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导数的几何意义教学设计


导数的几何意义
1、温故知新, 诱发思考 师:在前面的学习中,我们知道了导数的本质,下面请同学们在动手实践中写出导 数的本质及其表达式。 生:在“学生动手实践”中,学生写出:导数 f / ( x0 ) 的本质是函数 f (x) 在 x ? x0 处 的瞬时变化率,即: f
/

?x0 ? ? ?x?0 lim

f ?

x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) ?x

(设计意图:教师不能代替学生的思维活动,学生将大脑中已有的经验、认识转换成数 学符号,有利于学生思维能力的有效提高,为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定 基础) 师:导数的本质仅是从代数(数)的角度来诠释导数,有了“数” ,我们就想研究 它的“形” ,这节课我们就从图形(形)的角度来探究导数的几何意义。先请同学们回 顾一下初中平面几何中我们是如何定义圆的切线和割线的 生:根据直线和圆的交点个数,有一个交点时,直线是圆的切线;有两个交点时,直线 是圆的割线。 师:对了,我们是根据直线和圆的公共点个数,有惟一公共点时,直线是圆的切线;有 两个公共点时,直线是圆的割线。 。下面请同学们看大屏幕,在这里直线 l1 与曲线相切 吗?、 l2 呢?

生: l1 不是、 l2 是 师:圆是一种特殊的曲线,以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。那么我们如 何来寻找一般曲线的切线呢?我们先来看一下圆的割线与切线有何关系?教具演示。 生:当点 B 趋近于点 A 时,圆的割线 AB 趋近于圆的切线 AT。当点 B 与点 A 重合时, 割线变成了切线。一般曲线的切线,割线是否也有这种关系? (设计意图:由学生思考后回答,诱发学生对圆的切线定义的局限的反思;借助幻灯片 演示感知曲线切线定义的各种情形,为寻找切线的逼近定义提供“亲身”经历.强调: 圆是一种特殊的曲线,这种定义并不适用于一般曲线的切线. ) 2、实验观察,思维辨析 师:请同学们在动手实践第二题的图中过点 A 中做出函数图像一条割线 AB,

A( x0 , f ( x0 )), B( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x)) 。 当 点 A( x0 , f ( x0 )) 沿 着 曲 线 趋 近 于 B( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x)) 时,割线 AB 有什么变化?请画出来。
生:动手实践
1

师:展示学生作品,引导学生观察:类比数的变化:
?x ? 0 , B( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x)) ? A( x0 , f ( x0 )),

当 ?x ? 0 ,割线 AB 有一个无限趋近的确定位置,这个确定位置上的直线叫做曲 线在 x ? x0 处的切线,请把它画出来。 师:等学生化出切线 AT 后,教师用 Flash 展示动态过程,引导学生回顾过程。 引导学生发现 生:说出: (形) ?x ? 0 ,割线 AB ? 切线 AT , 则割线 AB 的斜率 ?切线 AT 的斜率 由数形结合,得
f
/

?x0 ? ? ?x?0 lim

f ?x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) =切线 A T 的斜率 ?x
/

师:函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数 f

?x0 ? 的几何意义就是函数 f (x) 的图像在 x ? x0 处

的切线 AT 的斜率。下面同学们谈一谈你对导数几何意义的理解? 生: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质——函数在 x ? x0 处的 导数. 师:好,我们现在清楚导数的几何意义就是在该点处切线的斜率。其中切线很关键, 通过逼近的方法,将割线趋于的确定位置的直线定义为切线(交点可能不惟一) ,适用 于各种曲线,例如上图中,直线 l1 虽然与曲线有惟一的公共点,但我们不能认为它与曲 线相切; 而另一条直线 l1 虽然与曲线有不只一个公共点, 我们还是认为它是曲线的切线。 所以,这种定义才真正反映了切线的直观本质。 (设计意图:让学生参与曲线的切的逼近发现过程,初步体会曲线的切线的逼近定义; 初步感知数学定义的严谨性和几何意义的直观性;让学生利用已学的导数的定义,推出 导数的几何意义,让学生分享发现的快乐. ) 3、观察发现 思维升华 数学思想方法: “以直代曲”思想方法.即 曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线(通过几何画板演示) .

(设计意图:让学生直观感知:在点 P 的附近,PP2 比 PP1 更接近曲线 f(x) PP3 比 PP2 , 更接近曲线 f(x) ,??.过点 P 的切线 PT 最贴近 P 附近的曲线 f(x) .体会“以直代 曲”) . 4、学而习之小试牛刀
2

例 1:求抛物线 y ? x2 在点 A(1,1) 处的切线方程. 变式训练:过抛物线 y ? x2 的点 P 处的切线平行直线 y ? 2 x ? 3 ,求点 P 的坐标. 0 0 (设计意图:初步体会导数的几何意义;回顾用导数的定义求某处的导数;设切点,由 求知数来表示导数;规范解题格式. )

例 2: 如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h ?t ? ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图像. 根 据图像,请描述比较曲线 h ? t ? 在 t1 ? 0.5s , t0 ? 0.7s , t2 ? 1s , t3 ? 2s 附近的变化情况 (设计意图:利用几何画板,直观和数量显示高度,速度随时间的关系;由导数的几何 意义分析曲线的走向;渗透“以直代曲. ) 六、抽象概括,归纳小结: 1.抽象概括:由练习 2 抽象概括出导函数(简称导数)的概念: , f / ?x0 ? 是确定的数(静态) f / ?x? 是 x 的函数(动态) 由f
/

?x0 ? ? ?x?0 lim
f
/

f ?x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) (特殊——一般) ?x

?x (说明:体验从静态到动态的变化过程,领会从特殊到一般的辩证思想 2.归纳小结: 由学生进行开放式小结:

?x ? ? ?x?0 f ?x ? ?x ? ? f ( x) (静态——动态) lim

(1)函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数 f

/

?x0 ? 的几何意义就是函数 f (x) 的图像在

(数形结合) ,即: x ? x0 处的切线 AT 的斜率。
f
/

?x0 ? ? ?x?0 lim

f ?x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) =切线 A T 的斜率 ?x

(2)利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“数形结合”“以直代曲”的思想 、 方法。 f ? x ? ?x ? ? f ( x) (3)导函数(简称“导数” )的概念。 f / ? x ? ? lim ?x ?0 ?x 七、作业布置,分层要求: 1.习题 P10A5,6.B2,3. 2.如图(函数图像参见“学生动手实践” 此略)是利用信息技术画出的函数 ,

r (V ) ? 3

3V (0 ? V ? 5) 的图像,请根据图像,估计 V ? 0.6,1.2 时,气球的瞬时膨胀率。 4?
3

有什么发现?

r
r (V ) ? 3 3V ?0 ? V ? 5? 4?

O

V

3.请给出求函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处的切线方程的一个算法,并小组自编四个求切 线的题目。 (探索:若把 3 . “在点 ( x0 , f ( x0 )) 处”改为“过点 ( x0 , f ( x0 )) ” ,算法有何不同?并小 组自编四个求切线的题目。 )

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