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河北省正定中学2015届高三数学上学期第一次考试


高三第一次月考试卷数学
第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? {x | y ? ln x} ,集合 B ? {?2, ?1,1, 2} ,则 A ? B ? A. (1, 2) B. {1,2} C. {?1, ?2} D. (0, ??)

2.已知函数 f ( x ) 的定义域为 (?1, 0) ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域为 A. ( ?1, ? )

1 2

B. (?1, 0)

C. (?1,1)

D. ( ,1)

1 2

3.下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是 A. f ( x) ?

?x

B. f ( x) ?

1 x

C. f ( x) ? 2? x ? 2 x

D. f ( x) ? ? tan x

4.已知点 P( A.

3 1 , ? ) 在角 ? 的终边上,且 ? ? [0, 2? ) ,则 ? 的值为 2 2
B.

5? 6

2? 3

C.

11? 6

D.

5? 3

5.下列说法错误的是 A.若 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2 2

B.“ sin ? ?

1 ? ”是“ ? ? 30 ”的充分不必要条件; 2

C.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是:“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”;
2 D.已知 p : ?x ? R, cos x ? 1 , q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则“ p ? ?q ”为假命题.

6.设函数 f ( x ) 的定义域为 R , x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x ) 的极小值点,以下结论一定正确的是 A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点 7.设 a ? R ,函数 f ( x) ? e ? e
x ? ax

B. ? x0 是 f (? x) 的极大值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极大值点 的导数是 f ?( x ) ,若 xf ?( x) 是偶函数,则 a ? C. ?1 D. ?1

A. 1

B. 0

8.已知函数 f ( x) ? ? A. 0

? 2 x ? 1, x ? 1 ? x ? ax, x ? 1
2

,若 f [ f (0)] ? a2 ? 4 ,则实数 a ?
C. ?2 D. 0 或 2

B. 2

9.已知函数 y ? f ( x) 的图像是下列四个图像之一,且其导函数 y ? f ?( x) 的图像如右图 所示,则该函数的图像是

10.函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示,为了得到函数 y ? cos(2 x ? 图象,只需将 y ? f ( x) 的图象

?
6

)的

? ? 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 3 3 ? ? C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 6 6 ? 11.定义在 (0, ) 上的函数 f ( x ) , f ?( x ) 是它的导函数, 2
A.向左平移 且恒有 f ( x) ? f ?( x) ? tan x 成立,则 A. 3 f ( ) ?

?

C. 2 f ( ) ? f ( )

?

4

2f( ) 3

?

B. f (1) ? 2 f ( ) ? sin1 D. 3 f ( ) ? f ( )

?

?

?

6

?

6

4

6

3

12.函数 f ( x) ? 2sin ? x 与函数 f ( x) ? A.8 B.9

3

x ?1 的图象所有交点的横坐标之和为

C.16 D.17 第Ⅱ卷 二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题中横线上) 13.已知 cos ? ? ?

3 3 ? ? ,且 ? ? ? ? ? ,则 sin ? cos ? 5 2 2 2



14 .已知奇函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? ?2 对称,当 x ? ?0, 2? 时, f ( x) ? 2 x ,则

f (?9) ?



15.一物体沿直线以速度 v(t ) ? 2t ? 3(t 的单位为:秒, v 的单位为:米/秒 ) 的速度做变 速直线运动,则该物体从时刻 t ? 0 秒至时刻 t ? 5 秒间运动的路程是 .

16.若实数 a, b, c, d 满足 (b ? a2 ? 3ln a)2 ? (c ? d ? 2)2 ? 0 ,则 (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 的最小 值为 . 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 已知 tan ?

1 ?? ? ? x? ? ? . 2 ?4 ?

(Ⅰ)求 tan 2 x 的值; (Ⅱ)若 x 是第二象限的角,化简三角式

1 ? sin x 1 ? sin x ,并求值. ? 1 ? sin x 1 ? sin x

18.(本小题满分 12 分) 提高立交桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,立交桥上 的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数。当桥上的车 流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千 米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密 度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位: 辆/每小时) f ? x ? ? x ? v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时) .

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2? x ? 2cos
2

? x(? ? 0) 的最小正周期为 ? .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) , x ? [0, ? ] 的单调增区间; (Ⅱ)证明:无论 m 为何值,直线 4 x ? y ? m ? 0 与函数 y ? f ( x) 的图象不相切.

20. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? x ? 2x ? 2x, g ( x) ? a(10cos x ? 1)(a ? R) .
3 2

(Ⅰ)求 f (sin x) 的值域; (Ⅱ)若 ?x1 ?[?1,0] , ?x2 ? [0, 围.

?
2

] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 成立,求实数 a 的取值范

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? a( x ? 1), x ? R. (Ⅰ)若实数 a ? 0 ,求函数 f ( x) 在 (0,??) 上的极值; (Ⅱ)记函数 g ( x) ? f (2 x) ,设函数 y ? g ( x) 的图像 C 与 y 轴交于 P 点,曲线 C 在 P 点处的切线与两坐标轴所围成图形的面积为 S ( a ). 则当 a ? 1 时,求 S (a ) 的最小值.

22. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 (??, ?1) ? (1, ??) , 对 定 义 域 内 的 任 意 x , 满 足

f ( x)? f (? x)? ,当 0 x ? ?1 时, f ( x) ? f ( x) 的一个极值点.
(Ⅰ)若 x ? 2 时, f ( x) ? (Ⅱ)求证: n ? 2( ?

1 ? ln(? x ? 1) (a 为常数 ) ,且 x ? 2 是函数 x?a

m ,求实数 m 的取值范围; x

1 2

2 3 n ? ??? ) ? ln(n ? 1) . 3 4 n ?1

一、选择题 BACCB

高三第一次月考数学答案 DADBC BD

二、填空题 13. 三、解答题

5 5

14. ?2

15.

29 2

16. 8

17.解: (Ⅰ)? tan(

?
4

? x) ?

1 ? tan x 1 ? ,解得: tan x ? ?3 ??????2 分 1 ? tan x 2
????????4 分

? tan 2 x ?

2 tan x 2(?3) 3 ? ? 2 2 1 ? tan x 1 ? (?3) 4

(Ⅱ)

1 ? sin x 1 ? sin x (1 ? sin x)2 (1 ? sin x)2 1 ? sin x 1 ? sin x ? ? ? ? ? 1 ? sin x 1 ? sin x 1 ? sin 2 x 1 ? sin 2 x | cos x | | cos x |

? x 是第二象限的角,? cos x ? 0 1 ? sin x ? 1 ? sin x 2 ?? ? 上式 ? ? cos x cos x
? tan x ? ?3 ,由 sin 2 x ? cos2 x ? 1 及 sin x ? cos x tan x

??????7 分

? cos 2 x ?

1 1 10 ? ,? cos x ? 0,? cos x ? ? 2 1 ? tan x 10 10

??9 分

??

2 1 ? sin x 1 ? sin x ? 2 10 ,即 ? ? 2 10 cos x 1 ? sin x 1 ? sin x

???10 分

18.解: (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v ? x ? ? 60 ; 当 20 ? x ? 200 时,设 v ? x ? ? ax ? b

?? ???2 分

1 ? a?? ? ?200a ? b ? 0 1 200 ? 3 再由已知得 ? 解得 ? ,所以 v ? x ? ? ? x ? ???5 分 200 3 3 ?20a ? b ? 60 ?b ? ? 3 ?

?60,0 ? x ? 20 ? 故函数 v( x) 的表达式为 v( x) ? ? 1 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3

???6 分

?60 x, 0 ? x ? 20 ? (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ( x) ? ? 1 ???8 分 x(200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3
当 0 ? x ? 20 时, f ( x ) 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200

1 1 x(200 ? x) ? ? [( x ? 100) 2 ? 10000] 3 3 10000 当 x ? 100 时, f ( x ) 在 (20, 200] 的最大值为 3 10000 ? 3333 ???11 分 综上,当当 x ? 100 时, f ( x ) 在 [0, 200] 的最大值为 3
当 20 ? x ? 60 时, f ( x ) ? 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.?12 分 19.解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2? x ? 2cos2 ? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 1

? 2 sin(2? x ? ) ? 1 4

?

??????2 分

? f ( x) 的最小正周期为 T ? ? ,? ? ? 1 ,
即 f ( x) ? 由 2 k? ?

3? ? ? x ? k? ? ????5 分 2 4 2 8 8 ? 5? ,? ] 又? x ?[0, ? ] ,? k ? 0 时,取 x ? [0, ]; k ? 1 时,取 x ? [ 8 8 ? 5? ? f ( x) 的单调增区间为 [0, ],[ , ? ] ?????7 分 8 8 ? 2x ? ? 2 k? ? (k ? Z ) ,得 k? ?
(Ⅱ)? f ( x) ?

?

2 sin(2 x ? ) ? 1 4

?

????3 分

?

?

2 sin(2 x ? ) ? 1 4

?

? f ?( x) ? 2 2 cos(2 x ? ) ,? f ?( x) ?[?2 2, 2 2] 4
而直线 4 x ? y ? m ? 0 的斜率为 4 ?[?2 2,2 2]

?

????10 分

? 在 f ( x) 图象上不存在点,使得该点的导数为 4,
即无论 m 取得何值,直线 4 x ? y ? m ? 0 与函数 y ? f ( x) 的图象相切.????12 分
3 2 20.解: (Ⅰ)令 t ? sin x ,则 t ? [?1,1] ,? f (t ) ? t ? 2t ? 2t

2 2 f ?(t ) ? 3t 2 ? 4t ? 2 ? 3(t ? ) 2 ? ? 0 ,? f (t ) 在 [?1,1] 上单调递增????3 分 3 3
? t ? ?1 时, f (t ) 取得最小值 ?5 , t ? 1 时, f (t ) 取得最大值 1;

? f (sin x) 的值域为 [?5,1] .

??????????6 分

(Ⅱ)? f ?( x) ? 3x2 ? 4 x ? 2 ? ,? f ( x) 在 [?1, 0] 单调增

? f ( x) 的值域为 [?5, 0]
由 x ? [0,

?
2

] 时, 1 ? 10 cos x ? 1 ? 11

? ??x1 ?[?1,0] , ?x2 ? [0, ] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 成立, 2
故有 f ( x1 ) 的值域是 2 ? g ( x2 ) 的值域的子集; 当 a ? 0 时, g ( x1 ) ?[a,11a] , 2 ? g ( x2 ) ?[2 ?11a, 2 ? a] ???????7 分

?2 ? 11a ? ?5 7 ?? ? a ?[ , 2] ; 11 ?2 ? 11a ? 0
当 a ? 0 时, g ( x1 ) ?[11a, a] , 2 ? g ( x2 ) ?[2 ? a, 2 ?11a]

????????9 分

?2 ? a ? ?5 ?? ? a ?? ; ?2 ? 11a ? 0
当 a ? 0 时,显然不符合题意; 综上,实数 a 的取值范围为 [

7 , 2] . 11

21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? e x ? a ,当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ln a 若 0 ? a ? 1, 则 ln a ? 0 , f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立,

? f ( x) 在 (0, ??) 单调递增,无极值;

???????3 分

(0, ln a)时 , f ' ( x ) ? 0 ,f ( x单 ) 调 递 减 ; 当 x? (ln a, ??)时 若 a ?1 , 则 当 x?

f '( x) ? 0, f ( x) 单调递减,
所以 x ? ln a 时, f ( x ) 有极小值 f (ln a) ? a ? a(ln a ? 1) ? a(2 ? ln a) , 无极大值. ???6 分

(Ⅱ) g ( x) ? f (2 x) ? e2 x ? a(2 x ?1) ,令 x ? 0 ,则 g (0) ? 1 ? a, 即 P(0,1 ? a)

P 点处切线的斜率为 k ? g ?(0) ? 2 ? 2a P 点处切线方程为 y ? (1 ? a) ? (2 ? 2a) x
令 x ? 0, 得 y ? 1 ? a ,令 y ? 0 ,得 x ? ??????8 分

?1 ? a 2 ? 2a
???????10 分

1 ?1 ? a (1 ? a)2 ? S (a) ? |1 ? a || |? (a ? 1) 2 2 ? 2a 4(a ? 1)
令 t ? a ? 1 ? 0 ,? S (t ) ? 当且仅当 t ?

t 2 ? 4t ? 4 1 4 1 4 ? (t ? ? 4) ? (2 t? ? ? 4) ? 2 4t 4 t 4 t

4 即 t ? 2 时,取等号,此时 a ? 3 ,? S (a) 的最小值为 2 . ???12 分 t

22.解: (Ⅰ)由题意对定义域内的任意 x , f ( x) ? ? f (? x) ,? f ( x) 为奇函数, 当 x ? 1 时, ? x ? ?1 , f ( x) ? ? f (? x) ?

1 ? ln( x ? 1) x?a

x?a ? 1 ? ln( x ? 1) x ? 1 则当 x ? 1 时, f ?( x ) ? , ( x ? a)2
由 f ?(2) ? 0 解得 a ? 1 ,经验证,满足题意; ?????3 分

?x ?1

xl ? n ( 1 ) x?2 当 时 , x ?1 m ? xl n ?x ( x 1 ) f ( ?x) ? ? m ? ( x ) f x x x ?1 x ? x ln( x ? 1) 1 ? x ln( x ? 1) ? 1? 令 g ( x) ? , x ?1 x ?1 m 则当 x ? 2 时, f ( x) ? 恒成立,转化为 m ? g ( x) 在 [2, ??) 上恒成立,???5 分 x
时 ,

f ( x) ?

1?

g ?( x) ?
h?( x) ?

x ? 1 ? ln( x ? 1) ,令 h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1)( x ? 2) , ( x ? 1) 2
x?2 ? 0 ,? h( x) 在 [2, ??) 上单调递增, x ?1

? h( x) ? h(2) ? 1 ? 0 ,? g ?( x) ? 0 ,? g ( x) 在 [2, ??) 上单调递增,

? g ( x)min ? g (2) ? 2 ,? m ? 2

即实数 m 的取值范围为 (??, 2] .????8 分

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 可 知 , 当 x ? 2 时 , f ( x) ?

2 1? l n x? ( , 即 x x ?1

1) 2 ? 则 x

2 2 ? 1? x x ?1 k ?1 k ?1 2k 2k ? 1? 令 x ?1 ? ,则 ln ,即 ln(k ? 1) ? ln k ? 1 ? ????10 分 k k k ?1 k ?1 2 ?1 2? 2 , ln 3 ? ln 2 ? 1 ? , ? 当 k ? 1, 2,3,?, n 时,可得 ln 2 ? ln1 ? 1 ? 1?1 2 ?1 ln( x ? 1) ? 1 ?
2?3 2n , ?, ln(n ? 1) ? ln n ? 1 ? 3 ?1 n ?1 1 2 3 2 ) 将以上不等式两端分别相加得: ln(n ? 1) ? n ? 2( ? ? ? ? ? 2 3 4 n ?1 1 2 3 2 ) ? ln(n ? 1) 成立.????12 分 即 n ? 2( ? ? ? ? ? 2 3 4 n ?1 ln 4 ? ln 3 ? 1 ?


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