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3.1.2用二分法求方程的近似解2


用二分法求方程的近似解
y

0

1

2

3

4

x

缪靓

一.问题情景
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接 点,现在某接点发生故障,需及时维修,为了尽 快断定故障的发生点,一般至少

需要检查接 点的个数为几个?
A1 A4 A5 A 6 A8 A15

可考虑将整条海底电缆按接口点一分为 二:第一部分为第1个接点到第8个接点, 第二部分为第8个接点到第15个接点, 先检测第一部分电缆,若故障还存在, 则故障点在第一部分,反之故障点在第 二部分,将故障部分继续按上述方法一 分为二检测下去,直到找到故障接点为 止,这样最多4次就能找到故障的接点。

思考:如何求方程x2-2x-1=0的一个近 似解.(计算结果精确到0.1) 分析:首先画出函数f(x) =x2-2x-1的图象, 从图象上可以发现,方 程x2-2x-1=0的一个 根x1在区间(-1,0)内, 另一个根x2在区间(2,3) 内.
-3 4 3 2 1 0 -2 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 4 5

思考,如何求方程x2-2x-1=0的一个近 似解.(计算结果精确到0.1) 据函数图象,我们发现 f(2)=-1 < 0, f(3)=2 > 0, 则f(2)·f(3)<0,由 二次函数的性质表明图象 在区间(2,3)上穿过x 轴一次,即方程在区间 (2,3)内有惟一解.
4 3 2 1 0 -3 -2 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 4 5

思考,如何求方程x2-2x-1=0的一个近 似解.(计算结果精确到0.1)
4

一个直观的想法:能否将 包含近似解所在的区间 (2,3)缩小到长度更小 的区间?如何缩小?

3 2 1 0 -3 -2 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 4 5

(通过取中点将区间一分为二,从而缩小区间 的长度)

二、方法探究
2 2

例1: 求方程x2 – 2x - 1 = 0 的一个正的近似解 . (精确到 0.1) +
2 2 2 2.25

+
2.5

3 3 3 3 3

f(2)<0,f(3)>0

?2<x1<3

f(2)<0,f(2.5)>0

? 2<x1<2.5 ?2.25<x1<2.5 ?2.375<x1<2.5

+
2.5

f(2.25)<0,f(2.5)>0

- +
2.375 2.5

f(2.375)<0,f(2.5)>0

- +
2.375 2.475

f(2.375)<0,f(2.4375)>0? 2.375<x1<2.4375

因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4, 所以此方程的近似解为x1≈2.4 能否简述上述求方程近似解的过程,求出另一个 近似解?

求方程x2-2x-1=0近似解的步骤:
(1)确定根所在的大致区间; (2)取该区间的中点x,计算f(x)的值; (3)根据函数值的符号,确定长度更小的区间, 依次进行; (4)判断是否达到精确度的要求,确定近似 解.

二分法(bisection method): 象上面这种求方程近似解的方法称为二分法, 即对 于在区间(a,b)上连续不断、且f(a)·f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断的把方程的解所在的区 间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近近似解, 进而得到近似解的方法叫二分法. 它是求一元方程近似解的常用方法。 运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间

三、探究实践
例2:求方程 lgx = 3 - x的近似解.(精确到0.1)
5 4 3 2 1 0 -2 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 4

解:画出y=lg x 及y=3 -x的图象 观察图象得, 方程lgx=3 - x有唯一解, 记为x, 且此解在区间(2,3)内. 设 f (x)=l g x + x -3
5 6

根所在区间

区间端点函数值符号

中点值

中点函数值符号

( 2, 3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625)

f(2)<0,f(3)>0

2.5 2.75 2.625 2.5625

f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0 f(2.5625)<0

f(2.5)<0,f(3)>0
f(2.5)<0,f(2.75)>0 f(2.5)<0,f(2.625)>0

(2.5625,2.625) f(2.5625)<0,f(2.625)>0

因为2.5625,2.625精确到0.1的近似值都为2.6, 所以原方程的近似解为x1≈2.6 .

[巩固练习] 1. 已知函数f(x)在区间[a,b]上 是单调函数,且 f(a)·f(b)<0,则方程 f(x)=0在区间[a,b]上 ( ) A.至少有一实数根 B.至多有一实数根 C.没有实数根 D.有且仅有唯一的实数根

2.(课本P79)试判断方程x3+3x-1=0 在区间(0,1)内是否有解? 8 y
6 4 2 0 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 0 2 4 6 8

x

四.归纳总结
用二分法求方程 f(x)=0(或g(x)=h(x)) 近似解的基本步骤: 1、寻找解所在区间 先画出y= f(x)图象,观察图象与x轴的交点 横坐标所处的范围; 或画出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,观察两图象 的交点横坐标所处的范围.

2、不断二分解所在的区间 若 x1 ? (a, b), 不妨设f (a) ? 0, f (b) ? 0
a?b a?b 则 x1 ? (a, ) ) ? 0, (1)若 f ( 由 f (a) ? 0 , 2 2
a?b ) ? 0, 由 (2)若 f ( 2

a?b , b) f (b) ? 0, 则 x1 ? ( 2

(3)若 f ( a ? b ) ? 0 ,则 2

a?b x1 ? 2

对(1)、(2)两种情形再继续二分解所在的区间.

3、根据精确度得出近似解
当 x1 ∈ (m , n) ,且m, n根据精确度得到 的近似值均为同一个值 P 时,则x1≈P , 即求得了近似解。 思考: 如何利用Excel来帮助研究方程的近似解?

六.课堂小结
本节课主要介绍了用二分法求方程的 近似解,要注意二分法实施的步骤, 对具体的方程,往往是要先判断零点 所在的区间,然后依次对所在区间减 半,最后根据题目所要求的精确度判 定并求出的根的近似值(近似解).

谢谢大家, 再 见!


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