曲线方程为 x - =1. 3 (2)∵直线 l 与 y 轴相交于 M 且过焦点 F(-2,0) ∴l 的斜率 k 一定存在,设为 k,则 l:y=k(x+2) 令 x=0 得 M(0,2k) → → → → ∴MQ=2QF或MQ=-2QF 4 2 → → 当MQ=2QF时,xQ=- ,yQ= k 3 3
2 2 2

y2

→ → ∵|MQ|=2|QF|且 M、Q、F 共线于 l

? 4 2 ? ∴Q?- , k?, ? 3 3 ?

y 16 4k 21 2 ∵Q 在双曲线 x - =1∴ - =1,∴k=± , 3 9 27 2
→ → 当MQ=-2QF时, 4k 3 同理求得 Q(-4,-2k)代入双曲线方程得,16- =1,∴k=± 5 3 2 则所求的直线 l 的方程为:y=± 21 3 5 (x+2)或 y=± (x+2) 2 2
2

?m ? 6 ? 0 ? 17.解: (1)据题意 ? 2m ? 0 ,解之得 0<m< 2 ; ? ?( m ? 6) ? 2m ?
故命题 p 为真命题时 m 的取值范围为 (0, 2); ????4 分 (2)若命题 q 为真命题,则 (m ? 1)(m ? 1) ? 0,解得 ?1 ? m ? 1 ,故命题 q 为假命题时 m 的取值范围

(??, ?1] ? [1, ??) ;????9 分
(3)由题意,命题 p 与 q 一真一假,从而 当 p 真 q 假时有 ?

?0 ? m ? 2, 解得 1 ? m ? 2 ; ?m ? ?1或m ? 1.
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 当 p 假 q 真时有 ?

?m ? 0或m ? 2, 解得 ?1 ? m ? 0 ; ??1 ? m ? 1.

故 m 的取值范围是 (?1,0] ? [1, 2) .????14 分 18.(1)椭圆的焦点为 F1(0,-3),F2(0,3). 设双曲线的方程为 2- 2=1,则 a +b =3 =9.① 又双曲线经过点( 15,4),所以
2 2 2

y2 x2 a b

2

2

2

16 15 2 - 2 =1.②

a

b

解①②得 a =4,b =5 或 a =36,b =-27(舍去), 所以所求双曲线 C 的方程为 - =1. 4 5 (2)由双曲线 C 的方程,知 a=2,b= 5,c=3. 设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2a=4, 2 2 平方,得 m -2mn+n =16.① 2 2 2 2 2 在△F1PF2 中,由余弦定理得(2c) =m +n -2mncos120°=m +n +mn=36.② 20 由①②得 mn= , 3 1 5 3 所以△F1PF2 的面积为 S= mnsin120°= . 2 3 19.[解答] (1)设动点为 P(x,y), 依据题意,有

2

y2 x2

?x+p+1?- ? 2 ? ? ?

?x-p?2+y2=1,化简得 y2=2px. ? 2? ? ?
2

因此,动点 P 所在曲线 C 的方程是 y =2px.

(2)证明:由题意可知,当过点 F 的直线 l 的斜率为 0 时,不合题意, 故可设直线 l:x=my+ ,如图所示. 2

p

?y =2px, ? 联立方程组? p ?x=my+2, ?

2

可化为 y -2mpy-p =0,
? ?y1+y2=2mp, ?y1y2=-p . ?
2

2

2

则点 A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐标满足? 又 AM⊥l1、BN⊥l1,

? ? ? ? 可得点 M?- ,y1?,N?- ,y2?. ? 2 ? ? 2 ? → → 于是,FM=(-p,y1),FN=(-p,y2), → → 2 因此FM?FN=(-p,y1)?(-p,y2)=p +y1y2=0
p p
二十、答案 1-13 见课本
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 14.3 或 4 15.3 16.8 17.证明: (1)∵E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点. ∴EF∥AC,GH∥AC,EF= AC,GH= AC ∴EF∥GH,EF=GH ∴四边形 EFGH 是平行四边形 (2)若 AC=BD,则 EF=EH, ∵四边形 EFGH 是平行四边形 ∴四边形 EFGH 为菱形. (3)AC⊥BD 18.证明:从 P 分别向 AB、AC 做垂线,分别交 AB、AC 于 D、E,然后作出 P 在平面 a 的投影 P',连接 P'D、 P'E、PP'、P'A。 因为 ∠PAB=∠PAC PA=PA PD 和 PE 分别垂直于 AB、AC 所以 三角形 PAD 和三角形 PAE 全等 (AAS) 所以 AD=AE PD=PE 因为 PP'垂直于平面 a 所以 PP'垂直于 P'D 和 P'E 又因为 PD=PE PP'=PP' 所以 三角形 PP'D 和三角形 PP'E 全等 所以 P'D=P'E

(HL)

因为 P'D=P'E AD=AE P'A=P'A 所以 三角形 P'DA 和三角形 P'EA 全等 (SSS) 所以 ∠P'AB=∠P'AC 所以 P'在∠BAC 角平分线上 19.证明: 在 DC 上取中点 Q,连 MQ、NQ 因为 M、N 是所在棱上的中点, 所以 MQ//AD 而 MQ 平面 APD,AD 平面 APD 所以 MQ//平面 APD 同理:NQ//平面 APD 又 MQ NQ=Q 所以 平面 MNQ//平面 APD 而 MN 平面 MNQ 所以 MN//平面 APD

4.20.①③ 21. (3) (4)22. 菱形 23.

1 a 24. 3

3 25.垂心 26. ①④ 3
(3) 45 ,60
? ?

27. (1) AA , BB1 , A1 D1 , B1C1 1

(2) A1 D1 , AD, B1C1 , BC

28. 证明:过 M 作 MG 垂直于 BC 垂足为 G;过 N 作 NH 垂直于 BE 垂足为 H,连接 GH。因为 GH 在平面 BCE 上,所以只需证明 MN 平行于 GH 即可。注意这两个正方形是有公共边的,故二者全等,所以 AC 等于
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 BF。因为 AM=FN,所以 CM=AC-AM=BF-FN=BN。易知三角形 CMG 全等于三角形 BNH,所以 MG=NH,因为 MG 垂 直于 BC,AB 垂直于 BC,所以 MG 平行于 AB。同理 NH 平行于 AB。所以 MG 与 NH 平行且相等,所以 MNHG 是 平行四边形,所以 MN 平行于 GH。所以 MN 平行于平面 BCE 29. 连 AC、BD、B1D1,因为 O 为正方体底面中点,故 AC 与 BD 交于 O,且 OH、B1H 均在 BB1D1D 内。 可证 AC⊥平面 BB1D1D,故 B1H⊥AC(一直线垂直于平面,则该直线与平面内所有直线垂直)。 又,由题知 B1H⊥D1O,所以 B1H 垂直于 AC、D1O 所确定的平面,即平面 AD1C

二十一、答案 1-12 概念见课本 13.468 cm 2 14.②和④ 15. (1)(2) 16:8π 19.①④ 20. 证明: (1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点. ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF∥ ? 面 ACD,AD ? 面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD; (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD, ∵CB=CD,F 是BD的中点,∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F, ∴BD⊥面 EFC, ∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC ? 面 BCD 21. 解(Ⅰ)如图 3-2,取 BB1 的中点 M ,连结 A1M 、 MF . ∵ M 、 F 分别是 BB1 和 CC1 的中点,∴ MF // B1C1 , ?

18. a // ? 或a ? ?

// 在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,有 A D1 ? B1C1 , 1 1
∴ MF // A D1 ,∴四边形 A1MFD1 是平行四边形, ? 1

D1 A1
E A

C1 B1
F

D
图 3-2

// ∴ A M ? D1F .又 E 、 M 分别是 AA1 、 BB1 的中点, 1 // ∴ A E ? BM ,∴四边形 A EBM 为平行四边形, 1 1

C
B

// 1 // ∴ EB ? A M .故 EB ? D1F .∴四边形 EBFD1 是平行四边形.又 Rt ?EAB ≌ Rt ?FCB ,
∴ BE ? BF ,故四边形 EBFD1 为菱形. (Ⅱ)连结 EF 、 BD1 、 AC1 . 1 ∵四边形 EBFD1 为菱形,∴ EF ? BD1 .

在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,有 B1D1 ? AC1 , B1D1 ? A A ,∴ B1 D1 ? 平面 A ACC1 . 1 1 1 1 又 EF ? 平面 A ACC1 ,∴ EF ? B1D1 .又 B1D1 ? BD1 ? D ,∴ EF ? 平面 BB1D1 . 1 又 EF ? 平面 EBFD1 ,故平面 EBFD1 ? 平面 BB1D1 22 解(Ⅰ)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,则

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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思

? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 , ? ? EF // 平面ABC1 D1. EF ? 平面ABC1 D1 , ? ? EF // D1 B,

? ? B1C ? BC1 , ? (Ⅱ) ?? AB, BC1 ? 平面ABC1 D1 , ? ? AB ? BC1 ? B, ?
B1C ? 平面ABC1 D1 , ? B1C ? BD1 ,? ?? ? ? EF ? B1C. BD1 ? 平面ABC1 D1 , ? EF // BD1 , ?
(Ⅲ)?CF ? 平面BDD1B1 ,?CF ? 平面EFB1 ,且 CF

B1C ? AB,

? BF ? 2 ,

? EF ?

1 BD1 ? 3 , B1 F ? 2

BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 .

B1 E ? B1 D12 ? D1E 2 ? 12 ? (2 2)2 ? 3 ,
∴ EF
2

? B1F 2 ? B1E 2 ,即 ?EFB1 ? 90? .

1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = 1 ? 1 ? EF ? B1 F ? CF 3 3 2
= ? ? 3 ? 6 ? 2 ? 1. 23 证明: (1)? M ,N 分别是 AE,PE 的中点,? MN // PE .

1 1 3 2

? CB // PE ,? MN // CB .

? MN ? 面ABC,CB ? 面ABC , ? MN // 面ABC .
(2)?面PAC ? 面ABC,交线为AC,AC ? BC ,? BC ? 面PAC .

? MN // CB ,? MN ? 面PAC .

? MN ? 面CMN, 面CMN ? 面PAC ?
24. (1)证明:∵CD⊥AD,CD⊥PA, ∴CD⊥平面 PAD,∴CD⊥AG. ∵PA=AB=AD,G 为 PD 中点, ∴AG⊥PD. 又 PD∩CD=D,∴AG⊥平面 PCD.

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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 (2)证明:作 EF⊥PC 于 F,因为面 PEC⊥面 PCD, ∴EF⊥平面 PCD,又由(1)知 AG⊥平面 PCD, ∴EF∥AG.又 AG?面 PEC,EF?面 PEC, ∴AG∥平面 PEC. (3)由 AG∥平面 PEC 知 A、G 两点到平面 PEC 的距离相等, 由(2)知 A、E、F、G 四点共面, 又 AE∥CD,∴AE∥平面 PCD, ∴AE∥GF,∴四边形 AEFG 为平行四边形, ∴AE=GF. 1 由 PA=AB=4,FG 綊 CD, 2 ∴AE=FG=2. 1 1 16 ∴V 三棱锥 P-AEC= ? ?2?4?4= . 3 2 3 又 EF⊥PC,EF=AG=2 2, 1 1 ∴S△EPC= PC?EF= ?4 3?2 2=4 6. 2 2 1 16 又 V 三棱锥 P-AEC=V 三棱锥 A-PEC,∴ S△EPC?h= , 3 3 即 4 6h=16, 2 6 ∴h= , 3 ∴G 点到平面 PEC 的距离为 2 6 . 3

二十二、 一、选择题 1. C 算法的特点:有穷性,确定性,顺序性与正确性,不唯一性,普遍性

2. D 任何一个算法都有顺序结构,循环结构一定包含条件结构,二分法用到循环结构 3. B 先把 b 的值赋给中间变量 c ,这样 c ? 17 ,再把 a 的值赋给变量 b ,这样 b ? 8 , 把 c 的值赋给变量 a ,这样 a ? 17 4. B 把 1赋给变量 a ,把 3 赋给变量 b ,把 4 赋给变量 a ,把 1赋给变量 b ,输出 a , b

5. D 该程序揭示的是分段函数 y ? ? 二、填空题 1. 2. 3. INPUT,WHILE,WEND

?2a, a ? 10
2 ?a , a ? 10

的对应法则

5 , 3 , 2 , 7 , 9注意是从大到小 ,1
① ,② ,③ ,④ ,⑥ 基本算法语句的种类

三、解答题
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 1.解: INPUT " a ? "; a

l ? SQR(2) ? a

s ? a ?a
PRINT " l ? "; l ," s ? "; s
END
2.解: TNPUT " 通话时间";t

IF t ?? 3 and t ? 0 THEN
c ? 0.30
ELSE c ? 0.30 ? 0.10 ? (t ? 3)
END IF

P R I N T" 通话费用";c
END
二十三、导数的概念及运算答案 二.课本练习回顾: 1.x?4y?; 2. ln 2 ? 1 ?0 (2) 3 x ?
2

3. y ? 4 x ? 5
'

4. y ? 2( x ? ? )

5.(1)

x2 ? 2x ? 8 ( x ? 1) 2

27 ?6 x2

(3)

1 ? ln x x2

三.习题精练

1. (-1,1) 2.-3; 3. ;

;4.



5.解析:∵所求切线平行 3x+y=6,∴所求切线斜率为-3, 由 y'=2x+3,令 y'=2x+3=―3,解出 x=―3. 将 x=―3 代入曲线方程得 y=(―3)2+3(―3)+1=1 ∴切点坐标为(―3,1) 故切线方程为 y―1=-3(x+3),即 y=-3x-8. 6.解析:原点坐标(0,0)不满足曲线 y=x3―3x2―1 的方程,故原点不是切点. 设过原点的切线的切点坐标为(x0,y0) ,则 ∵ ,∴切线斜率为
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.

江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 切线方程为 ∵切线必过原点(0,0) ∴ ∴ ∴ , ,将 代入

∴ 当 x0=1 时,切线斜率为

,解出 x0=1 或

∴过原点的切线方程为 y=-3x



时,切线斜率为

∴过原点的切线方程为 7.解析: (1)法一:

.

法二:

法三:

(2)

(3)

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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思

(4)

(5)

(6)

8.解析:

(1)



,即曲线在点(1,1)处的切线斜率 k=0

因此曲线

在(1,1)处的切线方程为 y=1

(2)

9.解析: (1) , ,
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 ∴ (2)设 由

∴ ∴ 由

,解出 a=1,b=-3,c=0

,∴x3―3x2+4>0

∴(x+1)(x-2)2>0 ,∴x>-1 且 x≠2 ∴x∈(-1,2)∪(2,+∞) (3)设 是关于 x 的 n 次多项式,则 、 是关于 x 的 n―1 次多项式.

是关于 x 的 2n―1 次多项式, 是关于 x 的 n 次或 3 次多项式

当 n≥3 时,由已知等式可得 2n―1=n,n=1 与假设矛盾. 当 n<3 时,由已知等式可得 2n―1=3,n=2. 可设
2



∴(2ax+b)(ax +bx+c)=(2ax+b)+(ax2+bx+c)+2x3+2x2-1 整理得 2a2x3+3abx2+(b2+2ac)x+bc=2x3+(a2+2)x2+(2a+b)x+(b+c-1)

∴ ∴

,解出

10.(1)? P(2, 4)在曲线 y ?

1 3 4 x ? 上,且 y? ? x 2 3 3

∴在点 P(2, 4) 处的切线的斜率 k= y? |x ? 2 =4; ∴曲线在点 P(2, 4) 处的切线方程为 y ? 4 ? 4( x ? 2) ,即 4 x ? y ? 4 ? 0 .
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思

1 4 A( x0 , x03 ? ) 1 3 4 3 3 , (1)设曲线 y ? x ? 与过点 P(2, 4) 的切线相切于点 3 3
则切线的斜率

k ? y? |x? x0 ? x02



1 4 2 3 4 2 2 y ? ( x03 ? ) ? x0 ( x ? x0 ) y ? x0 ?x ? x0 ? 3 3 3 3 ∴切线方程为 ,即
∵点 P(2, 4) 在切线上,

2 4 2 4 ? 2 x0 ? x03 ? 3 2 3 3 ,即 x0 ? 3x0 ? 4 ? 0 , ∴
∴ ∴
3 2 2 x0 ? x0 ? 4x0 ? 4 ? 0 ,

( x0 ?1)( x0 ? 2)2 ? 0 ,解得 x0 ? ?1 或 x0 ? 2
故所求的切线方程为 4 x ? y ? 4 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 .

(3)设切点为

( x0 , y0 )
2 k ? x0 ? 4 , x0 ? ?2 .

则切线的斜率为

? 4 ∴切点为 ?2,? , ? ? 2,

? ?

4? ? 3?
4 ? 4? x ? 2 ? 3

∴切线方程为 y ? 4 ? 4?x ? 2? 和 y ?

即 4 x ? y ? 4 ? 0 和 12x ? 3 y ? 20 ? 0 二十四、导数应用参考答案 课本回顾: 1.(1) 增区间(??, ),减区间( , ??) ( 2). 减区间(??, ?

1 2

1 2

3 3 3 3 ), ( , ??),增区间(? , ) 3 3 3 3

(1)x ? 2.

7 25 时,y极小值 ? ? , (2) x ? 1时,y极小值 ? 2, x ? ?1时,y极大值 ? ?2 2 4
4. [?6,

3. 当x ? 1时,极小值为1,无极大值 习题精练: 1.(1)解:当 x ? [ ?,

2 3 ] 9

5. [1, ??)

3? ] 时, y ' ? sin x ? x cos x ? 0 , y 为减函数, 2
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 ∴ ymin ?

3? 3? 3? ? sin ?? . 2 2 2

(2)解:∵ f ( x ) 是奇函数,∴ f ( x ) 在 (0, 2) 上的最大值为 ?1 ,

1 1 1 1 ? a ,令 f '( x) ? 0 得 x ? ,又 a ? ,∴0 ? ? 2 . a 2 x a 1 1 1 1 令 f '( x) ? 0 时 , x ? , f ( x ) 在 (0, ) 上 递 增 ; 令 f '( x) ? 0 时 , x ? , f ( x ) 在 ( , 2) 上 递 a a a a 1 1 1 1 减;∴ f ( x ) max ? f ( ) ? ln ? a ? ? ?1 ,∴ln ? 0 ,得 a ? 1 . a a a a
当 x ? (0, 2) 时, f '( x ) ? 2.解:(1) f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3 ,由 f ( x) 在区间 [1, ??) 上是增函数, 则当 x ? [1, ??) 时,恒有 f '( x) ? 0 ,即 3x ? 2ax ? 3 ? 0 在区间 [1, ??) 上恒成立.
2

∴2a ? 3( x ?

1 1 1 ) 在 [1, ??) 上恒成立,而 x ? 在 [1, ??) 上为增函数, ( x ? ) min ? 0 x x x

∴ 实数 a 的取值范围是 ( ??,0] . (2)依题意得 f ?( ? ) ? 0, ?

1 3

1 3

2 a ? 3 ? 0, a ? 4 , 3
1 3

3 2 2 则 f ( x) ? x ? 4 x ? 3x, 令f ?( x) ? 3x ? 8x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? ? , x2 ? 3

而 f (1) ? ?6, f (3) ? ?18, f (? ) ? ?12 , f (4) ? ?12 , 故 f ( x) 在区间 [1, 4] 上的最大值是 f (1) ? ?6 . (3)若函数 g ( x) ? bx 的图象与函数 f ( x) 的图象恰有 3 个不同的交点, 即方程 x ? 4 x ? 3x ? bx 恰有 3 个不等的实数根.
3 2 3 2 2 而 x ? 0 是 方 程 x ? 4 x ? 3x ? bx 的 一 个 实 数 根 , 则 方 程 x ? 4 x ? 3 ? b ? 0 有 两 个 非 零 实 数 根 , 则

1 3

?? ? 16 ? 4(b ? 3) ? 0 即 b ? ?7 且 b ? ?3 . ? ? ?3 ? b ? 0
故满足条件的 b 存在,其取值范围是 (?7, ?3) ? (?3, ??) . 3.(1)证明:令 g ( x ) ? f ( x ) ?

2x 2x x2 ? 2 x ? 2 ? ln( x ? 1) ? , g ?( x ) ? , x?2 x?2 ( x ? 1)( x ? 2)2

2x ; x?2 1 7 7 1 2 2 (2)解: f ( x ) ? x ? m ? 2bm ? ln 2 ? ? m ? 2bm ? ln 2 ? ? f ( x ) ? x ,① 2 2 2 2
当 x ? 0 时, g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 单调递增,∴g ( x ) ? g (0) ? 0 ,于是 f ( x ) ?
高二数学?第 35 页 共 75 页

江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 令 h( x ) ? f ( x ) ?

1 1 1? x x ? ln( x ? 1) ? x , h?( x ) ? ,令 h?( x ) ? 0 得 x ? 1 , 2 2 2( x ? 1)

当 ?1 ? x ? 1 时, h?( x ) ? 0 , h( x ) 单调递增,当 x ? 1 时, h?( x ) ? 0 , h( x ) 单调递减, ∴h( x ) max ? h (1) ? ln 2 ?
2

7 1 1 2 ,① 恒成立,有 m ? 2bm ? ln 2 ? ? ln 2 ? , 2 2 2
2

∴m ? 2bm ? 3 ? 0 ,得 2m ? b ? m ? 3 ? 0 ,

② ,

令 G(b) ? 2m ? b ? m2 ? 3,当 b ? [?1,1] 时,② 恒成立,有 ?

?G( ?1) ? 0 , ?G(1) ? 0

??2m ? m2 ? 3 ? 0 ∴? ,解得 m ? ?3 或 m ? 3 . 2 ?2m ? m ? 3 ? 0
∴ 实数 m 的取值范围是 ( ??, ?3] ? [3, ??) . 4.解:(1)由题意得 f ?( x) ? 3ax ? 2x ? b. 有 g ( x) ? ax 2 ? (3a ? 1) x 2 ? (b ? 2) x ? b ,
2

又 g ( x ) 是奇函数,得 g ( ? x ) ? ? g ( x ), 有 a(? x) 3 ? (3a ? 1)(? x) 2 ? (b ? 2)(? x) ? b ? ?[ax2 ? (3a ? 1) x 2 ? (b ? 2) x ? b], 从而 3a ? 1 ? 0, b ? 0, 得 a ? ? , b ? 0, f ( x) 的表达式为 f ( x ) ? ? (2)由(1)知 g ( x ) ? ?

1 3

1 3 x ? x2 ; 3

1 2 x ? 2 x ,有 g?( x) ? ? x 2 ? 2 ,令 g ?( x ) ? 0 ,得 x1 ? ? 2 , 3

x2 ? 2 ,当 x ? ? 2 或 x ? 2 时, g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 在 (??, ? 2] , [ 2, ??) 上均为减函数;当
? 2 ? x ? 2 时, g ?( x) ? 0, g (x) 在区间 [? 2 , 2 ] 上是增函数.
由前面讨论知, g ( x ) 在 [1, 2] 上的最大值与最小值只能在 x ? 1, 2,2 时取得, 而 g (1) ?

5 4 2 4 , g( 2) ? , g (2) ? . 3 3 3
4 4 2 ,最小值为 g ( 2) ? . 3 3
a a ,∴ f ( x ) 的图象与 x 轴相切于点 ( ,0) . 2 2

因此 g ( x ) 在 [1, 2] 上的最大值为 g ( 2 ) ?

5.解:(1) f '( x ) ? 2 x ? a ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 由 f ( ) ? 0 ,得

a 2

a2 a2 ? ? a ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ? 4 . 4 2

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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 ① a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ,它在 (0, ?? ) 上为增函数,不合题意; 当 ② a ? 4 时, f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2)2 ,它在 (0, 2) 上为减函数,合题意; 当 ∴ f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 4 . (2) g ( x) ? xf ( x) ? x3 ? 4 x 2 ? 4 x ,得 g '( x) ? 3x 2 ? 8x ? 4 ? ( x ? 2)(3x ? 2) , 令 g '( x) ? 0 ,得 x1 ? ① x? 当 ② 当

2 , x2 ? 2 . 3

2 或 x ? 2 时, g '( x ) ? 0 , g ( x ) 为增函数; 3

2 ? x ? 2 时, g '( x ) ? 0 , g ( x ) 为减函数; 3 2 2 2 32 2 ∴g ( x )极大值 ? g ( ) ? ( ? 2) ? , g ( x)极小值 ? g (2) ? 0 . 3 3 3 27
(3)由 h( x ) ? 0 得, g ( x ) ? ? x ? k ,设 y ? ? x ? k ,由题意知 g ( x ) 与直线 y ? ? x ? k 有 3 个交点,当 g ( x ) 与直 线 y ? ? x ? k 相切时,设切点为 ( x0 , y0 ) , 由(2)得 g '( x0 ) ? ( x0 ? 2)(3x0 ? 2) ? ?1 , ∴3x02 ? 8x0 ? 5 ? 0 ,解得 x0 ? 1 或 x0 ?

5 , 3

当 x0 ? 1 时, y0 ? 1 ? (1 ? 2)2 ? 1 ,切点为 (1,1) ,它也在 y ? ? x ? k 上,有 k ? 2 ,

5 50 5 5 5 时, y0 ? ,切点为 ( , ) ,它也在 y ? ? x ? k 上,有 k ? , 3 27 27 3 27 50 结合图形知,当 h( x ) 存在 3 个零点时,实数 k 的取值范围是 ( , 2) 27
当 x0 ? 6.解:(1)设 g ? x ? ? ax ? bx ? c ,则 g? ? x ? ? 2ax ? b ;
2

又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行,? 2a ? 2 ,得 a ? 1 , 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值,∴ ?

b ? ?1 ,得 b ? 2 , 2

? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1? 2 ? c ? m ?1, c ? m ; f ? x ? ?
2

g ? x? m ? x ? ? 2 ,设 P ? xo , yo ? x x

则 PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?
2 2 0

2

? m? m2 2 ? x ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m2 ? 2 x0 ? x0 ?
2 0

?2 2m2 ? 2 ? 4 ,得 m ? ?

2 ;21 世纪教育网 2
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思

m ? 2 ? 0 ,得 ?1 ? k ? x2 ? 2 x ? m ? 0 (?) x m m ①当 k ? 1 时,方程 (?) 有一解 x ? ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 ②当 k ? 1 时,方程 (?) 有两解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,
(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ? (i)若 m ? 0 , k ? 1 ?
x? 2 ?1 ? k ?

1 ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点, m
? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ?

;

(ii)若 m ? 0 , k ? 1 ?
x? 2 ?1 ? k ?

1 ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点, m
? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ?

;

③当 k ? 1 时,方程 (?) 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , k ? 1 ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ?

1 , m

1 . k ?1
m ; 2

综上所述,当 m ? 0 , k ? 1 时,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? 当 m ? 0,k ? 1?

1 1 或 m ? 0 , k ? 1 ? 时,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两零点 m m 1 ? 1 ? m(1 ? k ) 1 1 x? ;当 m ? 0 , k ? 1 ? 时,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? . m k ?1 k ?1 算法、复数、推理与证明
? ? 3. ? ? 5 , 5 ? ? 5 5 ?

1.一 2.1

4. 2

5. 4
2

6.5

7.

2

8.1:8 13. 2 5

9. n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1) 二.解答题: 14. ?

10.21 11. 41 12. 2cos ? 1 ?n?

1 3 ? i 2 2

15. (2) a = - 3 , b = 4

16.

1 n(n ? 1)( n ? 2)( n ? 3) 16. 4
π 8. 4 ;

综合测试一参考答案 1.

?5? ;

2. 3;

3. 2;

4. 0.09;

π 5. 6 ;

6. b ? ? 2 ;
1 2;

361 7. 8, ;

1) 9. (0, ;

4 3 10. 27 ;

? 7? 3 ? , 7 ? 3? ? 2 2 ?; 11. ?

12.

1 13. 2 ;

14. 3.

答案解析 1.易得 2.
A U B ? A ? ?1,, ? 3 9

5 U ,则 ? ( A U B) ? ? ? ;

z ?

z? z ? 3


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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 3. 4.
f ?( x) ? ? a x2 ,则 f ?(1) ? ?a ? ?2 ,即 a ? 2 ; 易得
11 ? 5 ? 2 ? 0.09 ―饮酒驾车‖ 发生的频率等于 200 ;

? y ? sin 2 x ? π ? sin 2 x ? ? 3 ? 向右至少平移 ? 个单位得 y ? sin 2 x ; 5. 将
b ?1

?

?

? ?

6. 7.

易得 2

,且 b ? 0 ,即 b ? ? 2 ;

361 打印出的第 5 组数据是学号为 8 号,且成绩为 361,故结果是 8, ;

8.

设 tan A ? k ,则 tan B ? 2k , tan C ? 3k ,且 k ? 0 ,利用 求得 k ? 1 ,所以
A? ? ?;

tan C ? ? tan( A ? B) ? ? tan A ? tan B 1 ? tan A tan B 可

9.

2 1) 易得 f (0) ? 0 , x ? x ? 0 ,故所求解集为 (0, ;

2 V ? 1 x2 1 ? x ? 2 x4 2 ? x2 y ? t2 ?2 ? t ? 3 2 6 10. 法 1 设正四棱锥的底面边长为 x ,则体积 ,记 ,

?

?

t?4 y ? 32 V ?4 3 3 时, max 27 ,此时 max 27 ; V ? 1 ? 2cos2 ? ? sin ? ? 2 1 ? sin 2 ? ? sin ? ? ,则 3 3 法 2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为 ,
t ? 0 ,利用导数可求得当

?

?

y ?2 3 V ?4 3 t? 3 0<? ? ? y ? 1 ? t 2 t, ? t ? 1 0 9 ,此时 max 27 ; 3 时, max ? ,记 ,利用导数可求得当 uuu r B uur uur u uuu r AB ? 3 , c 11. 如图,设 a ? OA b ? OB, ? OC,△ABC 中,由余弦定理得 , C2
由 (a ? c ) ? (b ? c ) ? 0 知,点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆 M ,
uuur uuuu r ? ? 7 c ? ? OC1 ,OC2 ? ? ? 7 ? 3 , 7 ? 3 ? OM = ? ? ? 2 2 ?; 2 ,故 且

?

?

M
O

12. 设

1 An xn,1 xn 2 An?1 xn?1, xn?12 2 2 、

?

?

?

?

A (第 11 题图) 1x 2?1x 2 1 x 2 ? 2 n ?1 2 n ( x ? x ) y? n n 2 xn ?1 ? xn ,则割线 An An ?1 的方程为: ,

C1

令y?0得
h2 ≤

xn? 2 ?

xn?1 xn 1 ? 1 ? 1 1 ? 5 , 1 ? 7 ,1 ? 2 xn?1 ? xn ,即 xn?2 xn?1 xn ,不难得到 x3 6 x4 6 x5 ;

13. 易得

ab 1 ? 1 ≤ ?1 a 2 ? 4b 2 a ? 4b 2 a ? 4b 4 a ? 4b h≤ 1 b a b a 2 (当且仅当 b a 时取等号) ,所以 ;

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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思

? y ? kx ? 1, ? 2 ?x 2 1 x ?1 ? a2 ? y ? 1 y ? kx ? 1(k ? 0) ,则 AC 的方程为: y ? ? k 14. 设 AB 的方程为: ,由 ? 得
2 2 xB ? ?2a2 k2 , xC ? 2a k 2 , ?1 2 ( 1? a k ) x ? 2a k ? ,解得 x 0 1? a k a ?k 用“ k ”替换“ k ”得
2 2 2 2

2 2 AB ? 2a 2k 2 ? 1 ? k 2,AC ? 2a k 2 ? 1 ? 12 , 2 1? a k a ?k k 故

S?ABC

所以

2a 4 k ? 1 2a 4 k (1 ? k 2 ) k 1 AB ? AC ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 (1 ? a k )(a ? k ) a k ? 1 ? a 4 ? 1 k2 ,

?

?

?

?

t ? k ? 1 ≥2 k 令 ,则
2

S?ABC ?

3 2a 4 ≤ 2a 2 (a 2 ? 1)2 a ? 1 t ? a ?1 ? 2 a 2t ? t a (当且仅当 时等号成立) ,

a3 ? 27 a ? 3 ? 297 2 16 a ? 1 8 得 (a ? 3)(8a ? 3a ? 9) ? 0 解得 a ? 3,或 由 (舍去) ,所以 a ? 3 . 15.命题立意:本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式,考查运算求解 能力.
(1)易得

f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos x2 ? ? 1 ? cos 2 x ? 3sin 2 x ? 1 cos 2 x 2 2 2

cos 2 x ? 1 2sin 2 x ? π ? 1 6 2 , 分) 2= (5 ?? 3 ,5 ? f ( x) 周期 π ,值域为 ? 2 2 ? ; 分) ? ? (7 所以 f ( x0 ) ? 2sin 2 x0 ? π ? 1 ? 0 sin 2 x0 ? π ? ? 1 ? 0 6 2 6 4 (2)由 得 , 分) (9 ? 3 s i nx2 ?

?

?

?

?

?

?

又由

π π 5π 0≤x0 ≤ π - ≤2 x0 - ≤ , 6 6 2得 6

15 π - π ≤2 x0 - π ≤0, cos 2 x0 ? ? 6 4 , 6 6 所以 故 (11 分)
sin 2x0 ? sin ? 2 x0 ? π ? π ? ? sin 2 x0 ? π cos π ? cos 2 x0 ? π sin π ? 6 6 6 6 6 6? ? ? 此时, 3 . (14 分) 16.命题立意:本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象、推理论证能力.
解: (1)连结 AC ,交 BD 于点 O ,连结 OC ? , 菱形 ABCD 中, CO ? BD , 因三角形 BCD 沿 BD 折起,所以 C ?O ? BD , B
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?

?

?

?

?

?

?

?

1 5? ??1? 3 ? 1 5 1 ? ? 8 4 2 4 2

D

C?
E

A

O

C

(第 16 题图)

江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 故 ?C ?OC 为二面角 C—BD— C ? 的平面角, 分) (5

C ?O ? CO ? 3 CC ? ? 3 2 ,而 2 , ? ?C ?OC ? ? ? ,二面角 C—BD— C ? 的大小为 ? ; 分) 所以 (7
易得 (2)当 a 变化时,线段 CC ? 的中点 E 总满足 A C ? //平面 BED,下证之: 分) (9 因为 E,O 分别为线段 CC ? ,AC 的中点, 又 AC ? ? 平面 BED, OE ? 平面 BED, 所以 OE // AC ? , (11 分) 所以 A C ? //平面 BED. (14 分)

17.命题立意:本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识,考查运算求解与探究能力.
? 2 y12 ? x1 ? 2 ? 1, ? ? 2 (4 ? y1 ) 2 y 2 ? 2 ? 1, x ? ? 1 ?(2 ? x1 ) ? 2 2 代入双曲线 得?

4 解: (1)设 A ( x1,y1 ) ,则 B(2 ? x1, ? y1 ) ,

? x1 =-1, ? x1 ? 3, ? ? y ?0 y ? 4, ( 解得 ? 1 或? 1 即 A、 B 的坐标为 ? 1,0) (3,4) 、 ,

所以 AB : y ? x ? 1 , CD : y ? ? x ? 3 ; 分) (7 (2)A、B、C、D 四点共圆,下证之: 分) (9 证明:由 y ? ? x ? 3 与

x2 ?

y2 ?1 2 联立方程组可得

C、 D 的坐标为 ?3 ? 2 5,6 ? 2 5 、 ?3 ? 2 5,6 ? 2 5 , (11 分)
2 2 由三点 A、B、C 可先确定一个圆 ( x ? 3) ? ( y ? 6) ? 40 ①, (13 分)

?

? ?

?

经检验

D ?3 ? 2 5,6 ? 2 5

?

? 适合①式,所以 A、B、C、D 四点共圆. 分) (15
*

(注:本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆) 18.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力. 解: (1)设文科阅卷人数为 x ,且 x ? N ,
? 269 ? 3 ,x≤119.246, ? x f ( x) ? ? ? 475 ? 4 ,x ? 119.246, ? 400 ? x 则阅卷时间为 (5 分)

而 f (119) ? 6.782,f (120) ? 6.786, 故 f (119) ? f (120) , 答:当文、理科阅卷人数分别是 119,281 时,全省阅卷时间最省; 分) (8

269 ? 3 ? 119 ? 1 ? 4 ? 3 3 4? ? 7.343 99 (2)文科阅卷时间为: , (11 分)
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475 ? 4.5 ? 281? 1 ? 4 ? 4.5 4.5 4? ? 7.367 301 理科阅卷时间为: , (14 分)
答:全省阅卷时间最短为 7.367 天. (15 分)

19.命题立意:本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识,考查灵活运用数形 结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力. y ? 解: (1)设 f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 1) , 2
f ( x) ? a

则可设

?

x3 ?x ?c 3 ,其中 c 为常数.

?

?1
?2
O 1

2
x

因为 f ( x) 的极大值与极小值之和为 0, 所以
f (?1) ? f (1) ? 0

?2
,即 c ? 0 , (第 19 题图)

由 f (?2) ? 2 得 a ? ?3 ,
3 所以 f ( x) ? 3x ? x ; 分) (5 3 ? (2)由(1)得 f ( x) ? 3x ? x ,且 f ( x) ? ?3( x ? 1)( x ? 1)

列表:

x y? y

(?2, ? 1) ?

?1

(?1, 1)

1



0 极小值 ?2

+ ↗

0 极大值 2

(1, 2) ?



由题意得,三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值(如图)(7 分) , 又 f (?2) ? 2 ,故 f (2) ? ?2 , 解得 7≤m ? 8 ; (10 分)
2 2 2 (3)题设等价与 a(3 ? b ) ? b(3 ? c ) ? c(3 ? a ) ,且 a,b,c ? 0,

所以 1 ? 9 ? m≤2 ,且 ?2≤m ? 9 ? ?1 ,

所以 a,b,c 均小于 3 . 假设在 a,b,c 中有两个不等,不妨设 a ? b,则 a ? b 或 a ? b.
2 2 2 2 若 a ? b,则由 a(3 ? b ) ? b(3 ? c ) 得 3 ? b ? 3 ? c 即 b ? c , 2 2 又由 b(3 ? c ) ? c(3 ? a ) 得 c ? a.

于是 a ? b ? c ? a,出现矛盾. 同理,若 a ? b,也必出现出矛盾. 故假设不成立,所以 a ? b ? c . (16 分)
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 20.命题立意:本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识,考查灵活 运用基本量进行探索求解、推理分析能力.

解: (1)n ? 1 时,由

1?

4 ? (1 ? p)2 3 得 p ? 0 或 2, 分) (2 4 ? Sn 2 3 , 4 ? (1 ? a2 )2 1 a2 ? 0 或 a2 ? ? 2 , 3 ,解得

若 p ? 0 时,

Tn ?

当 n ? 2 时,

1 ? a22 ?

而 an ? 0 ,所以 p ? 0 不符合题意,故 p ? 2; 分) (5
Tn ? 4 ? 1 (2 ? Sn )2 Tn?1 ? 4 ? 1 (2 ? Sn?1 )2 3 3 3 3 (2)当 p ? 2 时, ① ,则 ② ,

②? ① 并化简得 3an?1 ? 4 ? Sn ?1 ? Sn ③ ,则 3an? 2 ? 4 ? Sn? 2 ? Sn?1 ④ , ④? ③ 得
an ? 2 ? 1 an ?1 a2 ? 1 a1 ? 2 2 , ( n?N ) ,又易得

1 an ? n ?1 2 ; (10 分) 1 1 2 4 an ? n ?1 an , 2 x an ?1 , 2 y an? 2 依次为 2n?1 , 2n , 2n?1 , 2 知 (3)充分性:若 x ? 1,y ? 2,由 1 4 2 ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2n 2 2 ,即 an,2xan?1,2yan?2 成等差数列; 满足 (12 分) a ? 1 an , 2 x an ?1 , 2 y an? 2 成等差数列,其中 x、y 均为整数,又 n 2n ?1 , 必要性:假设 1 1 2 ? 2x ? 1 ? n?1 ? 2 y ? n?1 2n 2 2 , 所以

所以数列{an}是等比数列,且

x y? 2 化简得 2 ? 2 ? 1

显然 x ? y ? 2 ,设 k ? x ? ( y ? 2) ,
x y? 2 x y? 2 因为 x、y 均为整数,所以当 k≥2 时, 2 ? 2 ? 1 或 2 ? 2 ? 1 ,

故当 k ? 1 ,且当 x ? 1 ,且 y ? 2 ? 0 时上式成立,即证. (16 分) 1.命题立意:本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量,考查运算求解能力.
?1 2 ? ?1? ?1? ? 2 a ? ?1? b ?1? ? ? ? = ? ? , 分) 解:由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知 ? (5 ?b ? 3, ? b ? a ? 2, b 所以 ? 解得 a ? 1, ? 3 .(10 分)

2.命题立意:本题主要考查参数方程,考查运算求解能力.
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? x ? 2 pt 2, ? ? ? y ? 2 pt, ?

解:由

2 ( t 为参数, p 为正常数) ,消去参数 t 得 y ? 2 px , 分) (8

2 将点 A(1,? 2) 代入 y ? 2 px 得 p ? 2 .(10 分)

3.命题立意:本题主要考查复合函数求导等知识,考查运算求解、推理论证能力.
2 ? 证明:由 f ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x ? 2 x 得 f ( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x , 分) (2

令 g ( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x ,则

g ?( x) ? 2 ? 2 ? ?2 x 1? x 1? x ,

? 0) 当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 在 (?1, 上为增函数; ? ? 当 x>0 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, ?) 上为减函数,

所以 g ( x) 在 x=0 处取得极大值,且 g (0) ? 0 , 分) (6
? 故 f ( x)≤0 (当且仅当 x ? 0 时取等号) ,

0, ? ? ? 所以函数 f ( x) 为 ? 上的减函数, 分) (8

则 f ( x)≤f (0) ? 0 ,即 f ( x) 的最大值为 0. (10 分) 4.命题立意:本题主要考查组合数的性质、二项式定理,考查推理论证能力. (1)证明:左边 右边
? n?
? kCk ? k ? n n! n! ? k !(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )! ,

(n ? 1)! n! ? (k ? 1)!( n ? k)! ( k ?1)!( n ? k)! ,

k k ?1 所以 kCn ? nCn ?1 ; 分) (3

(2)证明:由题意得数列 a 0 , a1 , a2 ,…为等差数列,且公差为 a1 ? a0 ? 0 .(5 分)
0 n 1 n ?1 2 2 n ?2 n n 则 p( x) ? a0Cn (1 ? x) ? a1Cn x(1 ? x) ? a2Cn x (1 ? x) ? ??? ? an Cn x

n ? a0C0 (1 ? x)n ? ?a0 + (a1 ? a0 )? C1 x(1 ? x)n?1 ? ??? ? ?a0 + n(a1 ? a0 )? Cn xn n n

? a0 ?C0 (1 ? x)n ? C1 x(1 ? x)n?1 ? ??? ? Cn xn ? ? (a1 ? a0 ) ?C1 x(1 ? x)n?1 + 2C2 x2 (1 ? x)n?2 ? ??? ? nCn x n ? n n n n ? n ? ? n ?
1 ? a0 ? (1 ? x) ? x ? ? (a1 ? a0 )nx ?C0 ?1 (1 ? x) n ?1 + C1 ?1 x(1 ? x) n ? 2 ? ? ? ? ? Cn ?1 x n ?1 ? n n? ? n ? n

? a0 ?( a1 ? a0) n x x ( 1 ? ? ) x ? ?
? a0 ? (a1 ? a0 )nx ,

n?1

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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 所以对任意的正整数 n, p( x) 是关于 x 的一次式. (10 分) 综合测试二参考答案 1. ?1 ;
2 2. 3 ;

3.300;
19 10. 7 ;

15 4. 15 ;
1 11. 4 ;

5.2; 12.

1 6. 2 ;

7.0; 14.8.

3 5 8. 5 ; 答案解析:

9. ? 6;

6? 2a 2 ; 13.12;

1.

?i
r ?2

10

r

?

i2+(i3+i4+i5+i6)+(i7+i8+i9+i10)=i2= ?1 ;

2 2. 易得正数的取值区间长度是 2,总长度是 3,由几何概型得所求概率为 3 ;

1 3 ? 200 ? 200 ? ?100 ? 1 ,故样本容量是 400 ? 1 ? 2000 , 5 5 3. 寿命在 100~300 小时的电子元件的频率是 2000 ? ? 3 ?100? ? 300 2000 从而寿命在 500~600 小时的电子元件的数量为 ;
4. 易得锐角 ? 满足
sin 2? ? 1 cos ? 2sin ? cos ? ? 1 cos ? sin ? ? 1 , ? ? 15 , cos 2 2 4 4 ,即 ,所以 于是

tan ? ? 15 15 .
1 ,? 1,,1 , 2 2 ?,不难发现变量 S 的值是以 5. 变量 i 的值分别取 1,2,3,4,?时,变量 S 的值依次为 2

3 为周期在变化,当 i 的取值为 2010 时, S ? 2 ,而后 i 变为 2011 退出循环.
2 2 2 2 2 2b2 ? a2 ? c2, B ? a ? c ? b ? b ≥ 2 b 2 ? 1 cos 2ac 2ac a ? c 2 (当且仅当 a ? c 时等号成立) 6. 易得 .

7.



f (?2) ? f (1)



a (?2) 3 ? a

2

0, ? ? ? ??, ? 0 ,即 a ? 0 ,所以偶函数 f ( x) 在 ? 上是单调增函数,在 ? 上

是单调减函数,所以 f ( x)min ? f (0) ? 0 ;

PF1 5 2 5 3 ?2 PF2 ? = 5 ,sin∠PF1F2 ? = 5 ,由正弦定理得 8. sin∠PF1F2 ,又易得 tan∠F1PF2= 4 ,所以 cos
4 PF1 ? 2 15 , 2 ? 15 PF PF1 ? PF2 ? 15 2a ? 15 5, 3 3 , 3 , 3 , 2c ? 3 , ∠F1PF2 ? 由利用余弦定理得 所以 故 又

e?3 5 5 ; 所以离心率
9. 易求得切线方程为

y ? eak ? eak ? x ? ak ?

a ,令 y ? 0 得,x ? ak ? 1 ,即 ak ?1 ? ak ? ?1 ,故数列 ? k ? 是等差

数列,所以 a1 ? a3 ? a5 ? ?6 ;
a ? ?1 2?, ? ? 2, 3?, ? ?3, ? , b ? c 4

10.由向量坐标的引入可以认为

,代入

c ? xa + yb

x ? 17 , ? 2 y 7 7, 得

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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 故

x? y?

19 7 ;

1 1 ? 1 ? 5 ? B ?1 B? 1 12 ; ? 6 ,对于 S 5 ,可令 n ? 1 得 S5 ? 1 ,即有 6 2 12 11.易观察出 A ,所以

12.如图,是某正四棱锥的平面展开图,等腰△ ABC 的底边 BC 即为 求 正 方 形 包 装 纸 的 边 长 的 最 小 值 , 由 余 弦 定 理 得 C



BC ? a2 ? a2 ? 2a2 cos150? ? 6 ? 2 a 2 ; f (36) ? 2 f (18) ? 4 f (9) ? 8 f 9 ? 16 f 9 ? 16 ? 1 ? 4 2 4 4 13.易得 ,

??

??

A B

由条件可知,

f ( x)在? 2, ?,4, ?,8, ? ??? 4 ? 8 ? 16

上的最大值依次为 1, (第 12 题图)

2,4?,即最大值构成一个以 2 为公比的等比数列,结合图象 不难发现 f ( x)=4 时 x 的最小值是 12;

1? 2? b ? b a a a2 ? 2ab ? 4ac ≥ a2 ? 2ab ? b2 ? b ?1 M? 2 a(b ? a) ab ? a2 a a 14.由题意得 b ? 4ac ≤ 0, ? 0 ,所以
2

??

2



b ? t,t ? 1) ( M ≥ t ? 2t +1 ? ? t ? 1? ? 4 ? 4 ≥ 2 4 ? 4 ? 8 即 t ?1 t ?1 令a ,则 (当且仅当 t ? 3, b ? 3a 时等号 成立) . 15.命题立意:本题主要考查集合的交、并、补集运算以及一元二次不等式等基础知识,考查运算求解能 力.

解: (1)易得集合

A ? ?x ?2 ≤ x ≤ 4?

,集合

B ? ?x m ? 3 ≤ x ≤ m?

, 分) (4

? m ? 3 ? 2, ? A ? B ? ? 2, ? ? m ≥ 4, 4 由 得 所以 m=5. 分) (7

(2)由(1)得

?R B ? ?x x ? m ? 3, x ? m? 或

, (10 分)

因为 A ? ?R B ,所以 m ? 3 ? 4或m ? 2 ,解得 m ? 7或m ? ?2 . (14 分) 16.命题立意:本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识,考查空间 想象、推理论证能力. P 证明: (1)取 BP 得中点 F,连结 AF,EF, 又点 E 为线段 PC 的中点, 且 AD ? CD, BC ? CD ,且 BC ? 2 AD , 所以 EF
1 // 2 // BC AD,
D
E

F

C

A
B
(第 16 题图)

所以四边形 ADEF 是平行四边形,(2 分) 故 ED // AF,
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 又因为 DE ? 平面 PAB, AF ? 平面 PAB,所以 DE // 平面 PAB.(5 分) (2)因为 PD ? 平面ABCD ,且 BC ? 平面ABCD ,
PD 又 CD ? BC , PD ? CD ? D, 、CD ? 平面PCD ,

所以 PD ? BC , 所以 BC ? 平面PCD .

于是 ?PCD是二面角P ? BC ? A的平面角 ,即有 此时, △PCD是等腰三角形 ,

?PCD ? π 4 ,(7 分)

又 E是PC的中点 ,故 DE ? PC ,(9 分)

因为 BC ? 平面PCD , 又 DE ? 平面PCD , 所以 DE ? BC , 又 DE // AF , 所以 AF ? PC ,且 AF ? BC , 又 PC ? BC ? C, PC、BC ? 平面PBC , 所以 AF ? 平面PBC ,(12 分) 又 AF ? 平面PAB , 所以 平面PAB ? 平面PBC .(14 分) 17.命题立意:本题主要考查三角形的余弦定理与面积公式以及三角函数的性质等基础知识,考 查运算求解能力.
2 2 2 解: (1)△ ABC 与△ APC 中,由余弦定理得, AC ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3cos ? ,



AC 2 ? AP2 ? 22 ? 2 ? AP ? 2cos ? ? ? ? ?
由① 得 ② (2)

,② (4 分) ,解得 AP ? 3 ? 4 cos ? ; 分) (7

AP2 ? 4 AP cos? ? 12cos? ? 9 ? 0, ? ? 0, ? ? ?

S ? S?ABC ? S?APC ? 1 ? 2 ? 3sin ? ? 1 ? 2 ? AP sin ? ? ? ? ? , ? ? ? 0, ? ? 2 2

? ? ? 0, ? ? 由(1)得 S ? 4sin? ? cos? ? 2sin2?, (13 分)所以当

???

4 时, Smax ? 2 . (15 分)

18. 命题立意:本题主要考查直线、圆、椭圆基础知识,考查运算求解、综合应用能力. 解: (1)由题意得 PC1 ? PC2 ? PC1 ? PS ? 4 ? C1C2 ,故 P 点的轨迹是以 C1、C2 为焦点,4 为长轴长
2 x2 ? y ? 1 c 3 的椭圆,则 2a ? 4, ? 1 ,所以 a ? 2 , b ? 3 , 故 P 点的轨迹方程是 4 . 分) (5 1 SC ? MN ? 1 SM ? MC ? 2 ? SM 2 ? 2 2 (2)法 1(几何法) 四边形 SMC2N 的面积 ,

所以

MN ? 2SM ? 2cos ?MSC2 ? 2 1 ? sin 2 ?MSC2 ? 2 1 ? 1 2 SC2 SC2

, 分) (9

从而 SC2 取得最小值时,MN 取得最小值,

0) 显然当 S (?3, 时,SC2 取得最大值 2,

MNmin ? 2 1 ? 1 ? 3 4 所以 . (12 分) 法 2(代数法) 设 S(x0,y0),则以 SC2 为直径的圆的标准方程为
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?

x?

x0 ? 1 2

? ?
2

? y?

y0 2

? ?
2

?

x0 ? 1 2

? ? ?,
2

?

y0 2

2

该方程与圆 C2 的方程相减得, ?
d?

x0 ? 1? x ? y0 y ? x0 ? 0
1 ?
2

, 分) (8
1

则圆心 C2 到直线 MN 的距离

? x0 ? 1?
2 2

2

? y0

x0 ? y0 2 ? 2 x0 ? 1
2


x0 ? ? ?3, ? 5

因为

? x0 ?1? ? y02 ? 16
2

,所以 x0 ? y0 ? 15 ? 2x0 ,

d?

从而

1 16 ? 4 x0





?1 故当 x0 ? ?3 时 dmax 2 ,
MN min ? 2 1 ? 1 2 MN ? 2 1 ? d 2 ,所以 因为

??

2

= 3. (12 分)
m ? 1? ( x ? 1) ? ny ? 16

n (3)设 Q (m, ) ,则“切点弦”AB 的方程为 ?



将点(-1,0)代入上式得 m ? ?7 , n ? R, 故点 Q 在定直线 x ? ?7 上. (16 分) 19.命题立意:本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式等基础知识,考查灵活运用基本量 进行探索求解、推理分析能力. 解: (1)设数列前 6 项的公差为 d,则 a5 ? ?1 ? 2d , a6 ? ?1 ? 3d ,d 为整数. 又 a5,a6,a7 成等比数列,所以 ? 当 n≤6 时, an ? n ? 4 , 分) (3 由此 a5 ? 1 , a6 ? 2 ,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2,
n ?n ? 4, ≤4, an ? ? n ?5 ?2 , n≥5. (7 分) 故

3d ? 1? ? 4 ? 2d ? 1?
2

,解得 d ? 1 ,

所以,当 n≥5 时, an ? 2 (2)由(1)知,数列

n ?5

.

?an ? 为: ? 3, ? 2, ? 1,0,1,2,4,8,16,?

当 m ? 1 时等式成立,即 ? 3 ? 2 ? 1 ? ? 6 ? ( ? 3) ? ( ? 2) ? ( ? 1); 当 m ? 3 时等式成立,即 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0; (11 分) 当 m ? 2 或 4 时,等式均不成立; (13 分)
3m?12 m ?5 3 m ?5 当 m≥5 时, am am?1am?2 ? 2 , am ? am?1 ? am? 2 ? 2 (2 ? 1) ? 7 ? 2 ,

23m?12 ? 22m?7 m ?5 7 ,而 m≥5,m ? Z ,所以 22 m? 7 是偶数, 因为 7 ? 2
所以 2
3m ?12

? 7 ? 2m ?5 ,于是 am ? am?1 ? am? 2 ? am am?1am? 2 ,故 m ? 1,或 m ? 3. (16 分)

20.命题立意:本题主要考查利用导数研究函数的图像与性质等基础知识,考查灵活运用数形结合、 化归与转化、分类与讨论思想进行运算求解、推理论证的综合能力.
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F ?( x) ? 2 x ? a ? 2 x ? a x x , x≥1 , 解: (1)记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则
2

? 当 a≤0 时, F ( x) ? 0 恒成立,

1, ? ? ? ? 故 F ( x) 为 ? 上的单调增函数,所以 Fmin ( x) ? F (1) ? 1 , 分) (2
? 当 a ? 0 时,由 F ( x) ? 0 得

a ≤1 x? a ? 2 (负值已舍) ,若 2 ,即 0 ? a≤2 时, F ( x)≥0 恒成立,

1, ? ? ? 故 F ( x) 为 ? 上的单调增函数,所以 Fmin ( x) ? F (1) ? 1 , 分) (4

a,+ ? ?1, a a ?1 2 上恒小于 0,在 2 ? 2 a ? 2 时, F ?( x ) 在 ? 若 ,即 上恒大于 0, a a,+? ?1, ? 2 上的单调递减,在 ? 2 ? ? 所以 F ( x) 在 ? 上的单调递增, ?1, a≤2, ? Fmin ( x) ? ? a a Fmin ( x) ? F a ? a 1 ? ln a ? 2 1 ? ln 2 , a ? 2, 2 2 2 , ? 故 综上所述, (6 分) a 1 ? ln a <0, 2 所以 2 且 a ? 2, 解得 a ? 2e . 分) (8

?

?

?

?

?

?

? ? ? ?

?

?

?

2 2 2 ? (2)1 充分性:当 a ? 1 时,方程 x ? ln x ? x ,即 x ? ln x ? x ? 0 ,记 G( x) ? x ? ln x ? x , x ? 0

2 ( x ? 1)(2 x ? 1) G?( x) ? 2x ? 1 ? 1 ? 2 x ? x ? 1 ? ?0 x x x 由 得 x ? 1 (负值已舍) ,

所以 G ( x) 在 (0, 1) 上单调递减,在

?1, ? ? ? 上单调递增,

2 故 Gmin ( x) ? g (1) ? 0 ,即 G( x) ? x ? ln x ? x 在 (0, ? ?) 有唯一解 x ? 1 ,即证. (11 分)
2 2 ? 2 必要性:因为方程 x ? a ln x ? ax (a ? 0) 有唯一解,记 h( x) ? x ? a ln x ? ax , x ? 0
2 2 h?( x) ? 2 x ? a ? a ? 2 x ? ax ? a ? 0 x0 ? a ? a ? 8a x x 4 由 得 (负值已舍) ,

所以 h( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减,在 ?

x0 , ? ? ?

? 上单调递增,故 hmin ( x) ? h( x0 ) ? 0 ,且 h ( x0 ) ? 0 (13 分)

? x02 ? a ln x0 ? ax0 ? 0, ? ? 2 ?2 x ? ax0 ? a ? 0, 即? 0

① ②

② ? ① ? 2 得 2ln x0 ? x0 ? 1 ? 0 , x0 ? 0 ,记 s( x0 ) ? 2ln x0 ? x0 ? 1 , x0 ? 0 , 则函数 s( x0 ) 为 (0, ? ?) 上的单调增函数,且 s (1) ? 0 ,所以方程 2ln x0 ? x0 ? 1 ? 0 有唯一解 x0 ? 1 , 将 x0 ? 1 代入②式得 a ? 1 ,即证.
? ? 由 1 、2 得, “方程 f ( x) ? g ( x) ? ax (a ? 0) 有唯一解”的充要条件是“ a ? 1 ”(16 分) .

1.命题立意:本题主要考查二阶矩阵的变换,考查运算求解能力.
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? x ? ? x? ? ? y ? ? ? y ?? 解:设变换 T: ? ? ? ? , ? x? ? ? 0 1 ? ? x ? ? y ? ? y ? ? ? ?1 0 ? ? y ? ? ? x ? ? ? ? ? ? , 分) 则? ? ? (5

? x ? x?, ? y ? y ?, ? ? 即? 代入直线 y ? kx 得 x ? ky ,

将点 P(4, 1) 代入得 k ? 4. (10 分)

?0 1 ? ?1 0 ? ? 的逆矩阵作用下得到点的坐标代入直线 y ? kx ,从而求 (注:本题亦可将点 P(4, 1) 在矩阵 ?

出 k 的值. ) 2.命题立意:本题主要考查直线与圆的极坐标方程,考查运算求解能力.
2 2 解:将直线 ? cos? ? 1 与圆 ? ? 2sin ? 分别化为普通方程得, 直线 x ? 1 与圆 x ? ( y ? 1) ? 1 , 分) (6

2 2 1, 1 易得直线 x ? 1 与圆 x ? ( y ? 1) ? 1 切于点 Q ? ? ,

? 所以交点 Q 的极坐标是

2,π 4 . (10 分)

?

3.命题立意:本题主要考查空间向量的应用,考查运算求解能力. 解: (1)如图,分别以 DA,DC,D D1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),

1 1 1 ? ? 1 P 2 ,2 ,2 2得 D1(0,0,1),由 , ??? ? 1 1 ??? 1 , ? ? ? 1, 1, 1 PB ? , , ? PD ? ? 2 2 2 2 2 2 , 所以

?

?

?

?

?

?

z D1 C1
A B1 1

?1 ? 1 ? 1 ??? ??? ? ? cos PB ? PD ? 4 4 4 ? ? 1 3 3? 3 2 2 所以 ,

P
C D yO

2 2 PB 与 PD 所成角的正弦值为 3 . 分) 所以,直线 (5
(2)假设存在符合条件的实数 ? , 因为

???? ? ??? ? AC ? ? ?1 1 ? 1?, ? ? ?1 ? 1, ? ,, BD , 0 1



1 要使 AC ? 平面PBD ,只需 BP ? A1C ,

A B ( x 第 2 ???? ??? ? ? 1 所以 AC ? BD ? 02 ,故 A1C ? BD . ???? ???? 题 ? ? 1 A1P ? ? AC ? ? (?1 1 ? 1) 得 P(1 ? ?,, ? ? ) , ) ,, 1 由

??? ? BP ? (??, ? 1 1 ? ? ) , ? , 此时
n

2 ???? ??? ? ? AC ? BP ? 0 得 ? ? 3 . 1 由 (10 分)
n 2n

4.命题立意:本题主要考查二项式定理等基础知识,考查推理论证能力.
n 1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? 证明: (1)考虑等式 ? , 等式左边 x 的系数是

C C? C C ?
0 n n n 1

n 1 ? n n

C C? ? ?

2 ? n 2 n n

n

?C C ?C ? C ? ? ? ? ? ? ? C ? ? C ? ? =
n
0 2 0 2 1 n2 n n n n n r ?0

r 2 n



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等式右边 x 的系数是 C , 根据对应项系数相等得, r ? 0
n

n 2n

? ?C ?
n

r 2 n

= C 2 n . 分) (5

n

1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? (2)仍考虑等式 ? ,
n n 2n

0 m 1 m ?1 2 m?2 m 0 等式左边 x 的系数是 Cn Cn ? Cn Cn ? Cn Cn ? ? ? Cn Cn = r ? 0
m

??C C ?
m r n m?r n m r n



m 等式右边 x 的系数是 C 2 n ,

m

根据对应项系数相等得,

??C C ?
r ?0 m?r n

= C2n . (10 分)

m

综合测试三参考答案 1. 4; 2.

?2 ;

3. 0; 11.

4.

1 3;

1 5. 5 ;

6. ?1 ;
12 5 ;

7.

3? ?? ;

8. ② ; 14. 3.

2cos ? 1 ?n? ; 9. 答案解析

1 200 ; 10.

x ? 4 y ? 14 ? 0



12.

2 2 13. x ? y ? 25 ;

0) 1. a ? (a ? b) = ? (1,2) ? (4, ? 4 ;

2. 3.



y? ? ? 12 ? ?1 1) x 得 x ? ?1 ,故切点为 (1, 或 (?1,? 1) ,代入 y ? ? x ? b 得 b ? ?2 ;

易得 a ? 0 ;

1 AB 的长度大于 1‖的概率等于 3 ; 4. ―劣弧

4 频率 = 10 =1 ?64.5,66.5) 组距 66.5-64.5 5 ; 5. 落在区间 的数据依次为 65,66,66,65,共 4 个,则矩形的高等于
6.

3 ? ≤? ? π ≤ 5? ? ? ? ? π ≤ 5? π ≤? ≤π sin ? ? π ? 1 cos ? ? π ? ? 3 6 6 ,且 6 2 ,所以 2 6 6 ,则 6 2 , 2 法1 由 得
cos? ? cos ? ? ? π ? π ? ? ?

?

?

?

?

此时

? ?

?

6

?

6? ?

3 ? 3 ? 1 ? 1 ? ?1 2 2 2 2 ;

? ≤? ? π ≤ 5? π ≤? ≤π sin ? ? π ? 1 ? ? π = 5? 3 6 6 ,且 6 2 ,所以 6 6 ,则 cos ? ? cos ? ? ?1 ; 2 法2由 得
2 1 r? 1 h? 1 ? 2 h ,则由 2πr ? ? 得 2, 设圆锥的底面圆的半径为 r ,高为

?

?

7.

??

2

? 3 2 ,所以该圆锥

V ? 1 ?? ? ? 3 ? 3? 3 ? 2 ?? ; 体积
2

??

8.

对于①:不符合单调增函数的定义;②正确;对于③:注意在 x ? 0 处,若函数 f ( x) 不连续时 该命题就不一定正确;
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9.

? n? N ? 个等式: ??????? 易得第 n
*
n个 2

2 ? ??? 2 ? 2 ?

2cos ? 1 ?n? ;

T ? 2? ? 1 t?T ? 1 t ???? 50 ,则函数 I ? A sin ? t, ? [0,? ?) 首次达到峰值时 4 200 ; 10. 易得周期
4) H 3) 11. 易得 F (?2, , (2, ,则直线 FH 的方程为 x ? 4 y ? 14 ? 0 ;

12. 易得

4 ? 9 ? 4 ?9 ? y ? ? 9 ? 4 ? x 4 ? x2 9 ? y 2 ? 4 ? x2 ??9 ? y 2 ?
2

2

? ? 72 ? ?9x 37 ? ? 9 x

2 2

? 4 y2 ? ? 4 y2 ?
2 2 t≥2 9x2 ? 4 y2 ,设 t ? 9 x ? 4 y ,则

? 72 ? t ? 35 ? 1 12 ≥ 2 2 5 (当且仅当 t ? 12 时等号 ? 12 (当且仅当 9 x ? 4 y 时等号成立) ,则原式 37 ? t 37 ? t

成立) ;
2 x2 ? y ? 1 ?4,? 3? 13. 易得椭圆 16 9 的外切矩形的四个顶点 ? 必在该定圆上,则该定圆必是该外切矩形
2 2 ?4,? 3? 的外接圆,方程为 x ? y ? 25 ,可以验证过该圆上除点 ? 的任意一点也均可作两条相互

2 x2 ? y ? 1 垂直的直线与椭圆 16 9 的交点都各只有一个;

a 2a ? ? ? 2a ? ? ? ? ? 2an?1 ? ? ?? 2an?1 ? ? ? an 2 ? an?1an?1 14. 因为数列 ? n ? 与 ? n 均为等比数列,所以 ? n 且 ,
2

a a 得 2an ? an ?1 ? an ?1 ,故数列 ? n ? 也为等差数列,不难得数列 ? n ? 为非零常数列,则 a1 ? a2012 ? 3 .

15.命题立意:本题主要考查两角和与差的正、余弦公式,考查运算求解能力. (1)因为 sin ? ? sin ? ? 1 ① ,

c o? ? c o s s ??

3 ② ,

2 2 2 2 2 2 ② ? ① 得 sin ? ? 2sin ? sin ? ? sin ? ? cos ? ? 2cos ? cos ? ? cos ? ? 4 , 分) (3

即 2+2

cos ?? ? ? ? ? 4



所以

cos ?? ? ? ? ? 1

; 分) (6

2 2 2 2 2 2 (2)② ? ① 得 cos ? ? sin ? ? 2cos? cos ? ? 2sin ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? 2

即 cos 2? ? 2cos(? ? ? ) ? cos 2? ? 2 , 分) (8 故
cos ?(? ? ? ) ? (? ? ? )? ? 2cos(? ? ? ) ? cos ?(? ? ? ) ? (? ? ? ) ? ? 2

, (12 分)

化简得 cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 1, 由(1)得
cos(? ? ? ) ? 1 2 . (14 分)

P 平 N

16. 命题立意: 本题主要考查直线与直线、 直线与平面、 面与平面的位置关系,考查空间想象、 推理论证能力. 【证明】 (1)延长 CM , DA 交于点 Q ,连结 PQ ,
高二数学?第 52 页 共 75 页

D A M (第 16 题图) B

C

Q

江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 因为点 N 为线段 PC 上的点, 且 PN ? NC , 所以点 N 为线段 PC 的中点, 又点 M 为线段 AB 的中点, 所以 MN // PQ , 分) (3 又 MN ? 平面 PAD ,

PQ ? 平面 PAD ,
所以 MN // 平面 PAD .(6 分) (2) (1)的逆命题为:若 MN // 平面 PAD , 则 PN ? NC (真命题)(8 分) , 下证之: 因为 MN // 平面 PAD ,
MN ? 平面 PQC ,

平面 PAD ? 平面 PQC ? PQ , 所以 MN // PQ , (12 分) 在 ?PQC 中,点 M 为线段 AB 的中点,点 N 为线段 PC 上的点, 所以,点 N 为线段 PC 的中点.(14 分) 17.命题立意:本题主要考查求直线、抛物线、双曲线、圆、椭圆等基础知识,考查运算求解与探 究能力.
2 1 B 1 ,b y ? bx 与则 x ? ab y 联立方程组得 a a , 解: (1)由

? ?

又 a ? 1,b ? 2,则 (2)将

B ?1, ? 2

; 分) (3
x 2 ? y 2 ? 1 a 2 ? b2 ? 1 代入椭圆 4 得 4 ,

A(a, ) (ab ? 0) b

B 1 ,b 4 x2 ? 4 y 2 ? 4 1 a a 代入 a 将

? ? ? ?

? ? ? ? ? 4? 1? b a
2

?4 b a

2

2

2

?1

,即证; 分) (7

b B 1 ,b 2 a a 代入 y ? 2c( x ? d ) (其中 c、d 为常数, c ? 0 )得 a (3)将

? ? ? 2c ? 1 ? d ? , ?c ? 0? , a
2

2 ? c ? 0? ,所以点 A 的轨迹落在抛物线上; 分) ① 若 d ? 0 ,则 b ? 2ca , (9

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a? 1 2d 1 2 若 d ? 0 ,则 4d

?

?

2 2 ? b ?1 c ? c ? 0? , 2d

cd ? 1 2 ,则点 A 的轨迹落在圆上; ② 若 (11 分)

③ cd ? 0 ,且 若

cd ? 1 2 ,则点 A 的轨迹落在椭圆上; (13 分)

④ cd ? 0 ,则点 A 的轨迹落在双曲线上.(15 分) 若 18.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力. 解: (1)由题意得 解得
x? x ? x ?3 sin ? tan ? ,

x?

3sin ? ? , ? 0, ? 1 ? sin ? ? cos ? ? , 分) (6

? ?

2 S ? 8? x tan ? , (2)魔方增加的表面积为

S?
由(1)得

72sin ? cos ? , ? 0, ? ? ? (1 ? sin ? ? cos ? )2 , (10 分)

? ?
?



t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? ? ? ,? 1, ? ? t ? ? ,
S? 36 ? t 2 ? 1? (1 ? t )2 ? 36 1 ? 2 ≤36 ? 1 ? 2 ? 108 ? 72 2 ??? t ?1 2 ?1 ? 时等号成立) (当且仅当 t ? 2 即 ,

?

?



?

?

?

?

答:当

???

? 时,魔方增加的表面积最大为 108 ? 72 2 . (15 分)

19.命题立意:本题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和公式、基本不等式等基础知识,考 查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力. 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? ? a1 ,所以 ? ? 1 或 a1 ? 0 , 分) (2 若 ? ? 1 ,则 Sn ? nan ,取 n ? 2 得 a1 ? a2 ? 2a2 ,即 a1 ? a2 ,这与 a1 ? a 2 矛盾;
1 a1 ? 0 ,取 n ? 2 得 a1 ? a2 ? 2? a2 ,又 a1 ? a 2 ,故 a2 ? 0 ,所以 ? ? 2 , 分) 所以 (4 S n ? 1 nan 2 (2)记 ①,



Sn ?1 ? 1 (n ? 1)an ?1 2

? n≥2? ②, ? n≥2? ,又数列 {an } 各项均为非负数,且 a1 ? 0 ,

① ? ②得

an ? 1 nan ? 1 (n ? 1)an ?1 2 2

an ? n ?1 an ?1 n ? 2 ? n≥3? , 分) 所以 (6

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a3 a4 a5 a ??? n ? 2 ? 3 ? 4 ???? n ? 1 a2 a3 a4 an?1 1 2 2 n ? 2 ,即 an ? a2 ? n ? 1? ? n≥3? , 则
当 n ? 1 或 n ? 2 时, 所以 (3)因为
an ? a2 ? n ? 1?

an ? a2 ? n ? 1?

也适合,

; (10 分)
Sn ? n(n ? 1) a2 2

an ? a2 ? n ? 1?

,所以

? a2 ? 0 ? ,

又 m ? l ? 2 p ( m, l, p ? N )
*



S p 2 ? Sm Sn ?
a22 4

a22 4
2

?? p( p ?1)? ? m(m ?1)l(l ?1)?
2

?

?? p( p ? 1)? ? m(m ?1)l(l ?1)?
?? m ? l ? ?? 2 ?? ?

a2 ? 2 4

? ?

2

2 ? m ? l ? ? ml (m ? 1)(l ? 1) ? ? ? 2 ? ? ? ?



a2 2 ? ml ? ml 4 ? ?

?

?
2

2

? ml (m ? 1)(l ? 1) ? ? ? (当且仅当 m ? l 时等号成立)

= =

a2 2 ? ml ? ml 4 ? ? a2 2 ml ? ? 4 ?

?

?

? ml (m ? 1)(l ? 1) ? ? ?
2

?

ml ? 1 ? (m ? 1)(l ? 1) ? ? ?

?

=

a22 ml ?? m ? l ? ? 2 ml ? ? ? 4

≥0 (当且仅当 m ? l 时等号成立)

所以

Sm ? Sl ≤S p 2

.(16 分)

20.命题立意:本题主要考查函数的概念、图象、性质等基础知识,考查灵活运用数形结合思想、 分类讨论思想进行推理论证的综合能力. p x ? ? ?? ?1, ? 0 0≤p≤2 时,函数 f ( x) ? x2 ? px ? q 的对称轴为 2 解: (1)当 ,

p p2 N ? f ? ?q? , 2 4 所以 M ? f (1) ? p ? q ? 1,
h( p ) ? M ? N ?

? ?

此时,

? ?

p ? 1 ≥1 2 ; 分) (3

2

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??2 p, p≤ ? 2, ? 2 ? p ? 1 ,? 2 ? p ? 0, ? 2 h( p ) ? ? 2 ? p ? 1 ,0≤p≤2, ? 2 ? p ? 2, ?2 p, (2)由(1)同理可得, (6 分)

? ? ? ?
?≥ 1

(3)记

f ( x) max ? ?
? p ?1 2

,下证:
p ?2

2 ,且

?inf ? 1

2 ,所求函数

f ( x) ? x 2 ? 1 2 , 分) (8

① 若

,即

时,则

? ? max ? f (?1) , f (1) ?



所以
?

2?≥ f (?1) + f (1) ≥ f (?1) ? f (1) ? 2 p ? 4
? ?

,即

? ? 2≥ 1

2; (10 分)

② 若

p ≤1 2

,即

p ≤2

? ? max ? f (?1) , f (1) , f ?
时,则

? ? 2p ? ? , ?

1o

p p2 f ? ? ? q ≥ ? q≥ 1 1 q≤ ? 2 4 2 2 时,则 若 ,

? ?

所以
2o 若

?≥ 1

2 (当且仅当 p = 0,

q?1 2 时等号成立)(12 分) ;

q ??1 2 时,则 f (?1) + f (1) ? f (?1) ? f (1) ? 2 ? 2q ? 1 ,

所以

f (?1) , f (1)

1 ??1 2 ,即 2, 中至少有一个大于 (14 分)

o o 由 1 2 得,

?≥ 1

2 ,且

?inf ? 1

2 ,此时

f ( x) ? x 2 ? 1 2,

综上所述,所有形如题设的函数
?a ? X ?? ? ?b ? , 解:设

f ( x) ? x 2 ? 1 2 即为所求.(16 分)

1.命题立意:本题主要考查矩阵的乘法,考查运算求解能力.

? a ? 7, ? 1 ?2? ? a ? ? 5 ? ?a ? 2b ? 5, ?7 ? X ?? ? ? ? ?2 ?1? ? b ? ? ? ?15? ??2a ? b ? ?15, b ? 1, ?? ? ? ?得? ?1 ? .(10 分) 由? (7 分) 解得 ? 此时

C.命题立意:本题主要考查参数方程,考查运算求解能力. 解:当 t ? 0 时,y ? 0,x ? cos ? ,即 y ? 0,且 ?1≤x≤1 ; 分) (2
cos ? ? y x , ?? sin 1 (et ? e?t ) 1 (et ? e?t ) 2 2 ,

当 t ? 0 时,

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x2 1 (et ? e?t ) 2 所以 4 ? y2 1 (et ? e?t ) 2 4 ?1

.(10 分)

3.命题立意:本题主要考查概率分布等基础知识,考查运算求解能力. 一批产品共 100 件,其中有 3 件不合格品,从中随机抽取 n ( n ? N )件,用 X 表示所抽取的 n 件产
*

品中不合格品的个数. (1)若 n ? 2 ,求 X 的概率分布; (2)求使 X ? 1 的概率取得最大值时的 n 的值. (参考数据: 9901 ? 99.50 )
3 100) 解: (1)当 n ? 2 时, X ~ H (2,, ,
P( X ? 0) ?
2 0 C3 C97 ? 1 2 1650 C100

P( X ? 1) ?





C1 C1 3 97 ? 97 2 1650 C100

P( X ? 2) ?

, 1

0 2 C3 C97 1552 ? 2 1650 C100



所以, X 的概率分布为:

X

0

2

P
分)

1 1650

97 1650

1552 1650

( 5

(2) X ? 1 的概率为

P( X ? 1) ?

n? C1 C97 1 n(n ? 99)(n ? 100) 3 ? n 323400 C100

* , 1≤n≤99, n ? N (7 分) 且

记函数 f (n) ? n(n ? 99)(n ? 100) ,

199 ? 9901 f ?(n) ? 3n2 ? 398n ? 9900 ? 0 得 n1,2 ? 3 则由 ,
由参考数据 9901 ? 99.50 知 n1 ? 33.17 或 n2 ? 99.50 , 而 f (33) ? f (34) ? 33 ? 66 ? 67 ? 34 ? 65 ? 66 ? 66 ? 0 , 结合函数 f (n) 的图象性质可知,当 n ? 33 时, X ? 1 的概率取得最大值. (10 分)

4.命题立意:本题主要考查二项式定理,考查探究与推理论证的综合能力.
a (1)解:因为 ? n ? 是首项为 1,公差为 3 的等差数列,所以 an ? 3n ? 2 . 分) (2

x? 1 x 假设

?

? 的展开式中的第 r+1 项为常数项( r ? N ) ,
m

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r Tr ?1 ? Cm xm?r

? ? ?C ?x
1 x
r r m m

m? 3 r 2

m? 3r ?0 2 ,于是 .

* 3n ? 2 ? 3 r r ? 2n ? 4 m ? 3n ? 2 n?N ,则有 2 ,即 3 ,这与 r ? N 矛盾. 设

?

?

? x ? 1x ? 的展开式中不含常数项. (5 分) 所以假设不成立,即
(2)证明:由题设知 an= 1 ? (n ? 1)d ,设 m= 1 ? (n ? 1)d ,

x? 1 x 由(1)知,要使对于一切 m,
* 必须有:对于 n ? N ,满足

?

? 的展开式中均不含常数项,
m

1 ? (n ? 1)d ? 3 r 2 =0 的 r 无自然数解,

r ? 2d (n ? 1) ? 2 3 3 ? N . (8 分) 即

当 d=3k

d ? k ?N ? 时, r ? 23 (n ? 1) ? 2 ? 2k(n ? 1) ? 2 ? N . 3 3
*

x? 1 x 故存在无穷多个 d,满足对每一个 m,
综合测试四参考答案 1.
2 ?1, ? ;
π 2. 6 ;
121 3. 2 ; 3 4. 4 ;

?

? 的展开式中均不含常数项. 分) (10
m

32π 5. 5 ;

6. 25;
2 2

7. 14;

8. 1;

9. ① ②③ ; 答案解析

10. 18 ;

a?1 3; 11.

12.

15 5 ;

x ? y ?1 16 9 13. ;

4 3 log 3 2 14. 3 .

1, 2 1.根据集合元素的互异性, x ? 2 ? ?1 且 x ? 2 ? 0 ,所以实数 x 不能取的值构成的集合为 ? ? ;
1 ? 3 ??B sin C sin ? C?? sin C ? 1 ? ,得 ?; 2 ,又 3 ? 1 ,所以 3 由正弦定理知 ,故

2.

3. 4.

? (3 ? 0.5k ) ? 11 ? 3 ? 11 ? 10 ? 1 ? 121 2 2 2
10 k ?0



第二子代的一对基因的所有等可能情形为 DD,Dd,dD,dd,其中高茎的有 DD,Dd,dD 共 3
3 种,则所求概率为 4 ;

5. 6. 7.

320 ? 1.2? ? 32π 5 ; 飞轮上一点 1 秒内所经过的路程为 60



a ? (1, 2)

a ? 1 b ? (?2, 1) b ? (15, 5) 5 , 得 ,所以 a ? b ? 25 ;

3 ? 5 ? 8 ? 27 ? 13 ? 32 ? 18 ? 21 ? 23 ? 9 ? 28 ? 6 ? 14 100 利用组中值得平均每个句子所包含的字数为 ;
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 8. 9. 由
? tan C ? tan( A ? B) ? tan A ? tan B 1 ? tan A tan B 及 tan A ? tan B ? tan C ? 1 得, tan A tan B tan C ? 1 ;

易得① 符合题意;对于②:因为 A ? A ? B ,所以 B ? A ? B ? ( A ? B) ? B ? A ,进而
A ? A ? B ? ( A ? B) ? A ? B ,符合题意;同理可得③ 符合题意;

10. 因为 x、y 为正实数,所以 成立)

2x+y ? 6 ? xy≥2 2xy ? 6

y ,解得 xy≥18 (当且仅当 x ? 3, ? 6 时等号

2 11. 易得 3x ? 3a ? ?1 解无实数,即

a ? x2 ? 1 a?1 3 解无实数,所以 3;

12.

5、 3 不可能为两异面直线的长,这是可以反证的(假设 5、 3 为异面直线的长,则会出现六条棱

5 ? 3 ? 2 ? 15 5 共面的情形,这与假设矛盾) .故根据余弦定理得较长棱所在直线所成角的余弦值为 2 ? 5 ? 3 ;

y2 y1 A1 P2 的方程为 y ? t ? 4 ( x ? 4) , A2 P 的方程为 y ? t ? 4 ( x ? 4) ,两式左右分别相乘得 1 13. 直线

y2 ?

2 2 y1 y2 x2 ? y ? 1 t 2 ? y1 ? 1 ( x2 ? 16) y y t 2 ? 16 1 ,因为点 P (t,1 ) 、 P2 (t,2 ) 在椭圆 16 9 上,所以 16 9 ,

2 2 2 2 t 2 ? y2 ? 1 y12 ? 9 1 ? t y22 ? 9 1 ? t y1 y2 ? 9 t ? 1 16 , 16 ,又 y1 ? 0、y2 ? 0 ,所以 16 16 9 ,即 ,代入
2 y1 y2 y2 ( x2 ? 16) x ? ?1 t ? 16 得 16 9 ; 2

?

?

?

?

?

?

y2 ?


A ? x1, 8 x1 ? log



B ? x2, 8 x2 ? log

, ,

y
y ? log 2 x



C ? x1, 2 x1 ? log



D ? x2, 2 x2 ? log

D
因为 BC//x 轴,所以 log8 x2 ? log 2 x1 ,
3 即 x2 ? x1 ,①

C

y ? log8 x

B
O

1

A
x

log8 x1 log8 x2 ? x2 , 又 A、B、O 三点共线,故 x1
x 由①②得 x1 ? 3,2 ? 3 3 ,



?3 故四边形 ABCD 的面积为
解: (1)由题意得 A ? 2 ,周期

4 3 log 3 3 ? 3 ? ? log 2 3 3 ? log8 3 3 ? log 2 3 ? log8 3 ? ? 2 ? ? 3 .

? ?

? ?

?

15.命题立意:本题主要考查三角函数的图像与性质,考查运算求解的能力.
T ? 2? ? ?

?

,得 ? ? ? , 分) (4

此时 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ,

高二数学?第 59 页 共 75 页

江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案

M 2π ,? 2 ?2 ? 2sin 4? ? ? sin 4? ? ? ? ?1 0<? ? π 3 ? ? 2, 代入上式得 , 即 , 2sin 2 x ? π ??π 6 ; 分) 6 , 所以 f ( x) = 解得 (8 π ≤2 x ? π ≤ 7π x ? ? π ,π ? ?12 2 ? , ? ? 6 6 , (2)因为 所以 3 (10 分) sin 2 x ? π ? 1 2x ? π ? π x? π 6 6 2 ,即 6 时, 所以,当且仅当 ,


?

?

?

?

?

?

博学而笃志,切问而近思

?

?

?

?

即有 f ( x) 的最大值为 2. (14 分)

16.命题立意:本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象与推理论证能力. 解: (1)因为 EF∥ 平面 ABD,易得 EF ? 平面 ABC, A 平面 ABC ? 平面 ABD ? AB , 所以 EF // AB , 分) (5 又点 E 是 BC 的中点,点 F 在线段 AC 上, 所以点 F 为 AC 的中点,
AF ? ? ??1 2 ; 分) 由 AC 得 (7

F B E C (第 16 题图) D

(2)因为 AB ? AC ? DB ? DC ,点 E 是 BC 的中点, 所以 BC ? AE , BC ? DE , 分) (9 又 AE ? DE ? E , AE、DE ? 平面 AED, 所以 BC ? 平面 AED, (12 分) 而 BC ? 平面 BCD,

所以平面 BCD⊥ 平面 AED. (14 分) 17.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力. 解: (法一)设圆锥母线与底面所成角为 ? ,且

? ? 0,π

? 4 ? , 分) (2

y ? ? 2π ? 5 ? 5(1 ? tan ? )? ?100 ? ? 1 ? 2π ? 5 ? 5 ? ? 400 ?2 cos? ? ? ? 则该仓库的侧面总造价 ? 50π 3+ 2 ? sin? cos? , 分) (8

?

?

y? ? 50π ? 2sin? ? 1 ? ? 0 sin? ? 1 ??π ? ? ? cos2? ? 6, 2 ,即 由 得 (13 分)

经检验得,当

??π

5 3 6 时,侧面总造价 y 最小,此时圆锥的高度为 3 m. (15 分)
高二数学?第 60 页 共 75 页

江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 (法二)设圆锥的高为 x m,且
x ? ? 0, ? 5

, 分) (2

y ? ? 2π ? 5 ? 5(1 ? x)? ?100 ? ? 1 ? 2π ? 5 ? x2 ? 25 ? ? 400 ?2 ? ? ? 则该仓库的侧面总造价
? 150π+10π 2 x 2 ? 25 ? x
y ? ? 10π

?

? , 分) (8



?

2x ?1 ? 0 x ? 5 3 x ? 25 3 , 得 (13 分)
2

?

5 3 x?5 3 3 时,侧面总造价 y 最小,此时圆锥的高度为 3 m. 经检验得,当 (15 分) 18.命题立意:本题主要考查直线的方程、椭圆的方程及其简单性质等基础知识,考查灵活运用数 形结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的能力. y
? 2 b2 ? 1? 2 ? 2 , ? a ? ? 2 ? 3 ? 1, ? 2 b2 解: (1)由题意得 ? a
2 2 解得 a ? 2b ? 8 , 分) (3

B O C E A F x

则△ABC 的面积 S
? 2S?AOB ? 2 ? 1 ? a ? 3 ? 2 6 2 ; 分) (5

(第 18 题图)

(2)① k1 ? k2 为定值,下证之:
x0 2 y0 2 ? 2 ?1 2 y ? b 证明:设 B( x0,0 ) ,则 C(? x0, y0 ) ,且 a , 分) (7



x02 y0 y y a 2 ? ? b2 k1 ? k2 ? ? 0 ? 20 2 ? 2 x0 ? a x0 ? a x0 ? a x0 ? a 2 a2
2

b2 1 ?

?

?

2 2 由(1)得 a ? 2b ,

k1 ? k2 ? ? 1 2; 所以 (10 分)

② 易得直线 AB 的方程为 y ? k1 ( x ? a) , 直线 AC 的方程为 y ? k2 ( x ? a) , 令 x ? a ? 1 得, yE ? k1 , yF ? k2 ,
S?AEF ? 1 ? EF ? 1 ? 1 k2 ? k1 2 2 则△AEF 的面积 , (13 分)

高二数学?第 61 页 共 75 页

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k 因为点 B 在 x 轴上方,所以 k1 ? 0,2 ? 0 ,



k1 ? k2 ? ? 1 S?AEF ? 1 (k2 ? k1 )≥ 1 ? 2 ?k1k2 ? 2 2得 2 2 2 (当且仅当 k2 ? ?k1 时等号成立)

2 所以,△AEF 的面积的最小值为 2 .(15 分) 19.命题立意:本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式等基础知识,考查灵活运用基本量、 有限与无限的数学思想进行运算求解、探索分析的综合能力.

解: (1)因为

?a
i ?1

5

i

? 121 81



1 ?a
i ?1

5

? 121

i



a3 ? 1 9 , 分) 所以 (2 q ? q ?1 ? 10 3 , 解得

a3 ? q 2 ? q ?2 ? ? a3 ? a3 ? q ? q ?1 ? ? 121 81 ,
q?1 3 , 分) 又 0 ? q ? 1 ,所以 (4

an ? 1 3 此时,
k

??

n ?1

; 分) (6

?1? (2)设无穷等比子列的首项为 3
m k

m

? 1 ? ,且 m、k ? N * , ,公比为 3

?1? ? ? 1 ,5 ? 3 ?12 24 ? ? ? 1? ?1? 3 则其所有项和 , 分) (9
k 1 ?1 ? 1 ? ≤ 1 12 ? 3 ? 3 ? 即 ?

?? ??
??
k

m

? ≤ 5 ?1 ? 1 24 ?

? 3 ? ??? ,
k

1≤ 1 18 3 故

5 ? ? ≤ 24 ,
m

所以 m ? 2 , (12 分)

? 1≤ 1 ≤ 7 3 15 , 所以 k ? N * , 此时 3 (14 分) 1 1 9 为首项, 3 所有满足题意的等比子列是以

? ? ( k ? N * )为公比的等比数列. 分) (16
k

20.命题立意:本题主要考查指数函数、对数函数以及抽象函数的性质等,考查灵活运用函数性质 进行探索求解、推理论证的综合能力.
m n 解: (1)证明:令 x ? a ,y ? a ,



f ? am? n ? ? (m ? n) f (a) ? mf (a) ? nf (a) ? f (a m ) ? f (a n )



所以 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,即证; 分) (5 (2)证明:设 ?0 ? x1 ? x2 ,

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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思

x1 ? as x2 则必 ?s ? 0 ,满足 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f



? xx ? ? f (a ) ? sf (a) ? s ? 0 ,
1 s 2

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以 f ( x) 在 (0,? ?) 上是单调减函数.(10 分) (3)令 t ? log a (4 ? x) ? 0 , 则

f ?t 2 ? 2? ? f ?8t ?≤3



2 a3 ≤ 1 t ? 2 f t ? 2 ≤f ? a3 ? 8 t , 8t 故 ,即 a3 ≤ 1 0?a? 2 2 2 ,又 0 ? a ? 1 ,故 2 . 所以 (15 分)

?

?

? ?

1.命题立意:本题主要考查二阶矩阵的逆矩阵,考查运算求解能力.
? a b ? ?1 0 ? ? 1 0 ? ?a b ? A?? ? ?? ??? ? ? ?1 ? c d ? ,则由 AA ? E 得 ? c d ? ?0 2? ?0 1? ,(5 分) 解:设
?a ? 1, ?b ? 0, ? ?c ? 0, ?1 ? A?? ?d ? 1 , ?0 2 所以 ? 解得 ?

0? 1? ? 2 ? .(10 分)

2.命题立意:本题主要考查椭圆的参数方程的应用,考查运算求解能力.

? x ? 2 3 cos ?, ? ? ? y ? 2sin ? 解:设 ? ( ? 为参数) ,(4 分)
则矩形 PMON 周长为 所以,当 此时,点

2 3 cos ? ? 2sin ? ? 4sin ? ? ? ? ,(8 分)

?

?

???

? 时,矩形 PMON 周长取最大值 4,

P 3, 3

?

? .(10 分)

3.命题立意:本题主要考查空间向量的应用,考查运算求解能力. 解: (1)如图,以点 D 为原点 O , DA, DC, DD1 分别为 x, y, z 轴
高二数学?第 63 页 共 75 页

z
D1 A1 B1

C1

江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 设
D ? 0, 0, 0? P ? 0, 1, ? ?



B ?1, 1, 0 ?



A1 ?1, 0, 2 ?



,其中

? ? ?0, 2?



因为 即?

???? ??? ? ?A1 PB ? ? ? ,所以 A1 P ? BP ? 0 ,
,得 ? ? 1 ,

?1, 1, ? ? 2? ? ? ?1, 0, ? ? ? 0 P ? 0, 1, 1?

此时

,即有 PC ? 1 ;

??? ? AA1 B 的一个法向量为 m ? DA ? ?1, 0, 0? , (2)易得平面
设平面 A1 BP 的一个法向量为
n ? ? x, y, z ?



???? ?n ? A1 P ? 0, ?? x ? y ? z ? 0, ? ? ? ??? ? ?n ? BP ? 0,即 ?? x ? z ? 0, ? 则
不妨取 x ? 1 ,则 y ? 0 , z ? ?1 ,即
n ? ?1, 0, ? 1?



cos ? m, > ? m ? n ? 1 ? 2 n 2 m n 1? 2 所以 ,

3? A ? A1 B ? P 的大小为 ? .(10 分) 所以,钝二面角

4.命题立意:本题主要考查组合数的性质、二项式定理,考查推理论证能力.
( 解: (1)甲从 1 到 m (m 为给定的正整数,且 2≤m≤n ? 2) 号中任选两款,乙从 m ? 1) n 号中 到

任选两款的所有等可能基本事件的种数为 Cm Cn ? m ,
m 记“款式 s 和 t (1≤s≤m, ? 1≤t≤n) 同时被选中”为事件 B,则事件 B 包含的基本事件

2

2

的种数为

C1C1 ?1 ? C1C1 ?( m?1) 1 m 1 n
Pst ?


? 4 m(n ? m)

C1C1 ?1 ? C1C1n ?( m ?1) 1 m 1 C2 C2 ? m m n

所以

P( B) ?



则所有的 Pst 的和为:

C1 C1 ?m ? m n

4 ?4 m(n ? m) ;(4 分)

0 1 2 n n (2)甲从 n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为: Cn ? Cn ? Cn ? ??? ? Cn ? 2 ,

同理得,乙从 n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为 2 ,
高二数学?第 64 页 共 75 页

n

江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思
n n n 据分步乘法计数原理得,所有等可能的基本事件的种数为: 2 ? 2 ? 4 ,

记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件 A,则事件 A 的对立事件 A 为: “没有 一个款式为甲和乙共同认可” , 而事件 A 包含的基本事件种数为:
2 n 2 n ?1 0 1 C0 ? (C0 ? C1 ? Cn ? ??? ? Cn ) ? C1 ? (C0 ?1 ? C1 ?1 ? Cn?1 ? ??? ? Cn?1 ) ? ??? ? Cn?1 ? (C1 ? C1 ) n n n n n n n

+Cn ? (C0 ) n 0 ? C0 ? 2n ? C1 ? 2n?1 ? ??? ? Cn?1 ? 2 ? Cn ? 20 n n n n

? (1 ? 2)n ? 3n ,

P( A) ? 1 ? P ? A ? ? 1 ? 3 4 .(10 分) 所以

??

n

江苏省数学高考附加题强化试题 1
参考答案
? 2 ? ? ?2 ? ? 2 cos ? ? 2sin ? ? ? ?2 ? 1、解: M ? ? ? ? ? ,即 ? ? ? ? ? ,……………………………4分 ?2? ? 2 ? ? 2sin ? ? 2 cos ? ? ? 2 ? ?cos ? ? sin ? ? ?1, ?cos ? ? 0, 所以 ? 解得 ? …………………………………6分 sin ? ? cos ? ? 1. ? ?sin ? ? 1.

所以 M ? ? ?1

?0 ?1? ?1 0 ? ? 0 1? ?1 ?1 ? .由 M M ? ? 0 1 ? ,得 M ? ? ?1 0 ? .……………10分 0? ? ? ? ?

2、解:因为直线 l 的极坐标方程为 ? ?

?
3

?? ? R?

所以直线 l 的普通方程为 y ? 3x ,……………………………………………3分 又因为曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? , ( ? 为参数) ? y ? 1 ? cos 2?
1 2 x ? x ? ? ?2, 2?? , ………………………6分 2

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 联立解方程组得 ?

? x ? 0, ? x ? 2 3, ? 或? ,…………………………………………8分 ? y ? 0, ? y ? 6 ?
? x ? 2 3, ? ,故 P 点的直角坐标为 (0, 0) .……………10 分 ?y ? 6 ?
高二数学?第 65 页 共 75 页

根据 x 的范围应舍去 ?

江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思

4、证明: (1)如果 a ? ?2 ,则 a1 ?| a |? 2 , a ? M . ………………………………………2 分
1 1 (2) 当 0 ? a ≤ 时, an ≤ ( ?n ≥ 1 ) . 4 2 1 事实上, 〔1〕当 n ? 1 时, a1 ? a ≤ . 2 n ? k ? 1 时成立( k ≥ 2 为某整数) 设 ,
2 ?1? 1 1 则〔2〕对 n ? k , ak ≤ ak ?1 ? a ≤ ? ? ? ? . ?2? 4 2 2

由归纳假设,对任意 n∈N ,|an|≤ (3) 当 a ?
1 时, a ? M .证明如下: 4

*

1 <2,所以 a∈M.…………………………6 分 2

对于任意 n ≥ 1 , an ? a ?

1 2 ,且 an?1 ? an ? a . 4

1 1 1 1 2 对于任意 n ≥ 1 , an?1 ? an ? an ? an ? a ? (an ? )2 ? a ? ≥ a ? , 则 an?1 ? an ≥ a ? . 2 4 4 4 1 所以, an?1 ? a ? an?1 ? a1 ≥ n(a ? ) . 4

高二数学?第 66 页 共 75 页

江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 当n ?
2?a 1 时, an?1 ≥ n(a ? ) ? a ? 2 ? a ? a ? 2 ,即 an ?1 ? 2 ,因此 a ? M . 1 4 a? 4

…………………10 分

江苏省数学高考附加题强化试题 2
参考答案
1. M ? ?

?1 2? ?; ?3 4 ?

2.由 ? ? 1 得 x 2 ? y 2 ? 1, 又? ? ? 2 cos(? ?
2 2

?
3

) ? cos ? ? 3 sin ? ,? ? 2 ? ? cos ? ? 3? sin ?

? x2 ? y 2 ? 1 1 3 ? 得 A(1, 0), B(? , ? ), ? x ? y ? x ? 3 y ? 0 ,由 ? 2 2 2 2 ?x ? y ? x ? 3y ? 0 ?
2 3? ? 1? ? ? AB ? ?1 ? ? ? ? 0 ? ? ? 3. ? 2 ? ? 2? ? ? 2

3.(1)由题知 P( X ? 2) ?

1 1 A3 ? An 3n 7 ? ? , 2 (n ? 3)(n ? 2) 30 An?3

即7 n 2 ? 55n ? 42 ? 0, 即(7 n ? 6)(n ? 7) ? 0. 因为n ? N * , 所以n ? 7.
(2)由题知,X 的可能取值为 1,2,3,4,所以
1 A7 A 2 A1 7 7 7 ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? 3 3 7 ? , 1 30 120 A10 10 A10

P( X ? 1) ?

P( X ? 4) ? 1 ?

7 7 7 1 ? ? ? , 10 30 120 120

所以,X 的概率分布表为

X P

1

2

3

4

7 10

7 30

7 120

1 120

7 7 7 1 11 ? 2? ? 3? ? 4? ? . 10 30 120 120 8 11 答 X 的数学期望是 . 8
所以 E ( X ) ? 1 ?
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 4.(1)? y ?

1 1 ,? y / ? ? 2 .设 Qn ( xn , yn ) ,则直线 Qn Pn?1 的方程为 x x

y ? yn ? ?

1 ( x ? xn ) ,令 y ? 0 ,得 xn?1 ? xn ? xn 2 yn ,? xn yn ? 1,? xn?1 ? 2xn ,则数列 {xn } 是首项为 2 xn

1,公比为 2 的等比数列,于是 xn ? 2n?1 .从而

an ?| PnQn |? yn ?

1 1 ? n?1 . xn 2

(2)? Qn (

1 1 , an ), Qn ?1 ( , an ?1 ) , an an ?1

??????? 1 1 2 ) ? (an ? an?1 ) 2 ?bn ? 2 | QnQn?1 | ? 2 ( ? an an?1
? 2 (2n?1 ? 2n )2 ? ( 1 1 1 ? n )2 ? 2 (2n?1 )2 ? ( n )2 . n ?1 2 2 2

利用 2(a2 ? b2 ) ? (a ? b)2 (a ? 0, b ? 0) ,当且仅当 a ? b 时取等号,得

bn ? 2 (2n?1 )2 ? (

n 1 2 1 1 1 1 ) ? 2n?1 ? n .于是 ? bi ? (1 ? ) ? (2 ? 2 ) ? ??? ? (2n?1 ? n ) n 2 2 2 2 2 i ?1

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1? 2 2 ? 2n ? 1 . ? (1 ? 2 ? ??? ? 2n ?1 ) ? ( ? 2 + ??? ? n ) ? ?2 1 2 2 2 1? 2 2n 1? 2
n

江苏省数学高考附加题强化试题 3
参考答案 ?1? ? 3 3? ?1? ?1? 1、解:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为α1=? ?可得,? ? ? ?=6? ?, ?1? ? c d? ?1? ?1? 即 c+d=6; ………………………………………3 分 ? 3 ? ? 3 3? ? 3 ? ? 3 ? 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为α2=? ?,可得? ? ? ?=? ?, ?-2? ? c d? ?-2? ?-2? 即 3c-2d=-2, …………………………………………6 分 3 3? ?c=2, ? 解得? 即 A=? …………………………8 分 ?, ?d=4. ? 2 4? 2 1 - 3 2 A 逆矩阵是 1 1 - 3 2

? ? ? ?

? ? ? ?

2.解:将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 , 即 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,它表示以 (0, 2) 为圆心,2 为半径的圆,…………………………4 分
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 直线方程 l 的普通方程为 y ? 3x ? 1 ,………………………………6 分 圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ?

1 ,…………………………………………………8 分 2

1 故直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 2 2 2 ? ( ) 2 ? 15 . …………………10 分 2
3、(Ⅰ)这 3 名同学中至少有 2 名同学参加活动次数恰好相等的概率为

P ? 1?
?

1 1 1 C5C15C20 3 C40

…………………………………………4 分

419 494

…………………………………………5 分

(Ⅱ)由题意知 ? ? 0,1, 2
2 2 C52 ? C15 ? C20 61 ……………………………………6 分 P0 ? ? 2 C40 156 1 1 1 1 C5C15 ? C15C20 75 ……………………………………7 分 ? 2 C40 156 1 1 C5C20 5 ? ……………………………………8 分 2 C40 39

P? 1 P2 ?

? 的分布列:
x
0 1 2

P(? ? x)

61 156

75 156

5 39

…………………………………………10 分

? 的数学期望: E? ? 0 ?

61 75 5 115 ? 1? ? 2? ? …………12 分 156 156 39 156
3 3 6

? 3 ? 540 4. 解: (1)展开式中二项式系数最大的项是第 4 项= C ? ? ? 3 ; (2 分) y ? y?
(2) f (4, y ) ? a0 ?
4

a1 a2 a3 a4 m 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? (1 ? )4 , a3 ? C4 m3 ? 32 ? m ? 2 , y y y y y
(5 分)
高二数学?第 69 页 共 75 页

?a
i ?0

i

2 ? (1 ? )4 ? 81; 1

江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 (3)由 f (n,1) ? mn f (n, t ) 可得 (1 ? m) ? m (1 ?
n n

m n m2 n ) ? (m ? ) ,即 t t

1? m ? m ?

m2 m 1 2010 ? m ? t ? f (2010,1000 t ) ? (1 ? )2010 ? (1 ? ) . t 1000 1000 t
2 3 4

? 1? C

1 2010

1 4 2 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 2 3 4 ? C2010 ? ? ? C2010 ? ? ? C2010 ? ? ? 1? 2 ? 2 ? ? ? 7 1000 3 3 ? 1000 ? ? 1000 ? ? 1000 ?
m ?2010 1 ) ? (1 ? ) ?2010 ? 1,所以原不等式成立. t t
(10 分)

而 f (?2010 t ) ? (1 ? ,

江苏省数学高考附加题强化试题 4
参考答案 1 解: (1)设 M ? ?

?a b ? ?1? ? 3 ? ?a b ? ?? 1? ?1? ?a b ? ? ,则有 ?c d ? ?1? ? ?? 3?, ?c d ? ? 1 ? ? ?1? , ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?c d ?

?a ? b ? 3 ?c ? d ? ?3 ?1 2? ? 故? 解得 a ? 1, b ? 2, c ? ?2, d ? ?1 ,? M ? ? ?. ??2 ?1? ?? a ? b ? 1 ?? c ? d ? 1 ?
(2)由 ?

(5分)

2 ? ?? 1? ?? 3? ?1 ? ? ? ? ? ? 知, C ' (?3,3) , ?? 2 ? 1? ?? 1? ? 3 ?

2? ? 1 ?? 3 ? 3 ? ?? 1? ? 1 ? 由? 知, D(1,?1) . ? 2 1 ? ?? 1? ?? 1? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3
2.(C)
2 2 解: A ? {( x, y ) x ? ( y ? m) ? 2} , B ? {( x, y) x ? y ? 6} ,

(10 分)

(5 分)

m?6 2

? 2 ? m ? [4,8] .

(10 分)

3.证明 ⑴连接 AC 与 BD 交于 G,则平面 PAC∩平面 BDM=MG, 由 PA∥平面 BDM,可得 PA∥MG, ∵底面 ABCD 是菱形,∴G 为 AC 中点, ∴MG 为△PAC 中位线, ∴M 为 PC 中点. …………………………………………4 ⑵取 AD 中点 O,连接 PO,BO, ∵△PAD 是正三角形,∴PO⊥AD,
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PO⊥平面 ABCD, ∵底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? ,△ABD 是正三角形, ∴AD⊥OB, ∴OA,OP,OB 两两垂直,以 O 为原点 OA , OB , OP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空间直角坐标系, 如右图所示,则 A?1,0,0 ? , B 1, 3,0 , D?? 1,0,0? , P 0,0, 3 , ∴ DP ? 1,0, 3 , AB ? ? 1, 3,0 ,

?

?

?

?

?

?

?

?

? 1 1 3 3? ?, ∴ DM ? DP ? DC ? DP ? AB ? ? 0, ? 2 , 2 ? 2 2 ? ?

?

? ?

?

z P M D O
G

BP ? 0,? 3,? 3 , CB ? DA ? ?2,0,0? ,

?

?

C

3 3 ∴ DM ? BP ? 0 ? ? ? 0 , DM ? CB ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 , 2 2 ∴DM⊥BP,DM⊥CB,∴DM⊥平面 PBC, x
∴ cos ? OP, DM ??

A

B

y

2 2

平面 ABCD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小为

?
4

…………………………………10

?y ? x 4. 解:⑴由 ? 2 解得 A(0,0), B(2 p,2 p) ? x ? 2 py
∴ 4 2 ? AB ? 4 p 2 ? 4 p 2 ? 2 2 p ,∴ p ? 2 ⑵由⑴得 x 2 ? 4 y, A(0,0), B(4,4) 假设抛物线 L 上存在异于点 A、B 的点 C (t , 处有相同的切线 ………………………………………4

t2 ) (t ? 0, t ? 4) ,使得经过 A、B、C 三点的圆和抛物线 L 在点 C 4

?a 2 ? b 2 ? (a ? 4) 2 ? (b ? 4) 2 ? NA ? NB ? 2 令圆的圆心为 N ( a, b) ,则由 ? 得? NA ? NC ?a 2 ? b 2 ? (a ? t ) 2 ? (b ? t ) 2 ? 4 ?
? t 2 ? 4t ?a ? b ? 4 ?a ? ? ? ? 8 得? 1 2?? 2 ?4a ? tb ? 2t ? 8 t ?b ? t ? 4t ? 32 ? ? 8 ?

…………………………………………6

∵抛物线 L 在点 C 处的切线斜率 k ? y? |x ?t ?

t (t ? 0) 2

高二数学?第 71 页 共 75 页

江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思

又该切线与 NC 垂直, ∴ 2 ? (?

t2 4 ? t ? ?1 ? 2a ? bt ? 2t ? 1 t 3 ? 0 ∴ a ?t 2 4 b?
……………………8

t 2 ? 4t t 2 ? 4t ? 32 1 )?t? ? 2t ? t 3 ? 0 ? t 3 ? 2t 2 ? 8t ? 0 8 8 4 ∵ t ? 0, t ? 4 ,∴ t ? ?2
故存在点 C 且坐标为(-2,1)

…………………………………………10

江苏省数学高考附加题强化试题 5
参考答案 ?cos90? ? sin 90? ? ?0 ? 1? 1.4-2 解:由题意得旋转变换矩阵 M ? ? ??? ? ,………3 分 ?sin 90? cos90? ? ?1 0 ? ? ? 设 P( x0 , y0 ) 为曲线 y 2 ? x 上任意一点,变换后变为另一点 ( x, y) ,则

? x ? ? y0 , ? x ? ?0 ? 1? ? x0 ? ? y ? ? ?1 0 ? ? y ? ,即 ? y ? x , ? ? ? ?? 0? 0 ? ? y0 ? ? x, 所以 ? 又因为点 P 在曲线 y 2 ? x 上,所以 y0 2 ? x0 ,故 (? x)2 ? y , x0 ? y, ? 2 即 x ? y 为所求的曲线方程. ……………10 分 ? 2 解:设圆上任一点为 P( ? ,? ) ,则 OP ? ? , ?POA ? ? ? ,OA ? 2 ? 3 ? 6 , 6 ?? ? ? 2 ? ? ?? Rt?OAP 中,OP ? OA cos ?POA , ? ? 6cos ? ? ? ? ,而点 O ? 0, ? ? , A ? 0, ? 符合, 6? ? ? 3 ? ? 6? ?? ? 故所求圆的极坐标方程为 ? ? 6cos ? ? ? ? . ……………10 分 6? ?

D ? 面 ABC ? AB , ? 面ABDE , D ? 面 DB A B C 3. ∵ DB ? BA , 解: 又∵面 ABDE ? 面 ABC , A E 面 B ∴ B ∵BD∥AE,∴ EA ? 面ABC , …………2 分



如图所示,以 C 为原点,分别以 CA,CB 为 x,y 轴,以过点 C 且与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴,建立 空间直角坐标系, z E ∵ AC ? BC ? 4 , ∴设各点坐标为 C (0, 0, 0) , A(4, 0, 0) , B(0, 4, 0) , D(0, 4, 2) , E (4, 0, 4) , ??? ? O 则 O(2, 0, 2) , M (2, 2, 0) , CD ? (0, 4, 2) , D ???? 设平面 ODM 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则由 n ? OD ???? ? x A ??2 x ? 4 y ? 0, 且 n ? MD 可得 ? M ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, 令 x ? 2 ,则 y ? 1 , z ?1,∴ n ? (2, 1, 1) , B y 设直线 CD 和平面 ODM 所成角为 ? ,则 ??? ? ??? ? n ? CD (2, 1, 1) ? (0, 4, 2) 6 30 ??? ? ? , sin ? ? cos ? n, CD ? ? ? ? | n || CD | | (2, 1, 1) || (0, 4, 2) | 6 ? 2 5 10
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???? ???? ? OD ? (?2, 4, 0) , MD ? (?2, 2, 2) ,

C

江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思 ∴直线 CD 和平面 ODM 所成角的正弦值为 4.解: (1)∵ a1 ? C3m ? A1 ?2 2m m
4

30 . 10 ?2m ? 3 ≥ 3m, ∴ ? ?m ? 2 ≥ 1,

……………10 分 ∴m ? 3, ………2 分

1 ? ? 1 ? ? 由 ? x ? 2 ? 的展开式中的同项公式知 T2 ? C2 x 4?1 ? 2 ? ? x , 4 4x ? ? 4x ? ? x =1, ? n, ? n ?1 n ∴ an ? x ∴ S n ? ?1 ? x , x ? 1; ? ? 1? x 2 n (2)当 x ? 1 时, Sn ? n, An ? C1 ? 2Cn ? 3C3 ? ? ? nCn , n n
n n n 又∵ An ? nCn ? (n ? 1)Cn?1 ? (n ? 2)Cn?2 ? ? ? C1 ? 0C0 , n n

………4 分

2 n ∴ 2An ? n(C0 ? C1 ? Cn ? ? ? Cn ) ? n ? 2n , ∴ An ? n ? 2n ?1 , n n

1 ? xn , 1? x 1 ? x 1 1 ? x2 2 1 ? xn n An ? Cn ? Cn ? ? ? Cn 1? x 1? x 1? x 1 n ? [(C1 ? C 2 ? ? ? C n ) ? ( xC1 ? x 2 C 2 ? ? ? x n C n )] n n n n n 1? x 1 ? [2n ? (1 ? x) n ] , 1? x ?n ? 2n ?1 , x ?1, ? ∴ An ? ? 2n ? (1 ? x) n , x ? 1. ? 1? x ?
当 x≠1 时, S n ?

……………10 分

江苏省数学高考附加题强化试题 6
参考答案
1. 解:在平面上任取一点 P(x,y) ,点 P 关于 y=3x 的对称点 P(x′,y′)

? y ? y? ? 3 ? ?1 ? 则有: ? x ? x ? y ? y? x ? x? ? ? 3? 2 ? 2 ? 4 3? x ? ? ?? 5 5 ? ? x ? ? ? y ?? ? ? 3 4 ? ? y ? ? ? ? ?? ? ? 5 5?

4 3 ? ? x? ? ? 5 x ? 5 y 解得: ? 3 4 ? y? ? x ? y 5 5 ? ? 4 3? ?? 5 5 ? A= ? 3 4? ? ? ? 5 5?

点评: 一般地若过原点的直线 m 的倾斜角为 ? , 则关于直线 m 的反射变换矩阵为: A= ? 2。⑴ y ? 2ax, y ? x ? 2
2

?cos 2? ? sin 2?

sin 2? ? ? cos 2? ? ?

? ? x ? ?2 ? ? (2)直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 ( 为参数),代入 y 2 ? 2ax 得到 t 2 t 2
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江苏省运河中学 2014 届高三之数学暑假作业参考答案 博学而笃志,切问而近思

t 2 ? 2 2 (4 ? a)t ? 8(4 ? a) ? 0 ,则有 t1 ? t 2 ? 2 2 (4 ? a),t1 ? t 2 ? 8(4 ? a)
因为 | BC | 2 ?| AB |, | AC | ,所以 (t1 ? t 2 ) 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1 ? t 2 ? t1 ? t 2 解得 a ? 1 3 (I)证明:四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,BB1//CC1, 又 CC1 ? 面 ABB1A1,所以 CC1//平面 ABB1A1, …………2 分

ABCD 是正方形,所以 CD//AB, 又 CD ? 面 ABB1A1,AB ? 面 ABB1A1,所以 CD//平面 ABB1A1,…………3 分 所以平面 CDD1C1//平面 ABB1A1, 所以 C1D//平面 ABB1A1 …………4 分 (II)解:ABCD 是正方形,AD⊥CD 因为 A1D⊥平面 ABCD, 所以 A1D⊥AD,A1D⊥CD, 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D—xyz, …………5 分 在 ?ADA 中,由已知可得 A1 D ? 1

3,

所以 D(0,0,0), A1 (0,0, 3), A(1,0,0),C1 (?1,1, 3) ,

B1 (0,1, 3), D1 (?1,0, 3), B(1,1,0),

BD1 ? (?2,?1, 3, )

…………6 分

因为 A1D⊥平面 ABCD, 所以 A1D⊥平面 A1B1C1D1 A1D⊥B1D1。 又 B1D1⊥A1C1, 所以 B1D1⊥平面 A1C1D, 所以平面 A1C1D 的一个法向量为 n=(1,1,0) 设 BD1 与 n 所成的角为 ? , 则 cos ? ?

…………7 分 …………8 分

n ? BD1 | n || BD1 |

?

?3

3 ?? , 4 2 8
3 4
…………10 分 ………………………………………2

所以直线 BD1 与平面 A1C1D 所成角的正弦值为 .
r 4. 解:由题意得: ar ? C2011 (?2)r , r ? 1,2,?2011 ,



a1 a2 a 1 2 3 2010 2011 ? 2 ? ? ? 2011 ? ?C2011 ? C2011 ? C2011 ? ? ? C2011 ? C2011 ,…………………………6 2011 2 2 2
…………………………8

0 1 2 3 2010 2011 ∵ C2011 ? C2011 ? C2011 ? C2011 ? ? ? C2011 ? C2011 ? 0



a1 a2 a ? 2 ? ? ? 2011 ? ?1 2 2 22011
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2013.7

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