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浙江省杭州市2014届高三第一次高考科目教学质检数学文答案


2014 年杭州市第一次高考科目教学质量检测 数学(文科)试卷参考答案及评分标准

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. ) 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 A 5 C 6 C 7 B 8 C 9 A 10 C

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题

4 分,共 28 分. ) 11.-1 或 3 15. 12.

1 3

13.4 17.2

14.1

1 2

16.2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意得 cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)= 所以∠BAC=

2 5 3 10 5 10 2 . . ? . ? 5 10 5 10 2

π .……………………………………………………………………6 分 4

(Ⅱ)由 D 为 BC 中点,所以 S△BAD=S△CAD,

1 1 AB AD sin ?BAD ? AC AD sin ?CAD ,故 AC ? 2AB , 2 2 在△ABC 中,由余弦定理得 BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2 AB AC cos ?BAC ,
即 化简可得 AB ? BC ,故△ABC 为等腰直角三角形,即 ?ABC ?

?
2



从而得

AC 2 2 2 10 ? ? .…………………………………………………………8 分 AD 5 5
① ② 2an+1-an=1

19. (本小题满分 14 分) 解: (I)因为 Sn=n-an Sn+1=n+1-an+1 ②-①得

1 1 1 即 an+1-1= ( an-1),又因为 a1= ,所以 a1-1=- . 2 2 2 1 1 所以数列{an-1}是以- 为首项,以 为公比的等比数列.……………………………6 分 2 2 1 1 n?2 (Ⅱ)由(I)知 an-1=- n ,即 an=1- n ,所以 bn= n . 2 2 2 ?1 0 1 2 3 n?2 Tn= 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? . . . ? , 2 2 2 2 2 2n 1 ?1 0 1 2 3 n ?3 n ? 2 Tn= ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ... ? n ? n?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2
上述两式相减,得

?1 ? 1 1 1 1 1 ? n?2 1 Tn= 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? . . . ? n ? ? n?1 , 2 ?2 2 2 2 2 ? 2 2 n =- n?1 . 2 n 所以 Tn= ? n .………………………………………………………………………8 分 2
20. (本小题满分 15 分) 解: (I)原式= AP 1 ? ( AB ? AP 2)

13 . …………………………………………………………5 分 8 1 1 (Ⅱ) (ⅰ)写 0 到 (0 可取到, 取不到)之间的任何一个值均可, 2 2
= 2 AP 1 ?
2

理由是:此时向量 PA 与 PC 之间的夹角为锐角。 ………………………………5 分

PA ? PC ? PC PA cos ?APC .
① ② 当 P 在线段 BP2 上时, PA ? PC ? 0 . 当 P 线段 P2C 上时, PA ? PC ? 0 ,要使 PA ? PC 最小,则 P 必在线段 P2C 上.

设 PC ? x ,则

1 2 PA ? PC ? PC PA cos ?APB ? PC ? ? PP x, 2 ?x ? 2 1 5 当 x= ,即当 P 在 P3 时, PA ? PC 最小,此时 cos ?PAB ? 13 .………5 分 4 26
21. (本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)由 a=0,所以 f (x)=- x3+lnx. 所以 f ?( x) ?

?

?

1 ? x3 . x

1 3

容易知道 x=1 是函数 f (x)=- x3+lnx 的极大值点.

1 3

1 3 2 (1 ? x)( x ? x ? 1 ? a) (Ⅱ)因为 f ?( x) ? . x

所以函数 f (x)的极大值为 f (1)=- .………………………………………………6 分

(1)当 a ? 1 时,f (x)在(0,1)上递增,(1,+∞)上递减, f ( x)max ? f (1) ? a ? , 当 a ? ? 0 ,即 ? a ? 1 时,函数 y=f (x)有零点. (2)当 a ? 1 时, f (1) ? a ? ? 0 , f ( 3a) ? (1 ? a)ln( 3a) ? 0 , 由零点存在定理,f (x)在 (1, 3a) 内有零点,从而在(0,+∞)内有零点,

1 3

1 3

1 3

1 3

所以当 a ?

1 时,函数有零点. 3

……………………………………………………9 分

22. (本小题满分 14 分) 解: (1)由依题意 因为 得 又因为

(-2)2=2p p=2;

(?2 ? 0)2 ? (1 ? b)2 ? 1 ?1

得 b=-1; …………………………………………5 分 (2) (ⅰ)设直线 PA 的斜率为 k,则直线 PB 的斜率为-k,所以

? x2 ? 4 y ? ? y ? 1 ? k (x ? 2 )
即 根据韦达定理,有 即 x2-4kx-8k-4=0 xA+xP=4k

xA=4k+2,所以点 A (4k ? 2,(2k ?1)2 ) ,同理 B (?4k ? 2,(?2k ?1)2 ) .

所以直线 AB 的斜率为: kAB ?

(2k ? 1)2 ? (?2k ? 1)2 ? 1 .…………………………5 分 4k ? 2 ? (?4k ? 2)

(ⅱ)设直线 AB 的方程为 y=x+t,则点 P 到 AB 的距离 d ? 联立直线 AB 与圆 C 的方程,得

t ?3 ; 2



? x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ? ?y ? x ? t 2x2 ? 2(t ?1)x ? t 2 ? 2t ? 0

由于 AB 与圆 C 交于不同两点 M,N,所以 1 ? 2 ? t ? 2 ? 1. 因为 所以

设 因为 由 mt?

4(t ?1)2 ? 8(t 2 ? 2t ) MN ? 2 ? ? 2 ? ?t 2 ? 2t ? 1 , 2 1 t ?3 S?PMN ? ? ? 2 ? ?t 2 ? 2t ? 1 2 2 1 . ? (t ? 3)2 ? (?t 2 ? 2t ? 1) ( 1 ? 2 ? t ? 2 ? 1) 2 m ? (t ? 3)2 ? (?t 2 ? 2t ?1)
mt? ? 2(t ? 3) ? (?t 2 ? 2t ? 1) ? (t ? 3)2 ? (?2t ? 2)

? 0,解得
t? 3? 5 3? 5 ,或 t ? (舍) ,或 t ? 3 (舍) . 2 2
(S△PMN)max=

所以 此时直线 AB 的方程为

3 ? 5 1? 5 . ? 4 2 3? 5 .………………………………4 分 y ? x? 2


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