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高中数学知识应用参赛论文


高中数学知识应用参赛论文

倒数的计算与其补数的次幂的联系

作者姓名:谢长龙 性别:男 所在学校及年级:清华附中高一年级 指导教师:周建军

1

摘要: 本文提出并验证了一个实用的新型计算方法, 它能更快地计算出一 个已知正整数的倒数。通过引入“补数”这一概念,本文将一个正整数 的倒数与它的补数

的幂有规律地叠加之和建立起联系, 从而更简便地 求出这个数的倒数。 关键词: 一、问题引入 99-1=0.0101010101010101??,而 100-99=01,发现 100 以内的数 的倒数与 100 和它的差的次幂的叠加可能有联系。 二、概念引入“补数” 现规定, 若已知一整数 a 满足 10n-1<a<10n,且 n ? 1, n ? Z 则称 (10n-a) 为 a 的补数。由此可知 a ? 10b , b ? Z 。 ∴问题可转化为 100 以内的数的倒数与它的补数的幂的叠加之间的 联系。已知整数 a,若将其补数表示为 a ,又假设10n?1 ? a ? 10n , n ? N ? , 则 a ? 10n ? a ,或写作 a ? 10?lg a??1 ? a,其中? ?为高斯符号。 另外, 我们将在“补 数次幂叠加法”中作为第 n 个加数的数定义为该倒数的第 n 层叠加。 三、提出假设 100 以内的数的倒数与它的补数的幂的通过特殊方法叠加得到 的和有联系。 四、建立模型 现拟一张表格,按照已知的 99 的倒数的规律,将 98 的整数次 幂依次纵向排列, 并且让每一个次幂 2x 的最后一位都相对于它的上一 行的数即 2x-1 向后移动两位( x ? Z ) 。现在以 98-1 的计算过程为例,用
2

“补数次幂叠加法” ,倒数,补数,叠加

这种方法计算其前 27 位(第一行为实际值,最末一行为叠加值) :
0 1 0 2 0 4 0 8 1 6 3 2 6 5 3 0 6 0 0 1 1 0 2 2 0 4 3 0 8 4 1 6 5 3 2 6 6 4 7 1 2 8 8 2 5 9 10 11 12 13 14 0 1 0 2 0 4 0 8 1 6 3 2 6 5 3 0 6 1 2 2 4 4 8 9 7 9 5

6 5 1 2 1 0 2 4 2 0 4 8 4 0 9 6 8 1 9 1 6 1 2 2 4 4 8 9 7 9 5

可以看出,这种计算方式和实际值完全相同。所以这种方法是有 可取之处的。那么,97 呢?96 呢?66 呢?16 呢?这些数字利用这种 方法计算出来的倒数都符合其实际值吗? 五、计算验证: 用上述方法计算 93-1 的值。

3

0 1 0 7 5 2 6 8 8 1 0 0 1 1 0 7 2 4 9 3 3 4 3 4 2 4 0 1 5 1 6 8 6 1 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 0 1 0 7 5 2 6 8 8 1

7 2 0 4 3 0 1 0 7 5 2 6 8 8 1 7 2

0 7 7 6 4 9 8 2 3 5 5 7 6 4 0 2

4 4 3 8 1

3 8 5 2 9 1

0 3 4 7 3

1 6 7 7 8 9

0 5 3 4 6 6

7 2 2 1 8 7 4

4 6 2 8 8 7 3

9 7 8 9 2 4 3 2

4 7 0 2 7 2 3 1

3 2 1 3 5 3 2 6 1

0 0 0 6 2 6 2 1

1 4 7 1 9 3 8 3 7

0 2 5 3 0 4 9 9 5

7 2 0 4 3 0 1 0 7 5 2 6 8 8 1 7 2

经检验得知,这种方法几乎适用于 80 以外、100 以内的所有整 数,仅仅是计算量大小有所不同罢了。根据此法的特点,我权且将其 命名为“补数次幂叠加法” 。但是,当试图用这种方法计算 2 的倒数 时,我们就会明显地发现,这种算法并不能很快地算出其准确值,因 为其计算量极其庞大。那么,我们能不能直接证明这种方法是普遍正 确的呢? 六、 “补数次幂叠加法” 的证明。 证明:∵ s ? a 0 ?10?2 ? a ?10?4 ? a 2 ?10?6 ? …… ? a n?1 ?10?2 n?2
? 10?2 ? ?1 ? a ?10?2 ? a 2 ?10?4 ? a 3 ? 10?6 ? …… ? a n ?1 ? 102 n ?
?2 n ?1?1 ? 1? ? 1 ? a ? 10 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? a n ? 10?2 n ? 10?2 ? ? ? ? ?2 1 ? a ?10 100 ? a

4

∵ lim ?1 ? a n ?10?2n ? ? 1 n ?? ∴s ?
1 1 ? lim ?1 ? a n ?10?2 n ? ? n ?? 100 ? a 100 ? a

所以,这种算法是普遍正确的,并且是理论根据的。 七、方法的推广 既然这种方法对于 100 以内的整数都适用, 那么任意大小的整数 是不是都可以用“补数次幂叠加法”计算它们的倒数呢? 类似地,现有一已知满足条件的 b 位数 a(条件见上文) ,则拟 一张次幂规律排列表格,按照 10b-1 的倒数的规律,令每一个次幂 (10b-a)x 的最后一位都相对于(10b-a)x-1 向后移动 b 位。这样叠加 得出的原数的倒数的值是正确的。现在对其进行求证。 推广证明: ∵ s ? a 0 ?10?b ? a ?10?2b ? a 2 ?10?3b ? …… ? a n ?1 ?10?bn?b
? 10? b ? ?1 ? a ?10? b ? a 2 ?10?2b ? a 3 ? 10?3b ? …… ? a n ?1 ? 10bn ?
? b n ?1?1 ? 1? ? 1 ? a ? 10 ? ? ? 1 ? ? ? b ? ?1 ? a n ?10?bn ? ? 10? b ? ? ?b 10 ? a 1 ? a ?10

∵ lim ?1 ? a n ?10?bn ? ? 1 n ?? ∴s ?
1 1 ? lim ?1 ? a n ?10? bn ? ? b n ?? 10 ? a 10 ? a
b

所以,这种方法是有普遍的适用性的。 今以 998 为例,对上述证明进行验证。

5

0 0 1 0 0 2 0 0 4 0 0 8 0 1 6 0 3 2 0 6 4 1 2 8 2 5 6 5 1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 0 0 4 3 0 0 8 4 0 1 6 5 0 3 2 6 0 6 4 7 1 2 8 8 2 5 6 9 5 1 10 11 12 13 14 0 0 1 0 0 2 0 0 4 0 0 8 0 1 6 0 3 2 0 6 4 1 2 8 2 5 6 5 1

3 0 2 6

2 1 0 2 4 2

3 0 2 6

八、四则运算定义 已知整数 a,假设10n?1 ? a ? 10n , n ? N ? ,则其补数 a ? 10n ? a ,或写作
a ? 10?
lg a??1

在“补数次幂叠加法”中作为第 n 个 ? a,其中? ?为高斯符号。

加数的数称为该倒数的第 n 层叠加。 现再行定义其四则运算的计算规律。
令A ?
n 1 lg a ?1 ? ? 10? ? ? a a i ?1

?

?

i ?1

1 ? lg a ?1 i lg b ?1 ?10 ?? ? ? ,B ? ? ? 10? ? ? b b i ?1

n

?

?

i ?1

? lg b ?1 i ? 10 ?? ? ? 。

? A? 令 An 与 Bn 分别为 A 与 B 的第 n 层叠加, ? A ? B ?n 、 ? A ? B ?n 、 ? AB?n 、 ? ?

? B ?n

分别为 A+B、A-B、A ? B、A ? B 的第 n 层叠加。则有如下公式,以供从 已知推及未知:

? A ? B?n ? An ? Bn ? A ? B?n ? Bn ? An
? AB ?n ?
An ? Bn ? A ? B? B? A

? A? ? ? ? bAn ? B ?n

由上述四则运算定义可知,该运算满足加法、乘法的结合律。
6

例:计算 93?1 ? 98?1

0 2 0 9 5 6 7 6 9 8 0 4 6 9 6 0 7 1 0 0 1 0 0 1 1 0 2 1 0 7 2 0 4 2 4 9 3 0 8 3 3 4 3 4 1 6 4 2 4 0 1 5 3 2 5 1 6 8 0 7 6 6 4 6 1 1 7 6 4 9 7 1 2 8 7 8 2 3 5 4 3 8 2 5 6 8 5 7 6 4 8 0 1 9 5 1 2 9 4 0 3 5 3 6 0 7 10 1 0 2 4 10 2 8 2 4 7 5 2 4 9 11 2 0 4 8 11 1 9 7 7 3 2 6 7 4 3 12 4 0 9 6 12 1 3 8 4 1 2 8 7 2 0 1 13 8 1 9 2 13 9 6 8 8 9 0 1 0 4 0 2 0 9 5 6 7 6 9 8 0 4 6 9 6 0 7 1 2 4 6 0 5 5 5 7

九、实际应用 1、平时学习:因为这种方法可以有效地减少某些“相对大数”的倒 数的计算量,所以,在计算正整数 a(10n-1<a<10n, n ? 1, n ? Z )的倒数 时,若 a≤7.5×10n-1,则可用普通方法;若 7.5×10n-1<a<10n,则可 用此法,以减少乘法的运算量。不仅如此,化减除为加乘的方法本身 也可减少出错率。 2、计算效率:现以上文所提到的 93-1 的计算过程予以说明。 注: 因为现代计算机的计算速度相当迅速, 现假定计算机进行加、 减、 乘、除的单次运算时间相同,均为 t。
7

例:分别用一般计算方法与“补数次幂叠加法”计算 93-1 到第 27 位。 ①平常算法计算量:26 次除法,26 次减法; ②“补数次幂叠加法” 计算量:22 次乘法(1 次为移动小数点,即 乘 0.01) ,23 次加法。 ∴ t1 ? ? 26 ? 26? ? t ? 52t ; t2 ? ? 21? 23+1? ? t ? 45t ∴ 节省时间百分比为 1
t ? t2 52 ? 45 ?100% ? ?100% ? 13.46% t1 52

所以说,计算机在这次运算中,若使用“补数次幂叠加法” ,其 效率可以提升 13.46% 。 推而广之,一般地,若计算任意数 a 的倒数(现假设 75<a<100) 至 b 位,则平常算法计算量一般为(b-1)次除法, (b-1)次减法; “补数次幂叠加法”计算量一般会进行(b-4)次加法。 那么,会进行多少次乘法呢?设其为 n 次。 现假设到这一位的倒数值由截止到其下一位的数值相加和决定, 则由“补数次幂叠加法”的表格推演方法必有:
n 2 ? n ? 1? ? ?lg ?100 ? a ? ? ? 1 ? b ? ?

?

?

其中,左式为所有次幂数的末位的总退后位数;右式第一项中运 用到了高斯函数,此项代表该次幂数的总位数。根据表格运算的具体 步骤可知,这其实是一个恒等式。 ∴ 2n ? 1 ? ? ? n ? lg ?100 ? a ? ? ??b 为简便起见,将高斯符号脱出化简得到 ∴ n? ? ? 2 ? lg ?100 ? a ? ? ? ? b ? c ?1 其中 c 为 n ? lg ?100 ? a? 的小数部分。
8

∴n ?

b ? c ?1 ? ? 2 ? lg ?100 ? a ?? ?

75 ? a ? 100 ∵ 0 ? c ? 1;



b ? c ?1 b?2 ? ? 0.5b ? 1 2 ? ? 2 ? lg ?100 ? a ? ? ? b ? c ?1 b ?1 b ?1 b ?1 5 5 ? ? ? ? b? 3 ? ? 2 ? lg ?100 ? a ? ? ? 2 ? 2 lg ? 5 ? 2 ? 2 ? 0.7 0.6 3

∴ 0.5b ?1 ?

b ? c ?1 5 5 ? b? 3 ? ?2 ? lg ?100 ? a ?? ? 3

①平常算法计算量: (b-1)次除法, (b-1)次减法; ②“补数次幂叠加法” 计算量: 法。 因 此 “ 补 数 次 幂 叠 加 法 ” 计 算 量 比 平 常 算 法 要 少 算 ?0.5b ? 3? 至
? 2 ? 3 ? ? b ? 1? ? 次。若用 ?n 来表示“补数次幂叠加法”计算量比平常算法 ? ? 3 ?

b ? c ?1 次乘法, (b-4)次加 ? ? 2 ? lg ?100 ? a ? ? ?

少算的次数,则 ?n 一定随着 b 的增大而增大(常理可得) ,随着 a 的 增大而减小。由于日常要求至多为 4 位小数,则代入计算可知 ?n 的 值始终大于等于零。所以说,“补数次幂叠加法”比普通计算方法在日 常生活中更具优势。 (全文完)

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