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高一数学人教A版必修4课件:1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)


第一章 三角函数

§1.4 三角函数的图象与性质

内容 索引

01

明目标 知重点

填要点 记疑点

02

03

探要点 究所然

当堂测 查疑缺

04

明目标、知重点

明目标、知重点

1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期. 3.掌握函数y=sin x,y=cos x的奇偶性,会判断简 单三角函数的奇偶性.

明目标、知重点

填要点·记疑点

1.函数的周期性
(1)对于函数f(x),如果存在一个 非零常数T ,使得当x取定 义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就 叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做f(x)的 最小正周期 .
明目标、知重点

2.正弦函数、余弦函数的周期性
由sin(x+2kπ)= sin x ,cos(x+2kπ)=cos x(k∈Z)知y=sin x

与y=cos x都是 周期 函数,2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周
期,且它们的最小正周期都是2π. 3.正弦函数、余弦函数的奇偶性

R, (1)正弦函数y=sin x与余弦函数y=cos x的定义域都是__
定义域关于 原点 对称.
明目标、知重点

(2)由sin(-x)= -sin x 知正弦函数y=sin x是R上的 奇 函数,
它的图象关于 原点 对称. (3)由cos(-x)= cos x 知余弦函数y=cos x是R上的偶函数, 它的图象关于 y轴 对称.

明目标、知重点

探要点·究所然 情境导学 自然界存在许多周而复始的现象,如地球自转和公转,物理 学中的单摆运动和弹簧振动,圆周运动等 . 数学中从正弦函

数和余弦函数的定义知,角α的终边每转一周又会与原来的
终边重合,也具有周而复始的变化规律,为定量描述这种变

化规律,需引入一个新的数学概念——函数周期性.
明目标、知重点

探究点一 周期函数的定义
思考1 观察正弦函数图象知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出现
其理论依据是什么?



诱导公式sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整

数倍时,函数值重复出现.数学上,用周期性这个概念来定量地刻

画这种“周而复始”的变化规律.

明目标、知重点

思考2 答

设f(x)=sin x,则sin(x+2kπ)=sin x可以怎样表示?把函数

f(x)=sin x称为周期函数,那么,一般地,如何定义周期函数呢?

f(x +2kπ) =f(x)(k∈Z) 这就是说:当自变量 x 的值增加到 x+2kπ

时,函数值重复出现.

一般地,对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x
取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=

f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.
明目标、知重点

小结

为了突出函数的这个特性,我们把函数f(x)=sin x称为周

期函数,2kπ为这个函数的周期 (其中k∈Z且k≠0).

明目标、知重点

思考3

正弦函数y=sin x的周期是否唯一?正弦函数y=sin x

的周期有哪些? 答 正弦函数y=sin x的周期不止一个. ±2π,±4π,±6π,? 都是正弦函数的周期,事实上,任何一个常数 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期.

明目标、知重点

探究点二 最小正周期
导引 如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个最小的正数,

则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 周期函数不一定都有最小 正周期.如:f(x)=C(C为常数,x∈R ),对于非零实数T都是它的 周期, 而最小正周期不存在.

明目标、知重点

思考

我们知道±2π,±4π,±6π,?都是y=sin x的周期,那么

函数y=sin x有最小正周期吗?若有,那么最小正周期T等于多少? 答 正弦函数y=sin x有最小正周期,且最小正周期T=2π.

小结

如果非零常数T是函数y=f(x)的一个周期,那么kT(k∈Z且

k≠0)都是函数y=f(x)的周期. 它们的所有周期可以表示为2kπ(k∈Z且k≠0).
明目标、知重点

例如,正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x的最小正周期都是2π,

探究点三

函数y=Asin(ωx+φ)(或y=A· cos(ωx+φ))(A>0,ω≠0)的周期

思考

求函数f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))的最小正周期?



由诱导公式一知:对任意 x∈R ,都有 Asin[(ωx + φ) + 2π] =

Asin(ωx+φ),
? ? ? 2π? 所以 Asin?ω?x+ ω ?+φ?=Asin(ωx+φ), ? ? ? ? ? 2π? 即 f?x+ ω ?=f(x), ? ?

2π 所以 f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)是周期函数, ω 就是它的一个周期.
明目标、知重点

2π 2π 由于 x 至少要增加|ω|个单位, f(x)的函数值才会重复出现, 因此, |ω| 是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期.
2π 同理,函数 f(x)=Acos(ωx+φ)也是周期函数,最小正周期也是|ω|.

明目标、知重点

探究点四 正弦、余弦函数的奇偶性 导引 正弦曲线

余弦曲线

明目标、知重点

思考1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性,你有什么发现? 答 正弦函数y=sin x的图象关于原点对称,余弦函数y=cos x的图 上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质?如 象关于y轴对称. 思考2 答 何从理论上加以验证? 正弦函数是R上的奇函数,余弦函数是R上的偶函数.根据诱导 公式得,sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x均对一切x∈R恒成立.
明目标、知重点

例1 求下列三角函数的周期.
(1)y=3cos x,x∈R;

解 ∵3cos(x+2π)=3cos x,
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2π,

函数y=3cos x,x∈R的值才能重复出现,
所以,函数y=3cos x,x∈R的周期是2π.

明目标、知重点

(2)y=sin 2x,x∈R; 解 ∵sin(2x+2π)=sin2(x+π)=sin 2x, ∴自变量x只要并且至少要增加到x+π, 函数y=sin 2x,x∈R的值才能重复出现, 所以,函数y=sin 2x,x∈R的周期是π.

明目标、知重点

?1 π? (3)y=2sin?2x-6?,x∈R. ? ?



?1 ? ?1 ?1 π π? π? ?=2sin? x- ?, x - + 2π ∵2sin?2?x+4π?-6? =2sin? 6 6? ?2 ? ?2 ? ?

∴自变量x只要并且至少要增加到x+4π,
函数
?1 π? y=2sin?2x-6?,x∈R ? ?

的值才能重复出现,
的周期是 4π.

所以,函数

?1 π? y=2sin?2x-6?,x∈R ? ?
明目标、知重点

反思与感悟

对于形如函数 y=Asin(ωx+φ),ω≠0 时的周期求

2π 法常直接利用 T=|ω|来求解,对于 y=|Asin ωx|的周期情况常结 合图象法来求解.

明目标、知重点

跟踪训练1 求下列函数的周期:

(1)y=cos 2x; 2π 解 T= 2 =π; ? 1 π? (2)y=sin?-2x+3?; ? ? 2π 解 T=? 1?=4π; ?- ? ? 2? (3)y=|cos x|. 1 解 T=2π×2=π.
明目标、知重点

例2

定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)
? π? x∈?0,2?时,f(x)=sin ? ?

的最小正周期是 π,且当

x,求

?5π? f? 3 ?的值. ? ?

解 ∵f(x)的最小正周期是π,
?5π? ?5π ? ? π? ∴f? 3 ?=f? 3 -2π?=f?-3? ? ? ? ? ? ?

∵f(x)是R上的偶函数,
? π? ?π? ∴f?-3?=f?3?=sin ? ? ? ? ?5π? π 3 3 ? ?= = . ∴ f . 3 3 2 2 ? ?

明目标、知重点

反思与感悟

解决此类问题关键是综合运用函数的周

期性和奇偶性,把自变量x的值转化到可求值区间内.

明目标、知重点

跟踪训练 2

1 已知函数 f(x)对于任意 x∈R 满足条件 f(x+3)= , f ? x?

1 且 f(1)=2,则 f(2 014)等于( B ) 1 A.2 B.2 C.2 013 D.2 014

1 解析 因为 f(x+6)= =f(x),所以函数 f(x)的周期为 6,故 f?x+3? 1 f(2 014)=f(4)= =2. f?1?
明目标、知重点

例3

判断下列函数的奇偶性.

? 1 π? (1)f(x)=sin?-2x+2?; ? ?



1 显然 x∈R,f(x)=cos 2x,
1 =cos 2x=f(x),

? 1 ? f(-x)=cos?-2x? ? ?

∴f(x)是偶函数.
明目标、知重点

(2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x);
? ?1-sin x>0, 解 由? 得-1<sin x<1. ? ?1+sin x>0, ? ? π 解得定义域为?x|x∈R且x≠kπ+2,k∈Z? ? ? ∴f(x)的定义域关于原点对称.

又∵f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x)
∴f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]

=lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数.
明目标、知重点

1+sin x-cos2x (3)f(x)= . 1+sin x



∵1+sin x≠0,∴sin x≠-1,

π ∴x∈R 且 x≠2kπ-2,k∈Z.

∵定义域不关于原点对称,

∴该函数是非奇非偶函数.
明目标、知重点

反思与感悟

判断函数奇偶性,要先判断函数的定义

域是否关于原点对称,定义域关于原点对称是函数为
奇函数或偶函数的前提条件,然后再判断 f( - x) 与 f(x) 之间的关系.

明目标、知重点

跟踪训练 3

判断下列函数的奇偶性: x;

?3 ? (1)f(x)=cos?2π+2x?+x2sin ? ?

解 f(x)=sin 2x+x2sin x,
又∵x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x)

=-sin 2x-x2sin x=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
明目标、知重点

(2)f(x)= 1-2cos x+ 2cos x-1.

? ?1-2cos x≥0, 1 解 由? 得 cos x=2. ? ?2cos x-1≥0, π ∴f(x)=0,x=2kπ± 3,k∈Z.

∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

明目标、知重点

当堂测·查疑缺
π 1.函数 f(x)=cos(2x+4)的最小正周期是( B ) π A.2
解析

1 2 3 4

B.π

C.2π

D.4π

2π 2π 最小正周期为 T= ω = 2 =π.故选 B.

明目标、知重点

1 2 3 4

π 2.下列函数中,周期为2的是( D ) x A.y=sin 2 x C.y=cos 4
解析 2π π T= =2. |-4|
明目标、知重点

B.y=sin 2x D.y=cos(-4x)

1 2 3 4

3.已知f(x)是R上的奇函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),则f(8) =-2 . 解析 ∵f(x+3)=f(x),∴f(x)是周期函数,3就是它的一个 周期,且f(-x)=-f(x). ∴f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3) =f(-1)=-f(1)=-2.
明目标、知重点

1 2 3 4

4.判断函数 f(x)=lg(sin x+ 1+sin2x)的奇偶性.
解 ∵当 x∈R 时,均有 sin x+ 1+sin2x>0,

又∵f(-x)=lg[sin(-x)+ 1+sin2?-x?]
=lg( 1+sin2x-sin x)=lg ?1+sin2x?-sin2x 1+sin2x+sin x

明目标、知重点

1 2 3 4

=lg(sin x+ 1+sin2x)-1

=-lg(sin x+ 1+sin2x),

∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数.

明目标、知重点

呈重点、现规律

明目标、知重点



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