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2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件理


第1讲

导数的概念及运算

最新考纲

1.了解导数概念的实际背景;2.通过函数图像直观

理解导数的几何意义;3.能根据导数的定义求函数 y=c(c 为常 1 数),y=x,y= x ,y=x2,y=x3,y= x的导数;4.能利用基本 初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导 数,能求简单复合函数(仅限于形如 y=f(ax+b)的复合函数)的 导数.

知识梳理
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义:当 x1 趋于 x0,即Δ x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于
一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化 率.在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点的导数,通常 用符号 f′(x0)表示,记作

f(x1)-f(x0) f(x0+Δ x)-f(x0) f′(x0)= lim = lim . x - x Δ x 1 0 ____________________________________________________.
x1 ? x0
? x ??

(2)几何 意义:函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在

(x0,f(x0)) 处的___________. 切线的斜率 相应地, 曲线 y=f(x)上点___________ 切线方 y-y0=f′(x0)(x-x0) 程为__________________________. 2.函数y=f(x)的导函数
如果一个函数 f(x)在区间(a,b)上的每一点 x 处都有导数,导数 f(x+Δ x)-f(x) Δx 值记为 f′(x):f′(x)=____________________ ,则 f′(x)是关于 x 的 函数,称 f′(x)为 f(x)的导函数,通常也简称为导数.

3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数

f(x)=c(c为常数)
f(x)=xα(α是实数) f(x)=sin x f(x)=cos x

f′(x)=0
αxα-1 f′(x)=________ cos x f′(x)=______ sin x f′(x)=- ______

f(x)=ex f(x)=ax(a>0, a≠1) f(x)=ln x

f′(x)=____ ex

axln a f′(x)=_____
1 f′(x)=______ x
1 f′(x)=________ xln a

f(x)=logax (a>0,a≠1)

4.导数的运算法则 若 f′(x),g′(x)存在,则有:

f′(x)±g′(x) ; (1)[f(x)± g(x)]′=______________ f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ; (2)[f(x)· g(x)]′=______________________ f′(x)g(x)-f(x)g′(x) ? f(x) ? 2 ? ? [ g ( x ) ] (3)? ?′=_____________________________ (g(x)≠0). g ( x ) ? ?

5.复合函数的导数

复合函数y=f(g(x)) 的导数和函数 y =f(u) ,u=g(x) 的导数
间的关系为yx′=yu′· ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与 _________ u对x 的导数的乘积.

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( ) ) 精彩PPT展示

(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.(

(3)(2x)′=x· 2x-1.(

)
)

(4)若f(x)=e2x,则f′(x)=e2x.(

解析

(1)f′(x0) 是函数f(x) 在x0 处的导数, (f(x0))′ 是常数 f(x0) 的

导数即(f(x0))′=0;(3)(2x)′=2xln 2;

(4)(e2x)′=2e2x.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×

2.函数y=xcos x-sin x的导数为( A.xsin x

)

B.-xsin x

C.xcos x
解析

D.-xcos x

y′=(xcos x)′-(sin x)′=cos x-xsin x-cos x=

-xsin x. 答案 B

π sin x 3.(教材改编)曲线 y= x 在 x= 处的切线方程为( 2 A.y=0 4 4 C.y=- 2 x+ π π 2 B.y= π 4 D.y= 2 x π

)

解析

xcos x-sin x π 4 π ∵y′= ,∴y′|x= =- 2,当 x= 2 时,y x2 π 2

π? 2 2 4 ? 4 4 ? ? = ,∴切线方程为 y- =- 2?x- ?,即 y=- 2 x+ . 2? π π π? π π

答案 C

4.(2016· 天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导

函数,则f′(0)的值为________.
解析 因为f(x)=(2x+1)ex, 所以f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex, 所以f′(0)=3e0=3. 答案 3

5.(2017· 西安月考)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方 程为y=2x,则a=________.
解析 y′=a- 1 ,由题意得 y′|x=0=2,即 a-1=2,所 x+1

以 a=3.

答案 3

考点一

导数的运算

【例 1】 分别求下列函数的导数: (1)y=e ln
x

? 2 1 1? x;(2)y=x?x +x +x3?; ? ?

x x (3)y=x-sin cos ;(4)y=ln 1+2x. 2 2



1? 1 x? (1)y′=(e )′ln x+e (ln x)′=e ln x+e ·x =e ?ln x+x ?. ? ?
x x x x 3

1 2 2 (2)∵y=x +1+x2,∴y′=3x -x3. 1 1 (3)∵y=x- sin x,∴y′=1- cos x. 2 2 1 (4)∵y=ln 1+2x=2ln(1+2x), 1 1 1 ∴y′=2· ·(1+2x)′= . 1+2x 1+2x

规律方法

求导一般对函数式先化简再求导,这样可以减

少运算量,提高运算速度,减少差错,常用求导技巧有: (1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导; (2) 分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较 为简单的分式函数,再求导; (3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导; (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;

(5) 三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,
再求导; (6)复合函数:由外向内,层层求导.

【训练 1】 求下列函数的导数: (1)y=x2sin x; cos x (2)y= ex ;
? π ? (3)y=xsin?2x+ 2 ? ? ? π ? ? ?cos?2x+ 2 ? ? ? ? ?; ?

(4)y=ln(2x-5).
解 (1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.
?cos x? (cos (2)y′=? ex ?′= ? ?

x)′ex-cos x(ex)′ sin x+cos x =- . ex (ex)2

? π ? (3)∵y=xsin?2x+ 2 ?

? ? π ? ? ?cos?2x+ 2 ? ?

? ? ? ?

1 1 =2xsin(4x+π )=-2xsin 4x. 1 1 ∴y′=-2sin 4x-2x·4cos 4x 1 =-2sin 4x-2xcos 4x. (4)令 u=2x-5,y=ln u. 1 2 2 则 y′=(ln u)′u′= ·2= ,即 y′= . 2x-5 2x-5 2x-5

考点二 导数的几何意义(多维探究) 命题角度一 求切线的方程

【例2-1】 (1)(2016· 全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,
f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 ________. (2)(2017· 南昌质检)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0, -1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( A.x+y-1=0 C.x+y+1=0 B.x-y-1=0 D.x-y+1=0 )

解析 (1)设x>0,则-x<0,f(-x)=ex-1+x. 又f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=ex-1+x, 所以当x>0时,f(x)=ex-1+x. 因此,当x>0时,f′(x)=ex-1+1,f′(1)=e0+1=2. 则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′(1)=2,所以 切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.

(2)∵点(0,-1)不在曲线 f(x)=xln x 上, ∴设切点为(x0,y0). 又∵f′(x)=1+ln
? ?y0=x0ln x0, x,∴? ? ?y0+1=(1+ln x0)x0,

解得 x0=1,y0=0. ∴切点为(1,0),∴f′(1)=1+ln 1=1. ∴直线 l 的方程为 y=x-1,即 x-y-1=0.

答案 (1)2x-y=0 (2)B

命题角度二

求参数的值

【例 2-2】 (1)已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为( A.1 ) B.2 C.-1 D.-2

1 2 (2)(2017· 大连调研)若函数 f(x)= x -ax+ln x 存在垂直于 y 2 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________.

解析

? ?y0=x0+1, ? 1 1 (1)设切点为(x0, y0 ) , y′= , 所以有?x +a=1, x +a ? 0 ? ?y0=ln(x0+a),

?x0=-1, ? 解得?y0=0, ?a=2. ? 1 2 1 (2)∵f(x)=2x -ax+ln x,∴f′(x)=x-a+x.
1 ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线,∴f′(x)存在零点,∴x+x-a 1 =0 有解,∴a=x+x ≥2(x>0).

答案 (1)B (2)[2,+∞)

命题角度三 公切线问题 【例2-3】 (2015· 全国Ⅱ卷)已知曲线y=x+ln x在点(1,1) 处 的 切 线 与 曲 线 y = ax2 + (a + 2)x + 1 相 切 , 则 a = ________.
解析 法一 1 ∵y=x+ln x,∴y′=1+ x,y′|x=1=2.

∴曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1), 即 y=2x-1. ∵y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切, ∴a≠0(当 a=0 时曲线变为 y=2x+1 与已知直线平行).

? ?y=2x-1, 由? 消去 2 ? ?y=ax +(a+2)x+1

y,得 ax2+ax+2=0.

由 Δ=a2-8a=0,解得 a=8.
法二 同法一得切线方程为 y=2x-1.

设 y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切于点(x0, ax2 0+(a+ 2)x0+1). ∵y′=2ax+(a+2),∴y′|x=x0=2ax0+(a+2). ? ? ?x0=- , 2 ax +( a + 2 )= 2 , ? 0 2 由? 2 解得? ? ?ax0+(a+2)x0+1=2x0-1, ? 1 ?a=8.

答案 8

规律方法 (1)求切线方程的方法: ①求曲线在点 P处的切线,则表明 P点是切点,只需求出函

数在点P处的导数,然后利用点斜式写出切线方程;
②求曲线过点 P的切线,则P点不一定是切点,应先设出切 点坐标,然后列出切点坐标的方程解出切点坐标,进而写 出切线方程. (2) 处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切 点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导 数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.

【训练 2】 若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2 15 + 4 x-9(a≠0)都相切,则 a 的值为( 25 A.-1 或- 64 7 25 C.-4或-64
解析

)

21 B.-1 或 4 7 D.-4或 7

由 y=x3 得 y′=3x2,设曲线 y=x3 上任意一点(x0,x3 0)

2 处的切线方程为 y-x3 0)代入得 x0=0 或 0=3x0(x-x0),将(1,

3 x0=2.

y=0, ? ? 15 2 ? ①当 x0=0 时,切线方程为 y=0,由 得 ax + x 15 2 4 y=ax + 4 x-9 ? ?
?15?2 -9=0,Δ=? 4 ? +4· a· 9=0 ? ?

25 得 a=-64.

3 27 27 ②当 x0=2时,切线方程为 y= 4 x- 4 , ? 27 27 ?y = 4 x- 4 , 9 2 由? 得 ax -3x- =0, 4 ?y=ax2+15x-9 4 ? 9 25 Δ=3 +4· a· 4=0 得 a=-1.综上①②知,a=-1 或 a=-64.
2

答案 A

[思想方法]
1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则 .求 导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求 导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注 意变换的等价性,避免不必要的运算失误.对于复合函数

求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然
后“由外及内”逐层求导.

2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点 .若已知 点是切点,则可通过点斜式直接写方程,若已知点不是 切点,则需设出切点.

3. 处理与切线有关的参数问题时,一般利用曲线、切线、
切点的三个关系列方程求解.

[易错防范] 1.求导常见易错点: ①公式(xn)′=nxn-1 与(ax)′=axln a 相互混淆;
? f(x) ? ? ②公式中“+”“-”号记混,如出现如下错误:? ?g(x)?′ ? ?

f′(x)g(x)+f(x)g′(x) = ,(cos x)′=sin x;③复合函 2 [g(x)] 数求导分不清内、外层函数. 2.求切线方程时,把“过点切线”问题误认为“在点切线”问 题.


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