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2014高一数学(人教A版)必修1课件:第二章末归纳总结


成才之路· 数学
人教A版 ·必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
基本初等函数(Ⅰ)

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

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/>第二章
章末归纳总结

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

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专题一 指数、对数的运算 题型探究: 指数与指数运算,对数与对数运算是两个重要的知识 点,不仅是本章考查的重要题型,也是高考的必考内容.

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指数式的运算首先要注意化简顺序,一般负指数先转化 成正指数,根式化为指数;其次若出现分式,则要注意把分 子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先要注意 公式应用过程中范围的变化,前后要等价;其次要熟练地运 用对数的三个运算性质,并根据具体问题合理利用对数恒等 式和换底公式等.换底公式是对数计算、化简、证明常用的 公式,一定要掌握并灵活运用.

第二章

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[解析]

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专题二

指、对数函数的典型问题及其求解策略

题型探究: 指数函数与对函数性质的对比 指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数,它们的定义、 图象、性质、运算既有区别又有联系.

第二章

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(1)指数函数 y=ax(a>0, a≠1), 对数函数 y=logax(a>0, a≠1,x>0)的图象和性质都与 a 的取值有密切的联系.a 变 化时,函数的图象和性质也随之改变. (2)指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象恒过定点(0,1),对 数函数 y=logax(a>0,a≠1,x>0)的图象恒过定点(1,0). (3)指数函数 y=ax(a>0, a≠1)与对数函数 y=logax(a>0, a≠1,x>0)具有相同的单调性.

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(4)指数函数 y=ax(a>0, a≠1)与对数函数 y=logax(a>0, a≠1,x>0)互为反函数,两函数图象关于直线 y=x 对称.

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1.求定义域 [例 2] (1)函数 f(x)= 1-2x的定义域为________;

(2)函数 f(x)=log2x-1 3x-2的定义域为________. [分析] (1)函数的定义域只要满足根式的条件即可;(2)

函数的定义域需满足根式的条件和对数的真数、底数的条件.

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[解析]

(1)要使函数有意义,则 1-2x≥0,即 2x≤1,解

得 x≤0.所以函数的定义域为(-∞,0]. ?2x-1>0 ? (2)由题意得 ?2x-1≠1, ?3x-2>0 ? 2 定义域为(3,1)∪(1,+∞).
[答案] (1)(-∞,0] 2 (2)(3,1)∪(1,+∞)
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? 1 ?x>2 ? 即 ?x≠1, ? 2 ?x> ? 3

从而原函数的

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2.单调性问题 [例 3] 则( ) A.3y<3x C.log4x<log4y [分析] B.logx3<logy3 1x 1y D.( ) <( ) 4 4 (2012~2013 浙江省高一期中试题)若 0<x<y<1,

对 A,D 选项构造指数函数,C 选项构造对数函

数,利用函数的单调性求解,B 选项可结合函数图象解决.

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[解析]

对于 A,函数 y=3x 单调递增,3x<3y,故 A 错;

对 于 B , 因 为 y>x , 结 合 对 数 函 数 的 图 象 ( 图 略 ) , 可 得 logx3>logy3,故 B 错;对于 C,函数 y=log4x 单调递增,可得 1x log4x<log4y,故 C 正确;对于 D,函数 y=(4) 单调递减, 1x 1y ( ) >( ) ,故 D 错. 4 4
[答案] C

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[归纳总结]

单调性问题主要是求函数的单调区间以及

利用单调性比较大小等.涉及指、对数函数时,需注意底数 对函数图象和性质的影响.

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3.求参数范围 [例 4]
- ?2 x-1,x≤0 设函数 f(x)=? ,若 f(x0)>1,则 x0 ?x ,x>0
1 2

的取值范围是________. [分析] 并集. 该函数为分段函数,应针对各段分别求解,再求

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[解析]

若 x0≤0,则有 2
1 2

-x0

-1>1,得 x0<-1;

若 x0>0,则有 x0 >1,得 x0>1. 综上可知,x0∈(-∞,-1)∪(1,+∞).

[答案]

(-∞,-1)∪(1,+∞)

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专题三

利用模型函数巧解题

函数部分有一类抽象函数问题, 它给定函数 f(x)的某些性 质,要证明它的其他性质,或利用这些性质解一些不等式或 方程.这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“模型”, 若能分析猜测出这个模型函数,联想这个函数的其他性质来 思考解题方法,那么这类问题就能简单获解.

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[例 5]

已知函数 f(x)对任意实数 x,y 均有 f(x+y)=f(x)

+f(y),且当 x>0 时有 f(x)>0,f(-1)=-2,求 f(x)在[-2,1]上 的值域. [分析] 根据题中条件显然可猜测 f(x)的模型函数为 f(x)

=kx(k≠0),欲求函数 f(x)的值域,关键是弄清它的单调性.

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[解析]

设 x1<x2,则 x2-x1>0,

∵当 x>0 时有 f(x)>0,∴f(x2-x1)>0. 又对任意实数 x,y 均有 f(x+y)=f(x)+f(y), 令 x=y=0,则由 f(0)=f(0)+f(0)得 f(0)=0; 再令 y=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x),即 f(x)为奇函数. ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,∴f(x)为 R 上的增函数. 又 f(-2)=f(-1-1)=2f(-1)=-4,f(1)=-f(-1)=2, ∴当 x∈[-2,1]时,f(x)∈[-4,2].
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专题四

思想方法总结

1.数形结合思想 数形结合思想的基本思路:根据数的结构特征,构造出 与之相应的几何图形,并利用图形的特征和规律,解决数的 问题,或将图形信息转化成代数信息,使解决形的问题转化 为数量关系的问题讨论.

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[例 6]

当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,试求

定数 a 的取值范围. [分析] 作出 y=(x-1)2 与 y=logax 在(1,2)上图象,利用

数形结合思想进行求解.

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[解析]

设 y=(x-1)2,y=logax.在同一坐标系中作出它

们的图象,如图所示.

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若 0<a<1,则当 x∈(1,2)时,(x-1)2<logax 是不可能的, 所以 a
?a>1, ? 应满足? ?loga2≥1, ?

解得 1<a≤2.

所以,a 的取值范围为{a|1<a≤2}.

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[归纳总结] 该不等式与二次函数和对数函数有关, 无法 直接求解,可作出两函数的图象,利用数形结合思想观察两 函数的大小关系.特别注意当对数函数的底数不确定时,要 对 a 分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论.

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2.分类讨论思想 本章常见分类讨论思想的应用如下表: 问题 比较 a
f(x)

讨论标准

分类情况 (1)a>1 时,若 f(x)>g(x),

与 ag(x) 的 大小

a 与 1 的大 则 af(x)>ag(x); 小关系 (2)0<a<1 时, f(x)>g(x), 若 则 af(x)<ag(x)

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问题

讨论标准

分类情况

解不等式 a 与 1 的大 (1)a>1 时,f(x)>g(x); af(x)>ag(x) 比较 小关系 (2)0<a<1 时,f(x)<g(x) (1)a>1 时,若 x1>x2,则

logax1 与 a 与 1 的大 logax1>logax2; logax2 的 大小 小关系 (2)0<a<1 时,若 x1>x2, 则 logax1<logax2

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问题 解不等式 logaf(x)>l ogag(x)

讨论标准

分类情况

a 与 1 的大 (1)a>1 时,f(x)>g(x)>0; 小关系 (2)0<a<1 时,0<f(x)<g(x)

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[例 7]

1 已知偶函数 f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数,f( ) 2

=0,求不等式 f(logax)>0(a>0,且 a≠1)的解集. [分析] 本题考查函数性质的综合应用, 利用奇偶性和单

调性分析,对 a 进行讨论,求出解集.

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[解析]

∵f(x)是偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,

1 ∴f(x)在(-∞,0)上是减函数,f(-2)=0. 1 1 故若 f(logax)>0,则有 logax> ,或 logax<- . 2 2 1 1 (1)当 a>1 时,由 logax>2,或 logax<-2,得 x> a,或 a 0<x< a ;

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1 1 (2)当 0<a<1 时,由 logax> ,或 logax<- ,得 0<x< a, 2 2 a 或 x> a . a 综上可知,当 a>1 时,f(logax)>0 的解集为(0, )∪( a, a +∞); a 当 0<a<1 时,f(logax)>0 的解集为(0, a)∪( ,+∞). a

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3.函数与方程思想 函数与方程思想在本章中的应用具体体现在以下几个方 面: (1)利用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、 图象等解决数学问题. (2)对含参问题的讨论可通过函数与方程的思想综合解 决.

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[例 8]

2 设 a 是实数,f(x)=a- x (x∈R). 2 +1

(1)证明:不论 a 为何实数,f(x)均为增函数; (2)试确定 a 的值,使 f(x)为奇函数. [分析] (1)证明函数是增函数, 可根据设值、 求差、 定号、

得结论的步骤完成;(2)由奇函数的性质得到函数解析式所满 足的关系式,求解此式即可得 a 的值.

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[解析]

(1)证明:设 x1,x2∈R,且 x1<x2,

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(2)若 f(x)为奇函数, 则 f(-x)=-f(x), 2 2 即 a- -x =-a+ x , 2 +1 2 +1 2+2· 2 2 2 ∴2a= x + -x = x =2,∴a=1. 2 +1 2 +1 2 +1 经检验可知,当 a=1 时,f(x)确定为奇函数.
x

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