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浙江省2013届高三数学一轮复习单元训练:基本初等函数


单元训练:基本初等 函数 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ 卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.已知函数 且 x1 A. 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 4(0 ?

a ? 3) ,其图象上两点的横坐标 x1 , x2 满足 x1 ? x 2 ,
)

? x2 ? 1 ? a ,则有(

f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( x1 ), f ( x2 ) 的大小不确定 f ?x ? 的定义域为 R, f ?0? ? 1 ,对任意 x ? R 都有
1 1 1 ? ? ?????? ? ? f ?0? f ?1? f ?1? f ?2? f ?9? f ?10? (

2.已知函数

f ?x ? 1? ? f ?x ? ? 2, 则
A.



10 10 9 11 B. C. D. 9 10 21 21 2 3. 若 f ( x ) ? lg ? x ? 2ax ? 1 ? a ? 在区间 (??,1] 上递减,则 a 范围为(
A. [1, 2) 4.函数 B. [1, 2] C.



?1, ???
?1 1? ? ?

D. [2, ??) ( )

f ( x) ? ? ? log2 x 的零点所在区间为
? ? 1? ?
B. ? , ? 8 4

A. ? 0, ? 8

?1 1 ? ? ?

C. ? , ? 4 2

D. ? ,1? )

?1 ? ?2 ?

5.若点(a,b)在 y=lgx 图像上,a≠1,则下列点也在此图像上的是( 1 A.( ,b) B.(10a,1-b)

a

C.(

10 ,b+1)

a

D.(a 2b)

2,

6.已知

? f ( x ? 7), x ? 0, f ( x) ? ? 则f (9) 等于( ?log4 (? x), x ? 0.
B.0 C.1

) D.2 )

A.-1 7.幂函数

f ( x) ? x? 的图象过点 (2, 4) ,那么函数 f ( x) 的单调递增区间是(
B. [?1, ??) C. [0, ??) D. (??, ?2)

A. (?2, ??)

8.下列函数中,图象与函数

y ? 2x 的图象关于原点对称的是

A. y ? ?2

x

B. y

?1? ?? ? ?2?

x

C. y )

?1? ? ?? ? ?2?

x

D. y ? ? ?

?1? ? ?2?

?x

9.函数 y= -2sinx 的图像大致是( 2

x

第 1 页 共 1 页

10.设函数 f ( x ) ? 于( A. a 11.设 a ? 0.3
2

|x| a ?b a ?b ? ? f (a ? b) 的值等 ,对于任意不相等的实数 a , b ,代数式 x 2 2
B. b C. a 、 b 中较小的数 ) D. b ? c ? a D. a 、 b 中较大的数



, b ? 20.3 , c ? log0.3 4 ,则(
B. c ? b ? a

A. c ? a ? b 12.函数 y ? ln cos x ? ?

C. b ? a ? c )

π? ? π ? x ? ? 的图象是( 2? ? 2
y y

y

y

?

π 2

O

π x π ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

π x 2

A.

B.
第Ⅱ卷(非选择题

C.
共 90 分)

D.

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.如图,连结函数 f(x)= x (x>0)上任意两点 A(a, a
2

2

), B(b, b2 ) ,线段 AB 必在 AB 上方,设

a 2 ? b2 a?b 2 ?( ) .请分析函 点 C 是线段 AB 的中点,则由图中 C 在 C1 的上方可得不等式: 2 2
数 f(x)=lg x(x>0)的图象,类比上述不等式可以得到 .

14.

幂函数 f ( x ) 的图象过点 3, 4 (
2

27) ,则 f ( x) 的解析式是_____________

15.函数 y=log3(9-x )的定义域为 A,值域为 B,则 A∩B=______. 16.函数 y= ( )

1 2

2x ? x 2

的值域为______.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

第 2 页 共 2 页

17.设函数 f(x) ? x 2 ? | 2 x ? a | (x ? R, a 为实数). (Ⅰ)若 f(x) 为偶函数,求实数 a 的值;(Ⅱ)设 a ? 2 ,求函数 f(x) 的最小值.

18.化简或求值:

16 ? 1 4 0 2( 2 ? 3) ? 2 2) ? ( )2 ? 2 ? 80.25 +(? 2005) ( 4 49 (1)
3 6

4 3

lg 5 ? lg 8000 ? (lg 2 3 ) 2 1 lg 600 ? lg 0.36 2 (2) 。

19.定义在[-1,1]上的奇函数 f (x) ,已知当 x ?[?1,0] 时, f ( x ) ?

1 a ? (a ? R ). 4x 2x

(Ⅰ)求 f (x) 在[0,1]上的最大值;(Ⅱ)若 f (x) 是[0,1]上的增函数,求实数 a 的取值范围.

20.已知 y=4 -3·2 +3,当其值域为[1,7]时,求 x 的取值范围.

x

x

21.已知函数

f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在 ? ??,0 ? 上是增函数,在 ?0, 2? 上是减函数,且方程

f ? x ? ? 0 有三个根,它们分别是 ? , 2, ? .
(1)求 c 的值; (2)求证:

f ?1? ? 2

(3)求 ? ? ? 的取值范围.

22.某市出租车的计价标准是:3 km 以内(含 3 km)10 元;超出 3 km 但不超过 18 km 的部分 1 元/km;超出 18 km 的部分 2 元/km. (1)如果某人乘车行驶了 20 km,他要付多少车费?某人乘车行驶了 x km,他要付多少车费? (2)如果某人付了 22 元的车费,他乘车坐了多远?某人付了 10+x(x>0)元的车费,他乘车坐了 多远?

1.

【答案】C

第 3 页 共 3 页

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

【答案】B 【答案】A 【答案】C 【答案】D 【答案】C 【答案】C 【答案】C 【答案】C

10. 【答案】D 11. 【答案】A 12. 【答案】A

13. 【答案】 14. 【答案】

lg a ? lg b a?b ? lg 2 2

f ( x) ? 4 x3
1 ,+∞) 2

15. 【答案】(-3,2] 16. 【答案】[

17. 【答案】(Ⅰ)? 函数 f(x) 是偶函数,

? f( ? x) ? f(x) ,即 | 2 x ? a |?| 2 x ? a | ,解得 a ? 0 ;
1 a 2 , 1 x 2 ? 2 x ? a, x ? a 2 x 2 ? 2 x ? a, x ?
(Ⅱ) f(x) =

?当 x ?

1 a 时, f(x) ? x 2 ? 2 x ? a ? (x? 1)2 ? (a ? 1) , 2

由 a ? 2, x ?

1 a ,得 x ? 1 ,[来源:Z#xx#k.Com] 2

1 a a2 故 f(x) 在 [ a,??) 时单调递增, f(x) 的最小值为 f ( ) ? ; 2 2 4
?当 x ?

1 a , f(x) ? x 2 ? 2 x ? a ? (x? 1)2 ? (a ? 1) , 2

a 时, f(x) 单调递增,当 x ? 1 时, f(x) 单调递减, 2 则 f(x) 的 最小值为 f(1) ? a ? 1 ;
故当 1 ? x ? 由于

a2 (a ? 2)2 ? (a ? 1) ? ? 0 ,故 f(x) 的最小值为 a?1 . 4 4

1 1 1 1 4 1 3 7 2(2 3 ? 3 2 )6 ? (2 2 ? 2 4 ) 3 ? 4 ? ? 2 4 ? 2 4 ? 1 4 18. 【答案】(1) 原式= =2×22×33+2 — 7

— 2+ 1 =210

第 4 页 共 4 页

(2):分子= lg 5(3 ? 3 lg 2) ? 3(lg 2)

2

? 3 lg 5 ? 3 lg 2(lg5 ? lg 2) ? 3;分母

(lg 6 ? 2) ? lg
=

36 6 ? lg 6 ? 2 ? lg ? 3 100 10 ;? 原式=1。
x ? [0,1], 则 ? x ? [?1, 0], f (? x) ?

1 a ? ? x ? 4x ? a ? 2x ?x 19. 【答案】(Ⅰ)设 4 2 x x ? f (? x) ? ? f ( x),? f ( x) ? a ? 2 ? 4 , x ? [0,1].

? f ( x) ? a ? 2x ? 4x , x ?[0,1].
令t ? 2 x , t ? [1, 2], a a2 ? g (t ) ? a ? t ? t 2 ? ?(t ? ) 2 ? 2 4
a 当 ? 1, 即a ? 2, g (t ) max ? g (1) ? a ? 1; 2 a a a2 当1 ? ? 2, 即2<a<4时,g (t ) max ? g ( ) ? ; 2 2 4 当a ? 2, 即a ? 4时,g (t ) max ? g (2) ? 2a ? 4; 综上:当a ? 2时,f(x)最大值为a-1, a2 当2<a<4时,f(x)最大值为 , 4
当 a≥ 4 时,f(x )的最大值为 2a-4. (Ⅱ)因为函数 f(x)在[0,1]上是增函数, 所以

f ' ( x) ? a ln 2 ? 2x ? ln 4 ? 4x ? 2x ln 2(a ? 2 ? 2x ) ? 0,

? a ? 2 ? 2x ? 0恒成立,a ? 2 ? 2x ? 2x ?[1, 2],? a ? 4
20. 【答案】由已知得 1≤4 -3·2 +3≤7,
x x

?4x ? 3 2x ? 3 ? 7 · ? 即? , x · x ?4 ? 3 2 ? 3 ? 1 ?

?? 2 x ? 1?? 2 x ? 4 ? ? 0 ? 得? .[来源:学|科|网] x x ?? 2 ? 1?? 2 ? 2 ? ? 0 ?
即 0<2 ≤1,或 2≤2 ≤4. ∴x≤0,或 1≤x≤2.
x x

( 21. 【答案】 f ′x) = 3x 2 + 2bx + c( x

R)
\ c= 0

(1 )依题意知 x = 0 为函数 f ( x ) 的极大值点 \ f ′ (0)=0

第 5 页 共 5 页

( (2)证明:由(1)得 f ′x ) = x(3x + 2b)
\ 8 + 2b + d = 0

? x = 2 为 f ( x ) = 0 的根

①式 ②式[来源:Zxxk.Com]

( 又 f ( x ) 在 0, 2 上为减函数 \ f ′2) = 2(b + 2b) ≤0
由知② b ≤-3 由①知 d = - 4b - 8

? f (1) = 1+ b + d = 1+ b - 4b - 8 = - 3b - 7 ,由 b ≤-3 知 f (1) ≥2
(3)解:∵ f ( x ) = 0 的三个根为 α , 2, β

\ f ( x) = ( x - α)( x - 2)( x - β ) = x3 - (α + β + 2)x2 + (2α + 2β + αβ )x - 2αβ
ì α+ β + 2= - b ? ? ? \ í 2( α + β ) + αβ = 0 \ ? ? - 2αβ = d ? ? ?

ì α + β = - (b + 2) ? ? í ? αβ = 2b + 4 ? ?
[来源:学|科|网]

\ α - β 2 = (α + β )2 - 4αβ = b2 - 4b - 12 = (b - 2)2 - 16
? b ≤-3

\ (b - 2)2 - 16 ≥9,即 α - β 2 ≥9, \ α - β ≥3

22. 【答案】(1)乘车行驶了 20 km,付费分三部分,前 3 km 付费 10(元),3 km到 18 km 付费 (18-3)×1=15(元),1 8 km 到 20 km 付费(20-18)×2=4(元), 故总付费 10+15+4=29(元). 设付车费 y 元,当 0<x≤3 时,车费 y=10; 当 3<x≤18 时,车费 y=10+(x-3)=x+7; 当 x>18 时,车费 y=25+2(x-18)=2x-11.

?10,0<x≤3, ? 故 y=?x+7,3<x≤18, ?2x-11,x>18. ?
(2)付出 22 元的车费,说明此人乘车行驶的路程大于 3 km,且小于 18 km.前 3 km 付费 10 元, 余下的 12 元乘车行驶了 12 km,故此人乘车行驶了 15 km. 设乘车行驶了 y km,当 0<x≤15 时,y=3+x; x-15 1 21 当 x>15 时,y=18+ = x+ . 2 2 2

?x+3(0<x≤15), ? 故 y=?1 21 ?2x+ 2 (x>15). ?

第 6 页 共 6 页


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