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2012年高中数学联赛陕西赛区预选赛试题答案


2012 年高中数学联赛陕西赛区预赛试题答案
(5 月 20 日 上午 8:30---11:00)

第一试
填空题:(每小题 8 分,共 80 分) 1.答案: ?5? ;2.答案: (0, 0) ;3.答案:②、④;4. 答案:1;5.答案:1;6.答案: 2 p 7.元.答案:500;8..答案:1;9.答案: (0, 2) ;10.

答案:14000

第二试
一、 (本题满分 20 分)
c s 在 ?ABC 中, 已知 AB ? 2,AC ? 1, 且o 2 A ? 2n i s
2

y
B?C ?1. 2

B

D

A

(1) 求角 A 的大小和 BC 边的长; (2) 若点 P 在 ?ABC 内运动(含边界) ,且点 P 到三边距离之 和为 d,设点 P 到边 BC、 CA 的距离分别为 x, y ,试用 x, y 表示 d,并求 d 的取值范围. 答案: A ?

C O
图1

x

, BC ? 3 3 二、 (本题满分 20 分)

?

3 d ?[ , 3] 2
2 t

在平面直角坐标系中,以点 C (t , ) 为圆心的圆经过坐标原点 O ,且分别与 x 轴、 y 轴交 于点 A、B (不同于原点 O ). (1) 求证: ?AOB 的面积 S 为定值; (2) 设直线 l : y ? ?2 x ? 4 与圆 C 相交于不同的两点 M 、N , 且O M 的标准方程.

? O N

, 求圆 C
A

1 1 4 答案: S ? OA ? OB ? 2t ? ?4 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 5 2 2 t 三、 (本题满分 20 分) 如图 2, 锐角 ABC 内接于圆 O ,过圆心 O 且垂直于半径 OA 的直线 分别交边 AB、AC 于点 E、F 设圆 O 在 B、C 两点处的切线相交于 B 点P . 求证:直线 AP 平分线段 EF . 证明:如图 4,过点 P 作 EF 的平行线,分别交 AB, AC 延长线 于点 M , N ,则 ?PMB ? ?AEO ? 90 ? ?OAE 因为 O 是 ABC 的外心,所以 1 ?OAE ? (180 ? ?AOB) ? 90 ? ?ACB 2 B 所以 ?PMB ? ?ACB 又 PB 为圆 O 的切线,所以 ?PBM ? ?ACB . M 所以 ?PMB ? ?PBM ,于是 PM ? PB .同理 PN ? PC

E O F C

P
图2

A

E O F C

P
图4

1

N

又 PB ? PC ,所以 PM ? PN ,即 AP 平分线段 MN . 因为 EF MN ,故直线 AP 平分线段 EF .

四、 (本题满分 30 分)
已知数列 {an } 满足: a1 ?

1 , an ? 2an an?1 ? 3an?1 (n ? N? ) . 2

(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 若数列 {bn } 满足: bn ? 1 ? 不等式

1 (n ? N? ) ,且对任意正整数 n(n ? 2) , an

? n ? log
k ?1

n

1

3

bk

?

m 恒成立,求整数 m 的最大值. 24

若 存 在 al ? 0 ( l ? N* ), 则 由 an?1 ? 2an?1an ? 3an 知 , al ?1 ? 0 . 依 次 类 推 ,

al ?2 ? 0, al ?2 ? 0, al ?3 ? 0,

1 矛盾.故 an ? 0(n ? N* ) 2 1 3 1 1 于是,由 an ? 2an an?1 ? 3an?1 ,得 ? ? 2 ,即 ? 1 ? 3( ? 1) . an?1 an an?1 an

, a1 ? 0 ,这与 a1 ?

?1 ? ? 1? 是首项为 3、公比为 3 的等比数列. ? an ? 1 1 所以 ? 1=3n ,即 an ? n (n ? N* ) 3 ?1 an 1 由(1)得 bn ? 1 ? ? 3n .从而 log3 bk ? k (k ? 1, 2, ) . an
所以 ?

1 1 1 m m ? ? ? ? 等价于 n ?1 n ? 2 n ? n 24 24 k ?1 3 bk 1 1 1 ? ? ? 令 f ( n) ? 则 n ?1 n ? 2 n?n 1 1 1 1 1 f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ? 0 所以 f (n) 单调递增. 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 1 2n ? 2 1 1 7 7 m ? 所以 f ( n) min ? f (2) ? ? ? .于是, ,即 m ? 14 . 3 4 12 12 24 故整数 m 的最大值为 13. 五、 (本题满分 30 分) 1 1 1 1 7 对于任意的正整数 n,证明: ? 2 ? 3 ??? n ? . 2 3 n 3 ? 2 3 ? (?2) 6 3 ? (?2) 3 ? (?2) n 1 证明:记 ak = k , Sn =? ak . 3 +( ? 2)k k =1 4 ? 先证明:对任意 m ? N ,有 a2 m +a2 m +1 < 2 m +1 . 3
于是,不等式

? n ? log

n

1

?

2

事实上, a2 m +a2 m +1 =

1 1 32 m +1 ? 22 m +1 +32 m +22 m + = 32 m +22 m 32 m +1 ? 22 m +1 (32 m +22 m )(32 m +1 ? 22 m +1 )

4 ? 32 m 4 ? 32 m ? 22 m < = 4 m +1 2 m 3 +6 ? 24 m +1 34 m +1 +62 m [1 ? 2( 2 ) 2 m ] 3 2 2m 2 2m 2 2 因为 1 ? 2( ) 单调递增,所以 1 ? 2( ) ? 1 ? 2( ) >0 . 3 3 3 2m 4?3 4 故 a2 m +a2 m +1 < 4 m +1 = 2 m +1 3 3 7 ? 再证明:对任意 n ? N ,有 S n < . 6 7 当 n=1 时, S1 =1< ,不等式成立. 6 当 n ? 2 时,
(1) 若 n 为奇数,令 n=2m+1(m ? N? ) ,则 Sn =S2 m +1 =1+

? (a
k =1

m

2k

+a2 k +1 )

1 [1 ? ( ) m ] 7 1 1 7 9 = ? ( )m < <1+? 2 k +1 =1+4 1 6 6 9 6 k =1 3 1? 9
m

4

(2) 若 n 为偶数,令 n=2m(m ? N? ) ,则 S n =S 2 m <S 2 m +1 < 综上所述,对任意 n ? N ,都有 S n <
?

7 . 6

7 . 6

3


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