当前位置:首页 >> 数学 >>

江西省临川区第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


临川一中 2016-2017 学年度下学期期中考试 高二数学(理科)试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0}, B ? {x | log 4 x ? 0.5} ,则(
2

) D. A ? B

? B

A. A ? B ? ? 2.设 i 是虚数单位,复数

B. A ? B ? B

C. CU A ? B ? R )

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 为( 2?i

A. 错误!未找到引用源。 B. 错误!未找到引用源。 找到引用源。 D. 错误!未找到引用源。 3.如果等差数列 {an } 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ( A. 28 B.35
2

C.错误!未



C.21
n ?1

D. 14

4.用数学归纳法证明“ 1 ? a ? a ? ? a 式左边的项是( A.1 ) B. 1 ? a C.

?

1 ? a n?2 (a ? 1, n ? N * ) ”,在验证 n ? 1 成立时,等 1? a

1 ? a ? a2

D.

1 ? a ? a 2 ? a3


5.要得到一个奇函数, 只需将函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的图像 ( A.向左平移

? 个单位 ? ? 个单位 ?
B. 8

B. 向右平移

? 个单位 ?

? 个单位 ? 6.执行如图所示的程序框图, 若输入 n 的值为 8, 则输出 S 的值为 (
C.向左平移 D. 向右平移 A. 4 C. 10 D. 12 7.设函数 f ( x) ? log 3 ( 取值范围为( ) B. (0, log3 2)



x?2 ) ? a 在区间 (1,2) 内有零点,则实数 a 的 x
C. (1, log3 4) D. (log3 2,1)

A. (?1,? log3 2)

8.右图是一个空间几何体的三视图,其中主视图和左视图是腰长为 2 的两 个全等的等腰直角三角形, 若该几何体的所有顶点在同一个球面上, 则该 球的表面积为( ) A. 3? B. 4? C. 12? D. 48? 9.八个一样的小球排成一排,涂上红、白两种颜色,5 个涂红色,3 个涂白 色.若涂红色的小球恰好有三个连续,则不同涂法共有( A.36 种 B.30 种 C.24 种 D.20 种 )

主视图

左视图

俯视图 图
1

10.设函数 f ? x ? ? ? x ? a ? ,其中 n ? 6
n

?

?

2 0

cos xdx,

f ' ?0? ? ?3 ,则 f ? x ? 的展开式的各项系数 f ?0?

之和为( ) A.-1 B.1 C.2 D. -2 11. 若 圆 锥 曲 线 C 是 椭 圆 或 双 曲 线 , 若 其 中 心 为 坐 标 原 点 , 对 称 轴 为 坐 标 轴 , 且 过

3 A(?2, 2 3), B ( , ? 5) ,则( 2

) B.曲线 C 一 定是双曲线 D.这样曲线 C 不存在

A.曲线 C 可为椭圆,也可为双曲线 C.曲线 C 一定是椭圆

12.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) ? 1 , f ' ( x ) 为 f ( x) 的导函数,已知 y ? f ' ( x) 的图像如 图所示,若两个正数 a 、 b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 A. ( , )

1 1 5 3

B. (?? , ) ? (5,?? )

1 3

b ?1 的取值范围是( a ?1 1 C. (??,3) D. ( ,5) 3

y ) O

x

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知平面向量 a =(1,-3) , b =(4,-2) , ? a ? b 与 a 垂直,则 ? =
n

?

?

? ?

?



? 1 ? 1 14. 如 果 ? 3 x ? ? 的 展 开 式 中 二 项 式 系 数 之 和 为 128 , 则 展 开 式 中 3 项 的 系 数 3 2 x x ? ?
是 . 15. 已 知 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上 一 点 M (1, m) (m ? 0) 到 其 焦 点 的 距 离 为 5 , 双 曲 线

x2 若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行, 则实数 a ? ? y 2 ? 1 的左顶点为 A , a2
16.下列命题中,正确的序号是 (1)存在 x0 ? 0 ,使得 x0 ? sin x0 . . (2) 若 sin ? ?



? 1 ,则 ? ? . 6 2

a b (3) “ lna ? lnb ”是“ 10 ? 10 ”的充要条件.

(4)若函数 f ( x) ? x ? 3ax ? bx ? a 在 x ? ?1 有极值 0 ,则 a ? 2, b ? 9 或 a ? 1, b ? 3 .
3 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10 分) 在
?

?ABC



, 设 角
?

A, B, C

的 对

边 分 别 为

a , b, c



向 量

m ? ?cos A, sin A? , n ?
(1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 4 2 , 且 c ?

?

2 ? sin A, cos A ,若 m ? n ? 1 ,

?

? ?

2a ,求 ?ABC 的面积.

2

18.(本小题满分 12 分) 今年暑假期间,某中学组织学生进社区开展社会实践活动.部分学生进行了关于“消防安全” 的调查,随机抽取了 50 名居民进行问卷调查,活动结束后,对问卷结果进行了统计,并将其 中“是否知道灭火器使用方法(知道或不知道) ”的调查结果统计如下表: 年龄(岁) 频数 知道的人数

?10,20?
m
3

?20,30?
n
4

?30,40?
14 8

?40,50?
12 7

?50,60?
8 3

?60,70?
6 2

(1)求上表中的 m 、 n 的值,并补全下图所示的频率分布直 方图; (2)在被调查的居民中,若从年龄在 ?10,20? , ?20,30? 的居 民中各随机选取 1 人参加消防知识讲座,求选中的两人中仅 有一人不知道灭火器的使用方法的概率.

19. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1, S n ? nan ? 3n ? n ? 1? , n ? N ? . (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2) 是否存在正整数 n , 使得 若不存在,说明理由.

?

?

S S1 S 2 S3 3 2 ? ? ? ??? ? n ? ? n ? 1? ? 2016 ?若存在, 求出 n 值; 1 2 3 n 2

20.(本小题满分 12 分) 已 知 等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 3, 点 D 、 E 分 别 是 边 AB 、 AC 上 的 点 , 且 满 足

AD CE 1 ? ? (如图 1).将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B 为 DB EA 2
直二面角,连结 A1 B 、 A1C (如图 2).

3

(1)求证: A1 D ? 平面 BCED ; (2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直 线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ? 若存在,求出 PB 的长; 若不存在,请说 明理由.

20.(本小题满分 12 分)

x2 y2 ? ? 1 (m 为正数) 已知椭圆 C 的方程为 ,如图在平面直角坐标系 xoy 中, ?ABC 的 4m 2 m 2
三个顶点的坐标分别为 B(2,0) ,A(0,1) ,C(2,1) (1)求随圆 C 的离心率; (2)若椭圆 C 与 ?ABC 相交于不同的两点分别为 M、N,求 ?OMN 面积 S 的最大值.

A o

y

C x

B

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? x ? (a ? 1) ln x ? 15a ,其中 a ? 0 且 a ? -1 . x

(1)讨论函数的单调性; (2)设函数 g ( x) ? ?

?(?2 x 3 ? 3ax2 ? 6ax ? 4a 2 ? 6a) ? e x , x ? 1 (e 是自然对数的底数),是否存 ?e ? f ( x), x ? 1

在 a,使 g ( x) 在 [ a,? a ] 上为减函数?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

4

答 一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 A



6 B

7 D

8 C

9 C

10 B

11 B

12 D

二、填空题 题号 答案 17. (1) (2)16 ﹣sinA,cosA) ,且 × =1, 13 -1 14 21 15 1/3 16 (2)

解: (1)∵ =(cosA,sinA) , =( ∴ cosA﹣sinAcosA+sinAcosA=1, , ; ,b=4
2 2 2

∴cosA= 则 A=

(2)∵cosA=

,c=

a,
2

∴由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA=32+2a ﹣8 解得:a=4 ,c= a=8, 则 S△ABC= bcsinA= ×4 ×8× =16.

a,

18. (1) m ? 4 , n ? 6 ; (2) P ?

10 5 ? . 24 12

19. (Ⅰ) an ? 6n ? 5 ; (Ⅱ) n ? 807 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 根据 an ? Sn ? Sn?1 求解;(Ⅱ) 先求得 Sn , 后求得 然

Sn 的表达式,从而根据条件等式求得 n 的值. n

试题解析: (Ⅰ) Sn ? nan ? 3n(n ?1)

(n ? N* )

所以 n ? 2 时, Sn?1 ? (n ?1)an?1 ? 3(n ?1)(n ? 2) 两式相减得: an ? Sn ? Sn?1 ? nan ? (n ?1)an?1 ? 3(n ?1)[n ? (n ? 2)] 即 (n ?1)an ? (n ?1)an?1 ? 6(n ?1) ,也即 an ? an?1 ? 6 ,所以 {an } 为公差为 6 的等差数列 a1 ? 1 , 所以 an ? 6n ? 5
5

(Ⅱ) Sn ? nan ? 3n(n ?1)=n(6n ? 5) ? 3n(n ?1) ? 3n2 ? 2n ,

Sn ? 3n ? 2 , n S S1 S2 S3 3n(n ? 1) 3 1 ? ? ? ... ? n ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ... ? n) ? 2n ? ? 2n ? n 2 ? n 1 2 3 n 2 2 2 S S 3 S S 3 2 1 3 5n 3 2 2 ? ? 2016 所以 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? (n ? 1) ? n ? n ? (n ? 1) ? 1 2 3 n 2 2 2 2 2 2 所以 5n ? 4035 ,所以 n ? 807 S S S S 3 2 即当 n ? 807 时, 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? ( n ? 1) ? 2016 1 2 3 n 2 AD CE 1 20.证明:(1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且 ? ? , DB EA 2
所以 所以 AD ? 1 , AE ? 2 . 在△ ADE 中, ?DAE ? 60? ,
2 2 2 由余弦定理得 DE ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? cos 60 ? 3 . 因为 AD ? DE ? AE ,

2

2

?

所以 AD ? DE . ?????????3 分 折叠 后有 A1 D ? DE ,因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角, 所 以 平 面 A1 DE ? 平 面 BCED , 又 平 面 A1 DE ? 平 面

BCED ? DE ,
A1 D ? 平 面 A1 DE , A1 D ? DE , 所 以 A1 D ? 平 面

BCED .????6 分
(2) 解 法 1: 假 设 在 线 段 BC 上 存 在 点 P , 使 直 线 PA1 与 平 面

A1 BD 所成的角为 60? .
如图,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1 H 、 A1 P , 由(1)有 A1 D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED , 所以 A1 D ? PH ,又 A1 D ? BD ? D , 所以 PH ? 平面 A1 BD 所以 ?PA1 H 是直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角 设 PB ? x ? 0 ? x ? 3? , 则 BH ? ,

, ?????????8 分

3 x , PH ? x , 在 Rt △ PA1 H 中 , ?PA1 H ? 60? , 所以 2 2

A1 H ?

1 1 x , 在 Rt △ A1 DH 中 , A1 D ? 1 , DH ? 2 ? x , 由 A1 D 2 ? DH 2 ? A1 H 2 , 得 2 2

6

1 ? ?1 ? ? 12 ? ? 2 ? x ? ? ? x ? 2 ? ?2 ? ?

2

2

,解得 x ?

5 ,满足 0 ? x ? 3 ,符合题意 所以在线段 BC 上存在 2 5 2
?????????12 分

点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,此时 PB ?

解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1 D ? 平面 BCED . 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间 直 角 坐 标 系

D ? xyz





,



PB ? 2a

? 0 ? 2a ? 3 ?

,



BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a ,所以 A1 ? 0, 0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 ,所以

?

? ?

?

? ???? DE ? ? 0,
因 为

???? PA1 ? a ? 2, ? 3a,1

?

, 因 为 ED ? 平 面 A1 BD , 所 以 平 面 A1 BD 的 一 个 法 向 量 为

3, 0 , ???????? ?9 分
线

?

PA1 与 平 面 A1 BD 所 成 的 角 为 60? , 所 以 ???? ???? PA1 ?DE 3a 3 5 5 , 解得 a ? , 即 PB ? 2a ? , 满 ? sin 60? ? ???? ???? , ? 4 2 2 PA1 DE 4a 2 ? 4a ? 5 ? 3


足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意,所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为

5 . ?????????12 分 2 2 2 2 2 21.解 (Ⅰ) 由已知可得, a ? 4m , b ? m
60? ,此时 PB ?

3 c c2 a 2 ? b2 3m2 3 ,即椭圆 C 的离心率为 ?????(4 分) ?e ? ? ? ? ? 2 2 2 2 a 2 a a 4m (Ⅱ) 由图可知当椭圆 C 在直线 AB 的左下方或 ?ABC 在椭圆内时,两者便无公共点(5 分) ① 当椭圆 C 在直线 AB 的左下方时 x2 y2 ? ?1 将 AB : x ? 2 y ? 2 ? 0 即 x ? 2 ? 2 y 代入方程 4m 2 m 2 2 2 整理得 8 y ? 8 y ? 4 ? 4m ? 0 ,
2 由 ? ? 0 即 64 ? 32(4 ? 4m ) < 00 解得 0 ? m ? ?

2 2

∴由椭圆的几何性质可知当 0 ? m ? (Ⅲ) 由(Ⅱ)知当

2 时, 椭圆 C 在直线 AB 的左下方???(7 分) 2

2 ? m ? 2 时, 椭圆 C 与 ?ABC 相交于不同的两个点 M ﹑ N (10 分) 2 x2 ? y 2 ? 1 ,此时椭圆恰好过点 A , B 又因为当 m ? 1 时, 椭圆 C 的方程为 4

7

2 ? m ? 1 时 , M ﹑ N 在线段 AB 上 ,显然的, 此时 S ? S ?OAB ? 1 , 当且仅当 M ﹑ N 2 分别与 A ﹑ B 重合时等号成立, ???(11 分)
∴① 当 ②当 1 ? m ? 2 时,点 M ﹑ N 分别在线段 BC , AC 上, 易得 M (2 m2 ? 1,1) , N (2, m2 ? 1) , ∴ S = S矩形OACB ? S? OBM ? S? OAN ? S? MNC ?(12 分)

1 ? 2 ? m2 ? 1 ? m2 ? 1 ? (2 ? 2 m2 ? 1)(1 ? m2 ? 1) 2 令 t ? m2 ? 1 ,则 0 ? t ? 1 ? 2 ? 2 m2 ? 1 ? (1 ? m2 ? 1)2 2 所以 S = ?t ? 1 ? 1 综上可得面积 S 的最大值为 1. ???(12 分)
22 解: (1) f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ?( x) ? ?

a a ? 1 ( x ? a)( x ? 1) ?1? ? . .......2 分 2 x x x2

当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0,?a), (1,??) 上单调递增,在 ( ? a ,1) 上单调递减..........4 分 当 a ? ?1 时, f ( x) 在 (0,1), (?a,??) 上单调递增,在 (1,? a ) 上单调递减............6 分 (2)存在 a ? [?3,?2] 使得 g ( x) 在 [ a,? a ] 上为减函数. 设 h( x) ? (?2x3 ? 3ax2 ? 6ax ? 4a 2 ? 6a)e x ,则 h?( x) ? [?2x3 ? 3(a ? 2) x 2 ? 12ax ? 4a 2 ]e x

m( x) ? ?2x3 ? 3(a ? 2) x 2 ? 12ax ? 4a 2 ,则当 g ( x) 在 [a,? a ] 上为减函数时, h( x) 必在 [a,0] 上
x 2 递减, 所以 h?(a) ? 0 , 由于 e ? 0 , 因此 m(a) ? 0 , 而 m(a) ? a (a ? 2) , 所以 a ? ?2 , 此时 g ( x)

在 [ a,? a ] 上为减函数,当且仅当 f ( x) 在 [1,? a ] 上为减函数, h( x) 在 [ a ,1] 上为减函数,且

h(1) ? ef (1) ..................................9 分
由(1)知,当 a ? ?2 时, f ( x) 在 [1,? a ] 上为减函数, 又 h(1) ? ef (1) ? 4a ? 13a ? 3 ? 0 ? ?3 ? a ? ?
2

1 , ?x ? [a,1] , m( x) ? 0 4

m?( x) ? ?6x 2 ? 6(a ? 2) x ? 12a ? ?6( x ? 2)(x ? a) 于是
(1)当 a ? ?2 时, m( x) 在 (a,?2) 上单调递增,在 ( ?2,1) 上单调递减. (2)当 a ? ?2 时, m?( x) ? 0 , m( x) 在 [ a ,1] 上的最大值为 m(?2) ? ?4a ? 12a ? 8
2

所以 ?x ? [a,1] m( x) ? 0 ? m(?2) ? ?4a ?12a ? 8 ? 0 ? a ? ?2
2

又对 x ? [ a,1] , m( x) ? 0 只有当 a ? ?2 时在 x ? ?2 处取得. 也即 h?( x) ? 0 只有当 a ? ?2 时在 x ? ?2 处取得,因此当 a ? ?2 时, h( x) 在 [ a ,1] 上为减函数. 综上知存在 a ? [?3,?2] 使得 g ( x) 在 [ a,? a ] 上为减函数......................12

8


相关文章:
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文_数学_高中教育_教育专区。临川一中 2016-2017 学年度下学期期中考试 高二数学(文科)试卷一、选择题...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二数学学期期中试题 _数学_高中教育_教育专区。临川一中 2015-2016 学年度上学期期中考试 高二数学()试卷考试时间:120...
...第十中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理
江西省临川区第中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 _数学_高中教育_教育专区。临川十中 2015-2016 学年度下学期期中考试 (数学理科)试题一、选择题(本...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二数学学期期中试题 文_数学_高中教育_教育专区。临川一中 2015-2016 学年度上学期期中考试 高二数学试卷(文科)考试时间:...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二学期期中考试数学()试题_数学_高中教育_教育专区。临川一中 2015-2016 学年度上学期期中考试 高二数学()试卷考试时间...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二数学学期期中试题 文_高二理化生_理化生_高中教育_教育专区。www.ewt360.com 升学助考一网通 临川一中 2015-2016 学...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高一物理下学期期中...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高一物理下学期期中试题_理化生_高中教育_教育专区。临川一中 2015—2016 学年度下学期期中考试 高一物理试卷卷面满分:100 分 ...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二地理下学期期中...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二地理下学期期中试题_政史地_高中教育_教育专区。临川一中 2015—2016 学年度下学期期中考试 高二地理 试卷考试时间:80 分钟...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二英语下学期期中...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二英语下学期期中试题_英语_高中教育_教育专区。临川一中高二下学期英语期中考试满分:150 分 考试时间:120 分钟 第 I 卷 (...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二历史下学期期中...
江西省临川区第一中学2015-2016学年高二历史下学期期中试题_政史地_高中教育_...促进人的思想解放;推动近代中国民主政治的发展(2 分) (言之有即可得分) 12...
更多相关标签:
临川区第一中学 | 江西省抚州市临川区 | 江西省临川区 | 江西省吉安市第一中学 | 江西省抚州市第一中学 | 江西省鹰潭市第一中学 | 江西省九江第一中学 | 江西省铅山县第一中学 |