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《三维设计》2014届高考数学理科一轮复习教师备选作业第二章 第三节 函数的单调性与最值


第二章 第三节 函数的单调性与最值
一、选择题 1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( A.y=x
3

)

B.y=|x|+1 D.y=2
-|x|

C.y=-x2+1

2.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x

1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的 是( ) 1 A.f(x)= x C.f(x)=ex B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1)

?-x+3a, x<0, ? 3.函数 f(x)=? x (a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是 ? ?a , x≥0,

( A.(0,1) 1 C.(0, ] 3 1 B.[ ,1) 3 2 D.(0, ] 3 )

)

4.下列区间中,函数 f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是( A.(-∞,1] 3 C.[0, ) 2 4 B.[-1, ] 3 D.[1,2) )

1 2 5.函数 y=( )2x -3x+1 的递减区间为( 2 A.(1,+∞) 1 C.( ,+∞) 2 3 B.(-∞, ) 4 3 D.[ ,+∞) 4

6.已知函数 f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在(0,+∞)上单调递减, 1 且 f( )>0>f(- 3),则方程 f(x)=0 的根的个数为( 2 A.0 C.2 二、填空题 7.函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. B.1 D.3 )

?1,x>0 ? 8.函数 f(x)=?0,x=0 ,g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的递减区间是________. ?-1,x<0 ?
9.已知函数 f(x)= 是________. 三、解答题 10.已知函数 f(x)对任意的 a,b∈R 恒有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3. 3-ax (a≠1),若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围 a-1

x 11.已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围.

12.设奇函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,f(-1)=-1.若函数 f(x)≤t2-2at+1 对所有的 x ∈[-1,1],a∈[-1,1]都成立,求 t 的取值范围.

详解答案
一、选择题 1.解析:A 选项中,函数 y=x3 是奇函数;B 选项中,y=|x|+1 是偶函数,且在(0,+ ∞)上是增函数;C 选项中,y=-x2+1 是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数;D 选项中,y

=2

-|x|

1 =( )|x|是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数. 2

答案:B 2.解析:由题意可知,函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数. 答案:A 3.解析:据单调性定义,f(x)为减函数应满足:
? ?0<a<1, 1 ? 即 ≤a<1. 0 3 ?3a≥a , ?

答案:B 4.解析:由 2-x>0,得 x<2,即函数定义域是(-∞,2).作出函数 y=|ln(-x)|的图象, 再将其向右平移 2 个单位,即函数 f(x)=|ln(2-x)|的图象,由图象知 f(x)在[1,2)上为增函数.

答案:D 5.解析:作出 t=2x2-3x+1 的示意图如右, 1 ∵0< <1, 2 1 ∴y=( )t 单调递减. 2
[来源:学科网 ZXXK][来源:学#科#网 Z#X#X#K]

1 2 要使 y=( )2x -3x+1 递减, 2 3 只需 x∈[ ,+∞]. 4 答案:D 1 6.解析:因为在(0,+∞)上函数递减,且 f( )· f(- 3)<0,又 f(x)是偶函数, 2 1 所以 f( )· 3)<0. f( 2 所以 f(x)在(0,+∞)上只有一个零点. 又因为 f(x)是偶函数,则它在(-∞,0)上也有唯一的零点,故方程 f(x)=0 的根有 2 个. 答案:C 二、填空题 1 7.解析:由题意知,函数 f(x)=log5(2x+1)的定义域为{x|x>- },且函数 y=log5u,u 2 1 =2x+1 在各自定义域上都是增函数,所以该函数的单调增区间为(- ,+∞). 2

1 答案:(- ,+∞) 2

?x ,x>1 ? 8.解析:由条件知,g(x)=?0,x=1 ?-x2,x<1. ?
如图所示,其递减区间是[0,1). 答案:[0,1)
[来源:学科网 ZXXK]

2

9.解析:当 a-1>0,即 a>1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数, 则需 3-a×1≥0,此时 1<a≤3. 当 a-1<0,即 a<1 时, 要使 f(x)在(0,1]上是减函数, 则需-a>0,此时 a<0 所以,实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3] 答案:(-∞,0)∪(1,3] 三、解答题 10.解:(1)证明:任取 x1,x2∈R, 且 x1<x2, ∵f(x2)=f((x2-x1)+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1, 又 x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0,即 f(x2)>f(x1). ∴f(x)是 R 上的增函数. (2)令 a=b=2,得 f(4)=f(2)+f(2)-1=2f(2)-1, ∴f(2)=3, 而 f(3m2-m-2)<3,∴f(3m2-m-2)<f(2). 又 f(x)在 R 上是单调递增函数, ∴3m2-m-2<2. 4 ∴3m2-m-4<0,解得-1<m< . 3 4 故原不等式的解集为(-1, ). 3 11.解:(1)证明:任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)= 2?x1-x2? x1 x2 - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?
[来源:学。科。网]

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f (x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),. ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则

f(x1)-f(x2)=

a?x2-x1? x1 x2 - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1.综上所述,a 的取值范围是 (0,1]. 12.解:∵f(x)是奇函数, ∴f(1)=-f(-1)=1, 又 f(x)是[-1,1]上的奇函数, ∴当 x∈[-1,1]时,f(x)≤f(1)=1. 又函数 f(x)≤t2-2at+1 对所有的 x∈[-1,1]都成立, ∴1≤t2-2at+1?2at-t2≤0,
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

设 g(a)=2at-t2(-1≤a≤1),欲使 2at-t2≤0 恒成立,
?g?-1?≤0 ? 则? ?t≥2 或 t=0 或 t≤-2. ? ?g?1?≤0

即所求 t 的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).


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