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1.5(2)点到直线的距离公式




题:点到直线的距离公式

教学目标: 1、知识与技能 (1)让学生理解点到直线距离公式的推导过程 ,掌握点到直线距离公式及 其简单应用; (2)通过由特殊到一般的归纳,培养学生探索问题的能力。 2、过程与方法 (1)通过推导公式方法的发现,培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、 数学表达等基本数学思维能力; (2)在推导过程中,渗透数

形结合、转化化归等数学思想以及特殊与一般 的方法. 3、情感态度与价值观 引导学生用联系与转化的观点看问题,体验在探索问题的过程中的受挫 感和成功感,培养合作意识和创新精神。同时感受数学的形式美与简洁美, 从而激发学习兴趣。 教学重点: 教学难点: 教学方法: 教学手段: 教学过程: 一、复习回顾 前面几节课,我们一起研究学习了两直线的位置关系,两直线的交点问 题, 两点间的距离公式。 逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法. 问: 1. 两直线的位置关系?2. 两直线的交点情况?3. 两点间的距离公式? 二、创设情境,引入课题 如图,在铁路的附近,有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来.那么 怎样设计能使公路最短?最短路程又是多少? 点到直线距离公式和简单应用. 点到直线距离公式的推导. 小组讨论、合作探究学习,教师启发讲授。 多媒体教学。

铁路 仓库 这一节,我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的 距离。 引例:计算点 P(-3,5)到直线 l : 3x-4y-5=0 的距离。
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(学生讨论思考,教师引入课题)

三、探究新知 1.请你思考解决上述引例的算法?
①生答(教师归纳) :
确定直线 l 的斜率 k

② 给出解答过程: 解:直线 l :3x-4y-5=0 的斜率 k=3/4 与 l 垂直直线 l ’的斜率 k’=-4/3
过点 P 垂直于 l 的直线 l ’的方程为:y-5=-4/3(x+3)

求与 l 垂直直线的斜率 k’=-1∕k

求过点 P 垂直于 l 的直线 l’的方程

解方程组 ? ?

3x ? 4 y ? 5 ? 0

? y ? 5 ? ?4 / 3( x ? 3)

,得 H(27/25,-11/25)

求 l 与 l’的交点 H

H 即过点 P 作 l 的垂线的垂足 由两点间的距离公式可得:

求点 P 与点 H 的距离

得到点 P 到 l 的距离 d= PH

∣PH∣=

(?3 ?

27 2 11 34 . ) ? (5 ? )2 ? 25 25 5

2. 点到直线的距离公式 1)问:那么 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离呢?请你仿照上 述算法得出结果。
注:①.由学生自己得出结果,这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识,能力。 意志品质等方面得到了提高。而且对公式记忆更深。 ②.学生回答后,教师给出解答过程 ,同时请学生课下思考用其它方法求此距离 。

确定直线 l 的斜率

k=

-A B

求与 l 垂直直线的斜率

B k′= A

求过点 P 垂直于 l 的直线 l’的方程:y-y0=A

B

(x0-x)

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求 l 与 l’的交点 H(

B 2 x0 ? ABY0 ? AC A2 y0 ? ABX 0 ? BC , ) A2 ? B 2 A2 ? B 2

求点 P 与点 H 的距离:

d ?| PH |? (

B2 x0 ? ABY0 ? AC A2 y0 ? ABx0 ? BC 2 ? x ) ? ( ? y0 ) 0 A2 ? B2 A2 ? B2

得到点 P 到 l 的距离 d ?

Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

2)归纳:点到直线的距离公式
d? Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

点到直线的距离公式的推导还有向量法,在必修 4 平面向量中利用向量法 给出推导。
注:由学生回答,教师归纳,同时请同学验证引例的结果。

四、例题讲解 例1. (1)求原点到直线 l1: 5x-12y-9=0 的距离 (2)求点 P(-1,2)到直线 l2
生答(教师归纳)
:

2x+y-10=0 的距离。

解:(1) 原点到直线 l1 的距离 d=

5 ? 0 ? 12 ? 0 ? 9 5 ? (?12)
2 2

?

9 13

2 ? (?1) ? 2 ? 10

(2) 点 P 到直线 l2 的距离 d=

22 ? 12

?2 5

例 2 .已知点 A(1,3) ,B(3,1) ,C(-1,0) ,求三角形 ABC 的面积。
生答(教师归纳)

解:设 AB 边上的高为 h,则 S ABC = 1
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2

AB ? h

共4页

AB ?

? 3 ? 1? ? ?1 ? 3?
2

2

?2 2,

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离。 AB 边所在直线方程为 : 点 C 到 X+Y-4=0 的距离为 : 因此,S= 1 ? 2 2 ? 5 ? 5
2 2
y ? 3 X ?1 ? 1? 3 3 ?1

, 即 x+y-4=0。
? 5 2

h=

?1 ? 0 ? 4 1?1



注: 通过这两道简单的例题, 使学生能够进一步对点到直线的距离公式理解 应用,能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。

例3.

求平行线 2x-7y+8=0 和 2x-7y-6=0 的距离.

生答(教师归纳)

解:在直线 2x-7y-6=0 上任取一点,例如取 P(3,0),则两平行线间的距离 就是点 P(3,0)到直线 2x-7y+8=0 的距离(图 1-38).

注:要求学生能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式 四、课堂练习: P93 练习 2 第1 , 2 题 .

新疆

王新敞
学案

五、小结 : 1.点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式, 2.能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
新疆

王新敞
学案

六、课后作业:
1.求点 P(2,-1)到直线 2 x +3 y -3=0 的距离. 2.已知点 A( a ,6)到直线 3 x -4 y =2 的距离 d=4,求 a 的值: 3.已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d
七.板书设计:略
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?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

新疆

王新敞
学案


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