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高一数学教案:课题§4.6.6两角和与差的余弦、正弦、正切(六)


课 (一) 1.

题§4.6.6

两角和与差的余弦、正弦、正切(六)

2.公式: a sinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ + ? (其中 cos ? =

a a2 ? b2

, sin ? ?

b a2 ? b2

,θ 为任意角).

(二) 1.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、 2.理解公式: a sinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ + ? ) (其中 cos? ?

a a ?b
2 2

, sin ? ?

b a ?b
2 2

,θ 为任意角).

3.灵活应用上述公式解决相关问题. (三) 1. 2.提高学生的思维素质. 利用两角和与差的正、余弦公式将 a sinθ +bcosθ 形式的三角函数式化为某一个角的 三角函数形式. 使学生理解并掌握将 asin θ + bcosθ 形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形 式,并能灵活应用其解决一些问题. 由特殊到一般,引导学生逐步发现一般规律,从而归纳总结,进一步得到一般结论.(启 发诱导式)

第一张(§4.6.6 cosθ cos ? +sinθ cosθ cos ? -sinθ sinθ cos ? +cosθ sinθ cos ? -cosθ 第二张(§4.6.6 1.

A sin ? sin ? sin ? sin ? B

=cos(θ =cos(θ =sin(θ =sin(θ

-? +? +? -?

(1)

3 1 ? sin ? ? cos? ? sin(? ? ) 2 2 6

(2) cos? ? sin ? ? 2 sin(? ?

?
4

)

(3) 2 (sin x ? cos x) ? 2 cos(x ? ) 4
2.利用和(差)

?

3 1 sin x ? cos x 2 2 (2)3 15 sin x ? 3 5 cos x (1) (3) 3 sin x ? cos x (4) 2 ? 6 ? sin( ? x) ? cos( ? x) 6 3 6 3

Ⅰ. (打出投影片§4.6.6 A,学生观察) 师:同学们,观察这些关系式,不难看出这是我们前面所推导出的两角和与差的正余弦 公式的倒写形式.有时,直接利用这种形式可使问题简化,这节课,我们就来探讨一下它的 运用. Ⅱ. 师:首先, [例 1]求证 cos ? ? 3 sin ? ? 2 sin( 师:大家可否先试证一下? 生:(板书)证明:右边= 2 sin(

?
6

??)

?
6

? ? ) ? 2(sin

?
6

cos ? ? cos

?
6

sin ? )

1 3 ? 2( cos? sin ? ) 2 2
师:(结合学生所证,展开讲解)由于同学们对两角和的正弦公式比较熟悉,所以要证此 式容易想到从右边往左边推证, 只要将右边按照两角和的正弦公式展开, 化简便可推出左边.

左边= cos? ? 3 sin ? ? 2( cos? ?

1 2

3 ? ? sin ? ? 2(sin cos? ? cos sin ? ) 2 6 6

? 2 sin(

?
6

??)

(其中令

1 ? 3 ? ? sin , ? cos ) 2 6 2 6

[例 2]求证 cos ? ? 3 sin ? ? 2 cos(

?
3

??)

分析:要证此式,可从右边按照两角差的余弦公式展开,化简整理可证此式.

即:左= cos? ? 3 sin ? ? 2( cos? ?

1 2

3 ? ? sin ? ) ? 2(cos cos? ? sin sin ? ) 2 3 3

? 2 cos(

?
3

??)

(其中令

1 ? 3 ? ? cos , ? sin ) 2 3 3 3

师:综合上两例可看出对于左式 cos? ? 3 sin ? 可化为两种形式 2 sin(

?
6

??) 或

2 cos(

?
3

? ? ) ,右边的两种形式均为一个角的三角函数形式.那么,对于 asinα +bcosα 的

式子是否都可化为一个角的三角函数形式呢?

a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 ( a a ?b
2
2

a a2 ? b2 )2 ? 1

sin ? ?

b a2 ? b2

cos? )

由于 (
2

2

)2 ? (

b a ?b
2 2

sin θ +cos θ =1 (1)若令

a a2 ? b2

=sinθ ,则

b a2 ? b2

=cosθ

∴asinα +bcosα = a 2 ? b 2 (sinθ sinα +cosθ cosα ) = a 2 ? b 2 cos (θ -α )

或= a 2 ? b 2 cos(α -θ (2)若令

a a ?b
2 2

=cos ? ,则

b a ?b
2 2

=sin ?

∴ a sinα +bcosα = a 2 ? b 2 (sinα cos ? +cosα sin ? ) = a 2 ? b 2 sin (α + ? ) 例如:2sinθ +cosθ = 2 ? 1 (
2 2

2 5 5 sin ? ? cos? ) 5 5

若令 cos ? =

2 5 5 ,则 sin ? = 5 5

∴2sinθ +cosθ = 5 (sinθ cos ? +cosθ sin ? )= 5 sin(θ + ?

若令

2 5 5 =sinβ ,则 =cosβ 5 5

∴2sinθ +cosθ = 5 (cosθ cosβ +sinθ sinβ )= 5 cos(θ -β )或 = 5 cos(β -θ ) 看来, a sinθ +bcosθ 均可化为某一个角的三角函数形式,且有两种形式. Ⅲ. (打出投影片§4.6.6 B) 生:(自练)

1.证明(1)

3 1 ? sin ? ? cos? ? sin(? ? ) 2 2 6

证法一:左边=sinα cos

? ? ? +cosα sin =sin(α + 6 6 6
? ? 1 3 +cosα sin = sinα + cosα 2 6 6 2

证法二:右边=sinα cos

(2)cosθ +sinθ = 2 sin(θ +

? 4

证法一:左边= 2 ( = 2 sin(θ +

? ? 2 2 cosθ + sinθ )= 2 (sin cosθ +cos sinθ ) 4 4 2 2

? 4
? ? 2 2 +cosθ sin )= 2 ( sinθ + cosθ ) 4 4 2 2

证法二:右边= 2 (sinθ cos =cosθ +sinθ (3)

2 (sinx+cosx)=2cos (x-

? ) 4
2 2 sinx+ cosx) 2 2

证法一:左边= 2 (sinx+cosx)=2(

? ? +sinxsin ) 4 4 ? =2cos(x- 4
=2(cosxcos 证法二: 右边=2cos (x-

? ? ? 2 2 ) =2 (cosxcos +sinxsin ) =2 ( cosx+ sinx) 4 4 4 2 2

= 2 (cosx+sinx

2.解:(1)

1 ? ? ? 3 sinx+ cosx=sinxcos +cosxsin =sin(x+ 2 6 6 6 2

或:原式=sinxsin

? ? ? +cosxcos =cos(x- ) 3 3 3
1 3 sinx- cosx) 2 2

(2)3 15 sinx-3 5 cosx=6 5 ( =6 5 (sinxcos

? ? -cosxsin 6 6 ? =6 5 sin(x- 6 ? ? ? 或:原式=6 5 (sin sinx-cos cosx)=-6 5 cos(x+ ) 3 3 3
(3)

3 sinx-cosx=2(

1 ? ? 3 sinx- cosx)=2sin(x- )=-2cos(x+ ) 2 6 3 2

(4)

? ? 6 6 sin( -x)+ cos( -x) 3 3 2 6 ? ? 2 1 3 [ sin( -x)+ cos( -x 2 3 3 3 2





? ? ? ? 2 [sin sin( -x)+cos cos( -x)] 6 3 6 3 3 ? ? ? 2 2 cos[ -( -x)]= cos(x- ) 6 3 6 3 3
? ? ? ? ? 2 2 [sin( -x)cos +cos( -x)sin ]= sin[( -x) 3 3 3 3 3 3 3



或:原式=



? 2? 2 ]= sin( -x 3 3 3
Ⅳ. 师:通过本节的学习,要在熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的基础上,推

导并理解公式:asinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ + ? (其中 cos ? =

a a ?b
2 2

,sin ? =

b a ? b2
2

)

mcosα +nsinα = m 2 ? n 2 cos(α -β
(其中 cosβ =

m m ?n
2 2

,sinβ =

n m ? n2
2

进而灵活应用上述公式对三角函数式进行变形,解决一些问题. Ⅴ. (一)课本 P41 7.(1),(2 8.(1)~(5). (二)1.预习课本 P39 6 2.预习提纲:怎样分析,解决一些综合性题目? 课题 公式及推导 备课资 1.求证: 例题 复习回顾

sin x ? cos x ? ? tan( x ? ) sin x ? cos x 4

2 sin(x ? ) 4 ? tan(x ? ? ) 证明:左边= ? 4 2 cos(x ? ) 4 sin(x ? ) sin x cos ? cos x sin ? 4 ? 4 4 ? sin x ? cos x = 或:右边=tan(x- )= ? ? ? 4 sin x ? cos x cos(x ? ) cos x cos ? sin x sin 4 4 4
2.若 0<α <β < A.ab<1 C.a<b

?

?

?

?

? ,sinα +cosα = a ,sinβ +cosβ =b,则 4
B.a>b D.ab>2

解:sinα +cosα = 2 sin(α + sinβ +cosβ = 2 sin(β + 又∵0<α <β < ∴0<α +

? ? ? <β + < 4 4 2 ? ? ∴sin(α + )<sin(β + 4 4 ∴ a <b
答案:C

? 4

? )=b 4

? )=a 4


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