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培优1


? 作辅助线口诀 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。

题型一 一次函数与行程问题
方法:遇到一次函数与行程

问题的结合,要将一次函数的图像与线段图结合起来,根据两个图像来分析题 目中的条件,最终要在线段图中来找等量关系,从而解决问题。 1 相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=两地间的路程; ○ 2 追及问题:a.同追地不同时出发,前者走的路程= ○ 追者走的路程;

b.同时不同地出发,前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程。 3 航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度; ○ 逆水(风)速度=静水(风)速度 - 水流(风)速度。 等量关系的找法与追及问题、相遇问题的方法类似;抓住两地距离不变,静水(风)速度不变的特点 来找等量关系。

1、一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发 x(h)
时,汽车与甲地的距离为 y(km),y 与 x 的函数关系如图所示. 根据图像信息,解答下列问题: (1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说明理由; (2)求返程中 y 与 x 之间的函数表达式; (3)求这辆汽车从甲地出发 4h 时与甲地的距离.

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22、小颖和小亮上山游玩,小颖乘会缆车,小亮步行,两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到 缆车终 点的路程是缆车到山顶的线路长的 2 倍,小颖在小亮出发后 50 min 才乘上缆车,缆车的平均速度为 180 m/min.设 小亮出发 x min 后行走的路程为 y m.图中的折线表示小亮在整个行走过程中 y 与 x 的函数关系. ⑴小亮行走的总路程是____________㎝,他途中休息了________min. ⑵①当 50≤x≤80 时,求 y 与 x 的函数关系式; ②当小颖到达缆车终点为时,小亮离缆车终点的路程是多少?

3、某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动, A 、 B 两地相距 10 千米,甲班从 A 地出发匀速步 行到 B 地, 乙班从 B 地出发匀速步行到 A 地.两班同时出发, 相向而行.设步行时间 为 x 小时,甲、乙两班离 A 地的距离分别为 y1 千米、 y2 千米, y1 、 y2 与 x 的函数 关系图象如图所示,根据图象解答下列问题: (1)直接写出 y1 、 y2 与 x 的函数关系式; (2)求甲、乙两班学生出发后,几小时相遇?相遇时乙班离 A 地多少千米? (3)甲、乙两班首次相距 4 千米时所用时间是多少小时?

4、在一条直线上依次有 A、B、C 三个港口,甲、乙两船同时分别从 A、B 港口出发,沿直线匀速驶向 C 港, 最终达到 C 港.设甲、乙两船行驶 x(h)后,与 港的距离 分别为 y1 、 y2 (km) , y1 、 y2 与 x 的 .B . .... 函数关系如图所示. (1)填空:A、C 两港口间的距离为 km, a ? ; (2)求图中点 P 的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义; (3)若两船的距离不超过 10 km 时能够相互望见,求甲、乙两船可以相互望 见时 x 的取值范围.

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5、邮递员小王从县城出发,骑自行车到 A 村投递,途中遇到县城中学的学生李明从 A 村步行返校.小王 在 A 村完成投递工作后,返回县城途中又遇到李明,便用自行车 s/千米 6 载上李明,一起到达县城,结果小王比预计时间晚到 1 分钟.二人 与县城间的距离 s (千米)和小王从县城出发后所用的时间 t (分)之 间的函数关系如图,假设二人之间交流的时间忽略不计,求: (1)小王和李明第一次相遇时,距县城多少千米?请直接写出答 案. 1 (2)小王从县城出发到返回县城所用的时间. 30 60 0 20 (3)李明从 A 村到县城共用多长时间?

80

t/分

6、已知如图,直线 y ? ? 3x ? 4 3 与 x 轴相交于点 A,与直线 y ? 3x 相交于点 P. ①求点 P 的坐标. ②请判断 ?OPA 的形状并说明理由. ③动点 E 从原点 O 出发,以每秒 1 个单位的速度沿着 O→P→A 的路线向点 A 匀 速运动(E 不与点 O、A 重合) ,过点 E 分别作 EF⊥ x 轴于 F,EB⊥ y 轴于 B.设运 动 t 秒时,矩形 EBOF 与△ OPA 重叠部分的面积为 S.求: S 与 t 之间的函数关系式.

y P

B O

E

F

A

x

7、甲乙两人同时登西山,甲、乙两人距地面的高度 y (米)与登山时间 x (分)之间的函数图象如图所 示,根据图象所提供的信息解答下列问题: (1)甲登山的速度是每分钟 米,乙在 A 地提速时距地面的高度 b 为 米.

(2)若乙提速后,乙的速度是甲登山速度的 3 倍,请分别求出甲、乙二人登山全过程中,登山时距地 面的高度 y (米)与登山时间 x (分)之间的函数关系式. (3)登山多长时间时,乙追上了甲?此时乙距 A 地的高度为多少米?

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题型二
方法:

方案选择

1 方案选择问题与二元一次方程组结合考查,首先要先在题目中找到两个等量关系,列出方程组,解出 ○ 基本量。然后根据一次函数的最值选择方案。 2 方案选择问题与一次函数结合考查,这类问题通常情况下会有两个一次函数,这时要找两个一次函数 ○ 相等的点来选择方案。 1、某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车,计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成 新式电动汽车的安装, 工厂决定招聘一些新工人; 他们经过培训后上岗, 也能独立进行电动汽车的安装. 生 产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车;2名熟练工和3名新工人每月 可安装14辆电动汽车. (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车? (2)如果工厂招聘 名新工人,使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好 能完成一年的安装任 ..

务,那么工厂有哪几种 新工人的招聘方案? ... (3) 在 (2) 的条件下, 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资, 给每名新工人每月发1200 元的工资,那么工厂应招聘多少名新工人,使新工人的数量多于熟练工,同时工厂每月支出的工资总额 W (元)尽可能的少?

2、如 图 所 示 ,某 地 区 对 某 种 药 品 的 需 求 量 y1(万件) ,供应量 y2(万件)与价格 x(元/件)分别近似满 足下列函数关系式:y1=-x + 70,y2=2x-38,需求量为 0 时,即停止供应.当 y1=y2 时,该药品的价格称为稳 定价格,需求量称为稳定需求量. (1)求该药品的稳定价格与稳定需求量. (2)价格在什么范围内,该药品的需求量低于供应量? (3)由于该地区突发疫情,政府部门决定对药品供应方提供价格补 贴来提高供货价格,以利提高供应量.根据调查统计,需将稳定需求 量增加 6 万件,政府应对每件药品提供多少元补贴,才能使供应量 等于需求量.

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3、我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共 800 株,甲种树苗每株 24 元,乙种树苗每株 30 元.相关资料 表明:甲、乙两种树苗的成活率分别为 85%,90%. (1)若购买这两种树苗共用去 21000 元,则甲、乙两种树苗各购买多少株? (2)若要使这批树苗的总成活率不低于 88%,则甲种树苗至多购买多少株? (3)在(2)的条件下,应如何选购树苗,使购买树苗的费用最低,并求出最低费用.

1、如图,火车匀速通过隧道(隧道长大于火车长)时,火车进入隧道的时间 x 与火车在隧道内的长度 y 之 间的关系用图象描述大致是( )
火车隧道

y

y

y

y

o
A.

x

o
B.

x

o
C.

x

o
D.

x

2、小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯,他把纸杯整齐地叠放在一起,如图,请你根 据图中的信息,若小明把 100 个纸杯整齐叠放在一起时,它的高度约是( (A)106cm (B)110cm (C)114cm (D)116cm )

3、如图,在凯里一中学生耐力测试比赛中,甲、乙两学生测试的路程 s(米)与时间 t(秒)之间的函数 关系的图象分别为折线 OABC 和线段 OD,下列说法正确的是( A、乙比甲先到终点 B、乙测试的速度随时间增加而增大 C、比赛进行到 29.4 秒时,两人出发后第一次相遇 D、比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快 )

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4、A,B 两城相距 600 千米,甲、乙两车同时从 A 城出发驶向 B 城,甲车到达 B 城后立即返回.如图是它 们离 A 城的距离 y(千米)与行驶时间 x(小时)之间的函数图象. (1)求甲车行驶过程中 y 与 x 之间的函数解析式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)当它们行驶 7 了小时时,两车相遇,求乙车速度. 600 y/千米 C E F

O

6

D 14

x/小时

5、星期天 8:00~8:30,燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气.之后,一位工作人员以每车 20 立 方米的加气量,依次给在加气站排队等候的若干辆车加气.储气罐中的储气量 y (立方米)与时间 x (小时)的函数关系如图 2 所示. (1)8:00~8:30,燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气? (2)当 x ≥ 0.5 时,求储气罐中的储气量 y (立方米)与时间 x (小时)的函 数解析式; (3)请你判断,正在排队等候的第 18 辆车能否在当天 10:30 之前加完气?请 说明理由.

1、如图,已知:点 D 是△ABC 的边 BC 上一动点,且 AB=AC,DA=DE,∠BAC=∠ADE=α. ⑴如图 1,当 α=60°时,∠BCE= ;
A

A

A

E B D 图2 (图 1) C

B

D 图1 E

C

B

D E 图 3 (图 3)

C

(图 2)
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⑵如图 2,当 α=90°时,试判断∠BCE 的度数是否发生改变,若变化,请指出其变化范围;若不变化, 请求出其值,并给出证明;

⑶如图 3,当 α=120°时,则∠BCE=



2、在平面直角坐标系 xoy 中,直线 y ? x ? 6 与 x 轴交于 A,与 y 轴交于 B,BC⊥AB 交 x 轴于 C.①求△ y ABC 的面积.
B

A

O

C

x

②D 为 OA 延长线上一动点,以 BD 为直角边做等腰直角三角形 BDE,连结 EA.求直线 EA 的解析式.
E

y
B

D

A

O

x

③点 E 是 y 轴正半轴上一点,且∠OAE=30°,OF 平分∠OAE,点 M 是射线 AF 上一动点,点 N 是线 段 AO 上一动点,是判断是否存在这样的点 M、N,使得 OM+NM 的值最小,若存在,请写出其最小值, 并加以说明. y
E F

A

O

x

3. 如图,直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称,已知直线 l1 的解析式 为 y ? x?3, (1)求直线 l2 的解析式; (3 分)
B y l1

A

0

x

C
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l2

(2)过 A 点在△ABC 的外部作一条直线 l3 ,过点 B 作 BE⊥ l3 于 E,过点 C 作 CF⊥ l3 于 F 分别,请画出图形 并求证:BE+CF=EF
B y

A

0

x

C

(3)△ABC 沿 y 轴向下平移,AB 边交 x 轴于点 P,过 P 点的直线与 AC 边的延长线相交于点 Q,与 y 轴相 交与点 M,且 BP=CQ,在△ABC 平移的过程中,①OM 为定值;②MC 为定值。在这两个结论中,有且只有一 个是正确的,请找出正确的结论,并求出其值。 (6 分)

y B P
0

x

A M C Q
4. (本题 12 分)如图①,直线 AB 与 x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于 A、B 两点. OA、OB 的长度分别为 a 和 b,且满足 a ? 2ab ? b ? 0 .
2 2

⑴判断△AOB 的形状.

① ⑵如图②,正比例函数 y ? kx(k ? 0) 的图象与直线 AB 交于点 Q,过 A、B 两点分别作 AM⊥OQ 于 M,BN ⊥OQ 于 N,若 AM=9,BN=4,求 MN 的长. y
N Q M A
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B

O

x

⑶如图③,E 为 AB 上一动点,以 AE 为斜边作等腰直角△ADE,P 为 BE 的中点,连结 PD、PO,试问: 线段 PD、PO 是否存在某种确定的数量关系和位置关系?写出你的结论并证明.
y B P D E A O x



答案:1、如图,已知:点 D 是△ABC 的边 BC 上一动点,且 AB=AC,DA=DE,∠BAC=∠ADE=α. ⑴如图 1,当 α=60°时,∠BCE=120°; ⑵如图 2,当 α=90°时,试判断∠BCE 的度数是否发生改变,若变化,请指出其变化范围;若不变化,请 求出其值,并给出证明; 证明:如图,过 D 作 DF⊥BC,交 CA 或延长线于 F. 易证:△DCE≌△DAF,得∠BCE=∠DFA=45°或 135°.
F A

A F E

B

D E

C

B

D

C

⑶如图 3,当 α=120°时,则∠BCE=30°或 150°;

2、①求△ABC 的面积=36; ②D 为 OA 延长线上一动点,以 BD 为直角边做等腰直角三角形 BDE,连结 EA.求 解:过 E 作 EF⊥ x 轴于 F,延长 EA 交 y 轴于 H. 易证:△OBD≌△FDE;得:DF=BO=AO,EF=OD; ∴AF=EF,∴∠EAF=45°,∴△AOH 为等腰直角三角形. ∴OA=OH,∴H(0,-6) ∴直线 EA 的解析式为: y ? ? x ? 6 ;

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③解:在线段 OA 上任取一点 N,易知使 OM+NM 的值最小的是点 O 到点 N 关于直线 AF 对称点 N’之间线 段的长.当点 N 运动时,ON’最短为点 O 到直线 AE 的距离,即点 O 到直线 AE 的垂线段的长. ∠OAE=30°, OA=6,所以 OM+NM 的值为 3.

3. (1)A(-3,0)

B(0,3) C(0,-3) y ? ? x ? 3

(2)答: BE ? CF ? EF 易证△BEA≌△AFC ∴BE=AF ,EA=FC, ∴BE+CF=AF+EA=EF (3)①对,OM=3 过 Q 点作 QH⊥y 轴于 H,则△QCH≌△PBO ∴QH=PO=OB=CH ∴△QHM≌△POM ∴ HM=OM ∴OM=BC-(OB+CM)=BC-(CH+CM)=BC-OM ∴ OM=

1 BC=3 2

4. 解:⑴等腰直角三角形 ∵ a ? 2ab ? b ? 0 ∴ (a ? b)2 ? 0
2 2

∴a ? b

∵∠AOB=90° ∴△AOB 为等腰直角三角形 ⑵∵∠MOA+∠MAO=90°,∠MOA+∠MOB=90° ∴∠MAO=∠MOB ∵AM⊥OQ,BN⊥OQ ∴∠AMO=∠BNO=90°

??MAO ? ?MOB ? 在△MAO 和△BON 中 ? ?AMO ? ?BNO ? OA ? OB ?
∴△MAO≌△NOB ∴OM=BN,AM=ON,OM=BN ∴MN=ON-OM=AM-BN=5 ⑶PO=PD 且 PO⊥PD 如图,延长 DP 到点 C,使 DP=PC,连结 OP、OD、OC、BC

? DP ? PC ? 在△DEP 和△CBP ??DPE ? ?CPB ? PE ? PB ?
∴△DEP≌△CBP ∴CB=DE=DA,∠DEP=∠CBP=135°

DA ? CB ? ? 在△OAD 和△OBC ??DAO ? ?CBO ? OA ? OB ?
∴OD=OC,∠AOD=∠COB ∴△DOC 为等腰直角三角形 ∴PO=PD,且 PO⊥PD.

∴△OAD≌△OBC

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1.如图,ON 为∠AOB 中的一条射线,点 P 在边 OA 上,PH⊥OB 于 H,交 ON 于点 Q,PM∥OB 交 ON 于点 M, MD⊥OB 于点 D,QR∥OB 交 MD 于点 R,连结 PR 交 QM 于点 S。 (1)求证:四边形 PQRM 为 矩形; (5 分) 1 OP ? PR 2 (2)若 ,试探究∠AOB 与∠BON 的数量关系,并说明理由。 (5 分)

24. 已知正方形 ABCD。 (1)如图 1,E 是 AD 上一点,过 BE 上一点 O 作 BE 的垂线,交 AB 于点 G,交 CD 于点 H,求证:BE =GH; (2)如图 2,过正方形 ABCD 内任意一点作两条互相垂直的直线,分别交 AD、BC 于点 E、F,交 AB、 CD 于点 G、H,EF 与 GH 相等吗?请写出你的结论; (3)当点 O 在正方形 ABCD 的边 上或外部时,过点 O 作两条互相垂 直的直线, 被正方形相对的两边 (或 它们的延长线)截得的两条线段还 相等吗?其中一种情形如图 3 所 示, 过正方形 ABCD 外一点 O 作互 相垂直的两条直线 m、 n, m 与 AD、 BC 的延长线分别交于点 E、F,n 与 AB、DC 的延长线分别交于点 G、 H,试就该图对你的结论加以证明。

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2. 在 Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,O 为 BC 的中点, (1)写出点 O 到△ABC 的三个顶点 A、B、C 距离的大小关系。 (2)如果点 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动,移动中保持 AN= BM,请判断△OMN 的形状,并证明你的结论。

3.

△ABC 是等边三角形,D 是射线 BC 上的一个动点(与点 B、C 不重合) , △ADE 是以 AD 为边的等边三角形,过点 E 作 BC 的平行线,交射线 AC 于点 F,连接 BE. (1)如图 13.1,当点 D 在线段 BC 上运动时. ① 求证:△AEB≌△ADC; ② 探究四边形 BCFE 是怎样特殊的四边形?并说明理由; (2)如图 13.2,当点 D 在 BC 的延长线上运动时,请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立; (3)在(2)的情况下,当点 D 运动到什么位置时,四边形 BCFE 是菱形?并说明理由. A A

E B

F

? D
图 13.1

C

B

C

? D

E 图 13.2

F

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4. 如图①,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别为边 BC、CD 的中点,AF、DE 相交于点 G,则可得结论: ①AF=DE,②AF⊥DE(不须证明) . (1)如图②,若点 E、F 不是正方形 ABCD 的边 BC、CD 的中点,但满足 CE=DF,则上面的结论①、 ②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立” ) (2)如图③,若点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 CB 的延长线和 DC 的延长线上,且 CE=DF,此时 上面的结论①、②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由. (3)如图④,在(2)的基础上,连接 AE 和 EF,若点 M、N、P、Q 分别为 AE、EF、FD、AD 的中 点,请先判断四边形 MNPQ 是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种,并写出证明过程.

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5.如图,在等腰 Rt△ABC 与等腰 Rt△DBE 中, ∠BDE=∠ACB=90°,且 BE 在 AB 边上,取 AE 的中点 F,CD 的 中点 G,连结 GF. (1)FG 与 DC 的位置关系是 ,FG 与 DC 的数量关系是 ; (2)若将△BDE 绕 B 点逆时针旋转 180°,其它条件不变,请完成下图,并判断(1)中的结论是否 仍然成立? 请证明你的结论. A F D B E G C

A

B

C

6.如图,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD=x, CE=y (l)如果∠BAC=30°,∠DAE=l05°,试确定 y 与 x 之间的函数关系式; (2)如果∠BAC=α ,∠DAE=β ,当α , β 满足怎样的关系时,(l)中 y 与 x 之间的函数关系式 还成立?试说明理由.

7.(1)如图,在正方形 ABCD 中,AB=2,将一块足够大的三角板的直角顶点 P 放在正方形的 中心 O 处,将三角板绕 O 点旋转,三角板的两直角边分别交边 AB、BC 于点 E、F. ①试猜想 PE、PF 之间的大小关系,并证明你的结论; ②求四边形 PEBF 的面积. D A

O E (P)

B F C

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(2)现将直角顶点 P 移至对角线 BD 上其他任意一点,PE、PF 之间的大小关系是否改变? 并说明理由.若 BP 的长为 a ,试用含有 a 的代数式表示四边形 PEBF 的面积 S.
A P E O D

B F C

(3)如果将(2)中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD,其中 AB=2,AD=3.PE、PF 之间的大小关系 是否改变?如果不变,请说明理由;如果改变,请直接写出它们之间的关系.
A P E D

B

F

C

8.如图,P 是矩形 ABCD 的边 CD 上的一个动点,且 P 不与 C、D 重合,BQ⊥AP 于点 Q,已知 AD=6cm,AB=8cm,设 AP=x(cm),BQ=y(cm). (1)求 y 与 x 之间的函数解析式并求自变量 x 的取值范围; (2)是否存在点 P,使 BQ=2AP。若存在,求出 AP 的长;若不存在,说明理由。
D Q P C

A

B

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9. 如图,矩形 ABCD 中,CH⊥BD,垂足为 H,P 点是 AD 上的一个动点(P 与 A、D 不重合) , 60 CP 与 BD 交于 E 点。已知 CH= 13 ,DH∶CD=5∶13,设 AP= x ,四边形 ABEP 的面积为 y 。 (1) y 求 BD 的长; (2)用含 x 的代数式表示 。
A P H E D

B

C

10、如图,矩形 EFGH 内接与△ABC,AD⊥BC 与点 D,交 EH 于点 M,BC=10cm, AD=8cm, 设 EF=x cm,EH=y cm ,矩形 EFGH 的面积为 S cm2, ①分别求出 y 与 x,及 S 与 x 的函数关系式,写出 x 的取值范围; ②若矩形 EFGH 为正方形,求正方形的边长; ③x 取何值时,矩形 EFGH 的面积最大。
A

E

M

H

B F D G

C

11. 如图 ,在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知直线

y1 ? ?

2 x?2 3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B,直线

y2 ? kx ? b(k ? 0) 经过点 C(1,0)且与线段 AB 交于点 P,并把△ABO 分成两部分.
(1)求△ABO 的面积. (2)若△ABO 被直线 CP 分成的两部分的面积相等,求点 P 的坐标及直线 CP 的函数表达式. y

y1
1 B O C P A

y2
y

x

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12. 已知如图,直线 y ? ? 3x ? 4 3 与 x 轴相交于点 A,与直线 y ? 3x 相交于点 P. ①求点 P 的坐标. ②请判断 ?OPA 的形状并说明理由. ③动点 E 从原点 O 出发,以每秒 1 个单位的速度沿着 O→P→A 的路线向点 A 匀速运动(E 不与点 O、A 重合) ,过点 E 分别作 EF⊥x 轴于 F,EB⊥y 轴于 B.设运动 t 秒时,矩形 EBOF 与△OPA 重叠部分的面 积为 S.求: S 与 t 之间的函数关系式. y P

B O

E

F

A

x

13. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 PA 是一次函数 y=x+m(m>0)的图象,直线 PB 是一次函数

y ? ?3x ? n(n > m )的图象,点 P 是两直线的交点,点 A、B、C、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点。
(1)用 m 、 n 分别表示点 A、B、P 的坐标及∠PAB 的度数;

11 (2)若四边形 PQOB 的面积是 2 ,且 CQ:AO=1:2,试求点 P 的坐标,并求出直线 PA 与 PB 的函数表
达式; (3)在(2)的条件下,是否存在一点 D,使以 A、B、P、D 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求 出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由。

C Q P

A

O

B

x

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14. 如图,在平面直角坐标系中,直线 l1 : y ? 直线 l2 交 y 轴于点 B,且∣OA∣=

4 x 与直线 l2 : y ? kx ? b 相交于点 A,点 A 的横坐标为 3, 3

1 ∣OB∣。 2

(1)试求直线 l2 的函数表达式; (6 分) (2)若将直线 l1 沿着 x 轴向左平移 3 个单位,交 y 轴于点 C,交直线 l2 于点 D。试求⊿BCD 的面积。 (4 分)

1. 如图,在平面直角坐标系中,矩形 AOBC 在第一象限内,E 是边 OB 上的动点(不包括端点) ,作 ∠AEF = 90?,使 EF 交矩形的外角平分线 BF 于点 F,设 C(m,n) . (1)若 m = n 时,如图,求证:EF = AE; (2)若 m≠n 时,如图,试问边 OB 上是否还存在点 E,使得 EF = AE?若存在,请求出点 E 的坐标; 若不存在,请说明理由. (3)若 m = tn(t>1)时,试探究点 E 在边 OB 的何处时,使得 EF =(t + 1)AE 成立?并求出点 E 的坐标. y F A C A C F O E B x O E B x O E B x A C y y F

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2. 某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地, 出租车比公 共汽车多往返一趟,如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程 y (单位:千米)与所用时间 x (单位:小时) 的函数图象.已知公共汽车比出租车晚 1 小时出发,到达石河子市后休息 2 小时,然后按原路原速返回, 结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早 1 小时. (1)请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程 y (千米)与所用时间 x (小时)的函数图象. (2)求两车在途中相遇的次数(直接写出答案) (3)求两车最后一次相遇时,距乌鲁木齐市的路程. y(千米) 150 100 50

?1

0

1

2

3

4

5

6

7

8 x(小时)

3. 将正方形 ABCD 折叠,使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合,折痕交 AD 于 E,交 BC 于 F,边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G(如图). (1)如果 M 为 CD 边的中点,求证:DE∶DM∶EM=3∶4∶5; (2)如果 M 为 CD 边上的任意一点,设 AB=2a,问△CMG 的周长是否与点 M 的位置有关?若有关,请把 △CMG 的周长用含 DM 的长 x 的代数式表示;若无关,请说明理由.

4. 用剪刀将形状如图 1 所示的矩形纸片 ABCD 沿着直线 CM 剪成两部分,其中 M 为 AD 的中点.用这两部分纸 片可以拼成一些新图形,例如图 2 中的 Rt△BCE 就是拼成的一个图形. E A M D A M

B 图1

C

B 图2

C 图3 图4

(1)用这两部分纸片除了可以拼成图 2 中的 Rt△BCE 外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的 四边形分别画在图 3、图 4 的虚框内. (2)若利用这两部分纸片拼成的 Rt△BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边 AB 和 BC 的长分别为 a 厘米、b 厘米,且 a、b 恰好是关于 x 的方程 x ? (m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的两个实数根,试求出原矩形
2

纸片的面积.

- 19 -

1. 解 (1)由题意得 m = n 时,AOBC 是正方形. 如图,在 OA 上取点 C,使 AG = BE,则 OG = OE. ∴ ∠EGO = 45?,从而 ∠AGE = 135?. 由 BF 是外角平分线,得 ∠EBF = 135?,∴ ∠AGE =∠EBF. ∵ ∠AEF = 90?,∴ ∠FEB +∠AEO = 90?. 在 Rt△AEO 中,∵ ∠EAO +∠AEO = 90?, ∴ ∠EAO =∠FEB,∴ △AGE≌△EBF,EF = AE. (2)假设存在点 E,使 EF = AE.设 E(a,0) .作 FH⊥x 轴于 H,如图. 由(1)知∠EAO =∠FEH,于是 Rt△AOE≌Rt△EHF. ∴ FH = OE,EH = OA. ∴ 点 F 的纵坐标为 a,即 FH = a. 由 BF 是外角平分线,知∠FBH = 45?,∴ BH = FH = a. 又由 C(m,n)有 OB = m,∴ BE = OB-OE = m-a, ∴ EH = m-a + a = m. 又 EH = OA = n, ∴ m = n,这与已知 m≠n 相矛盾. 因此在边 OB 上不存在点 E,使 EF = AE 成立. (3)如(2)图,设 E(a,0) ,FH = h,则 EH = OH-OE = h + m-a. 由 ∠AEF = 90?,∠EAO =∠FEH,得 △AOE∽△EHF, ∴ EF =(t + 1)AE 等价于 FH =(t + 1)OE,即 h =(t + 1)a, 且 A G O E B C F x y

AO OE n a ? ? , ,即 EH FH h?m?a h
y F A C
2

am ? a 2 a(m ? a) ? 整理得 nh = ah + am-a ,∴ h ? . n?a n?a
a(m ? a) ? (t ? 1)a , 把 h =(t + 1)a 代入得 n?a
即 m-a =(t + 1) (n-a) . 而 m = tn,因此 tn-a =(t + 1) (n-a) . 化简得 ta = n,解得 a ? ∵ t>1, ∴

O

E

B

H

x

n . t

n <n<m,故 E 在 OB 边上. t n n ∴当 E 在 OB 边上且离原点距离为 处时满足条件,此时 E( ,0) . t t

- 20 -

2.解: (1)如图(3 分) y(千米) 150 100 E 50 A -1 (2)2 次 (3)如图,设直线 AB 的解析式为 y ? k1 x ? b1 , 0 1 2 3 4 5 6 7 C 8 x(小时) D B

0) B(6, 150) , 图象过 A(4,,

?4k1 ? b1 ? 0, ?? ?6k1 ? b1 ? 150. ?k1 ? 75, ?? ?b1 ? ?300.
y ? 75 x ? 300 .
设直线 CD 的解析式为 y ? k2 x ? b2 , 图象过 C (7,, 0) D(5150) , ,

?7k2 ? b2 ? 0, ?? ?5k2 ? b2 ? 150. ?k2 ? ?75, ?? ?b2 ? 525.

? y ? ?75x ? 525 .
解由①、②组成的方程组得 ?

? x ? 5.5, ? y ? 112.5.

? 最后一次相遇时距离乌鲁木齐市的距离为 112.5 千米.

- 21 -

3. 解 (1)思路:先求出 DE=

3 1 5 AD , DM ? AD , EM ? AD 后证之. 8 2 8

(2)思路:注意到△DEM∽△CMG,求出△CMG 的周长等于 4a,从而它与点 M 在 CD 边上的位置无 关. 4 解 (1)如图 A M E A M

E

B

图3

C 第 4 题答案图

B

图4

C

(2)由题可知 AB=CD=AE,又 BC=BE=AB+AE ∴BC=2AB, 即 b ? 2a 由题意知 ∴?
a,2a 是方程 x 2 ? (m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的两根

?a ? 2a ? m ? 1 ?a ? 2a ? m ? 1
2m 2 ? 13m ? 7 ? 0

消去 a,得 解得

m?7或m ? ?

1 2

1 3 1 经检验:由于当 m ? ? , a ? 2a ? ? ? 0 ,知 m ? ? 不符合题意,舍去. 2 2 2

m ? 7 符合题意.

∴ S矩形 ? ab ? m ? 1 ? 8 答:原矩形纸片的面积为 8cm2.

- 22 -


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