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集合.板块三.集合的运算.教师版


板块三.集合的运算

典例分析
题型一 集合的基本运算
【例1】若 I ? ?x | x ≥ ?1, x ? Z? ,则 ?I N = .

【例2】已知全集 I ? {( x , y) | x ? R , y ? R} , P ? {(1, 1)} ,表示 ?I P .

【例3】若集合 A ? {?1,1} , B ? {x | mx ? 1} ,且 A
A. 1 B. ?1 C. 1 或 ?1

B ? A ,则 m 的值为(



D. 1 或 ?1 或 0

【例4】若 A ? ?a, b? , B ? ?x | x ? A? , M ? ? A? ,求 ?B M .

【例5】已知 A ? {y | y ? x2 ? 4x ? 3, x ? R} , B ? { y | y ? ? x2 ? 2x ? 2, x ? R} ,则 A ( ) A. ?

B 等于

B. {?1, 3}

C. R

D. [?1, 3]

【例6】若 A ? ?1,4, x?, B ? ?1, x2 ? 且 A

B ? B ,则 x ?



1

【例7】若集合 M ? ?( x , y) x ? y ? 0? , N ? ( x , y) x 2 ? y 2 ? 0, x ? R , y ? R , 则有 (
A. M
N ?M

?

?



B. M

N?N

C. M

N ?M

D. M

N ??

【例8】已知集合 A ? ?a2 , a ? 1, ?3?, B ? ?a ? 3,2a ? 1, a2 ? 1? ,若 A B ? ??3? ,求实数 a 的 值.

【例9】设集合 A ? {x | ( x ? 3)( x ? a) ? 0, a ? R} , B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ,求 A B ,A B .

【例10】设集合 A ? {x | x2 ? x ? 0}, B ? {x | x2 ? x ? 0} ,则集合 A
A. 0 B. ?0? C. ? D. ??1,0,1?

B ?(



【例11】已知全集是 R , A ? {x | 3 ≤ x ? 7}, B ? {x | 2 ? x ? 10} ,求 ?R ( A B) , (?R A)

B

【例12】设全集 U ? R , M ? ?m | 方程mx2 ? x ? 1 ? 0有实数根? ,
N ? ?n | 方程x2 ? x ? n ? 0有实数根? ,求 ? ? UM?
N.

2

【例13】已知 M ? ? y | y ? x2 ? 4x ? 3, x ? R? , N ? ? y | y ? ?x2 ? 2x ? 8, x ? R? , 则M
N ? __________ .

【例14】已知 A ? {x | x ? 28m ? 20n , m , n ? Z} , B ? {x | x ? 12m ? 18n , m , n ? Z} ,则 A 中最小的正整数是 _________.

B

【例15】设 A ? {x | 2x2 ? ax ? b ? 0} , B ? {x | 6x2 ? (a ? 2) x ? 5 ? b ? 0} ,若 A B ? ? ? ,求
A B.

?1 ? ?2?

【例16】设 U ? R ,集合 A ? ?x | x2 ? 3x ? 2 ? 0? , B ? ?x | x2 ? (m ? 1) x ? m ? 0? ;
B ? ? ,求 m 的值. 若 (? U A)

【例17】 x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| 时,a,b 的关系式是_________
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x y =1,a>0,b>0},当 A∩B 只有一个元素 ? a b

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【例18】 集合 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|log2(x2-5x+8)=1},C={x|x2+2x-8=0},求当 a 取什么实数时,A∩B
? 和 A∩C= ? 同时成立
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3

【例19】若集合 M ? ?( x, y) x ? y ? 0? , N ? ( x, y) x2 ? y 2 ? 0, x ? R, y ? R ,则有
A. M
N ?M

?

?



B. M

N?N

C. M

N ?M

D. M

N ??

【例20】集合 A ? ?x | x2 ? ax ? a2 ? 19 ? 0? , B ? ?x | x2 ? 5x ? 6 ? 0? ,C ? ?x | x2 ? 2x ? 8 ? 0? 满足 A B ? ? , A C ? ? ,求实数 a 的值.

【例21】设 I ? R ,集合 A ? {x | x2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0} , B ? {x | x2 ? (a ? 1) x ? a2 ? 0} ,
C ? {x | x2 ? 2ax ? 2a ? 0} .若 A, B, C 中至少有一个不是空集,求实数 a 的取值范

围.

题型二 集合的运算律
【例22】下列表述中错误的是( ) A.若 A ? B ,则 A B ? A B.若 A B ? B ,则 A ? B C. ( A B) 苘A ( A B) D. 痧 B? ? ? U A? ? U B? U ?A

A0 ? {1, , 1 } 2, 3, 4, 5} , B ? {4, 5, 6, 7, 8} , 【例23】已 知 全 集 U ? { 1 , 2 , 3 , , C ? {3, 5, 7 , 9}

求: A

B,A

B,A

(?U B) , ? UA

B,A

(B

C)

4

【例24】若 U 为全集,下面三个命题中真命题的个数是( ⑴若 A B ? ? ,则 ?痧 U A? ⑵若 A A. 0 个



? B? ? U B ? U ,则 ?痧 ? U B? ? ? U A?
U

⑶若 A B ? ? ,则 A ? B ? ? B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

(A B) C ? 【例25】设集合 A ? ?1, 2? , B ? ?1, 2, 3? , C ? ?2, 3, 4? ,则

?R , } A ? ?( x , y ) | 【例26】已 知 I ? { ( x , y ) | x , y

? ?

y ?3 ? ? 1? , B ? ?( x , y) | y ? x ? 1? , 则 x?2 ?

?I ( A

B) 等于(


C. (2 , 3) D. {2 , 3}

A. ?

B. {(2 , 3)}

【例27】设集合 U ? R, A ? {x | ?1 ? x ? 5}, B ? {x | 3 ? x ? 9}, 求A B, ? U ( A B) .

【例28】设 A ? {x ? Z | | x |? 6} , B ? ?1,2,3? , C ? ?3,4,5,6? ,求:
(1) A ( B
C) ;

(2) A ?A ( B

C) .

【例29】已知全集 U ? {x | x ? 10, 且x ? N *} , A ? {2, 4,5,8} , B ? {1,3,5,8} ,求 CU ( A B) ,
CU ( A B) , (CU A) (CU B) , (CU A) (CU B) ,并比较它们的关系.

5

【例30】设全集 U ? ?( x, y) x, y ? R? ,集合 M ? ?( x, y)
?

?

y?2 ? ? 1? , N ? ?( x, y) y ? x ? 4? , x?2 ?

那么 (痧 ( U N ) 等于________________. UM)

【例31】下列表示图形中的阴影部分的是
A B





C A. ( A

C) (B C) B. ( A B ) ( A C ) C. ( A B ) ( B C )
D. ( A

B) C

B ? {7 , 1, 9}且 【例32】设 全 集 I ? {x | x ≤ 20 且 x 为 质 数 } . 若 A 痧 I B ? {3 , 5} ,I A 痧 IA
I

B ? {2 , 1 7} ,求集合 A , B .

题型三 集合的元素个数
【例33】(2008 江苏卷 4)A= ? x ? x ? 1? ? 3x ? 7? ,则 A
2

Z 的元素的个数



【例34】(07 安徽)若 A ? x ? Z 2 ? 2 2? x ? 8 B ? ?x ?R logx x ? 1 ?,则 A ? (CR B) 的元素个数为
A.0 B.1 C.2 D.3

?

?

【例35】 50 名同学参加跳远和铅球测验, 跳远和铅球测验成绩分别为及格 40 人和 31 人,
2 项测验成绩均不及格的有 4 人, 2 项测验成绩都及格的人数是( A. 35 B. 25 C. 28 D. 15



6

【例36】某班有学生 55 人,其中体育爱好者 43 人,音乐爱好者 34 人,还有 4 人既不爱 好体育也不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 【例37】已知全集 I 中有 15 个元素,集合 M 素, M
A.3
I 4
M

人.
N 中有 5 个元

N 中有 3 个元素, 痧 IM

I

?I N 中有 4 个元素.则集合 N 中元素的个数(



B.4
5 3
N 15

C.5

D.6

【例38】向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果 赞成 A 的人数是全体的
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五分之三, 其余的不赞成, 赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人, 其余的不赞成; 另外, 对 A、B 都不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人。问 对 A、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?

【例39】求 1 到 200 这 200 个数中既不是 2 的倍数,又不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数 的自然数共有多少个?

7


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